历届高考数学真题汇编专题12_概率_理(2)

历届高考数学真题汇编专题12_概率_理(2)

‎【2012年高考试题】‎ ‎1.【2012高考真题辽宁理10】在长为‎12cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，领边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于‎32cm2的概率为 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎2.【2012高考真题湖北理8】如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆. 在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是 A． B．‎ C． D．‎ ‎3.【2012高考真题广东理7】从个位数与十位数之和为奇数的两位数种任取一个，其个位数为0的概率是 A. B. C. D.‎ 法二：设个位数与十位数分别为，则，1,2,3,4,5,6,7,8,9，所以分别为一奇一偶，第一类为奇数，为偶数共有个数；第二类为偶数，为奇数共有个数。两类共有45个数，其中个位是0，十位数是奇数的两位有10,30,50,70,90这5个数，所以其中个位数是0的概率是，选D。‎ ‎4.【2012高考真题福建理6】如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为 A. B. C. D. ‎ ‎5.【2012高考真题北京理2】设不等式组，表示平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎ ‎ ‎【答案】D ‎ ‎ ‎6.【2012高考真题上海理11】三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 （结果用最简分数表示）。‎ ‎7.【2012高考真题新课标理15】某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布，且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 ‎ ‎【答案】‎ ‎8.【2012高考江苏6】（5分）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 ▲ ．‎ ‎9.【2012高考真题四川理17】(本小题满分12分) ‎ ‎ 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）和，系统和 在任意时刻发生故障的概率分别为和。‎ ‎（Ⅰ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求的值；‎ ‎（Ⅱ）设系统在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量，求的概率分布列及数学期望。‎ ‎【答案】本题主要考查独立事件的概率公式、离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查实际问题的数学建模能力，数据的分析处理能力和基本运算能力.‎ ‎【解析】‎ ‎10．【2012高考真题湖北理】（本小题满分12分）‎ 根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X（单位：mm）对工期的影响如下表：‎ 降水量X 工期延误天数 ‎0‎ ‎2‎ ‎6‎ ‎10‎ 历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9. 求：‎ ‎（Ⅰ）工期延误天数的均值与方差； ‎ ‎（Ⅱ）在降水量X至少是的条件下，工期延误不超过6天的概率. ‎ ‎【答案】（Ⅰ）由已知条件和概率的加法公式有：‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎.‎ 所以的分布列为：‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎6‎ ‎10‎ ‎0.3‎ ‎0.4‎ ‎0.2‎ ‎0.1‎ ‎ ‎ 于是，；‎ ‎.‎ ‎ 故工期延误天数的均值为3，方差为. ‎ ‎11.【2012高考江苏25】（10分）设为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，；当两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，．‎ ‎ （1）求概率；‎ ‎ （2）求的分布列，并求其数学期望．‎ ‎ ∴随机变量的分布列是：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎ ∴其数学期望。 ‎ ‎ ‎ ‎12.【2012高考真题广东理17】（本小题满分13分）某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：[40,50][50,60][60,70][70,80][80,90][90,100]．‎ ‎（1）求图中x的值；‎ ‎（2）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为，求得数学期望．‎ ‎【答案】本题是在概率与统计的交汇处命题，考查了用样本估计总体等统计知识以及离散型随机变量的分布列及期望，考查学生应用数学知识解决实际问题的能力，难度中等。‎ ‎【解析】‎ ‎14.【2012高考真题浙江理19】(本小题满分14分)已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球的2分，取出一个黑球的1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X为取出3球所得分数之和．‎ ‎(Ⅰ)求X的分布列；‎ ‎(Ⅱ)求X的数学期望E(X)．‎ ‎【答案】本题主要考察分布列，数学期望等知识点。‎ ‎(Ⅰ) X的可能取值有：3，4，5，6．‎ ‎ ； ；‎ ‎； ．‎ 故，所求X的分布列为 X ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ P ‎ (Ⅱ) 所求X的数学期望E(X)为：‎ E(X)＝．‎ ‎15.【2012高考真题重庆理17】（本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分.）‎ 甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一票.约定甲先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响.‎ ‎（Ⅰ） 求甲获胜的概率；‎ ‎（Ⅱ）求投篮结束时甲的投篮次数的分布列与期望 ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎16.【2012高考真题江西理29】（本题满分12分）‎ 如图，从A1（1,0,0），A2（2,0,0），B1（0，2，0），B2（0,2,0），C1（0,0,1），C2（0,0,2）这6个点中随机选取3个点，将这3个点及原点O两两相连构成一个“立体”，记该“立体”的体积为随机变量V（如果选取的3个点与原点在同一个平面内，此时“立体”的体积V=0）。‎ ‎（1）求V=0的概率；‎ ‎(2)求V的分布列及数学期望。‎ ‎【答案】‎ ‎17.【2012高考真题湖南理17】本小题满分12分）‎ 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.‎ 一次购物量 ‎1至4件 ‎5至8件 ‎9至12件 ‎13至16件 ‎17件及以上 顾客数（人）‎ ‎30‎ ‎25‎ ‎10‎ 结算时间（分钟/人）‎ ‎1‎ ‎1.5‎ ‎2‎ ‎2.5‎ ‎3‎ 已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％.‎ ‎（Ⅰ）确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；‎ ‎（Ⅱ）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率.‎ ‎（注：将频率视为概率）‎ ‎【解析】（1）由已知,得所以 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所以收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量随机样本，将频率视为概率得 ‎ ‎ ‎ ‎ 的分布为 ‎ X ‎1‎ ‎1.5‎ ‎2‎ ‎2.5‎ ‎3‎ P X的数学期望为 ‎ .‎ ‎18.【2012高考真题安徽理17】（本小题满分12分）‎ 某单位招聘面试，每次从试题库随机调用一道试题，若调用的是类型试题，则使用后该试题回库，并增补一道类试题和一道类型试题入库，此次调题工作结束；若调用的是 类型试题，则使用后该试题回库，此次调题工作结束。试题库中现共有道试题，其中有道类型试题和道类型试题，以表示两次调题工作完成后，试题库中类试题的数量。‎ ‎（Ⅰ）求的概率；‎ ‎（Ⅱ）设，求的分布列和均值（数学期望）。‎ ‎【答案】本题考查基本事件概率、条件概率，离散型随机变量及其分布列，均值等基础知识，考查分类讨论思想和应用于创新意识。‎ ‎【解析】（I）表示两次调题均为类型试题，概率为 ‎（Ⅱ）时，每次调用的是类型试题的概率为，‎ 随机变量可取 ‎，，‎ ‎。‎ 答：（Ⅰ）的概率为，‎ ‎ （Ⅱ）求的均值为。‎ ‎19.【2012高考真题新课标理18】（本小题满分12分）‎ 某花店每天以每枝元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝元的价格出售，‎ 如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理.‎ ‎（1）若花店一天购进枝玫瑰花，求当天的利润(单位：元)关于当天需求量 ‎（单位：枝，）的函数解析式. ‎ ‎（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：‎ 以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.‎ ‎（i）若花店一天购进枝玫瑰花，表示当天的利润（单位：元），求的分布列，‎ 数学期望及方差；‎ ‎（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？‎ 请说明理由.‎ ‎ （2）（i）可取，，‎ ‎ ‎ ‎ 的分布列为 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎22.【2012高考真题北京理17】（本小题共13分）‎ 近年来，某市为了促进生活垃圾的风分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应分垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：‎ ‎“厨余垃圾”箱 ‎“可回收物”箱 ‎“其他垃圾”箱 厨余垃圾 ‎400‎ ‎100‎ ‎100‎ 可回收物 ‎30‎ ‎240‎ ‎30‎ ‎20‎ ‎20‎ ‎60‎ 其他垃圾 ‎（Ⅰ）试估计厨余垃圾投放正确的概率；‎ ‎（Ⅱ）试估计生活垃圾投放错误额概率；‎ ‎（Ⅲ）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为其中a＞0，=600。当数据的方差最大时，写出的值（结论不要求证明），并求此时的值。‎ ‎（注：，其中为数据的平均数）‎ 解：（1）由题意可知：。‎ ‎（2）由题意可知：。‎ ‎（3）由题意可知：，因此有当，，时，有．‎ ‎24.【2012高考真题天津理16】（本小题满分13分）‎ 现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏.‎ ‎（Ⅰ）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；‎ ‎（Ⅱ）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；‎ 用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记，求随机变量的分布列与数学期望.‎ ‎【答案】‎ ‎【2011年高考试题】‎ 一、选择题:‎ ‎1.(2011年高考浙江卷理科9)有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本.若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率]‎ ‎（A） （B） （C） （D ） ‎ 解析：因为甲乙两位同学参加同一个小组有3种方法，两位同学个参加一个小组共有种方法；所以，甲乙两位同学参加同一个小组的概率为 点评：本题考查排列组合、概率的概念及其运算和分析问题、解决问题的能力。‎ ‎4. (2011年高考广东卷理科6)甲、乙两队进行排球决赛．现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军.若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为（ ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】D.由题得甲队获得冠军有两种情况，第一局胜或第一局输第二局胜，所以甲队获得冠军的概率所以选D.‎ ‎5．(2011年高考湖北卷理科7)如图，用K、A1、A2三类不同的元件连成一个系统.当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知K、A1、A2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为 A.0.960 B.‎0.864 ‎C.0.720 D.0.576‎ 答案：B ‎ 解析：系统正常工作概率为，所以选B.‎ ‎6．(2011年高考陕西卷理科10)甲乙两人一起去“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是 ‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎7. (2011年高考四川卷理科12)在集合中任取一个偶数和一个奇数构成以原点为起点的向量a=（a,b）.从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形.记所有作成的平行四边形的个数为，其中面积不超过的平行四边形的个数为，则( )‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎8．(2011年高考福建卷理科4)如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于 ‎ A． B． ‎ ‎ C． D．‎ ‎【答案】C 二、填空题:‎ ‎1.(2011年高考浙江卷理科15)某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率为，且三个公司是否让其面试是相互独立的。记为该毕业生得到面试得公司个数。若，则随机变量的数学期望 ‎ ‎2. (2011年高考江西卷理科12)小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书，则小波周末不在家看书的概率为 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】小波周末不在家看书包含两种情况:一是去看电影;二是去打篮球;所以小波周末不在家看书的概率为.‎ ‎3. (2011年高考湖南卷理科15)如图4，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆内接正方形.将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE（阴影部分）内”，则（1） ;（2） .‎ 答案：; ‎ 解析：（1）是几何概型：；（2）是条件概率：.‎ 评析：本小题主要考查几何概型与条件概率的计算.‎ ‎4. (2011年高考湖北卷理科12)在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期，从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过保质期的概率为 （结果用最简分数表示）‎ 答案： ‎ 解析：因为30瓶饮料中未过期饮料有30-3=27瓶，故其概率为.‎ ‎5.(2011年高考重庆卷理科13)将一枚均匀的硬币投掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为 ‎ ‎6.(2011年高考安徽卷江苏5)从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是______‎ ‎7．(2011年高考福建卷理科13)盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个。若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于_______。‎ ‎【答案】‎ ‎8．(2011年高考上海卷理科9)马老师从课本上抄录一个随机变量的概率分布律如下表 请小牛同学计算的数学期望，尽管“！”处无法完全看清，且两个“？”处字迹模糊，但能肯 定这两个“？”处的数值相同。据此，小牛给出了正确答案 。‎ ‎【答案】‎ ‎9．(2011年高考上海卷理科12)随机抽取9个同学中，至少有2个同学在同一月出生的概率是 ‎ （默认每月天数相同，结果精确到）。‎ ‎【答案】‎ 三、解答题:‎ ‎1. (2011年高考山东卷理科18)（本小题满分12分）‎ 红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A，乙对B，丙对C各一盘，已知甲胜A，乙胜B，丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立。‎ ‎（Ⅰ）求红队至少两名队员获胜的概率；‎ ‎（Ⅱ）用表示红队队员获胜的总盘数，求的分布列和数学期望.‎ ‎【解析】（Ⅰ）红队至少两名队员获胜的概率为=0.55.‎ ‎（Ⅱ）取的可能结果为0,1,2,3,则 ‎=0.1;‎ ‎++=0.35;‎ ‎=0.4;‎ ‎=0.15.‎ 所以的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎0.1‎ ‎0.35‎ ‎0.4‎ ‎0.15‎ 数学期望=0×0.1+1×0.35+2×0.4+3×0.15=1.6.‎ ‎2. (2011年高考辽宁卷理科19)（本小题满分12分）‎ ‎ 某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种甲和品种乙）进行田间试验.选取两大块地，每大块地分成n小块地，在总共2n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙.‎ ‎ （I）假设n=4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X，求X的分布列和数学期望；‎ ‎ （II）试验时每大块地分成8小块，即n=8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位：kg/hm2）如下表：‎ 分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？‎ 附：样本数据x1，x2，…，xa的样本方差，其中为样本平均数.‎ 即X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P X的数学期望是：‎ ‎.‎ ‎3.(2011年高考安徽卷理科20)（本小题满分13分）‎ 工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟，如果有一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人。现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别，假设互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立.‎ ‎（Ⅰ）如果按甲在先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率。若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？‎ ‎（Ⅱ）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为，其中是的一个排列，求所需派出人员数目的分布列和均值（数字期望）；‎ ‎（Ⅲ）假定，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值（数字期望）达到最小。‎ ‎【命题意图】：‎ 本题考查相互独立事件的概率计算，考查离散型随机变量及其分布列，均值等基本知识，考查在复杂情境下处理问题的能力以及抽象概括能力、合情推理与演绎推理，分类讨论思想，应用意识与创新意识。‎ ‎【解析】：（Ⅰ）无论怎样的顺序派出人员，任务不能被完成的概率都是，所以任务能被完成的概率为=‎ ‎（Ⅱ）当依次派出的三个人各自完成任务的概率分别为时，所需派出人员数目的分布列为 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 所需派出人员数目的均值（数字期望）是 ‎，若交换前两人的顺序，则变为，由此可见，当时，交换前两人的顺序可减少所需派出人员的数目的均值。‎ ‎4. (2011年高考全国新课标卷理科19)（本小题满分12分）‎ 某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测试了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果： A配方的频数分布表 指标值分组 频数 ‎8‎ ‎20‎ ‎42‎ ‎22‎ ‎8‎ ‎ B配方的频数分布表 指标值分组 频数 ‎4‎ ‎12‎ ‎42‎ ‎32‎ ‎8‎ ‎（Ⅰ）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；‎ ‎（Ⅱ）已知用B配方生成的一件产品的利润y(单位：元)与其质量指标值t的关系式为 ‎ 从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望.（以实验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）‎ ‎5. (2011年高考天津卷理科16)（本小题满分13分）‎ 学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖.（每次游戏结束后将球放回原箱）‎ ‎（Ⅰ）求在一次游戏中，（i）摸出3个白球的概率；（ii）获奖的概率；‎ ‎（Ⅱ）求在两次游戏中获奖次数的分布列及数学期望.‎ ‎【解析】本小题主要考查古典概型及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、互斥事件和相互独立事件等基础知识,考查运用概率知识解决简单的实际问题的能力.‎ ‎（Ⅰ）（i）设“在一次游戏中摸出i个白球”为事件,则 ‎.‎ ‎（ii）设“在一次游戏中获奖”为事件B,则B=,又 ‎,且互斥,所以.‎ ‎（Ⅱ）由题意可知的所有可能取值为0,1,,2,‎ P(=0)=,‎ P(=1)=,‎ P(=2) =,‎ 所以的分布列是 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P 的数学期望=+=.‎ ‎6．(2011年高考江西卷理科16)（本小题满分12分）‎ 某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4‎ 杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料．若4杯都选对，则月工资定为3500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2800元，否则月工资定为2100元，令X表示此人选对A饮料的杯数，假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．‎ ‎ （1）求X的分布列；‎ ‎ （2）求此员工月工资的期望．‎ 解析：（1）X的所有可能取值为0，1，2，3，4，‎ 则，所以所求的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎（2）设Y表示该员工的月工资，则Y的所有可能取值为3500，2800，2100，‎ 相对的概率分别为，，，‎ 所以．‎ 所以此员工工资的期望为2280元．‎ 本题考查排列、组合的基础知识及概率分布、数学期望．‎ ‎7. (2011年高考湖南卷理科18)（本小题满分12分）某商店试销某种商品20天，获得如下数据：‎ 日销售量（件）‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 频数 ‎1‎ ‎5‎ ‎9‎ ‎5‎ 试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变）.设某天开始营业时由该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货.将频率视为概率.‎ 求当天商店不进货的概率；‎ 记为第二天开始营业时该商品视为件数，求的分布列和数学期望.‎ 由题意知，的可能取值为2，3.‎ ‎+‎ ‎+‎ 故的分布列为 所以的数学期望为.‎ 评析：本大题主要考查生活中的概率统计知识和方法.求离散型随机变量的分布列和数学期望的方法，以及互斥事件概率的求法.‎ ‎8. (2011年高考广东卷理科17)（本小题满分13分）‎ 为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素x，y的含量（单位：毫克）.下表是乙厂的5件产品的测量数据：‎ ‎（1）已知甲厂生产的产品共98件，求乙厂生产的产品数量；‎ ‎（2）当产品中的微量元素x，y满足≥175且y≥75，该产品为优等品，用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；‎ ‎（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随即抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数的分布列及其均值（即数学期望）.‎ ‎【解析】解：（1），即乙厂生产的产品数量为35件。‎ ‎ （2）易见只有编号为2，5的产品为优等品，所以乙厂生产的产品中的优等品 ‎ 故乙厂生产有大约（件）优等品，‎ ‎ （3）的取值为0，1，2。‎ ‎ ‎ ‎ 所以的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎ 故 ‎9.(2011年高考陕西卷理科20)（本小题满分13分）‎ 如图，A地到火车站共有两条路径 和 ，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：‎ 时间（分钟）‎ ‎ 的频率 ‎0.1‎ ‎0.2‎ ‎0.3‎ ‎0.2‎ ‎0.2‎ ‎ 的频率 ‎0‎ ‎0.1‎ ‎0.4‎ ‎0.4‎ ‎0.1‎ 现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站。‎ ‎（Ⅰ）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？‎ ‎（Ⅱ）用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对（Ⅰ）的选择方案，求X的分布列和数学期望。‎ ‎（Ⅱ）A、B分别表示针对（Ⅰ）的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，由（Ⅰ）知 又由题意知，A，B独立，‎ ‎ ‎ X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎0.04‎ ‎0.42‎ ‎0.54[‎ ‎ ‎ ‎10.(2011年高考重庆卷理科17)（本小题满分13分。（Ⅰ）小问5分（Ⅱ）小问8分.）‎ 某市公租房房屋位于A.B.C三个地区，设每位申请人只申请其中一个片区的房屋，且申请其中任一个片区的房屋是等可能的，求该市的任4位申请人中:‎ ‎（Ⅰ）若有2人申请A片区房屋的概率;‎ ‎（Ⅱ）申请的房屋在片区的个数的分布列与期望。‎ ‎（2）设甲，乙两个所付的费用之和为，可为 分布列 ‎.‎ ‎12. (2011年高考全国卷理科18) (本小题满分12分)(注意：在试题卷上作答无效)‎ ‎ 根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0．5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0．3,设各车主购买保险相互独立 ‎(I)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l种的概率；‎ ‎(Ⅱ)X表示该地的l00位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数。求的期望。 ‎ ‎13．(2011年高考北京卷理科17)本小题共13分 以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学的植树棵树。乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示。‎ ‎ （Ⅰ）如果X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差；‎ ‎ （Ⅱ）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树Y的分布列和数学期望。‎ ‎ （注：方差，其中为，，…… 的平均数）‎ 同理可得 所以随机变量Y的分布列为：‎ Y ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎21‎ P EY=17×P（Y=17）+18×P（Y=18）+19×P（Y=19）+20×P（Y=20）+21×P（Y=21）=17×+18×+19×+20×+21×=19.‎ ‎14．(2011年高考福建卷理科19)（本小题满分13分）‎ 某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1,2，……，8，其中X≥5为标准A，X≥为标准B，已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂得产品都符合相应的执行标准 ‎（I）已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下所示：‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ P ‎0．4‎ a b ‎0．1‎ 且X1的数字期望EX1=6，求a，b的值；‎ ‎（II）为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：‎ ‎ 3 5 3 3 8 5 5 6 3 4‎ ‎ 6 3 4 7 5 3 4 8 5 3‎ ‎8 3 4 3 4 4 7 5 6 7‎ 用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望．‎ ‎ （III）在（I）、（II）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．‎ 注：（1）产品的“性价比”=；‎ ‎ （2）“性价比”大的产品更具可购买性．‎ ‎（II）由已知得，样本的频率分布表如下：‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎0．3‎ ‎0．2‎ ‎0．2‎ ‎0．1‎ ‎0．1‎ ‎0．1‎ 用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X2的概率分布列如下：‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ P ‎0．3‎ ‎0．2‎ ‎0．2‎ ‎0．1‎ ‎0．1‎ ‎0．1‎ 所以 即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8.‎ ‎【2010年高考试题】‎ ‎（2010辽宁理数）（3）两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为和，两个零件是 ‎ 否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为 ‎（A） (B) (C) (D)‎ ‎ ‎ ‎（2010江西理数）11.一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测。方法一：在10箱子中各任意抽查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查两枚。国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别为和，则 A. = B. < C. > D。以上三种情况都有可能 ‎【答案】B ‎【解析】考查不放回的抽球、重点考查二项分布的概率。本题是北师大版新课标的课堂作业，作为旧大纲的最后一年高考，本题给出一个强烈的导向信号。方法一：每箱的选中的概率为 ‎，总概率为；同理，方法二：每箱的选中的概率为，总事件的概率为，作差得<。‎ ‎1. （2010湖北理数）4.投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A,“骰子向上的点数是‎3”‎为事件B,则事件A，B中至少有一件发生的概率是 A B C D ‎ ‎（2010重庆理数）（13）某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为 ‎，则该队员每次罚球的命中率为____________.‎ 解析：由得 ‎（2010湖南理数）11．在区间上随机取一个数x，则的概率为 ‎ ‎3. （2010江苏卷）3、盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是_ ▲__.‎ ‎[解析]考查古典概型知识。‎ ‎（2010全国卷2理数）（20）（本小题满分12分）‎ ‎ 如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是p，电流能通过T4的概率是0.9．电流能否通过各元件相互独立．已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999． ‎ ‎（Ⅰ）求p；‎ ‎ （Ⅱ）求电流能在M与N之间通过的概率；‎ ‎ （Ⅲ）表示T1，T2，T3，T4中能通过电流的元件个数，求的期望．‎ ‎ ‎ ‎【命题意图】本试题主要考查独立事件的概率、对立事件的概率、互斥事件的概率及数学期望，考查分类讨论的思想方法及考生分析问题、解决问题的能力.‎ ‎【参考答案】‎ ‎【点评】概率与统计也是每年的必考题，但对考试难度有逐年加强的趋势，已经由原来解答题的前3题的位置逐渐后移到第20题的位置，对考生分析问题的能力要求有所加强，这应引起高度重视.‎ ‎（2010辽宁理数）（18）（本小题满分12分）‎ ‎ 为了比较注射A, B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做试验，将这200只家兔随机地分成两组，每组100只，其中一组注射药物A，另一组注射药物B。‎ ‎ （Ⅰ）甲、乙是200只家兔中的2只，求甲、乙分在不同组的概率；‎ ‎（Ⅱ）下表1和表2分别是注射药物A和B后的试验结果.（疱疹面积单位：mm2）‎ 表1：注射药物A后皮肤疱疹面积的频数分布表 ‎（ⅰ）完成下面频率分布直方图，并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小；‎ ‎（ⅱ）完成下面2×2列联表，并回答能否有99.9%的把握认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”.‎ 表3： ‎ 解：‎ ‎（Ⅰ）甲、乙两只家兔分在不同组的概率为 ‎ ……4分 ‎（Ⅱ）（i）‎ 图Ⅰ注射药物A后皮肤疱疹面积的频率分布直方图 图Ⅱ注射药物B后皮肤疱疹面积的频率分布直方图 可以看出注射药物A后的疱疹面积的中位数在65至70之间，而注射药物B后的疱疹面积的中位数在70至75之间，所以注射药物A后疱疹面积的中位数小于注射药物B后疱疹面积的中位数。 ……8分 ‎（ii）表3：‎ 由于K2＞10.828，所以有99.9%的把握认为“注射药物A后的疱疹面积于注射药物B后的疱疹面积有差异”。 ……12分 ‎ （2010北京理数）(17)(本小题共13分) ‎ 某同学参加3门课程的考试。假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为，(＞)，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立。记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎(Ⅰ)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；‎ ‎(Ⅱ)求，的值；‎ ‎(Ⅲ)求数学期望ξ。‎ ‎（III）由题意知 ‎ =‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ =‎ ‎ ‎ ‎ =‎ ‎（2010四川理数）（17）（本小题满分12分）‎ 某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”‎ 字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。‎ ‎（Ⅰ）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；‎ ‎（Ⅱ）求中奖人数ξ的分布列及数学期望Eξ.‎ ‎（2010天津理数）（18）.（本小题满分12分）‎ 某射手每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响。‎ ‎（Ⅰ）假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率 ‎（Ⅱ）假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标。另外2次未击中目标的概率；‎ ‎（Ⅲ）假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分，记为射手射击3次后的总的分数，求的分布列。‎ ‎【解析】本小题主要考查二项分布及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、互斥事件和相互独立事件等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力，满分12分。‎ ‎（1）解：设为射手在5次射击中击中目标的次数，则~.在5次射击中，恰有2次击中目标的概率 ‎（Ⅱ）解：设“第次射击击中目标”为事件；“射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件,则 ‎ ‎ ‎ =‎ ‎ =‎ 所以的分布列是 ‎（2010全国卷1理数）(18)(本小题满分12分)‎ ‎ 投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，‎ 则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评 审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录 用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5，复审的稿件能通过评审的概率为0.3．‎ 各专家独立评审．‎ ‎ (I)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；‎ ‎ (II)记表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求的分布列及期望．‎ ‎ ‎ ‎（2010山东理数）‎ ‎=，‎ 所以的分布列为 ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 数学期望=++4=。‎ ‎【命题意图】本题考查了相互独立事件同时发生的概率、考查了离散型随机变量的分布列以及数学期望的知识，考查了同学们利用所学知识解决实际问题的能力。‎ ‎（2010江苏卷）22.本小题满分10分）‎ 某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%。生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元。设生产各种产品相互独立。‎ （1） 记X（单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的分布列；‎ （2） 求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率。‎ ‎[解析] 本题主要考查概率的有关知识，考查运算求解能力。满分10分。‎ ‎【2009年高考试题】‎ ‎12．( 2009·山东理)在区间-1，1：上随机取一个数x，的值介于0到 之间的概率为( )．‎ A． B． C． D． ‎ ‎13．( 2009·山东文)在区间上随机取一个数x，的值介于0到之间的概率为( )．‎ A． B． C． D． ‎ 解析：:在区间 上随机取一个数x,即时,要使的值介于0到之间,需使或，区间长度为，由几何概型知的值介于0到之间的概率为．故选A． ‎ 答案:A 命题立意：:本题考查了三角函数的值域和几何概型问题,由自变量x的取值范围,得到函数值的范围,再由长度型几何概型求得．‎ ‎14．（2009·安徽理）考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于 ‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ A B C D E F 解析：如图，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这 ‎6个点中任意选两个点连成直线，共有 种不同取法，其中所得的两条直线相互平行但不重合有 ‎ ‎ 共12对，所以所求概率为，选D ‎ 10．（2009·江苏）现有5根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为2．5，2．6，2．7，2．8，2．9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0．‎3m的概率为 ． ‎ 解析： 考查等可能事件的概率知识。 ‎ 从5根竹竿中一次随机抽取2根的可能的事件总数为10，它们的长度恰好相差0．‎3m的事件数为2，分别是：2．5和2．8，2．6和2．9，所求概率为0．2。‎ ‎13．（2009·广东理）（本小题满分12分）‎ 根据空气质量指数API（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表：‎ 对某城市一年（365天）的空气质量进行监测，获得的API数据按照区间，，，，，进行分组，得到频率分布直方图如图5． ‎ ‎（1）求直方图中的值； ‎ ‎（2）计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数；‎ ‎（3）求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率．‎ ‎（结果用分数表示．已知，， ，）‎ 解：（1）由图可知 ‎，解得；‎ ‎14．（2009·浙江理）（本题满分14分）在这个自然数中，任取个数．‎ ‎ （I）求这个数中恰有个是偶数的概率；‎ ‎ （II）设为这个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为，则有两组相邻的数 和，此时的值是）．求随机变量的分布列及其数学期望．‎ 解析：（I）记“这3个数恰有一个是偶数”为事件A，则；． ‎ ‎（II）随机变量的取值为的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P 所以的数学期望为 ． ‎ ‎15．( 2009·山东理)(本小题满分12分)‎ ‎ 在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次，某同学在A处的命中率q为0．25，在B处的命中率为q，该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为 ‎ ‎ ‎0 ‎ ‎2 ‎ ‎ 3 ‎ ‎ 4 ‎ ‎ 5 ‎ ‎ p ‎ ‎0．03 ‎ ‎ P1 ‎ ‎ P2 ‎ P3 ‎ P4 ‎ （1） 求q的值； ‎ （2） 求随机变量的数学期望E;‎ （3） 试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小。‎ 所以随机变量的分布列为 ‎ ‎ ‎0 ‎ ‎2 ‎ ‎ 3 ‎ ‎ 4 ‎ ‎ 5 ‎ ‎ p ‎ ‎0．03 ‎ ‎ 0．24 ‎ ‎ 0．01 ‎ ‎0．48 ‎ ‎0．24 ‎ 随机变量的数学期望 ‎（3）该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率为 ‎;‎ 该同学选择（1）中方式投篮得分超过3分的概率为0．48+0．24=0．72．‎ 由此看来该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率大．‎ 命题立意：:本题主要考查了互斥事件的概率,相互独立事件的概率和数学期望,以及运用概率知识解决问题的能力．‎ ‎17．（2009·安徽理）（本小题满分12分）‎ ‎ 某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A到过疫区．B肯定是受A感染的．对于C，因为难以断定他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是．同样也假定D受A、B和C感染的概率都是．在这种假定之下，B、C、D中直接受A感染的人数X就是一个随机变量．写出X的分布列(不要求写出计算过程),并求X的均值（即数学期望）．‎ 本小题主要考查古典概型及其概率计算，考查取有限个值的离散型随机变量及其分布列和均值的概念，通过设置密切贴近现实生活的情境，考查概率思想的应用意识和创新意识。体现数学的科学价值。本小题满分12分。‎ ‎18．（2009·安徽文）（本小题满分12分）‎ ‎ 某良种培育基地正在培育一种小麦新品种A，将其与原有的一个优良品种B进行对照 试验，两种小麦各种植了25亩，所得亩产数据（单位：千克）如下：． ‎ 品种A:357，359，367，368，375，388，392，399，400，405，414，‎ ‎ 415，421，423，423，427，430，430，434，443，445，451，454‎ 品种B：363，371，374，383，385，386，391，392，394，395，397‎ ‎ 397，400，401，401，403，406，407，410，412，415，416，422，430‎ ‎（Ⅰ）完成所附的茎叶图 ‎（Ⅱ）用茎叶图处理现有的数据，有什么优点？． ‎ ‎（Ⅲ）通过观察茎叶图，对品种A与B的亩产量及其稳定性进行比较，写出统计结论。‎ 思路：由统计知识可求出A、B两种品种的小麦稳定性大小并画出茎叶图，用茎叶图处理数据，看其分布就比较明了。． ‎ 解析：（1）茎叶图如图所示 A B ‎9 7‎ ‎35‎ ‎8 7‎ ‎36‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎37‎ ‎1 4‎ ‎8‎ ‎38‎ ‎3 5 6‎ ‎9 2‎ ‎39‎ ‎1 2 4 457 7‎ ‎5 0‎ ‎40‎ ‎0 1 1 3 6 7‎ ‎5 4 2‎ ‎41‎ ‎0 2 5 6‎ ‎7 3 3 1‎ ‎42‎ ‎2‎ ‎4 0 0‎ ‎43‎ ‎0‎ ‎5 5 3‎ ‎44‎ ‎4 1‎ ‎45‎ ‎（2）用茎叶图处理现有的数据不仅可以看出数据的分布状况,而且可以看出每组中的具体数据．‎ ‎（3）通过观察茎叶图，可以发现品种A的平均每亩产量为411．‎1千克，品种B的平均亩产量为397．‎8千克．由此可知,品种A的平均亩产量比品种B的平均亩产量高．但品种A的亩产量不够稳定，而品种B的亩产量比较集中D平均产量附近．‎ ‎20．（2009·辽宁理）（本小题满分12分）‎ 某人向一目射击4次，每次击中目标的概率为。该目标分为3个不同的部分，第一、二、三部分面积之比为1：3：6。击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比。‎ ‎（Ⅰ）设X表示目标被击中的次数，求X的分布列；‎ ‎（Ⅱ）若目标被击中2次，A 表示事件“第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2次”，求P（A） ‎ 解：（Ⅰ）依题意X的分列为． ‎ ‎ ‎ ‎21．（2009·宁夏海南理）（本小题满分12分）‎ 某工厂有工人1000名， 其中250名工人参加过短期培训（称为A类工人），另外750名工人参加过长期培训(称为B类工人），现用分层抽样方法（按A类、B类分二层）从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力（此处生产能力指一天加工的零件数）。‎ ‎（I）求甲、乙两工人都被抽到的概率，其中甲为A类工人，乙为B类工人； ‎ ‎（II）从A类工人中的抽查结果和从B类工人中的抽插结果分别如下表1和表2．‎ 表1：‎ 生产能力分组 人数 ‎4‎ ‎8‎ ‎5‎ ‎3‎ 表2：‎ 生产能力分组 人数 ‎ 6‎ ‎ y ‎ 36‎ ‎ 18‎ ‎（i）先确定x，y，再在答题纸上完成下列频率分布直方图。就生产能力而言，A类工人中个体间的差异程度与B类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观察直方图直接回答结论） ‎ ‎（ii）分别估计A类工人和B类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人的生产能力的平均数，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） ‎ 解：（Ⅰ）甲、乙被抽到的概率均为，且事件“甲工人被抽到”与事件“乙工人被抽到”相互独立，故甲、乙两工人都被抽到的概率为 ‎ ‎　　　 ．‎ ‎ （Ⅱ）（i）由题意知A类工人中应抽查25名，B类工人中应抽查75名．‎ ‎ 故 ，得，‎ ‎　　　 ，得 ． ‎ ‎ 频率分布直方图如下 ‎ ‎ 从直方图可以判断：B类工人中个体间的关异程度更小 ．‎ ‎ （ii） ，‎ ‎ ，‎ ‎ ‎ ‎ A类工人生产能力的平均数，B类工人生产能力的平均数以及全工厂工人生产能力的平均数的会计值分别为123，133．8和131．1 ．‎ ‎【2008年高考试题】‎ ‎7．（2008·山东理）在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，…，18的18名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为 ‎（A）　　　　　　　　　　　　　　　　（B）‎ ‎（C）　　　　　　　　　　　　　　　（D）‎ 解析：本题考查古典概型。‎ 基本事件总数为。‎ 选出火炬手编号为，‎ 时，由可得4种选法；‎ 时，由可得4种选法；‎ 时，由可得4种选法。‎ 答案：B ‎2．（2008·江苏）一个骰子连续投2次，点数和为4的概率为 。‎ ‎3．（2008·江苏）在平面直角坐标系中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D中随意投一点，则落入E中的概率为 。‎ 解析：本小题考查古典概型。如图：区域D表示边长为4的正方形ABCD的内部（含边界），区域E表示单位圆及其内部，因此。‎ ‎ 答案：‎ ‎11．（2008·海南、宁夏理）为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况，调查部门对某校6名学生进行问调查，6人得分情况如下：5，6，7，8，9，10。把这6名学生的得分看成一个总体。（1）求该总体的平均数；（2）用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名，他们的得分组成一个样本。求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0．5的概率。‎ ‎【2007年高考试题】‎ ‎1．(2007·广东理9)甲、乙两个袋中均有红、白两种颜色的小球,这些小球除颜色外完全相同,其中甲袋装有4个红球、2个白球, 乙袋装有1个红球、5个白球．现分别从甲、乙两袋中各随机取出一个球,则取出的两球都是红球的概率为 ．(答案用分数表示) ‎ ‎2．(2007·宁夏理20)（本小题满分12分）‎ 如图，面积为的正方形中有一个不规则的图形，可按下面方法估计的面积：在正方形中随机投掷个点，若个点中有个点落入中，则的面积的估计值为，假设正方形的边长为2，的面积为1，并向正方形中随机投掷个点，以表示落入 中的点的数目．‎ ‎（I）求的均值；‎ ‎（II）求用以上方法估计的面积时，的面积的估计值与实际值之差在区间内的概率．‎ 附表：‎ 解：‎ 每个点落入中的概率均为．‎ 依题意知．‎ ‎（Ⅰ）．‎ ‎（Ⅱ）依题意所求概率为，‎ ‎．‎