2016年高考数学（文科）真题分类汇编E单元 不等式
数 学
E单元 不等式
E1 不等式的概念与性质
8．B6，B7，B8，E1[2016·全国卷Ⅰ] 若a>b>0，0
cb
8．B [解析] 当0b>0，所以logcaa>b>0时，有logac>logbc，所以A错误；利用y＝xc在第一象限内是增函数即可得到ac>bc，所以C错误；利用y＝cx在R上为减函数可得ca0，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”的( )
A．充要条件
B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件
D．既不充分也不必要条件
5．C [解析] 由x>|y|可得－x|y|可得x>y，必要性成立；当x＝1，y＝－3时，x>y成立，x>|y|不成立，即充分性不成立．
1．E2[2016·上海卷] 设x∈R，则不等式|x－3|<1的解集为________．
1．(2，4) [解析] 由题意得－10，b>0.若关于x，y的方程组无解，则a＋b的取值范围是________．
13．(2，＋∞) [解析] 将方程组中的第一个方程化为y＝1－ax，代入第二个方程整理得(1－ab)x＝1－b，由方程组无解得1－ab＝0且1－b≠0，所以ab＝1且b≠1.由基本不等式得a＋b>2＝2，故a＋b的取值范围是(2，＋∞)．
14．C8、E6[2016·江苏卷] 在锐角三角形ABC中，若sin A＝2sin Bsin C，则tan Atan Btan C的最小值是________．
14．8 [解析] 方法一：∵sin A＝2sin Bsin C，sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C，∴sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bsin C，
两边同除以cos Bcos C，可得tan B＋tan C＝2tan Btan C，
tan Atan Btan C＝－tan(B＋C)tan Btan C＝－·tan Btan C＝，
由三角形为锐角三角形得tan B>0，tan C>0，tan A＝>0，即tan Btan C－1>0.令tan Btan C－1＝t(t>0)，则tan Atan Btan C＝＝2t＋＋2≥8，
当t＝1，即tan Btan C＝2时取等号．
方法二：同方法一可得tan B＋tan C＝2tan Btan C，
又tan A＋tan B＋tan C＝tan A＋(1－tan Btan C)·tan(B＋C)＝tan A－tan A＋tan Atan Btan C＝tan Atan Btan C，
所以tan Atan Btan C＝tan A＋tan B＋tan C＝tan A＋2tan Btan C≥2⇒tan Atan Btan C≥8，
当且仅当tan A＝2tan Btan C＝4时取等号．
E7 不等式的证明方法
E8 不等式的综合应用
21．B11，B12，E8[2016·四川卷] 设函数f(x)＝ax2－a－ln x，g(x)＝－，其中a∈R，e＝2.718…为自然对数的底数．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)证明：当x>1时，g(x)>0；
(3)确定a的所有可能取值，使得f(x)>g(x)在区间(1，＋∞)内恒成立．
21．解：(1)f′(x)＝2ax－＝(x>0)．
当a≤0时，f′(x)<0，f(x)在(0，＋∞)内单调递减．
当a>0时，由f′(x)＝0，有x＝.
当x∈（0，）时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x∈（，＋∞）时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
(2)证明：令s(x)＝ex－1－x，则s′(x)＝ex－1－1.
当x>1时，s′(x)>0，所以ex－1>x，从而g(x)＝－>0.
(3)由(2)知，当x>1时，g(x)>0.
当a≤0，x>1时，f(x)＝a(x2－1)－ln x<0，
故当f(x)>g(x)在区间(1，＋∞)内恒成立时，必有a>0.
当01.
由(1)有f（）0，
所以此时f(x)>g(x)在区间(1，＋∞)内不恒成立．
当a≥时，令h(x)＝f(x)－g(x)(x≥1)．
当x>1时，h′(x)＝2ax－＋－e1－x>x－＋－＝>>0.
因此，h(x)在区间(1，＋∞)单调递增．
又因为h(1)＝0，所以当x>1时，h(x)＝f(x)－g(x)>0，即f(x)>g(x)恒成立．
综上，a∈[，＋∞）.
E9 单元综合
1．[2016·河北“五个一联盟”质检]若对任意正实数x，不等式≤恒成立，则实数a的最小值为 ( )
A．1 B.
C. D.
1．C [解析] 由题意得a≥恒成立，由于＝≤(当且仅当x＝1时取等号)，故的最大值为，所以a≥，即实数a的最小值为.
2．[2016·江西三校联考]若关于x，y的不等式组表示的平面区域是等腰直
角三角形区域，则其表示的区域面积为( )
A．1或 B.或 C．1或 D.或
2．D [解析] 作出不等式组表示的平面区域，如图所示，直线kx－y＋1＝0过定点A(0，1)．当直线kx－y＋1＝0与y轴垂直时，围成的区域符合条件，区域面积为S△ABO＝；当直线kx－y＋1＝0与直线x＋y＝0垂直时，围成的区域也符合条件，区域面积为S△ACO＝.
6．[2016·西安一中模拟]某长方体的三视图如图K326，长度为的体对角线在正视图中的投影长度为，在侧视图中的投影长度为，则该长方体的全面积为( )
A．3 ＋2 B．6 ＋4
C．6 D．10
图K326
6．B [解析] 设长方体的长、宽、高分别是x，y，z，则解得所以该长方体的全面积为S＝2(xy＋yz＋zx)＝2×(2＋2＋)＝6＋4.
