2013年高考数学（文科）真题分类汇编L单元 算法初步与复数

2013年高考数学（文科）真题分类汇编L单元 算法初步与复数

L单元　算法初步与复数 ‎ L1　算法与程序框图　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎6．L1[2013·北京卷] 执行如图1－1所示的程序框图，输出的S值为(　　)‎ 图1－1‎ A．1 B. C. D. ‎6．C　[解析] 执行第一次循环时S＝＝，i＝1；执行第二次循环时S＝＝，i＝2，此时退出循环，故选C.‎ ‎8．L1[2013·福建卷] 阅读如图1－2所示的程序框图，运行相应的程序．如果输入某个正整数n后，输出的S∈(10，20)，那么n的值为(　　)‎ 图1－2‎ A．3 B．‎4 C．5 D．6‎ ‎8．B　[解析] S＝0，k＝1→S＝1，k＝2→S＝3，k＝3→S＝7，k＝4→S＝15，k＝5>4，故选B.‎ ‎13．L1[2013·湖北卷] 阅读如图1－2所示的程序框图，运行相应的程序，若输入m的值为2，则输出的结果i＝________．‎ 图1－2‎ ‎13．4　[解析] 逐次运行结果是i＝1，A＝2，B＝1；i＝2，A＝4，B＝2；i＝3，A＝8，B＝6；i＝4，A＝16，B＝24，此时A20时，n＝3，故最后输出3.‎ ‎7．L1[2013·江西卷] 阅读如图1－1所示的程序框图，如果输出i＝4，那么空白的判断框中应填入的条件是(　　)‎ 图1－1‎ A．S<8 B．S<9‎ C．S<10 D．S<11‎ ‎7．B　[解析] i＝2，S＝5，i＝3，S＝8，i＝4，S＝9，因输出i＝4，故填S<9，故选B.‎ 图1－2‎ ‎6．L1[2013·山东卷] 执行两次图1－2所示的程序框图，若第一次输入的a的值为－1.2，第二次输入的a的值为1.2，则第一次、第二次输出的a的值分别为(　　)‎ A．0.2，0.2‎ B．0.2，0.8‎ C．0.8，0.2‎ D．0.8，0.8‎ ‎6．C　[解析] 当a＝－1.2时，执行第一个循环体，a＝－1.2＋1＝－0.2<0再执行一次第一个循环体，a＝－0.2＋1＝0.8，第一个循环体结束，输出；当a＝1.2时，执行第二个循环体，a＝1.2－1＝0.2，输出．‎ ‎3．L1[2013·天津卷] 阅读如图1－1所示的程序框图，运行相应的程序，则输出n的值为(　　)‎ 图1－1‎ A．7 B．6‎ C．5 D．4‎ ‎3．D　[解析] 当n＝1时，S＝0＋(－1)×1＝－1；当n＝2时，S＝－1＋(－1)2×2＝1；当n＝3时，S＝1＋(－1)3×3＝－2；当n＝4时，S＝－2＋(－1)4×4＝2满足题意，输出n＝4.‎ 图1－7‎ ‎18．L1，K6[2013·四川卷] 某算法的程序框图如图1－7所示，其中输入的变量x在1，2，3，…，24这24个整数中等可能随机产生．‎ ‎(1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率Pi(i＝1，2，3)；‎ ‎(2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y的值为i(i＝1，2，3)的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．‎ 甲的频数统计表(部分)‎ 运行 次数n 输出y的值 为1的频数 输出y的值 为2的频数 输出y的值 为3的频数 ‎30‎ ‎14‎ ‎6‎ ‎10‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎2 100‎ ‎1 027‎ ‎376‎ ‎697‎ 乙的频数统计表(部分)‎ 运行 次数n 输出y的值 为1的频数 输出y的值 为2的频数 输出y的值 为3的频数 ‎30‎ ‎12‎ ‎11‎ ‎7‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎2 100‎ ‎1 051‎ ‎696‎ ‎353‎ 当n＝2 100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i＝1，2，3)的频率(用分数表示)，并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大．‎ ‎18．解：(1)变量x是在1，2，3，…，24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能．‎ 当x从1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23这12个数中产生时，输出y的值为1，故P1＝；‎ 当x从2，4，8，10，14，16，20，22这8个数中产生时，输出y的值为2，故P2＝；‎ 当x从6，12，18，24这4个数中产生时，输出y的值为3，故P3＝.‎ 所以，输出y的值为1的概率为，输出y的值为2的概率为，输出y的值为3的概率为.‎ ‎(2)当n＝2 100时，甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i＝1，2，3)的频率如下：‎ 输出y的值 为1的频率 输出y的值 为2的频率 输出y的值 为3的频率 甲 乙 比较频率趋势与(1)中所求的概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大．‎ 图1－1‎ ‎7．L1[2013·新课标全国卷Ⅰ] 如图1－1所示的程序框图，如果输入的t∈[－1，3]，则输出的s属于(　　)‎ A．[－3，4]‎ B．[－5，2]‎ C．[－4，3]‎ D．[－2，5]‎ ‎7．A　[解析] 当－1≤t<1时，输出的s＝3t∈[－3，3)；当1≤t≤3时，输出的s＝4t－t2∈[3，4]．故输出的s∈[－3，4]．‎ ‎14．L1[2013·浙江卷] 若某程序框图如图1－5所示，则该程序运行后输出的值等于 ‎________．‎ 图1－5‎ ‎14.　[解析] S＝1＋＋＋…＋＝1＋1－＋－＋…＋－＝1＋1－＝2－＝.‎ 图1－1‎ ‎5．L1[2013·重庆卷] 执行如图1－1所示的程序框图，则输出的k的值是(　　)‎ A．3 B．4‎ C．5 D．6‎ ‎5．C　[解析] 第一次循环s＝1＋(1－1)2＝1，k＝2；第二次循环s＝1＋(2－1)2＝2，k＝3；第三次循环s＝2＋(3－1)2＝6，k＝4；第四次循环s＝6＋(4－1)2＝15，k＝5；第五次循环s＝15＋(5－1)2＝31，结束循环，所以输出的k的值是5，故选C.‎ L2　基本算法语句　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎4．L2[2013·陕西卷] 根据下列算法语句，当输入x为60时，输出y的值为(　　)‎ 输入x；‎ If x≤50 Then y＝0.5*x Else y＝25＋0.6*(x－50)‎ End If 输出y.‎ A．25 B．‎30 C．31 D．61‎ ‎4．C　[解析] 算法语言给出的是分段函数y＝输入x＝60时，y＝25＋0.6(60－50)＝31.‎ L3　算法案例　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ L4　复数的基本概念与运算　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1．L4[2013·安徽卷] 设i是虚数单位，若复数a－(a∈R)是纯虚数，则a的值为(　　)‎ A．－3 B．－1 ‎ C．1 D．3‎ ‎1．D　[解析] a－＝a－＝a－(3＋i)＝(a－3)－i，其为纯虚数得a＝3.‎ ‎4．L4[2013·北京卷] 在复平面内，复数i(2－i)对应的点位于(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎4．A　[解析] ∵i(2－i)＝2i＋1，∴i(2－i)对应的点为(1，2)，因此在第一象限．‎ ‎1．L4[2013·福建卷] 复数z＝－1－2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎1．C　[解析] z＝－1－2i对应的点为P(－1，－2)，故选C.‎ ‎3．L4[2013·广东卷] 若i(x＋yi)＝3＋4i，x，y∈R，则复数x＋yi的模是(　　)‎ A．2 B．3 ‎ C．4 D．5‎ ‎3．D　[解析] 根据复数相等知|x＋yi|＝＝5.‎ ‎11．L4[2013·湖北卷] i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则z2＝________．‎ ‎11．－2＋3i　[解析] 由z2与z1对应的点关于原点对称知：z2＝－2＋3i.‎ ‎17．L4[2013·湖南卷] 如图1－2所示，在直三棱柱ABC－A1B‎1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝，AA1＝3，D是BC的中点，点E在棱BB1上运动．‎ ‎(1)证明：AD⊥C1E；‎ ‎(2)当异面直线AC，C1E所成的角为60°时，求三棱锥C1－A1B1E的体积．‎ 图1－2‎ ‎17．解：(1)证明：因为AB＝AC，D是BC的中点，‎ 所以AD⊥BC.①‎ 又在直三棱柱ABC－A1B‎1C1中，BB1⊥平面ABC，而AD平面ABC，‎ 所以AD⊥BB1.②‎ 由①，②得AD⊥平面BB‎1C1C.‎ 由点E在棱BB1上运动，得C1E平面BB‎1C1C，‎ 所以AD⊥C1E.‎ ‎(2)因为AC∥A‎1C1，所以∠A‎1C1E是异面直线AC，C1E所成的角，由题设∠A‎1C1E＝60°.‎ 因为∠B‎1A1C1＝∠BAC＝90°，所以A‎1C1⊥A1B1.‎ 又AA1⊥A‎1C1，从而A‎1C1⊥平面A1ABB1，‎ 于是A‎1C1⊥A1E.‎ 故C1E＝＝2 .又B‎1C1＝＝2，‎ 所以B1E＝＝2.‎ 从而V三棱锥C1－A1B1E＝S△A1B1E·A‎1C1＝××2××＝.‎ 图1－3‎ ‎18．L4[2013·湖南卷] 某人在如图1－3所示的直角边长为‎4 m的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y(单位：kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：‎ X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ Y ‎51‎ ‎48‎ ‎45‎ ‎42‎ 这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过‎1 m.‎ ‎(1)完成下表，并求所种作物的平均年收获量；‎ Y ‎51‎ ‎48‎ ‎45‎ ‎42‎ 频数 ‎4‎ ‎(2)在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为‎48 kg的概率．‎ ‎18．解：(1)所种作物的总株数为1＋2＋3＋4＋5＝15，其中“相近”作物株数为1的作物有2株，“相近”作物株数为2的作物有4株，“相近”作物株数为3的作物有6株，“相近”作物株数为4的作物有3株，列表如下：‎ Y ‎51‎ ‎48‎ ‎45‎ ‎42‎ 频数 ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎3‎ 所种作物的平均年收获量为 ＝＝＝46.‎ ‎(2)由(1)知，P(Y＝51)＝，P(Y＝48)＝.‎ 故在所种作物中随机选取一株，它的年收获量至少为‎48 kg的概率为P(Y≥48)＝P(Y＝51)＋P(Y＝48)＝＋＝.‎ ‎19．L4[2013·湖南卷] 设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1≠0，2an－a1＝S1·Sn，n∈N*.‎ ‎(1)求a1，a2，并求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)求数列{nan}的前n项和．‎ ‎19．解：(1)令n＝1，得‎2a1－a1＝a，即a1＝a.‎ 因为a1≠0，所以a1＝1.‎ 令n＝2，得‎2a2－1＝S2＝1＋a2，解得a2＝2.‎ 当n≥2时，由2an－1＝Sn，2an－1－1＝Sn－1，两式相减得2an－2an－1＝an，即an＝2an－1.‎ 于是数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列．因此，an＝2n－1.所以数列{an}的通项公式为an＝2n－1.‎ ‎(2)由(1)知，nan＝n·2n－1.‎ 记数列{n·2n－1}的前n项和为Bn，于是 Bn＝1＋2×2＋3×22＋…＋n×2n－1，①‎ ‎2Bn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，②‎ ‎①－②得－Bn＝1＋2＋22＋…＋2n－1－n·2n ‎＝2n－1－n·2n.‎ 从而Bn＝1＋(n－1)2n.‎ ‎20．L4[2013·湖南卷] 已知F1，F2分别是椭圆E：＋y2＝1的左、右焦点，F1，F2关于直线x＋y－2＝0的对称点是圆C的一条直径的两个端点．‎ ‎(1)求圆C的方程；‎ ‎(2)设过点F2的直线l被椭圆E和圆C所截得的弦长分别为a，b.当ab最大时，求直线l的方程．‎ ‎20．解：(1)由题设知，F1，F2的坐标分别为(－2，0)，(2，0)，圆C的半径为2，圆心为原点O关于直线x＋y－2＝0的对称点．‎ 设圆心的坐标为(x0，y0)，由解得所以圆C的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝4.‎ ‎(2)由题意，可设直线l的方程为x＝my＋2，‎ 则圆心到直线l的距离d＝，‎ 所以b＝2 ＝.‎ 由得(m2＋5)y2＋4my－1＝0.‎ 设l与E的两个交点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则 y1＋y2＝－，y1y2＝－.‎ 于是a＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝.‎ 从而ab＝＝＝≤＝2 .‎ 当且仅当＝，即m＝±时等号成立．‎ 故当m＝±时，ab最大，此时，直线l的方程为x＝y＋2或x＝－y＋2，‎ 即x－y－2＝0或x＋y－2＝0.‎ ‎21．L4[2013·湖南卷] 已知函数f(x)＝ex.‎ ‎(1)求f(x)的单调区间；‎ ‎(2)证明：当f(x1)＝f(x2)(x1≠x2)时，x1＋x2<0.‎ ‎21．解：(1)函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)．‎ f′(x)＝′ex＋ex＝＋ex ‎＝ex.‎ 当x<0时，f′(x)>0；当x>0时，f′(x)<0，‎ 所以f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0，＋∞)．‎ ‎(2)证明：当x<1时，由于>0，ex>0，故f(x)>0；‎ 同理，当x>1时，f(x)<0.‎ 当f(x1)＝f(x2)(x1≠x2)时，不妨设x1

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