备战历届高考数学真题汇编专题14复数理20072012

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备战历届高考数学真题汇编专题14复数理20072012

‎【2012年高考试题】‎ ‎1.【2012高考真题浙江理2】 已知i是虚数单位,则=‎ A .1-2i      B.2-i   C.2+i D .1+2i ‎ ‎2.【2012高考真题新课标理3】下面是关于复数的四个命题:其中的真命题为( )‎ ‎ 的共轭复数为 的虚部为 ‎ ‎ ‎3.【2012高考真题四川理2】复数( )‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】B ‎ ‎ ‎【解析】‎ ‎4.【2012高考真题陕西理3】设,是虚数单位,则“”是“复数为纯虚数”的( )‎ A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B.‎ ‎【解析】或,而复数是纯虚数,‎ 是纯虚数,故选B.‎ ‎5.【2012高考真题上海理15】若是关于的实系数方程的一个复数根,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎6.【2012高考真题山东理1】若复数满足(为虚数单位),则为 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】A ‎【解析】。故选A。‎ ‎7.【2012高考真题辽宁理2】复数 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎9.【2012高考真题广东理1】 设i为虚数单位,则复数=‎ A.6+5i B.6-5i C.-6+5i D.-6-5i ‎ ‎ 【答案】D ‎【解析】=.故选D.‎ ‎10.【2012高考真题福建理1】若复数z满足zi=1-i,则z等于 A.-1-I B.1-i C.-1+I D.1=i ‎【答案】A.‎ ‎ 【解析】根据知,,故选A.‎ ‎11.【2012高考真题北京理3】设a,b∈R。“a=‎0”‎是“复数a+bi是纯虚数”的( )‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎12.【2012高考真题安徽理1】复数满足:;则( )‎ ‎ ‎ ‎13.【2012高考真题天津理1】i是虚数单位,复数=‎ ‎ (A) 2 + i (B)2 – i ‎ (C)-2 + i (D)-2 – i ‎【答案】B ‎【解析】复数,选B.‎ ‎14.【2012高考真题全国卷理1】复数=‎ A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i ‎ ‎【答案】C ‎【解析】,选C.‎ ‎ 15.【2012高考真题重庆理11】若,其中为虚数单位,则 ‎ ‎16.【2012高考真题上海理1】计算: (为虚数单位)。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】复数。‎ ‎17.【2012高考江苏3】(5分)设,(i为虚数单位),则的值为 ▲ .‎ ‎18.【2012高考真题湖南理12】已知复数 (i为虚数单位),则|z|=_____.‎ ‎【答案】10‎ ‎【解析】=,.‎ ‎【2011年高考试题】‎ 一、选择题:‎ ‎1. (2011年高考山东卷理科2)复数z=(为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为 ‎(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 ‎4.(2011年高考浙江卷理科2)把复数的共轭复数记作,若,为虚数单位,则=‎ ‎(A) (B) (C)(D)‎ ‎【答案】 A ‎【解析】 故选A ‎5.(2011年高考广东卷理科1)设复数z满足(1+i)z=2,其中i为虚数单位,则Z=( )‎ ‎ A.1+i B.1-i C.2+2i D.2-2i ‎【解析】B.由题得所以选B. ‎ ‎6.(2011年高考辽宁卷理科1)a为正实数,i为虚数单位,,则a=( )‎ ‎(A)2 (B) (C) (D)1‎ 答案: B 解析:,a>0,故a=.‎ ‎7. (2011年高考全国新课标卷理科1)复数的共轭复数是( )‎ A B C D;‎ ‎8.(2011年高考江西卷理科1)若,则复数 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为=,所以复数,选D.‎ ‎9. (2011年高考江西卷理科7)观察下列各式:=3125,=15625,=78125,…,则的末四位数字为 ‎ A.3125 B.‎5625 C.0625 D.8125‎ ‎10.(2011年高考江西卷理科10)如右图,一个直径为l的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动,M和N是小圆的一条固定直径的两个端点.那么,当小圆这样滚过大圆内壁的一周,点M,N在大圆内所绘出的图形大致是 ‎12.(2011年高考湖北卷理科1)i为虚数单位,则=‎ A.-i B.-‎1 ‎C.i D.1‎ 答案:A ‎ 解析:因为,故所以选A.‎ ‎13.(2011年高考陕西卷理科7)设集合,‎ 则为 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】C ‎【解析】:由即 由得即故选C ‎14.(2011年高考重庆卷理科1)复数 ‎(A) (B) ‎ ‎ (C) (D) ‎ 解析:选B. 。‎ 二、填空题:‎ ‎1. (2011年高考山东卷理科15)设函数,观察:‎ 根据以上事实,由归纳推理可得:‎ 当且时, .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】观察知:四个等式等号右边的分母为,即,所以归纳出分母为的分母为,故当且时,.‎ ‎2.(2011年高考安徽卷理科15)在平面直角坐标系中,如果与都是整数,就称点为整点,下列命题中正确的是_____________(写出所有正确命题的编号).‎ ‎①存在这样的直线,既不与坐标轴平行又不经过任何整点 ‎②如果与都是无理数,则直线不经过任何整点 ‎③直线经过无穷多个整点,当且仅当经过两个不同的整点 ‎④直线经过无穷多个整点的充分必要条件是:与都是有理数 ‎⑤存在恰经过一个整点的直线 ‎3. (2011年高考湖北卷理科15)给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色.当n≤4时,在所有不同的着色方案中,黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示:‎ n=1‎ n=2‎ n=3‎ n=4‎ 由此推断,当n=6时,黑色正方形互不相邻的着色方案共有 种,至少有两个[黑色正方形相邻的着色方案共有 种.(结果用数值表示)‎ ‎4.(2011年高考陕西卷理科13)观察下列等式 照此规律,第个等式为 ‎ ‎【答案】‎ ‎3、(2011年高考安徽卷江苏3)设复数i满足(i是虚数单位),则的实部是_________‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】因为,所以,故的实部是1.‎ 三、解答题:‎ ‎1.(2011年高考上海卷理科19)(12分)已知复数满足(为虚数单位),复数的虚部为,是实数,求。‎ ‎(19)(2011年高考安徽卷理科19)(本小题满分12分)‎ ‎(Ⅰ)设证明,‎ ‎(Ⅱ),证明.‎ ‎【命题意图】:本题考查不等式的基本性质,对数函数的性质和对数换底公式等基本知识,考查代数式恒定变形能力和推理论证能力。‎ ‎【证明】:(Ⅰ)由于,所以 要证明:‎ 只要证明:‎ 只要证明:‎ 只要证明:‎ 只要证明:‎ 由于,上式显然成立,所以原命题成立。‎ ‎2. (2011年高考天津卷理科20)(本小题满分14分)‎ 已知数列与满足:, ,且.‎ ‎(Ⅰ)求的值;‎ ‎(Ⅱ)设,证明:是等比数列;‎ ‎(Ⅲ)设证明:.‎ ‎【解析】本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识,考查运算能力、推理论证能力、综合分析能力和解决问题的能力及分类讨论的思想方法.‎ ‎(Ⅰ)解:由,,可得, 又 当n=1时,,由,,得;‎ 当n=2时,,可得.‎ 当n=3时,,可得.‎ ‎(III)证明:由(II)可得,‎ 于是,对任意,有 将以上各式相加,得 即,‎ 此式当k=1时也成立.由④式得 从而 所以,对任意,‎ ‎3. (2011年高考湖南卷理科16)对于,将表示为,当时,‎ ‎,当时,为或.记为上述表示中为的个数(例如:,‎ ‎,故,),则(1) ;(2) .‎ 答案:2; 1093‎ ‎4. (2011年高考湖南卷理科22)(本小题满分13分)已知函数 求函数的零点个数,并说明理由;‎ 设数列满足证明:存在常数 使得对于任意的都有 解:由知,,而且,‎ ‎,则为的一个零点,且在内由零点,‎ 因此至少有两个零点.‎ 综上所述,有且只有两个零点.‎ 解法2 由,记则 当时,因此在上单调递增,则在上至多有一个零点,‎ 从而在上至多有一个零点.‎ 综上所述,有且只有两个零点.‎ 记的正零点为,即 ‎(1)当时,由得,而,因此.‎ 由此猜测:.下面用数学归纳法证明.‎ ‎①当时,显然成立,‎ ‎②假设当时,成立,则当时,由 知 因此,当时,成立 故对任意的成立 ‎5. (2011年高考广东卷理科20)设数列满足,‎ (1) 求数列的通项公式;‎ (2) 证明:对于一切正整数n,‎ ‎【解析】(1)由 ‎ 令,‎ ‎ 当 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ①当时,‎ ‎ ‎ ‎6.(2011年高考广东卷理科21)(本小题满分14分)‎ ‎【解析】解:(1)证明:切线的方程为 ‎ ‎ ‎ 当 ‎ 当 ‎ (2)的方程分别为 ‎ 求得的坐标,由于,故有 ‎ 1)先证:‎ ‎ ()设 ‎ 当 ‎ 当 ‎ ()设 ‎ 当 ‎ 注意到 ‎ (3)求得的交点 ‎ 而是L的切点为的切线,且与轴交于,‎ ‎ 由(1)线段Q1Q2,有 ‎ 当 ‎ ‎ ‎ 在(0,2)上,令 ‎ ‎ ‎7. (2011年高考湖北卷理科21)(本小题满分14分)‎ ‎(Ⅰ)已知函数,求函数的最大值;‎ ‎(Ⅱ)设均为正数,证明:‎ ‎(1)若,则;‎ ‎(2)若,则 本题主要考查函数、导数、不等式的证明等基础知识,同时考查综合运用数学知识进行推理论证的能力,以及化归与转化的思想. ‎ 解析:‎ ‎(Ⅰ)的定义域为,令,解得,‎ 当时,,在(0,1)内是增函数;‎ 当时,,在内是减函数;‎ 故函数在处取得最大值 ‎(Ⅱ)‎ ‎(1)由(Ⅰ)知,当时,有,即,‎ ‎,从而有,得,‎ 求和得,‎ ‎,,即 ‎.‎ ‎8.(2011年高考全国卷理科20)设数列满足且 ‎(Ⅰ)求的通项公式;(Ⅱ)设 ‎【解析】:(Ⅰ)由得,‎ 前项为,‎ ‎【解析】:(Ⅰ) ‎ 故 ‎(Ⅱ)法一:第次抽取时概率为,则抽得的20个号码互不相同的概率 由(Ⅰ),当 即有故 ‎10.(2011年高考江苏卷23)(本小题满分10分)‎ ‎ 设整数,是平面直角坐标系中的点,其中 ‎ (1)记为满足的点的个数,求;‎ ‎(2)记为满足是整数的点的个数,求 解析:考察计数原理、等差数列求和、分类讨论、归纳推理能力,较难题。‎ ‎(1)因为满足的每一组解构成一个点P,所以。‎ ‎(2)设,则 对每一个k对应的解数为:n-3k,构成以3为公差的等差数列;‎ 当n-1被3整除时,解数一共有:‎ 当n-1被3除余1时,解数一共有:‎ 当n-1被3除余2时,解数一共有:‎ ‎11.(2011年高考北京卷理科20)(本小题共13分)‎ ‎ 若数列满足,数列为数列,记=.‎ ‎ (Ⅰ)写出一个满足,且〉0的数列;‎ ‎ (Ⅱ)若,n=2000,证明:E数列是递增数列的充要条件是=2011;‎ ‎ (Ⅲ)对任意给定的整数n(n≥2),是否存在首项为0的E数列,使得=0?如果存在,写出一个满足条件的E数列;如果不存在,说明理由。‎ ‎ 所以a2000—a≤19999,即a2000≤a1+1999.‎ ‎ 又因为a1=12,a2000=2011,‎ ‎ 所以a2000=a1+1999.‎ ‎ 故是递增数列.‎ ‎ 综上,结论得证。‎ ‎ (Ⅲ)令 ‎ 因为 ‎ ……‎ ‎ ‎ ‎【2010年高考试题】‎ ‎(2010浙江理数)(5)对任意复数,为虚数单位,则下列结论正确的是 ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D)‎ 解析:可对选项逐个检查,A项,,故A错,B项,,故B错,C项,,故C错,D项正确。‎ ‎(2010全国卷2理数)(1)复数 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】A ‎ ‎【解析】.‎ ‎(2010辽宁理数)(2)设a,b为实数,若复数,则 ‎(A) (B) ‎ ‎(C) (D) ‎ ‎(2010江西理数)1.已知(x+i)(1-i)=y,则实数x,y分别为( )‎ A.x=-1,y=1 B. x=-1,y=2‎ C. x=1,y=1 D. x=1,y=2‎ ‎(2010四川理数)(1)i是虚数单位,计算i+i2+i3=‎ ‎(A)-1 (B)1 (C) (D)‎ 解析:由复数性质知:i2=-1‎ 故i+i2+i3=i+(-1)+(-i)=-1‎ 答案:A ‎(2010天津理数)(1)i 是虚数单位,复数 ‎(A)1+i (B)5+5i (C)-5-5i (D)-1-i ‎ ‎【答案】A ‎【解析】本题主要考查复数代数形式的基本运算,属于容易题。‎ 进行复数的除法的运算需要份子、分母同时乘以分母的共轭复数,同时将i2改为-1.‎ ‎(2010广东理数)2.若复数z1=1+i,z2=3-i,则z1·z2=( )‎ A.4+2 i B. 2+ i C. 2+2 i D.3‎ ‎2. A.‎ ‎(2010全国卷1理数)(1)复数 ‎(A)i (B) (C)12-13 (D) 12+13‎ ‎(2010山东理数)(2) 已知(a,b∈R),其中i为虚数单位,则a+b=‎ ‎(A)-1 (B)1 (C)2 (D)3‎ ‎1.(2010安徽理数)1、是虚数单位, ‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎1.B ‎【解析】,选B.‎ ‎【规律总结】为分式形式的复数问题,化简时通常分子与分母同时乘以分母的共轭复数,然后利用复数的代数运算,结合得结论.‎ ‎2. (2010福建理数)‎ ‎(2010重庆理数)(11)已知复数z=1+I ,则=____________.‎ 解析:‎ ‎(2010北京理数)(9)在复平面内,复数对应的点的坐标为 。‎ 答案:(-1,1) ‎ ‎(2010江苏卷)2、设复数z满足z(2-3i)=6+4i(其中i为虚数单位),则z的模为_________.‎ ‎[解析] 考查复数运算、模的性质。z(2-3i)=2(3+2 i), 2-3i与3+2 i的模相等,z的模为2。‎ ‎(2010湖北理数)1.若i为虚数单位,图中复平面内点Z表示复数Z,则表示复数的点是 A.E B.F C.G D.H ‎ ‎1.【答案】D ‎【解析】观察图形可知,则,即对应点H(2,-1),故D正确.‎ ‎【2009年高考试题】‎ ‎21.( 2009·天津理1) i是虚数单位,=‎ ‎(A)1+2i (B)-1-2i (C)1-2i (D)-1+2i 考点定位本小考查复数的运算,基础题。‎ 解析:,故选择D。‎ ‎23.( 2009·浙江文理3)设(是虚数单位),则( )‎ A. B. C. D.‎ 答案:D 命题意图本小题主要考查了复数的运算和复数的概念,以复数的运算为载体,直接考查了对于复数概念和性质的理解程度.‎ 解析对于 ‎24.( 2009·山东文理2)复数等于( ). ‎ A. B. C. D. ‎ ‎26.( 2009·辽宁理2)已知复数,那么=‎ ‎ ‎ ‎28. (2009·广东理2) 设是复数,表示满足的最小正整数,则对虚数单位,‎ A. 8 B. ‎6 ‎‎ ‎‎ C. 4 D. 2‎ 解析,则最小正整数为4,选C.‎ ‎31. (2009·福建理13) 复数的实部是 -1 。‎ 解析 =-1-I,所以实部是-1。‎ ‎32. (2009·福建理11)若(i为虚数单位, )则_________ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 答案:2‎ ‎ 解析:由,所以故。‎ ‎【2008年高考试题】‎ ‎3.(2008·山东)设z的共轭复数是,或z+=4,z·=8,则等于 ‎(A)1       (B)-i (C)±1 (D) ±i ‎4.(2008·广东)已知,复数的实部为,虚部为1,则的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ 解析,而,即, ‎ 答案:C ‎ ‎【2007年高考试题】‎ ‎1.(2007·广东) .若复数(1+bi)(2+i)是纯虚数(i是虚数单位,b为实数),则b=‎ ‎ (A) 2 (B) (C) - (D) -2‎ 解:(1+bi)(2+i)=2-b+(1+2b)i,而复数(1+bi)(2+i)是纯虚数,那么由2-b=0‎ 且1+2b≠0得b=2,故选A。‎
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