2019年高考数学练习题汇总1_立体几何

2019年高考数学练习题汇总1_立体几何

解答题专项练 ‎1.立体几何 ‎1.(2018·江苏省金陵中学月考)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥平面ABCD，AP＝AD，点M在棱PD上， AM⊥PD，点N是棱PC的中点，求证：‎ ‎(1) MN∥平面PAB；‎ ‎(2) AM⊥平面PCD.‎ 证明　(1)因为在△PAD中， AP＝AD，AM⊥PD，‎ 所以点M是棱PD的中点.‎ 又点N是棱PC的中点，‎ 所以MN是△PDC的中位线，‎ 所以MN∥DC.‎ 因为底面ABCD是矩形，‎ 所以AB∥DC，‎ 所以MN∥AB.‎ 又AB⊂平面PAB, MN⊄平面PAB，‎ 所以MN∥平面PAB.‎ ‎(2)因为平面PAD⊥平面ABCD, CD⊂平面ABCD，‎ 平面PAD∩平面ABCD＝AD，CD⊥AD，‎ 所以CD⊥平面PAD.‎ 又AM⊂平面PAD，所以CD⊥AM.‎ 因为PD⊥AM，CD⊥AM, CD∩PD＝D，CD⊂平面PCD，PD⊂平面PCD，‎ 所以AM⊥平面PCD.‎ ‎2.已知在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ABC＝60°，DC＝1，AD＝，PB＝PC，且M，N分别为BC，PA的中点. ‎ ‎(1)求证：DN∥平面PBC；‎ ‎(2)求证：MN⊥BC.‎ 证明　(1)取PB的中点E，连结NE，CE，AC，‎ 因为ABCD是直角梯形，AB∥DC，‎ ‎∠ABC＝60°，DC＝1，AD＝，‎ 易得AC＝CB＝AB＝2.‎ 又N为PA的中点，‎ 所以NE∥CD且NE＝CD，‎ 所以四边形CDNE是平行四边形，‎ 所以DN∥CE.‎ 又CE⊂平面PBC，DN⊄平面PBC，‎ 所以DN∥平面PBC.‎ ‎(2)连结AM，PM.‎ 因为PB＝PC，‎ 所以PM⊥BC，‎ 因为AC＝AB，‎ 所以AM⊥BC，‎ 又AM∩PM＝M，AM，PM⊂平面PAM，‎ 所以BC⊥平面PAM.‎ 因为MN⊂平面APM，‎ 所以MN⊥BC.‎ ‎3.(2018·扬州市邗江区模拟)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF∥AB，EF⊥FB，AB＝2EF，∠BFC＝90°，BF＝FC，H为BC的中点.‎ ‎(1)求证：FH∥平面EDB；‎ ‎(2)求证：AC⊥平面EDB.‎ 证明　(1)设AC与BD的交点为G，连结GE，GH，‎ 如图，以H为坐标原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，‎ 令BH＝1，则A(1，－2,0)，B(1,0,0)，C(－1,0,0)，‎ D(－1，－2,0)，E(0，－1,1)，F(0,0,1)，G(0，－1,0)，‎ ‎∴＝(0,0,1), ‎ 又∵＝(0,0,1)，∴∥，‎ GE⊂平面EDB，HF⊄平面EDB，‎ ‎∴FH∥平面EDB.‎ ‎(2)∵＝(－2,2,0)，＝(0,0,1)，‎ ‎∴·＝0，‎ ‎∴AC⊥GE.‎ 又AC⊥BD，且GE⊂平面EDB，BD⊂平面EDB，GE∩BD＝G，∴AC⊥平面EDB.‎ ‎4.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M，N分别为棱A1C1和AB的中点.‎ ‎(1)求证：MN∥平面BCC1B1；‎ ‎(2)若平面ACC1A1⊥平面A1B1C1，且A1B1＝B1C1，求证：平面B1MN⊥平面ACC1A1.‎ 证明　(1)方法一　如图，设BC的中点为H，连结NH，HC1.‎ 在△ABC中，因为N为AB的中点，所以NH∥AC，且NH＝AC，‎ 在三棱柱ABC－A1B1C1中，因为AC∥A1C1，且AC＝A1C1，M为A1C1的中点，‎ 所以MC1∥AC，且MC1＝AC，‎ 所以NH∥MC1，且NH＝MC1，‎ 所以四边形MC1HN为平行四边形，所以 MN∥C1H，‎ 又MN⊄平面BCC1B1，C1H⊂平面BCC1B1，‎ 所以MN∥平面BCC1B1.‎ 方法二　如图2，在侧面ACC1A1中，连结AM并延长交直线CC1于点Q，连结BQ.在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1∥CC1，所以＝，因为M为A1C1的中点，所以M为AQ的中点.又因为N为AB中点，所以MN∥BQ，又MN⊄平面BCC1B1，BQ⊂平面BCC1B1，所以MN∥平面BCC1B1. ‎ 方法三　如图3，取A1B1的中点O，连结OM，ON. 在△A1B1C1中，因为O，M分别为A1B1，A1C1的中点，所以OM∥B1C1. 因为OM⊄平面BCC1B1，B1C1⊂平面BCC1B1，所以OM∥平面BCC1B1.在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1∥AB且A1B1＝AB，又因为O，N分别为A1B1，AB的中点，所以OB1∥NB，OB1＝NB，所以四边形OB1BN为平行四边形，所以ON∥B1B，又ON⊄平面BCC1B1，B1B⊂平面BCC1B1，所以ON∥平面BCC1B1.‎ 因为OM∥平面BCC1B1，ON∥平面BCC1B1，OM∩ON＝O，OM⊂平面OMN，ON⊂平面OMN，所以平面OMN∥平面BCC1B1，又MN⊂平面OMN，所以MN∥平面BCC1B1.‎ ‎(2)因为A1B1＝B1C1, M为A1C1的中点，所以B1M⊥A1C1，因为平面ACC1A1⊥平面A1B1C1，平面ACC1A1∩平面A1B1C1＝A1C1，B1M⊂平面A1B1C1，所以B1M⊥平面ACC1A1，又B1M⊂平面B1MN，所以平面B1MN⊥平面ACC1A1.‎ ‎5.如图，O是圆锥底面圆的圆心，圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形，C为底面圆周上一点.‎ ‎(1)若弧BC的中点为D，求证：AC∥平面POD；‎ ‎(2)如果△PAB的面积是9，求此圆锥的表面积.‎ ‎(1)证明　方法一　设BC∩OD＝E，‎ ‎∵D是弧BC的中点，‎ ‎∴E是BC的中点.‎ 又∵O是AB的中点，‎ ‎∴AC∥OE.‎ 又∵AC⊄平面POD，OE⊂平面POD，‎ ‎∴AC∥平面POD.‎ 方法二　∵AB是底面圆的直径，‎ ‎∴AC⊥BC.‎ ‎∵弧BC的中点为D，‎ ‎∴OD⊥BC.‎ 又AC，OD共面，‎ ‎∴AC∥OD.‎ 又AC⊄平面POD，OD⊂平面POD，‎ ‎∴AC∥平面POD.‎ ‎(2)解　设圆锥底面半径为r，高为h，母线长为l，‎ ‎∵圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形，‎ ‎∴h＝r，l＝r.‎ 由S△PAB＝×2r×h＝r2＝9，得r＝3，‎ ‎∴S表＝πrl＋πr2＝πr×r＋πr2＝9(1＋)π.‎ ‎6.已知四棱锥S－ABCD的底面ABCD为正方形，顶点S在底面ABCD上的射影为其中心O ‎，高为，设E，F分别为AB，SC的中点，且SE＝2，M为CD边上的点. ‎ ‎(1)求证：EF∥平面SAD；‎ ‎(2)试确定点M的位置，使得平面EFM⊥底面ABCD.‎ ‎(1)证明　取SB的中点P，连结PF，PE. ‎ ‎∵F为SC的中点，‎ ‎∴PF∥BC，又底面ABCD为正方形，‎ ‎∴BC∥AD，即PF∥AD，‎ 又PE∥SA，PE∩PF＝P，SA∩AD＝A，‎ ‎∴平面PFE∥平面SAD.‎ ‎∵EF⊂平面PFE，‎ ‎∴EF∥平面SAD.‎ ‎(2)解　连结AC，AC的中点即为点O，连结SO，‎ 由题意知SO⊥平面ABCD，‎ 取OC的中点H，连结FH，则FH∥SO，‎ ‎∴FH⊥平面ABCD，‎ ‎∴平面EFH⊥平面ABCD，连结EH并延长，‎ 则EH与DC的交点即为M点.‎ 连结OE，‎ 由题意知SO＝，SE＝2.‎ ‎∴OE＝1，AB＝2，AE＝1，‎ ‎∴＝＝，‎ ‎∴MC＝AE＝CD，‎ 即点M在CD边上靠近C点距离为的位置.‎