历届高考数学真题汇编专题19_坐标系与参数方程_理

历届高考数学真题汇编专题19_坐标系与参数方程_理

【2012 年高考试题】 1.【2012 高考真题新课标理 23】本小题满分 10 分)选修 4—4；坐标系与参数方程 已知曲线 1C 的参数方程是 )(3siny 2cosx 为参数       ，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴 为极轴建立坐标系，曲线 2C 的坐标系方程是 2 ，正方形 ABCD 的顶点都在 2C 上， 且 , , ,A B C D 依逆时针次序排列，点 A 的极坐标为 (2, )3  （1）求点 , , ,A B C D 的直角坐标； （2）设 P 为 1C 上任意一点，求 2 2 2 2PA PB PC PD   的取值范围. 2.【2012 高考真题陕西理 15】（坐标系与参数方程）直线 2 cos 1   与圆 2cos  相交的 弦长为 . 3.【2012 高考真题湖南理 9】 在直角坐标系 xOy 中，已知曲线 1C ： 1, 1 2 x t y t      (t 为参数) 与曲线 2C ： sin , 3cos x a y      ( 为参数， 0a  ) 有一个公共点在 X 轴上，则 __a  . 4.【2012 高考真题上海理 10】如图，在极坐标系中，过点 )0,2(M 的直线l 与极轴的夹角 6   ， 若将l 的极坐标方程写成 )( f 的形式，则 )(f 。 5.【2012 高考真题江西理 15】（1）（坐标系与参数方程选做题）曲线 C 的直角坐标方程为 x2 ＋y2-2x=0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立积坐标系，则曲线 C 的极坐标方程为 ___________。 6.【2012 高考真题辽宁理 23】(本小题满分 10 分)选修 4 4：坐标系与参数方程 在直角坐标 xOy 中，圆 2 2 1 : 4C x y  ，圆 2 2 2 :( 2) 4C x y   。 (Ⅰ)在以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆 1 2,C C 的极坐标方程， 并求出圆 1 2,C C 的交点坐标(用极坐标表示)； (Ⅱ)求出 1 2C C与 的公共弦的参数方程。 【答案】 7.【2012 高考真题湖北理 16】（选修 4-4：坐标系与参数方程） 在直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知射线 π 4   与曲线 2 1, ( 1) x t y t      （t 为参数） 相交于 A，B 两点，则线段 AB 的中点的直角坐标为 . 8.【2012 高考真题安徽理 13】在极坐标系中，圆 4sin  的圆心到直线 ( )6 R   的 距离是 _____ 9.【2012 高考真题天津理 12】已知抛物线的参数方程为      pty ptx 2 ,2 2 （t 为参数）,其中 p>0， 焦点为 F，准线为l . 过抛物线上一点 M 作l 的垂线，垂足为 E. 若|EF|=|MF|，点 M 的横坐标 是 3，则 p = _________. 【答案】2 【解析】消去参数t 得抛物线方程为 pxy 22  ，准线方程为 2 px  ，因 M 为抛物线上一点， 所 以 有 MEMF  , 又 EFMF  , 所 以 三 角 形 MEF 为 等 边 三 角 形 ， 则 23)2(32 pppMFEF  ，解得 2p 。 10.【2012 高考江苏 23】[选修 4 - 4：坐标系与参数方程] （10 分）在极坐标中，已知圆C 经 过点  2 4P ， ，圆心为直线 3sin 3 2         与极轴的交点，求圆 C 的极坐标方程． 【2011 年高考试题】 一、选择题: 1. (2011 年高考安徽卷理科 5)在极坐标系中，点 ( , )  到圆 2cos  的圆心的距离为 （A）2 (B) 2 4 9  (C) 2 1 9  （D) 3 二、填空题: 1．(2011 年高考天津卷理科 11)已知抛物线 C 的参数方程为 28 , 8 . x t y t     （t 为参数），若斜率为 1 的直线经过抛物线C 的的焦点，且与圆 2 2 24 ( 0)x y r r    相切，则 r =_____ 【答案】 2 【解析】由题意知抛物线的方程为 2 8y x ,因为相切,所以容易得出结果. 2. (2011 年高考江西卷理科 15)（坐标系与参数方程选做题）若曲线的极坐标方程为 =2sin 4cos ,   ,以极点为原点，极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐 标方程为 4. (2011 年高考广东卷理科 14)（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为 5 cos (0 ) sin x y        ≤ ＜ 和 25 ( )4x t t R y t      ，它们的交点坐标为 . 【解析】 )55 2,1(        sin cos5 y x （0≤ ) 消去参数后的普通方程为 )10,55(15 2 2  yxyx ，      ty tx 2 4 5 消去参数后的普通方程为 xy 5 42  联立 两个曲线的普通方程得 ,1(5  xx 舍）或 55 2y所以 ,所以它们的交点坐标为 ).55 2,1( 5. (2011 年高考湖北卷理科 14)如图，直角坐标系 x Oy 所在的平面为 ，直角坐标系 ' 'x oy Oy (其中 'y 轴与 y 轴重合)所在平面为  ， ' 45xox   . (Ⅰ)已知平面内有一点 (2 2,2)P ，则点 'P 在平面 内的射影 P 的坐标为 ； (Ⅱ)已知平面  内的曲线 'C 的方程是 2 2( ' 2) 2 ' 2 0x y    ，则曲线 'C 在平面 内的射影 C 的方程是 . 6.(2011 年高考陕西卷理科 15)（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系 xoy 中，以原点为极 点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点 A，B 分别在曲线 1 3 cos: 4 sin xC y        ( 为参 数）和曲线 2 : 1C   上，则 AB 的最小值为 7．(2011 年高考上海卷理科 5)在极坐标系中，直线 (2cos sin ) 2    与直线 cos 1   的 夹角大小为 。 【答案】 2 5arccos 5 三、解答题: 1.(2011 年高考辽宁卷理科 23)（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系统与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 cos , sin , x y      （ 为参数）曲线 C2 的参数方程 为 cos , sin , x a y b      （ 0a b  ， 为参数）在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中， 射线 l：θ= 与 C1，C2 各有一个交点.当 =0 时，这两个交点间的距离为 2，当 = 2 π时，这 两个交点重合. （I）分别说明 C1，C2 是什么曲线，并求出 a 与 b 的值； (II)设当 = 4 π时，l 与 C1，C2 的交点分别为 A1，B1,当 =- 4 π时，l 与 C1， C2 的交点为 A2，B2，求四边形 A1A2B2B1 的面积. 2. (2011 年高考全国新课标卷理科 23) （本小题满分 10 分）选修 4-4 坐标系与参数方程在 直角坐标系中，曲线 1C 的参数方程为        sin22 cos2 y x ，( 为参数) M 是曲线 1C 上的动点，点 P 满足 OMOP 2 ，（1）求点 P 的轨迹方程 2C ；（2）在以 D 为极 点，X 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 3   与曲线 1C ， 2C 交于不同于原点的点 A,B 求 AB 3.(2011 年高考江苏卷 21)选修 4-4：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，求过椭圆 5cos 3sin x y      （ 为参数）的右焦点且与直线 4 2 3 x t y t      （t 为参数）平行的直线的普通方程。 4.(2011 年高考福建卷理科 21)（本小题满分 7 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在直接坐标系 xOy 中，直线 l 的方程为 x-y+4=0，曲线 C 的参数方程为 x 3cos y sin       （ 为参数）． （I）已知在极坐标（与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴 正半轴为极轴）中，点 P 的极坐标为（4， 2 π ），判断点 P 与直线 l 的位置关系； （II）设点 Q 是曲线 C 上的一个动点，求它到直线 l 的距离的最小值． 【2010 年高考试题】 一、选择题: 1．（2010 年高考安徽卷理科 7）设曲线C 的参数方程为 2 3cos 1 3sin x y         （ 为参数），直线l 的方程为 3 2 0x y   ，则曲线C 上到直线l 距离为 7 10 10 的点的个数为 A、1 B、2 C、3 D、4 7.B 【解析】化曲线 C 的参数方程为普通方程： 2 2( 2) ( 1) 9x y    ，圆心 (2, 1) 到直线 3 2 0x y   的距离 | 2 3 ( 1) 2 | 7 10 31010 d       ，直线和圆相交，过圆心和l 平行的 直线和圆的 2 个交点符合要求，又 7 10 7 10310 10   ，在直线l 的另外一侧没有圆上的点符合 要求，所以选 B.[ 2. (2010 年 高 考 湖 南 卷 理 科 3) 4．（2010 年高考北京卷理科 5）极坐标方程（p-1）（  ）=（p  0）表示的图形是 （A）两个圆 （B）两条直线 （C）一个圆和一条射线 （D）一条直线和一条射线 【答案】C 解析：原方程等价于 1  或  ，前者是半径为 1 的圆，后者是一条射线。 5（2010 年高考上海市理科 16）直线 l 的参数方程是 x=1+2t ( )y=2-t t R   ，则 l 的方向向量是 d 可以是 【答】（C） (A)(1,2) (B)(2,1) (C)(-2,1) (D)(1,-2) 【答案】C 6. (2010 年 高 考 重 庆 市 理 科 8) 直 线 3 23y x  与 圆 心 为 D 的 圆 3 3 cos ,( [0,2 )) 1 3sin x y           交于 A、B 两点，则直线 AD 与 BD 的倾斜角之和为 （A） 7 6 π （B） 5 4 π （C） 4 3 π （D） 5 3 π 二、填空题： 1.(2010 年高考天津卷理科 13)已知圆 C 的圆心是直线 1 t t       （t 为参数）与  轴的交点， 且圆 C 与直线 3 0    相切。则圆 C 的方程为 。 【答案】 2 2( 1) 2x y   【解析】令 y=0 得 t=-1，所以直线 1 t t       （t 为参数）与  轴的交点为（-1，0），因为直 线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即 | 1 0 3| 2 2 r     ，故圆 C 的方程为 2 2( 1) 2x y   。 【命题意图】本题考查直线的参数方程、圆的方程、直线与圆的位置关系等基础知识。 2．（2010 年高考广东卷理科 15）（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系（ρ，θ） （0 ≤ θ<2π）中，曲线ρ= 2sin 与 cos 1p    的交点的极坐标为______． 3．（2010 年高考陕西卷理科 15）( 坐标系与参数方程选做题) 已知圆 C 的参数方程        sin1 cos y x ( 为参数)，以原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标 方程为 1sin  ,则直线l 与圆C 的交点的直角坐标为 ____________ . 三、解答题： 1．（2010 年高考福建卷理科 21）（本小题满分 7 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xoy 中，直线l 的参数方程为 23 ,2 25 2 x t y t       （t 为参数）。在极坐标系（与直 角坐标系 xoy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴）中，圆 C 的方 程为 2 5 sin  。 （Ⅰ）求圆 C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆 C 与直线l 交于点 A、B，若点 P 的坐标为 (3, 5) ， 求|PA|+|PB|。 【命题意图】本小题主要考查直线的参数方程、圆的极坐标方程、直线与圆的位置关系等基 础知识，考查运算求解能力。 【解析】（Ⅰ）由 2 5 sin  得 2 2 2 5 0,x y y   即 2 2( 5) 5.x y   2．（2010 年高考江苏卷试题 21）选修 4-4：坐标系与参数方程 （本小题满分 10 分） 在极坐标系中，已知圆ρ=2cosθ与直线 3ρcosθ+4ρsinθ+a=0 相切，求实数 a 的值。 3. (2010 年全国高考宁夏卷 23）（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 已知直线 C1 x 1 t cos siny t       （t 为参数），C2 x cos siny      （ 为参数）， （Ⅰ）当 = 3  时，求 C1 与 C2 的交点坐标； （Ⅱ）过坐标原点 O 做 C1 的垂线，垂足为 ，P 为 OA 中点，当 变化时，求 P 点的轨迹的参 数方程，并指出它是什么曲线。 (23)解： （Ⅰ）当 3   时， 1C 的普通方程为 3( 1)y x  ， 2C 的普通方程为 2 2 1x y  。联立方 程组 2 2 3( 1) 1 y x x y      ，解得 1C 与 2C 的交点为（1,0） 1 3 2 2      ， 。 （Ⅱ） 1C 的普通方程为 sin cos sin 0x y     。 A 点坐标为 2sin cos sin   ， 4．（2010 年高考辽宁卷理科 23）（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 已知 P 为半圆 C： （ 为参数，  0 ）上的点，点 A 的坐标为（1,0）， O 为坐标原点，点 M 在射线 OP 上，线段 OM 与 C 的弧 的长度均为 3  。 （I）以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点 M 的极坐标； （II）求直线 AM 的参数方程。 【2009 年高考试题】 3．（ 2009 广 东 卷 理 ）（坐标系与参数方程选做题）若直线      .2 ,21:1 kty txl （t 为参数）与直 线 2 ,: 1 2 . x sl y s     （ s 为参数）垂直，则 k  ． 【解析】 1)2(2  k ，得 1k . （ 2009 福 建 卷 ） 21、本题（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题 7 分，请考生任选 2 题作 答，满分 14 分，如果多做，则按所做的前两题计分。作答时，先用 2B 铅笔在答题卡上把所 选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中， （2）（本小题满分 7 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 已知直线 l:3x+4y-12=0 与圆 C: 1 2cos 2 2sin x y         ( 为参数 )试判断他们的公共点个数 21. (2)解:圆的方程可化为 2 2( 1) ( 2) 4x y    . 其圆心为 ( 1,2)C  ,半径为 2. 13．（广东）若直线 1 1 2 ,: ( )2 . x tl ty kt      为参数 与直线 2 ,: 1 2 . x sl y s     （ s 为参数）垂直，则 k  ． 13.【解析】 1)2(2  k ，得 1k . 4.（2009 宁夏、海南）（本小题满分 10 分）选修 4—4：坐标系与参数方程。 已知曲线 C 1 ： 4 cos , 3 sin , x t y t       （t 为参数）， C 2 ： 8cos , 3sin , x y      （ 为参数）。 （1）化 C1 ，C 2 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）若 C 1 上的点 P 对应的参数为 2t  ，Q 为 C 2 上的动点，求 PQ 中点 M 到直线 3 3 2 ,: 2 x tC y t       （t 为参数）距离的最小值。w.w.w..c.o.m （23）解： （Ⅰ） 2 2 2 2 1 2:( 4) ( 3) 1, : 1.64 9 x yC x y C      1C 为圆心是（ 4,3) ，半径是 1 的圆. 2C 为中心是坐标原点，焦点在 x 轴上，长半轴长是 8，短半轴长是 3 的椭圆. 【2008 年高考试题】 13 ．（ 广 东 ） 已 知 曲 线 1 2C C， 的 极 坐 标 方 程 分 别 为 cos 3   ， π4cos 0 0 2         ，≥ ≤ ，则曲线 1C 与 2C 交点的极坐标为 ． 【解析】我们通过联立解方程组 cos 3( 0,0 )4cos 2           解得 2 3 6      ,即两曲线的交点 为 (2 3, )6  。 23．（宁夏、海南）选修 4－4；坐标系与参数方程 已知曲线 C1： cos sin x y      ， （ 为参数），曲线 C2： 2 22 2 2 x t y      ， （t 为参数）． （Ⅰ）指出 C1，C2 各是什么曲线，并说明 C1 与 C2 公共点的个数； （Ⅱ）若把 C1，C2 上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线 1 2C C ， ．写出 1 2C C ， 的参数方程． 1C 与 2C  公共点的个数和 C 21 C与 公共点的个数是否相同？说明你的理由． 解：（Ⅰ） 1C 是圆， 2C 是直线． 1C 的普通方程为 2 2 1x y  ，圆心 1(0 0)C ， ，半径 1r  ． 2C 的普通方程为 2 0x y   ． 因为圆心 1C 到直线 2 0x y   的距离为1， 所以 2C 与 1C 只有一个公共点． 3．（江苏）选修 4—4 参数方程与极坐标 在平面直角坐标系 xOy 中，点 ( )P x y， 是椭圆 2 2 13 x y  上的一个动点，求 S x y  的最 大值．