高考数学专题复习练习第7讲 立体几何中的向量方法(一)

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高考数学专题复习练习第7讲 立体几何中的向量方法(一)

第7讲 立体几何中的向量方法(一)‎ 一、选择题 ‎1.直线l1,l2相互垂直,则下列向量可能是这两条直线的方向向量的是(  )‎ A.s1=(1,1,2),s2=(2,-1,0)‎ B.s1=(0,1,-1),s2=(2,0,0)‎ C.s1=(1,1,1),s2=(2,2,-2)‎ D.s1=(1,-1,1),s2=(-2,2,-2)‎ 解析 两直线垂直,其方向向量垂直,只有选项B中的两个向量垂直.‎ 答案 B ‎2.已知a=,b=满足a∥b,则λ等于(  ).‎ A. B. C.- D.- 解析 由==,可知λ=.‎ 答案 B ‎3.平面α经过三点A(-1,0,1),B(1,1,2),C(2,-1,0),则下列向量中与平面α的法向量不垂直的是 (  ).‎ A. B.(6,-2,-2)‎ C.(4,2,2) D.(-1,1,4)‎ 解析 设平面α的法向量为n,则n⊥,n⊥,n⊥,所有与(或、)平行的向量或可用与线性表示的向量都与n垂直,故选D.‎ 答案 D ‎4.已知正四棱柱ABCD-A1B‎1C1D1中,AB=2,CC1=2,E为CC1的中点,则直线AC1与平面BED的距离为 (  ).‎ A.2 B. C. D.1‎ 解析 连接AC,交BD于点O,连接EO,过点O作OH⊥AC1于点H,因为AB=2,所以AC=2,又CC1=2,所以OH=sin 45°=1.‎ 答案 D ‎5.已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5, λ),若a,b,c三向量共面,则实数λ等于(  ).‎ A. B. C. D. 解析 由题意得c=ta+μb ‎=(2t-μ,-t+4μ,3t-2μ),‎ ‎∴∴.‎ 答案 D ‎6.正方体ABCD-A1B‎1C1D1的棱长为a,点M在AC1上且=,N为B1B的中点,则||为 (  ).‎ A.a B.a C.a D.a 解析 以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则A(a,0,0),C1(0,a,a),N.‎ ‎ 设M(x,y,z),‎ ‎∵点M在AC1上且=,‎ ‎∴(x-a,y,z)=(-x,a-y,a-z)‎ ‎∴x=a,y=,z=.‎ 得M,‎ ‎∴||= =a.‎ 答案 A 二、填空题 ‎7.若向量a=(1,λ,2),b=(2,-1,2)且a与b的夹角的余弦值为,则λ=________.‎ 解析 由已知得==,‎ ‎∴8=3(6-λ),解得λ=-2或λ=.‎ 答案 -2或 ‎8.在四面体PABC中,PA,PB,PC两两垂直,设PA=PB=PC=a,则点P到平面ABC的距离为________.‎ 解析 根据题意,可建立如图所示的空间直角坐标系P-xyz,则P(0,0,0),A(a,0,0),B(0,a,0),C(0,0,a).过点P作PH⊥平面ABC,交平面ABC于点H,则PH的长即为点P到平面ABC的距离.‎ ‎∵PA=PB=PC,‎ ‎∴H为△ABC的外心.‎ 又∵△ABC为正三角形,‎ ‎∴H为△ABC的重心,可得H点的坐标为.‎ ‎∴PH= =a.‎ ‎∴点P到平面ABC的距离为a.‎ 答案 a ‎9.平面α的一个法向量n=(0,1,-1),如果直线l⊥平面α,则直线l的单位方向向量是s=________.‎ 解析 直线l的方向向量平行于平面α的法向量,故直线l的单位方向向量是s=±.‎ 答案 ± ‎10.在正方体ABCD-A1B‎1C1D1中,P为正方形A1B‎1C1D1四边上的动点,O为底面正方形ABCD的中心,M,N分别为AB,BC的中点,点Q为平面ABCD内一点,线段D1Q与OP互相平分,则满足=λ的实数λ的有____________个.‎ 解析 建立如图的坐标系,设正方体的边长为2,则P(x,y,2),O(1,1,0),∴OP的中点坐标为,又知D1(0,0,2),∴Q(x+1,y+1,0),而Q在MN上,∴xQ+yQ=3,‎ ‎∴x+y=1,即点P坐标满足x+y=1.∴有2个符合题意的点P,即对应有2个λ.‎ 答案 2‎ 三、解答题 ‎11.已知:a=(x,4,1),b=(-2,y,-1),c=(3,-2,z),a∥b,b⊥c,求:‎ a,b,c.‎ 解 因为a∥b,所以==,‎ 解得x=2,y=-4,‎ 这时a=(2,4,1),b=(-2,-4,-1).‎ 又因为b⊥c,‎ 所以b·c=0,即-6+8-z=0,‎ 解得z=2,于是c=(3,-2,2). ‎ ‎12.如图所示,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=,AF=1,M是线段EF的中点.‎ 求证:(1)AM∥平面BDE;‎ ‎(2)AM⊥平面BDF.‎ 证明 (1)建立如图所示的空间直角坐标系,‎ 设AC∩BD=N,连接NE.‎ 则N,E(0,0,1),‎ A(,,0),M ‎∴=.‎ =.‎ ‎∴=且NE与AM不共线.∴NE∥AM.‎ 又∵NE⊂平面BDE,AM⊄平面BDE,‎ ‎∴AM∥平面BDE.‎ ‎(2)由(1)知=,‎ ‎∵D(,0,0),F(,,1),‎ ‎∴=(0,,1)‎ ‎∴·=0,∴AM⊥DF.‎ 同理AM⊥BF.‎ 又DF∩BF=F,∴AM⊥平面BDF.‎ ‎13.在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形,PD=DC,E、F分别是AB、PB的中点.‎ ‎(1)求证:EF⊥CD;‎ ‎(2)在平面PAD内求一点G,使GF⊥平面PCB,并证明你的结论.‎ ‎(1)证明 如图,以DA、DC、DP所在直线分别为x轴,y轴、z轴建立空间直角坐标系,设AD=a,则D(0,0,0)、A(a,0,0)、B(a,a,0)、C(0,a,0)、E、P(0,0,a)、F.‎ =,=(0,a,0).‎ ‎∵·=0,∴⊥,即EF⊥CD.‎ ‎(2)解 设G(x,0,z),则=,‎ 若使GF⊥平面PCB,则由 ·=·(a,0,0)=a=0,得x=;‎ 由·=·(0,-a,a)‎ ‎=2+a=0,‎ 得z=0.‎ ‎∴G点坐标为,即G点为AD的中点.‎ ‎14.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB=4,BC=3,AD=5,∠DAB=∠ABC=90°,E是CD的中点.‎ ‎(1)证明:CD⊥平面PAE;‎ ‎(2)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等,求四棱锥P-ABCD的体积.‎ 解 如图,以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.设PA=h,则相关各点的坐标为:A(0,0,0),B(4,0,0),C(4,3,0),D(0,5,0),E(2,4,0),‎ P(0,0,h).‎ ‎(1)易知=(-4,2,0),=(2,4,0),=(0,0,h).‎ 因为·=-8+8+0=0,·=0,所以CD⊥AE,CD⊥AP.而AP,AE是平面PAE内的两条相交直线,所以CD⊥平面PAE.‎ ‎(2)由题设和(1)知,·分别是平面PAE,平面ABCD的法向量.而PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等,所以|cos〈,〉|=|cos ‎〈,〉|,‎ 即=.‎ 由(1)知,=(-4,2,0),=(0,0,-h),‎ 又=(4,0,-h),‎ 故=.‎ 解得h=.‎ 又梯形ABCD的面积为S=×(5+3)×4=16,‎ 所以四棱锥P-ABCD的体积为V=×S×PA=×16×=.‎
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