高考数学专题复习练习:9-3 专项基础训练

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高考数学专题复习练习:9-3 专项基础训练

‎ A组 专项基础训练 ‎(时间:35分钟)‎ ‎1.(2016·课标全国Ⅱ)圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=(  )‎ A.-          B.- C. D.2‎ ‎【解析】 圆的方程可化为(x-1)2+(y-4)2=4,则圆心坐标为(1,4),圆心到直线ax+y-1=0的距离为=1,解得a=-.故选A.‎ ‎【答案】 A ‎2.(2017·福州质检)设圆的方程是x2+y2+2ax+2y+(a-1)2=0,若0<a<1,则原点与圆的位置关系是(  )‎ A.原点在圆上 B.原点在圆外 C.原点在圆内 D.不确定 ‎【解析】 将圆的一般方程化成标准方程为(x+a)2+(y+1)2=2a,因为0<a<1,‎ 所以(0+a)2+(0+1)2-2a=(a-1)2>0,‎ 即>,所以原点在圆外.‎ ‎【答案】 B ‎3.(2016·石家庄一检)若圆C的半径为1,点C与点(2,0)关于点(1,0)对称,则圆C的标准方程为(  )‎ A.x2+y2=1 B.(x-3)2+y2=1‎ C.(x-1)2+y2=1 D.x2+(y-3)2=1‎ ‎【解析】 因为点C与点(2,0)关于点(1,0)对称,故由中点坐标公式可得C(0,0),所以所求圆的标准方程为x2+y2=1.‎ ‎【答案】 A ‎4.(2015·全国卷Ⅱ)已知三点A(1,0),B(0,),C(2,),则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为(  )‎ A. B. C. D. ‎【解析】 设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,‎ 则解得 ‎∴△ABC外接圆的圆心为,故△ABC外接圆的圆心到原点的距离为=.‎ ‎【答案】 B ‎5.(2016·绥化重点中学联考)圆心在曲线y=(x>0)上,且与直线2x+y+1=0相切的面积最小的圆的方程为(  )‎ A.(x-1)2+(y-2)2=5‎ B.(x-2)2+(y-1)2=5‎ C.(x-1)2+(y-2)2=25‎ D.(x-2)2+(y-1)2=25‎ ‎【解析】 由圆心在曲线y=(x>0)上,‎ 设圆心坐标为,a>0.‎ 又圆与直线2x+y+1=0相切,所以圆心到直线的距离d=≥=,‎ 当且仅当2a=,即a=1时取等号,‎ 所以圆心坐标为(1,2),‎ 圆的半径的最小值为,‎ 则所求圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=5.‎ ‎【答案】 A ‎6.(2016·福建师大附中联考)与圆C:x2+y2-2x+4y=0外切于原点,且半径为2的圆的标准方程为________.‎ ‎【解析】 所求圆的圆心在直线y=-2x上,所以可设所求圆的圆心为(a,-2a)(a<0),又因为所求圆与圆C:x2+y2-2x+4y=0外切于原点,且半径为2,所以=2,可得a2=4,则a=-2或a=2(舍去).所以所求圆的标准方程为(x+2)2+(y-4)2=20.‎ ‎【答案】 (x+2)2+(y-4)2=20‎ ‎7.已知圆O:x2+y2=1,直线x-2y+5=0上动点P,过点P作圆O的一条切线,‎ 切点为A,则·的最小值为________.‎ ‎【解析】 圆心O到直线x-2y+5=0的距离为=,‎ 即||min=.‎ ‎∵PA与圆O相切,∴PA⊥OA,即·=0,‎ ‎∴·=(+)·=2=||2-||2≥5-1=4.‎ ‎【答案】 4‎ ‎8.(2016·山东烟台一模)已知直线l:x-y+4=0与圆C:(x-1)2+(y-1)2=2,圆C上各点到直线l的距离的最小值为a,最大值为b,则a+b=________.‎ ‎【解析】 由圆的标准方程得圆心C的坐标为(1,1),半径r=,则圆心(1,1)到直线l的距离d==2>=r,所以直线l与圆C相离,则圆C上各点到l的距离的最小值a=d-r=2-=,最大值b=d+r=2+=3,故a+b=4.‎ ‎【答案】 4 ‎9.一圆经过A(4,2),B(-1,3)两点,且在两坐标轴上的四个截距的和为2,求此圆的方程.‎ ‎【解析】 设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.‎ 令y=0,得x2+Dx+F=0,所以x1+x2=-D.‎ 令x=0,得y2+Ey+F=0,所以y1+y2=-E.‎ 由题意知-D-E=2,即D+E+2=0.①‎ 又因为圆过点A、B,所以16+4+4D+2E+F=0.②‎ ‎1+9-D+3E+F=0.③‎ 解①②③组成的方程组得D=-2,E=0,F=-12.‎ 故所求圆的方程为x2+y2-2x-12=0.‎ ‎10.在平面直角坐标系xOy中,已知圆P在x轴上截得线段长为2,在y轴上截得线段长为2.‎ ‎(1)求圆心P的轨迹方程;‎ ‎(2)若P点到直线y=x的距离为,求圆P的方程.‎ ‎【解析】 (1)设P(x,y),圆P的半径为r.‎ 则y2+2=r2,x2+3=r2.‎ ‎∴y2+2=x2+3,即y2-x2=1.‎ ‎∴P点的轨迹方程为y2-x2=1.‎ ‎(2)设P的坐标为(x0,y0),‎ 则=,即|x0-y0|=1.‎ ‎∴y0-x0=±1,即y0=x0±1.‎ ‎①当y0=x0+1时,由y-x=1得(x0+1)2-x=1.‎ ‎∴∴r2=3.‎ ‎∴圆P的方程为x2+(y-1)2=3.‎ ‎②当y0=x0-1时,由y-x=1得(x0-1)2-x=1.‎ ‎∴∴r2=3.‎ ‎∴圆P的方程为x2+(y+1)2=3.‎ 综上所述,圆P的方程为x2+(y±1)2=3.‎ B组 专项能力提升 ‎(时间:30分钟)‎ ‎11.(2016·深圳五校联考)已知直线l:x+my+4=0,若曲线x2+y2+2x-6y+1=0上存在两点P,Q关于直线l对称,则m的值为(  )‎ A.2 B.-2‎ C.1 D.-1‎ ‎【解析】 因为曲线x2+y2+2x-6y+1=0是圆(x+1)2+(y-3)2=9,若圆(x+1)2+(y-3)2=9上存在两点P,Q关于直线l对称,则直线l:x+my+4=0过圆心(-1,3),所以-1+3m+4=0,解得m=-1.‎ ‎【答案】 D ‎12.(2016·济南模拟)已知圆C1:(x+1)2+(y-1)2=1,圆C2与圆C1关于直线x-y-1=0对称,则圆C2的方程为(  )‎ A.(x+2)2+(y-2)2=1‎ B.(x-2)2+(y+2)2=1‎ C.(x+2)2+(y+2)2=1‎ D.(x-2)2+(y-2)2=1‎ ‎【解析】 设圆C1的圆心坐标C1(-1,1)关于直线x-y-1=0的对称点为(a,b),依题意得解得所以圆C2的方程为(x-2)2+(y+2)2=1.‎ ‎【答案】 B ‎13.过点P(1,1)的直线,将圆形区域{(x,y)|x2+y2≤4}分为两部分,‎ 使得这两部分的面积之差最大,则该直线的方程为________.‎ ‎【解析】 当圆心与P的连线和过点P的直线垂直时,符合条件.圆心O与P点连线的斜率k=1,‎ 所求直线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0.‎ ‎【答案】 x+y-2=0‎ ‎14.已知定点A(0,1),B(0,-1),C(1,0),动点P满足:·=k||2.‎ ‎(1)求动点P的轨迹方程,并说明方程表示的曲线类型;‎ ‎(2)当k=2时,求|2+|的最大值、最小值.‎ ‎【解析】 (1)设动点坐标为P(x,y),‎ 则=(x,y-1),=(x,y+1),=(1-x,-y).‎ 因为·=k||2,所以x2+y2-1=k[(x-1)2+y2],‎ 整理得(1-k)x2+(1-k)y2+2kx-k-1=0.‎ 若k=1,则方程为x=1,表示过点(k,0)且平行于y轴的直线.‎ 若k≠1,则方程为+y2=.‎ 表示以为圆心,以为半径的圆.‎ ‎(2)最大值为3+,最小值为-3.‎ ‎15.(2017·河南中原名校第三次联考)已知圆C的方程为x2+(y-4)2=1,直线l的方程为2x-y=0,点P在直线l上,过点P作圆C的切线PA,PB,切点为A,B.‎ ‎(1)若∠APB=60°,求点P的坐标;‎ ‎(2)求证:经过A,P,C(其中点C为圆C的圆心)三点的圆必经过定点,并求出所有定点的坐标.‎ ‎【解析】 (1)由条件可得圆C的圆心坐标为(0,4),PC=2,设P(a,2a),则=2,解得a=2或a=,所以点P的坐标为(2,4)或.‎ ‎(2)设P(a,2a),过点A,P,C的圆即是以PC为直径的圆,其方程为x(x-a)+(y-4)(y-2a)=0,整理得x2+y2-ax-4y-2ay+8a=0,即(x2+y2-4y)-a(x+2y-8)=0.‎ 由得或 ‎∴该圆必经过定点(0,4)和.‎
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