高考数学专题复习练习：考点规范练56

高考数学专题复习练习：考点规范练56

考点规范练56　坐标系与参数方程 ‎　考点规范练B册第42页　 ‎ 基础巩固 ‎1.(2016江苏,21C)在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为x=1+‎1‎‎2‎t,‎y=‎3‎‎2‎t(t为参数),椭圆C的参数方程为x=cosθ,‎y=2sinθ(θ为参数).设直线l与椭圆C相交于A,B两点,求线段AB的长.‎ 解椭圆C的普通方程为x2+y‎2‎‎4‎=1.‎ 将直线l的参数方程x=1+‎1‎‎2‎t,‎y=‎3‎‎2‎t(t为参数)‎ 代入x2+y‎2‎‎4‎=1,得‎1+‎1‎‎2‎t‎2‎‎+‎‎3‎‎2‎t‎2‎‎4‎=1,‎ 即7t2+16t=0,解得t1=0,t2=-‎16‎‎7‎.‎ 所以AB=|t1-t2|=‎16‎‎7‎.〚导学号74920547〛‎ ‎2.(2016丹东二模)在平面直角坐标系xOy中,将曲线C1:x2+y2=1上的所有点的横坐标伸长为原来的‎3‎倍,纵坐标伸长为原来的2倍后,得到曲线C2;以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程是ρ(2cos θ-sin θ)=6.‎ ‎(1)写出曲线C2的参数方程和直线l的直角坐标方程;‎ ‎(2)在曲线C2上求一点P,使点P到直线l的距离d最大,并求出此最大值.‎ 解(1)由题意知,曲线C2方程为x‎3‎‎2‎‎+‎y‎2‎‎2‎=1,故曲线C2的参数方程为x=‎3‎cosφ,‎y=2sinφ(φ为参数).‎ 直线l的直角坐标方程为2x-y-6=0.‎ ‎(2)设P(‎3‎cos φ,2sin φ),‎ 则点P到直线l的距离为 d=‎|2‎3‎cosφ-2sinφ-6|‎‎5‎‎=‎‎|4sin(60°-φ)-6|‎‎5‎,‎ 故当sin(60°-φ)=-1时,d取到最大值2‎5‎,此时取φ=150°,点P坐标是‎-‎3‎‎2‎,1‎.〚导学号74920548〛‎ ‎3.在平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为x=1+cosφ,‎y=sinφ(φ为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎(1)求圆C的极坐标方程;‎ ‎(2)直线l的极坐标方程是2ρsinθ+‎π‎3‎=3‎3‎,射线OM:θ=π‎3‎与圆C的交点为O,P,与直线l的交点为Q,求线段PQ的长.‎ 解(1)圆C的普通方程为(x-1)2+y2=1,‎ 又x=ρcos θ,y=ρsin θ,所以圆C的极坐标方程为ρ=2cos θ.‎ ‎(2)设P(ρ1,θ1),则由ρ=2cosθ,‎θ=π‎3‎,‎得ρ1=1,θ1=π‎3‎,‎ 设Q(ρ2,θ2),‎ 则由ρ(sinθ+‎3‎cosθ)=3‎3‎,‎θ=‎π‎3‎得ρ2=3,θ2=π‎3‎,‎ 因为P,Q两点在同一射线OM上,且ρ1=1>0,ρ2=3>0,‎ 所以|PQ|=ρ2-ρ1=2.〚导学号74920549〛‎ ‎4.(2016全国乙卷,文23)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=acost,‎y=1+asint,‎(t为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=4cos θ.‎ ‎(1)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;‎ ‎(2)直线C3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tan α0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.‎ 解(1)消去参数t得到C1的普通方程x2+(y-1)2=a2,C1是以(0,1)为圆心,a为半径的圆.‎ 将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入C1的普通方程中,得到C1的极坐标方程为ρ2-2ρsin θ+1-a2=0.‎ ‎(2)曲线C1,C2的公共点的极坐标满足方程组ρ‎2‎‎-2ρsinθ+1-a‎2‎=0,‎ρ=4cosθ.‎ 若ρ≠0,由方程组得16cos2θ-8sin θcos θ+1-a2=0,‎ 由已知tan θ=2,‎ 可得16cos2θ-8sin θcos θ=0,‎ 从而1-a2=0,解得a=-1(舍去),a=1.‎ a=1时,极点也为C1,C2的公共点,在C3上,‎ 所以a=1.〚导学号74920550〛‎ ‎5.在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=4t‎2‎,‎y=4t(t为参数).在以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立的极坐标系中,曲线C2的极坐标方程为ρcosθ+‎π‎4‎‎=‎‎2‎‎2‎.‎ ‎(1)把曲线C1的参数方程化为普通方程,C2的极坐标方程化为直角坐标方程;‎ ‎(2)若曲线C1,C2相交于A,B两点,AB的中点为P,过点P作曲线C2的垂线交曲线C1于E,F两点,求|PE|·|PF|的值.‎ 解(1)消去参数可得C1:y2=4x,‎ C2:x-y-1=0.‎ ‎(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),且AB中点为P(x0,y0),‎ 联立y‎2‎‎=4x,‎x-y-1=0‎可得x2-6x+1=0.‎ ‎∴x1+x2=6,x1x2=1,∴‎x‎0‎‎=x‎1‎‎+‎x‎2‎‎2‎=3,‎y‎0‎‎=2.‎ ‎∴AB中垂线的参数方程为x=3-‎2‎‎2‎t,‎y=2+‎2‎‎2‎t(t为参数).①‎ y2=4x.②‎ 将①代入②中,得t2+8‎2‎t-16=0,‎ ‎∴t1·t2=-16.‎ ‎∴|PE|·|PF|=|t1·t2|=16.〚导学号74920551〛‎ 能力提升 ‎6.(2016东北三省四市二模)已知直线l的参数方程为x=m+‎2‎‎2‎t,‎y=‎2‎‎2‎t(t为参数),在以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中,曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=12,且曲线C的左焦点F在直线l上.若直线l与曲线C交于A,B两点,求|FA|·|FB|的值.‎ 解由题意,曲线C的直角坐标方程为x2+3y2=12,即x‎2‎‎12‎‎+‎y‎2‎‎4‎=1.‎ 因为曲线C的左焦点F(-2‎2‎,0)在直线l上,‎ 所以m=-2‎2‎.‎ 将直线l的参数方程代入x2+3y2=12得t2-2t-2=0,‎ 故|FA|·|FB|=|t1·t2|=2.〚导学号74920552〛‎ ‎7.(2016河南许昌、新乡、平顶山三模)已知直线C1:x=1+tcosα,‎y=tsinα(t为参数),圆C2:x=cosθ,‎y=sinθ(θ为参数).‎ ‎(1)当α=π‎3‎时,求C1被C2截得的线段的长;‎ ‎(2)过坐标原点O作C1的垂线,垂足为A,当α变化时,求点A轨迹的参数方程,并指出它是什么曲线.‎ 解(1)当α=π‎3‎时,C1的普通方程为y=‎3‎(x-1),C2的普通方程为x2+y2=1.‎ 联立方程组y=‎3‎(x-1),‎x‎2‎‎+y‎2‎=1,‎解得C1与C2的交点坐标为(1,0)与‎1‎‎2‎‎,-‎‎3‎‎2‎.‎ 故C1被C2截得的线段的长为‎1-‎‎1‎‎2‎‎2‎‎+‎‎0+‎‎3‎‎2‎‎2‎=1.‎ ‎(2)将C1的参数方程代入C2的普通方程得t2+2tcos α=0,‎ 设直线C1与圆C2交于两点M,N,M,N两点对应的参数分别为t1,t2,则A点对应的参数t=t‎1‎‎+‎t‎2‎‎2‎=-cos α,‎ 故A点坐标为(sin2α,-cos αsin α).‎ 故当α变化时,点A轨迹的参数方程为x=sin‎2‎α,‎y=-sinαcosα(α为参数).‎ 因此,点A轨迹的普通方程为x-‎‎1‎‎2‎‎2‎+y2=‎1‎‎4‎.‎ 故点A的轨迹是以‎1‎‎2‎‎,0‎为圆心,半径为‎1‎‎2‎的圆.〚导学号74920553〛‎ 高考预测 ‎8.在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=acos θ(a>0),过点P(-2,-4)的直线l的参数方程为x=-2+‎2‎‎2‎t,‎y=-4+‎2‎‎2‎t(t为参数),直线l与曲线C相交于A,B两点.‎ ‎(1)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程;‎ ‎(2)若|PA|·|PB|=|AB|2,求a的值.‎ 解(1)∵ρsin2θ=acos θ(a>0),‎ ‎∴ρ2sin2θ=aρcos θ(a>0),即y2=ax(a>0).‎ 直线l的参数方程消去参数t,得普通方程为y=x-2.‎ ‎(2)将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程y2=ax(a>0)中,得t2-‎2‎(a+8)t+4(a+8)=0,‎ 设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,‎ 则t1+t2=‎2‎(a+8),t1·t2=4(a+8).‎ ‎∵|PA|·|PB|=|AB|2,‎ ‎∴t1·t2=(t1-t2)2.‎ ‎∴(t1+t2)2=(t1-t2)2+4t1·t2=5t1·t2,‎ 即[‎2‎(8+a)]2=20(8+a),解得a=2或a=-8(不合题意,应舍去),‎ ‎∴a的值为2.〚导学号74920554〛‎