高考数学专题复习练习：第十一章 11_1简单随机抽样

高考数学专题复习练习：第十一章 11_1简单随机抽样

‎　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1．简单随机抽样 ‎(1)定义：一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．‎ ‎(2)最常用的简单随机抽样方法有两种——抽签法和随机数法．‎ ‎2．系统抽样的步骤 一般地，假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本．‎ ‎(1)先将总体的N个个体编号；‎ ‎(2)确定分段间隔k，对编号进行分段．当(n是样本容量)是整数时，取k＝；‎ ‎(3)在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l (l≤k)；‎ ‎(4)按照一定的规则抽取样本．通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号(l＋k)，再加k得到第3个个体编号(l＋2k)，依次进行下去，直到获取整个样本．‎ ‎3．分层抽样 ‎(1)定义：一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．‎ ‎(2)分层抽样的应用范围：‎ 当总体由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样的方法．‎ ‎【思考辨析】‎ 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)简单随机抽样是一种不放回抽样．(　√　)‎ ‎(2)简单随机抽样每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关．(　×　)‎ ‎(3)抽签法中，先抽的人抽中的可能性大．(　×　)‎ ‎(4)系统抽样在第1段抽样时采用简单随机抽样．(　√　)‎ ‎(5)要从1 002个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本，需要剔除2个学生，这样对被剔除者不公平．(　×　)‎ ‎(6)分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关．(　×　)‎ ‎1．(教材改编)某公司有员工500人，其中不到35岁的有125人，35～49岁的有280人，50岁以上的有95人，为了调查员工的身体健康状况，从中抽取100名员工，则应在这三个年龄段分别抽取人数为(　　)‎ A．33,34,33 B．25,56,19‎ C．20,40,30 D．30,50,20‎ 答案　B 解析　因为125∶280∶95＝25∶56∶19，‎ 所以抽取人数分别为25,56,19.‎ ‎2．(2015·四川)某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是(　　)‎ A．抽签法 B．系统抽样法 C．分层抽样法 D．随机数法 答案　C 解析　根据年级不同产生差异及按人数比例抽取易知应为分层抽样法．‎ ‎3．(1)某学校为了了解2016年高考数学学科的考试成绩，在高考后对1 200名学生进行抽样调查，其中文科400名考生，理科600名考生，艺术和体育类考生共200名，从中抽取120名考生作为样本．‎ ‎(2)从10名家长中抽取3名参加座谈会．‎ Ⅰ.简单随机抽样法　Ⅱ.系统抽样法　Ⅲ.分层抽样法 问题与方法配对正确的是(　　)‎ A．(1)Ⅲ，(2)Ⅰ B．(1)Ⅰ，(2)Ⅱ C．(1)Ⅱ，(2)Ⅲ D．(1)Ⅲ，(2)Ⅱ 答案　A 解析　通过分析可知，对于(1)，应采用分层抽样法，对于(2)，应采用简单随机抽样法．‎ ‎4．将参加英语口语测试的1 000名学生编号为000,001,002，…，999，从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样的方法分为50组，如果第一组编号为000,001,002，…，019，且第一组随机抽取的编号为015，则抽取的第35个编号为________．‎ 答案　695‎ 解析　由题意可知，第一组随机抽取的编号l＝15，‎ 分段间隔数k＝＝＝20，则抽取的第35个编号为a35＝15＋(35－1)×20＝695.‎ ‎5．某学校高一，高二，高三年级的学生人数之比为3∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取________名学生．‎ 答案　15‎ 解析　设应从高二年级抽取x名学生，则x∶50＝3∶10，解得x＝15.‎ 题型一　简单随机抽样 例1　(1)以下抽样方法是简单随机抽样的是(　　)‎ A．在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2709的为三等奖 B．某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品，称其重量是否合格 C．某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解对学校机构改革的意见 D．用抽签方法从10件产品中选取3件进行质量检验 ‎(2)总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为(　　)‎ ‎7816　6572　0802　6314　0702　4369　9728　0198‎ ‎3204　9234　4935　8200　3623　4869　6938　7481‎ A.08 B．07 C．02 D．01‎ 答案　(1)D　(2)D 解析　(1)选项A、B不是简单随机抽样，因为抽取的个体间的间隔是固定的；选项C不是简单随机抽样，因为总体的个体有明显的层次；选项D是简单随机抽样．‎ ‎(2)由题意知前5个个体的编号为08,02,14,07,01.‎ 思维升华　应用简单随机抽样应注意的问题 ‎(1)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是抽签是否方便；二是号签是否易搅匀．一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法．‎ ‎(2)‎ 在使用随机数法时，如遇到三位数或四位数，可从选择的随机数表中的某行某列的数字计起，每三个或四个作为一个单位，自左向右选取，有超过总体号码或出现重复号码的数字舍去．‎ ‎　(1)下列抽样试验中，适合用抽签法的有(　　)‎ A．从某厂生产的5 000件产品中抽取600件进行质量检验 B．从某厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验 C．从甲、乙两厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验 D．从某厂生产的5 000件产品中抽取10件进行质量检验 ‎(2)下列抽取样本的方式不属于简单随机抽样的有________________．‎ ‎①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本．‎ ‎②盒子里共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验．在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里．‎ ‎③从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验．‎ ‎④某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛．‎ 答案　(1)B　(2)①②③④‎ 解析　(1)A，D中的总体个体数较多，不适宜抽签法，C中甲、乙两厂的产品质量有区别，也不适宜抽签法，故选B.‎ ‎(2)①不是简单随机抽样．‎ ‎②不是简单随机抽样．由于它是放回抽样．‎ ‎③不是简单随机抽样．因为这是“一次性”抽取，而不是“逐个”抽取．‎ ‎④不是简单随机抽样．因为指定个子最高的5名同学是56名中特指的，不存在随机性，不是等可能抽样．‎ 题型二　系统抽样 例2　(1)(2015·湖南)在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示 若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是(　　)‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎(2)某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为(　　)‎ A．11 B．12 C．13 D．14‎ 答案　(1)B　(2)B 解析　(1)由题意知，将1～35号分成7组，每组5名运动员，成绩落在区间[139,151]的运动员共有4组，故由系统抽样法知，共抽取4名．故选B.‎ ‎(2)由＝20，即每20人抽取1人，所以抽取编号落在区间[481,720]的人数为＝＝12.‎ 引申探究 ‎1．本例(2)中条件不变，若第三组抽得的号码为44，则在第八组中抽得的号码是________．‎ 答案　144‎ 解析　在第八组中抽得的号码为(8－3)×20＋44＝144.‎ ‎2．本例(2)中条件不变，若在编号为[481,720]中抽取8人，则样本容量为________．‎ 答案　28‎ 解析　因为在编号[481,720]中共有720－480＝240人，又在[481,720]中抽取8人，‎ 所以抽样比应为240∶8＝30∶1，又因为单位职工共有840人，所以应抽取的样本容量为＝28.‎ 思维升华　(1)系统抽样适用的条件是总体容量较大，样本容量也较大．‎ ‎(2)使用系统抽样时，若总体容量不能被样本容量整除，可以先从总体中随机地剔除几个个体，从而确定分段间隔．‎ ‎(3)起始编号的确定应用简单随机抽样的方法，一旦起始编号确定，其他编号便随之确定．‎ ‎　(1)(2017·马鞍山月考)高三(1)班有学生52人，现将所有学生随机编号，用系统抽样方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号、31号、44号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号是(　　)‎ A．8 B．13 C．15 D．18‎ ‎(2)(2016·烟台模拟)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A，编号落入区间[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B的人数为(　　)‎ A．7 B．9 C．10 D．15‎ 答案　(1)D　(2)C 解析　(1)分段间隔为＝13，故还有一个学生的编号为5＋13＝18，故选D.‎ ‎(2)由系统抽样的特点知：抽取号码的间隔为＝30，抽取的号码依次为9,39,69，…，939.‎ 落入区间[451,750]的有459,489，…，729，这些数构成首项为459，公差为30的等差数列，设有n项，显然有729＝459＋(n－1)×30，解得n＝10.所以做问卷B的有10人．‎ 题型三　分层抽样 命题点1　求总体或样本容量 例3　(1)(2016·东北三校联考)某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3∶5∶7，现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量n等于(　　)‎ A．54 B．90 C．45 D．126‎ ‎(2)甲、乙两套设备生产的同类型产品共4 800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件．‎ 答案　(1)B　(2)1 800‎ 解析　(1)依题意得×n＝18，解得n＝90，即样本容量为90.‎ ‎(2)分层抽样中各层的抽样比相同．样本中甲设备生产的产品有50件，则乙设备生产的产品有30件．在4 800件产品中，甲、乙设备生产的产品总数比为5∶3，所以乙设备生产的产品的总数为1 800件．‎ 命题点2　求某层入样的个体数 例4　(1) (2015·北京)某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师人数为(　　)‎ 类别 人数 老年教师 ‎900‎ 中年教师 ‎1 800‎ 青年教师 ‎1 600‎ 合计 ‎4 300‎ A.90 B．100 C．180 D．300‎ ‎(2)(2015·福建)某校高一年级有900名学生，其中女生400名．按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为________．‎ 答案　(1)C　(2)25‎ 解析　(1)由题意抽样比为＝，‎ ‎∴该样本中的老年教师人数为900×＝180.‎ ‎(2)由题意知，男生共有500名，根据分层抽样的特点，在容量为45‎ 的样本中男生应抽取人数为45×＝25.‎ 思维升华　分层抽样问题类型及解题思路 ‎(1)求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算．‎ ‎(2)已知某层个体数量，求总体容量或反之：根据分层抽样就是按比例抽样，列比例式进行计算．‎ ‎(3)确定是否应用分层抽样：分层抽样适用于总体中个体差异较大的情况．‎ ‎　(1)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为________．‎ ‎(2)某公司共有1 000名员工，下设若干部门，现采用分层抽样方法，从全体员工中抽取一个样本容量为80的样本，已告知广告部门被抽取了4个员工，则广告部门的员工人数为________．‎ 答案　(1)200,20　(2)50‎ 解析　(1)该地区中小学生总人数为 ‎3 500＋2 000＋4 500＝10 000，‎ 则样本容量为10 000×2%＝200，其中抽取的高中生近视人数为2 000×2%×50%＝20.‎ ‎(2)＝，x＝50.‎ 五审图表找规律 典例　(12分)某单位有2 000名职工，老年、中年、青年分布在管理、技术开发、营销、生产各部门中，如下表所示：‎ 人数 管理 技术开发 营销 生产 共计 老年 ‎40‎ ‎40‎ ‎40‎ ‎80‎ ‎200‎ 中年 ‎80‎ ‎120‎ ‎160‎ ‎240‎ ‎600‎ 青年 ‎40‎ ‎160‎ ‎280‎ ‎720‎ ‎1 200‎ 共计 ‎160‎ ‎320‎ ‎480‎ ‎1 040‎ ‎2 000‎ ‎(1)若要抽取40人调查身体状况，则应怎样抽样？‎ ‎(2)若要开一个25人的讨论单位发展与薪金调整方面的座谈会，则应怎样抽选出席人？‎ ‎(3)若要抽20人调查对广州亚运会举办情况的了解，则应怎样抽样？‎ 抽取40人调查身体状况 ‎↓(观察图表中的人数分类统计情况)‎ 样本人群应受年龄影响 ‎↓(表中老、中、青分类清楚，人数确定)‎ 要以老、中、青分层，用分层抽样 ‎↓‎ 要开一个25人的座谈会 ‎↓(讨论单位发展与薪金调整)‎ 样本人群应受管理、技术开发、营销、生产方面的影响 ‎↓(表中管理、技术开发、营销、生产分类清楚，人数确定)‎ 要以管理、技术开发、营销、生产人员分层，用分层抽样 ‎↓‎ 要抽20人调查对广州亚运会举办情况的了解 ‎↓(可认为亚运会是大众体育盛会，一个单位人员对情况了解相当) 将单位人员看作一个整体 ‎↓(从表中数据看总人数为2 000)‎ 人员较多，可采用系统抽样 规范解答 解　(1)按老年、中年、青年分层，用分层抽样法抽取，[1分]‎ 抽取比例为＝.[2分]‎ 故老年人、中年人、青年人各抽取4人、12人、24人．[4分]‎ ‎(2)按管理、技术开发、营销、生产分层，用分层抽样法抽取，[5分]‎ 抽取比例为＝，[6分]‎ 故管理、技术开发、营销、生产各部门抽取2人、4人、6人、13人．[8分]‎ ‎(3)用系统抽样，‎ 对全部2 000人随机编号，号码从0001～2000，每100号分为一组，从第一组中用简单随机抽样抽取一个号码，然后将这个号码分别加100,200，…，1 900，共20人组成一个样本．[12分]‎ ‎1．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为(　　)‎ A．6 B．8‎ C．10 D．12‎ 答案　B 解析　设样本容量为N，则N×＝6，∴N＝14，‎ ‎∴高二年级所抽学生人数为14×＝8.‎ ‎2．(2017·榆林月考)打桥牌时，将洗好的扑克牌(52张)随机确定一张为起始牌后，开始按次序搬牌，对任何一家来说，都是从52张总体抽取一个13张的样本．这种抽样方法是(　　)‎ A．系统抽样 B．分层抽样 C．简单随机抽样 D．非以上三种抽样方法 答案　A 解析　符合系统抽样的特点，故选A.‎ ‎3．对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则(　　)‎ A．p1＝p2

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