2012年高考数学真题分类汇编B 函数与导数(文科)
B 函数与导数
B1 函数及其表示
14．B1[2012·天津卷] 已知函数y＝的图象与函数y＝kx的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是________．
14．(0,1)∪(1,2) [解析] y＝＝ 在同一坐标系内画出y＝kx与y＝的图象如图，
结合图象当直线y＝kx斜率从0增到1时，与y＝在x轴下方的图象有两公共点；当斜率从1增到2时，与y＝的图象在x轴上、下方各有一个公共点．
11．B1[2012·陕西卷] 设函数f(x)＝则f(f(－4))＝________.
11．4 [解析] 由题目所给的是一分段函数，而f(－4)＝16，所以f(16)＝4，故答案为4.
3．B1[2012·山东卷] 函数f(x)＝＋的定义域为( )
A．[－2,0)∪(0,2] B．(－1,0)∪(0,2]
C．[－2,2] D．(－1,2]
3．B [解析] 本题考查函数的定义域，考查运算能力，容易题．
要使函数f(x)＝＋有意义，须有解之得－1
0、x＝0、x<0讨论其解析式，然后画出图像，经判断符合要求，故选D.
8．B3、B10[2012·北京卷] 某棵果树前n年的总产量Sn与n之间的关系如图1－6所示．从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，m的值为( )
图1－6
A．5 B．7
C．9 D．11
8．C [解析] 本题考查利用函数图像识别函数值的变化趋势，也就是函数增减速度的快慢．
法一：因为随着n的增大，Sn在增大，要使取得最大值，只要让随着n的增大Sn＋1－Sn的值超过(平均变化)的加入即可，Sn＋1－Sn的值不超过(平均变化)的舍去，由图像可知，6,7,8,9这几年的改变量较大，所以应该加入，到第10,11年的时候，改变量明显变小，所以不应该加入，故答案为C.
法二：假设是取的最大值，所以只要>即可，也就是>，即可以看作点Qm(m，Sm)与O(0,0)连线的斜率大于点Qm＋1(m＋1，Sm＋1)与O(0,0)连线的斜率，所以观察可知到第Q9(9，S9)与O(0,0)连线的斜率开始大于点Q10(10，S10)与O(0,0)连线的斜率．答案为C.
14．A2、A3、B3、E3[2012·北京卷] 已知f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)，g(x)＝2x－2，若∀x∈R，f(x)<0或g(x)<0，则m的取值范围是________．
14．(－4,0) [解析] 本题考查函数图像与性质、不等式求解、逻辑、二次函数与指数函数等基础知识和基本技能，考查分类讨论的数学思想、分析问题和解决问题以及综合运用知识的能力．
由已知g(x)＝2x－2<0，可得x<1，要使∀x∈R，f(x)<0或g(x)<0，必须使x≥1时，f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)<0恒成立，
当m＝0时，f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)＝0不满足条件，所以二次函数f(x)必须开口向下，也就是m<0，要满足条件，必须使方程f(x)＝0的两根2m，－m－3都小于1，即 可得m∈(－4
,0)．
20．B3、D4、M4[2012·北京卷] 设A是如下形式的2行3列的数表，
a
b
c
d
e
f
满足性质P：a，b，c，d，e，f∈[－1,1]，且a＋b＋c＋d＋e＋f＝0.
记ri(A)为A的第i行各数之和(i＝1,2)，cj(A)为A的第j列各数之和(j＝1,2,3)；
记k(A)为|r1(A)|，|r2(A)|，|c1(A)|，|c2(A)|，|c3(A)|中的最小值．
(1)对如下数表A，求k(A)的值；
1
1
－0.8
0.1
－0.3
－1
(2)设数表A形如
1
1
－1－2d
d
d
－1
其中－1≤d≤0，求k(A)的最大值；
(3)对所有满足性质P的2行3列的数表A，求k(A)的最大值．
20．解：(1)因为r1(A)＝1.2，r2(A)＝－1.2，c1(A)＝1.1，c2(A)＝0.7，c3(A)＝－1.8，
所以k(A)＝0.7.
(2)r1(A)＝1－2d，r2(A)＝－1＋2d，
c1(A)＝c2(A)＝1＋d，c3(A)＝－2－2d.
因为－1≤d≤0，
所以|r1(A)|＝|r2(A)|≥1＋d≥0，
|c3(A)|≥1＋d≥0.
所以k(A)＝1＋d≤1.当d＝0时，k(A)取得最大值1.
(3)任给满足性质P的数表A(如下所示)．
a
b
c
d
e
f
任意改变A的行次序或列次序，或把A中的每个数换成它的相反数，所得数表A*仍满足性质P，并且k(A)＝k(A*)．
因此，不妨设r1(A)≥0，c1(A)≥0，c2(A)≥0.
由k(A)的定义知，
k(A)≤r1(A)，k(A)≤c1(A)，k(A)≤c2(A)．
从而3k(A)≤r1(A)＋c1(A)＋c2(A)
＝(a＋b＋c)＋(a＋d)＋(b＋e)
＝(a＋b＋c＋d＋e＋f)＋(a＋b－f)
＝a＋b－f≤3.
所以k(A)≤1.
由(2)知，存在满足性质P的数表A使k(A)＝1.
故k(A)的最大值为1.
6．B3、B4[2012·天津卷] 下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为( )
A．y＝cos2x，x∈R
B．y＝log2|x|，x∈R且x≠0
C．y＝，x∈R
D．y＝x3＋1，x∈R
6．B [解析] 法一：由偶函数的定义可排除C、D，又∵y＝cos2x为偶函数，但在(1,2)
内不单调递增，故选B.
法二：由偶函数定义知y＝log2|x|为偶函数，以2为底的对数函数在(1,2)内单调递增．
22．B3、B9、B12[2012·福建卷] 已知函数f(x)＝axsinx－(a∈R)，且在上的最大值为.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)判断函数f(x)在(0，π)内的零点个数，并加以证明．
22．解：(1)由已知f′(x)＝a(sinx＋xcosx)，
对于任意x∈，有sinx＋xcosx＞0.
当a＝0时，f(x)＝－，不合题意；
当a＜0，x∈时，f′(x)＜0，从而f(x)在内单调递减，
又f(x)在上的图象是连续不断的，故f(x)在上的最大值为f(0)＝－，不合题意；
当a＞0，x∈时，f′(x)＞0，从而f(x)在内单调递增，又f(x)在上的图象是连续不断的，故f(x)在上的最大值为f，即a－＝，
解得a＝1.
综上所述，得f(x)＝xsinx－.
(2)f(x)在(0，π)内有且只有两个零点．
证明如下：
由(1)知，f(x)＝xsinx－，从而有f(0)＝－＜0.
f＝＞0，
又f(x)在上的图象是连续不断的．
所以f(x)在内至少存在一个零点．
又由(1)知f(x)在上单调递增，故f(x)在内有且仅有一个零点．
当x∈时，令g(x)＝f′(x)＝sinx＋xcosx.
由g＝1＞0，g(π)＝－π＜0，且g(x)在上的图象是连续不断的，故存在m∈，使得g(m)＝0.
由g′(x)＝2cosx－xsinx，知x∈时，有g′(x)＜0，
从而g(x)在内单调递减．
当x∈时，g(x)＞g(m)＝0，即f′(x)＞0，从而f(x)在内单调递增，
故当x∈时，f(x)≥f＝＞0，
故f(x)在上无零点；
当x∈(m，π)时，有g(x)＜g(m)＝0，即f′(x)＜0，从而f(x)在(m，π)内单调递减．
又f(m)＞0，f(π)＜0，且f(x)在[m，π]上的图象是连续不断的，从而f(x)在(m，π)内有且仅有一个零点．
综上所述，f(x)在(0，π)内有且只有两个零点．
8．B3、B10[2012·北京卷] 某棵果树前n年的总产量Sn与n之间的关系如图1－6所示．从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，m的值为( )
图1－6
A．5 B．7
C．9 D．11
8．C [解析] 本题考查利用函数图像识别函数值的变化趋势，也就是函数增减速度的快慢．
法一：因为随着n的增大，Sn在增大，要使取得最大值，只要让随着n的增大Sn＋1－Sn的值超过(平均变化)的加入即可，Sn＋1－Sn的值不超过(平均变化)的舍去，由图像可知，6,7,8,9这几年的改变量较大，所以应该加入，到第10,11年的时候，改变量明显变小，所以不应该加入，故答案为C.
法二：假设是取的最大值，所以只要>即可，也就是>，即可以看作点Qm(m，Sm)与O(0,0)连线的斜率大于点Qm＋1(m＋1，Sm＋1)与O(0,0)连线的斜率，所以观察可知到第Q9(9，S9)与O(0,0)连线的斜率开始大于点Q10(10，S10)与O(0,0)连线的斜率．答案为C.
16．B3、B4[2012·浙江卷] 设函数f(x)是定义在R上的周期为2的偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝x＋1，则f＝________.
16．[答案]
[解析] 本题考查了函数的性质等基本知识，考查了学生的观察、变通能力，属于较易题．
函数f(x)是定义在R上的周期为2的偶函数，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x＋1，那么f＝f＝f＝f＝.
B4 函数的奇偶性与周期性
12．B4[2012·重庆卷] 若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________.
12．4 [解析] 因为f(x)＝x2＋(a－4)x－4a，所以根据f(x)为偶函数得f(x)＝f(－x)，即x2
＋(a－4)x－4a＝x2＋(4－a)x－4a，所以a－4＝4－a，解得a＝4.
9．B4[2012·上海卷] 已知y＝f(x)是奇函数，若g(x)＝f(x)＋2且g(1)＝1，则g(－1)＝________.
9．3 [解析] 考查函数的奇偶性和转化思想，解此题的关键是利用y＝f(x)为奇函数．
已知函数y＝f(x)为奇函数，由已知得g(1)＝f(1)＋2＝1，∴f(1)＝－1，
则f(－1)＝－f(1)＝1，所以g(－1)＝f(－1)＋2＝1＋2＝3.
4．B4[2012·广东卷] 下列函数为偶函数的是( )
A．y＝sinx B．y＝x3
C．y＝ex D．y＝ln
4．D [解析] 根据奇偶性的定义知A、B都为奇函数，C非奇非偶函数，D是偶函数，所以选择D.
6．B3、B4[2012·天津卷] 下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为( )
A．y＝cos2x，x∈R
B．y＝log2|x|，x∈R且x≠0
C．y＝，x∈R
D．y＝x3＋1，x∈R
6．B [解析] 法一：由偶函数的定义可排除C、D，又∵y＝cos2x为偶函数，但在(1,2)内不单调递增，故选B.
法二：由偶函数定义知y＝log2|x|为偶函数，以2为底的对数函数在(1,2)内单调递增．
2．B3、B4[2012·陕西卷] 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( )
A．y＝x＋1 B．y＝－x3
C．y＝ D．y＝x|x|
2．D [解析] 本小题主要考查函数的单调性、奇偶性，解题的突破口为单调性的定义、奇偶性的定义与函数图像的对应关系．若函数为单调增函数，其图像为从左向右依次上升；若函数为奇函数，其图像关于原点对称．经分析，A选项函数的图像不关于原点对称，不是奇函数，排除；B选项函数的图像从左向右依次下降，为单调减函数，排除；C选项函数的图像从左向右依次下降，为单调减函数，排除；故选D.其实对于选项D，我们也可利用x>0、x＝0、x<0讨论其解析式，然后画出图像，经判断符合要求，故选D.
16．B3、B4[2012·浙江卷] 设函数f(x)是定义在R上的周期为2的偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝x＋1，则f＝________.
16．[答案]
[解析] 本题考查了函数的性质等基本知识，考查了学生的观察、变通能力，属于较易题．
函数f(x)是定义在R上的周期为2的偶函数，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x＋1，那么f＝f＝f＝f＝.
B5 二次函数
12．B5[2012·山东卷] 设函数f(x)＝，g(x)＝－x2＋bx.若y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象有且仅有两个不同的公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列判断正确的是( )
A．x1＋x2>0，y1＋y2>0
B．x1＋x2>0，y1＋y2<0
C．x1＋x2<0，y1＋y2>0
D．x1＋x2<0，y1＋y2<0
12．B [解析] 本题考查函数的图象与性质，考查推理论证能力，偏难．
当y＝f(x)的图象与y＝g(x)图象有且仅有两个不同的公共点时，其图象为
作出点A关于原点的对称点C，则C(－x1，－y1)，由图象知－x1y2，故x1＋x2>0，y1＋y2<0，故选B.
6．B5、B6[2012·上海卷] 方程4x－2x＋1－3＝0的解是________．
6．log23 [解析] 考查指数方程和二次方程的求解，以及函数与方程的思想和转化思想，关键是把指数方程转化为二次方程求解．
把原方程转化为(2x)2－2·2x－3＝0，化为(2x－3)(2x＋1)＝0，
所以2x＝3，或2x＝－1(舍去)，两边取对数解得x＝log23.
B6 指数与指数函数
4．B6[2012·四川卷] 函数y＝ax－a(a>0，且a≠1)的图象可能是( )
图1－1
4．C [解析] 由f(1)＝0可知选C.
15．B6、B8[2012·山东卷] 若函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)在[0，＋∞)上是增函数，则a＝________.
15. [解析] 本题考查指数函数与幂函数的单调性，考查分类讨论思想及推理论证能力，中档题．
∵g(x)＝(1－4m)在(0，＋∞)上单调递增，
∴m<.
当a>1时，f(x)的最大值为a2＝4，即a＝2，m＝2－1＝>，与m<相矛盾，舍去；
当02,1＝01时，因为0，解得a>或a<－.结合前提条件得0|，则N＝{x∈R|g(x)<2}，则M∩N为( )
A．(1，＋∞) B．(0,1)
C．(－1,1) D．(－∞，1)
10．D [解析] 因为f(g(x))＝[g(x)]2－4g(x)＋3，所以解关于g(x)不等式[g(x)]2－4g(x)＋3＞0，得g(x)＜1或g(x)＞3，即3x－2＜1或3x－2＞3，解得x＜1或x＞log35，所以M＝(－∞，1)∪(log35，＋∞)，又由g(x)＜2，即3x－2＜2,3x＜4，解得x＜log34，所以N＝(－∞，log34)，故M∩N＝(－∞，1)，选D.
B7 对数与对数函数
7．B7[2012·重庆卷] 已知a＝log23＋log2，b＝log29－log2，c＝log32，则a，b，c的大小关系是( )
A．a＝bc
C．ab>c
7．B [解析] 因为a＝log23＞1，b＝log2＝log23＞1，又∵0＝log31＜log32＜log33＝1，∴a＝b＞c，选B.
11．B7[2012·全国卷] 已知x＝lnπ，y＝log52，z＝e－，则( )
A．xlne＝1,0e－＝>＝，∴y2,1＝01时，因为0，解得a>或a<－.结合前提条件得0，a≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)在[0，＋∞)上是增函数，则a＝________.
15. [解析] 本题考查指数函数与幂函数的单调性，考查分类讨论思想及推理论证能力，中档题．
∵g(x)＝(1－4m)在(0，＋∞)上单调递增，
∴m<.
当a>1时，f(x)的最大值为a2＝4，即a＝2，m＝2－1＝>，与m<相矛盾，舍去；
当00.
21．解：(1)由题意得f′(x)＝12x2－2a.
当a≤0时，f′(x)≥0恒成立，此时f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)．
当a＞0 时，f′(x)＝12，此时
函数f(x)的单调递增区间为
和，
单调递减区间为.
(2)由于0≤x≤1，故
当a≤2时，f(x)＋|a－2|＝4x3－2ax＋2≥4x3－4x＋2.
当a＞2时，f(x)＋|a－2|＝4x3＋2a(1－x)－2≥4x3＋4(1－x)－2＝4x3－4x＋2.
设g(x)＝2x3－2x＋1,0≤x≤1，则
g′(x)＝6x2－2＝6，
于是
x
0
1
g′(x)
－
0
＋
g(x)
1
减
极小值
增
1
所以，g(x)min＝g＝1－＞0.
所以当0≤x≤1时，2x3－2x＋1＞0.
故f(x)＋|a－2|≥4x3－4x＋2＞0.
18．B10、B11、B12[2012·北京卷] 已知函数f(x)＝ax2＋1(a>0)，g(x)＝x3＋bx.
(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；
(2)当a＝3，b＝－9时，若函数f(x)＋g(x)在区间[k,2]上的最大值为28，求k的取值范围．
18．解：(1)f′(x)＝2ax，g′(x)＝3x2＋b.
因为曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，所以f(1)＝g(1)，且f′(1)＝g′(1)．
即a＋1＝1＋b，且2a＝3＋b.
解得a＝3，b＝3.
(2)记h(x)＝f(x)＋g(x)．当a＝3，b＝－9时，
h(x)＝x3＋3x2－9x＋1，
h′(x)＝3x2＋6x－9.
令h′(x)＝0，得x1＝－3，x2＝1.
h(x)与h′(x)在(－∞，2]上的情况如下：
x
(－∞，－3)
－3
(－3,1)
1
(1,2)
2
h′(x)
＋
0
－
0
＋
h(x)
28
－4
3
由此可知：
当k≤－3时，函数h(x)在区间[k,2]上的最大值为h(－3)＝28；
当－3＜k＜2时，函数h(x)在区间[k,2]上的最大值小于28.
因此，k的取值范围是(－∞，－3]．
18．K2、B10、I2[2012·课标全国卷] 某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．
(1)若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，n∈N)的函数解析式；
(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：
日需求量n
14
15
16
17
18
19
20
频数
10
20
16
16
15
13
10
①假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润(单位：元)的平均数；
②若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率．
18．解：(1)当日需求量n≥17时，利润y＝85.
当日需求量n<17时，利润y＝10n－85.
所以y关于n的函数解析式为
y＝(n∈N)．
(2)①这100天中有10天的日利润为55元，20天的日利润为65元，16天的日利润为75元，54天的日利润为85元，所以这100天的日利润的平均数为
(55×10＋65×20＋75×16＋85×54)＝76.4.
②利润不低于75元当且仅当日需求量不少于16枝．故当天的利润不少于75元的概率为
p＝0.16＋0.16＋0.15＋0.13＋0.1＝0.7.
18．B10、I4[2012·福建卷] 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
单价x(元)
8
8.2
8.4
8.6
8.8
9
销量y(件)
90
84
83
80
75
68
(1)求回归直线方程＝bx＋a，其中b＝－20，a＝－b；
(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)
18．解：(1)由于＝(x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6)＝8.5，
＝(y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋y6)＝80.
所以a＝－b＝80＋20×8.5＝250，从而回归直线方程为＝－20x＋250.
(2)设工厂获得的利润为L元，依题意得
L＝x(－20x＋250)－4(－20x＋250)
＝－20x2＋330x－1000
＝－202＋361.25.
当且仅当x＝8.25时，L取得最大值．
故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润．
B11 导数及其运算
9．B11[2012·陕西卷] 设函数f(x)＝＋lnx，则( )
A．x＝为f(x)的极大值点
B．x＝为f(x)的极小值点
C．x＝2为f(x)的极大值点
D．x＝2为f(x)的极小值点
9．D [解析] 所给的原函数f(x)＝＋lnx的导函数为f′(x)＝－＋，令f′(x)＝0可得x＝2，当x>2时，f′(x)>0，函数f(x)为增函数；当x<2时，f′(x)<0，函数f(x)为减函数，所以x＝2为极小值点，故选D.
13．B11[2012·课标全国卷] 曲线y＝x(3lnx＋1)在点(1,1)处的切线方程为________．
13．[答案] y＝4x－3
[解析] y′＝3lnx＋1＋x·＝3lnx＋4，故y′|x＝1＝4.故所求切线方程为y－1＝4(x－1)，即4x－y－3＝0.
21．B10、B11、B12 [2012·浙江卷] 已知a∈R，函数f(x)＝4x3－2ax＋a.
(1) 求f(x)的单调区间；
(2)证明：当0≤x≤1时，f(x)＋|2－a|>0.
21．解：(1)由题意得f′(x)＝12x2－2a.
当a≤0时，f′(x)≥0恒成立，此时f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)．
当a＞0 时，f′(x)＝12，此时
函数f(x)的单调递增区间为
和，
单调递减区间为.
(2)由于0≤x≤1，故
当a≤2时，f(x)＋|a－2|＝4x3－2ax＋2≥4x3－4x＋2.
当a＞2时，f(x)＋|a－2|＝4x3＋2a(1－x)－2≥4x3＋4(1－x)－2＝4x3－4x＋2.
设g(x)＝2x3－2x＋1,0≤x≤1，则
g′(x)＝6x2－2＝6，
于是
x
0
1
g′(x)
－
0
＋
g(x)
1
减
极小值
增
1
所以，g(x)min＝g＝1－＞0.
所以当0≤x≤1时，2x3－2x＋1＞0.
故f(x)＋|a－2|≥4x3－4x＋2＞0.
18．B10、B11、B12[2012·北京卷] 已知函数f(x)＝ax2＋1(a>0)，g(x)＝x3＋bx.
(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；
(2)当a＝3，b＝－9时，若函数f(x)＋g(x)在区间[k,2]上的最大值为28，求k的取值范围．
18．解：(1)f′(x)＝2ax，g′(x)＝3x2＋b.
因为曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，所以f(1)＝g(1)，且f′(1)＝g′(1)．
即a＋1＝1＋b，且2a＝3＋b.
解得a＝3，b＝3.
(2)记h(x)＝f(x)＋g(x)．当a＝3，b＝－9时，
h(x)＝x3＋3x2－9x＋1，
h′(x)＝3x2＋6x－9.
令h′(x)＝0，得x1＝－3，x2＝1.
h(x)与h′(x)在(－∞，2]上的情况如下：
x
(－∞，－3)
－3
(－3,1)
1
(1,2)
2
h′(x)
＋
0
－
0
＋
h(x)
28
－4
3
由此可知：
当k≤－3时，函数h(x)在区间[k,2]上的最大值为h(－3)＝28；
当－3＜k＜2时，函数h(x)在区间[k,2]上的最大值小于28.
因此，k的取值范围是(－∞，－3]．
12．B11[2012·辽宁卷] 已知P，Q为抛物线x2＝2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，－2，过P、Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为( )
A．1 B．3 C．－4 D．－8
12．C [解析] 本小题主要考查导数的几何意义的应用．解题的突破口为求切点坐标和切线的斜率．
由x2＝2y可知y＝x2，这时y′＝x，由P，Q的横坐标为4，－2，这时P(4,8)，Q(－2,2), 以点P为切点的切线方程PA为y－8＝4(x－4)，即4x－y－8＝0①；以点Q为切点的切线方程QA为y－2＝－2(x＋2)，即2x＋y＋2＝0②；由①②联立得A点坐标为(1，－4)，这时纵坐标为－4.
7．D3、B11[2012·上海卷] 有一列正方体，棱长组成以1为首项、为公比的等比数列，体积分别记为V1，V2，…，Vn，…，则 (V1＋V2＋…＋Vn)＝________.
7. [解析] 考查等比数列和无穷递缩等比数列的极限，此题只要掌握极限公式即可解决，是简单题型．
由已知可知V1，V2，V3，…构成新的等比数列，首项V1＝1，公比q＝，
由极限公式得 (V1＋V2＋…＋Vn)＝＝＝.
10．B11、B12、E1[2012·浙江卷] 设a>0，b>0，e是自然对数的底数( )
A．若ea＋2a＝eb＋3b，则a>b
B．若ea＋2a＝eb＋3b，则ab
D．若ea－2a＝eb－3b，则aeb＋3b，令函数f(x)＝ex＋3x，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∵f(a)>f(b)，∴a>b，A正确，B错误；
由ea－2a＝eb－3b，有ea－2ab，当a，b∈(ln2，＋∞)时，由f(a)0.
21．解：(1)由题意得f′(x)＝12x2－2a.
当a≤0时，f′(x)≥0恒成立，此时f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)．
当a＞0 时，f′(x)＝12，此时
函数f(x)的单调递增区间为
和，
单调递减区间为.
(2)由于0≤x≤1，故
当a≤2时，f(x)＋|a－2|＝4x3－2ax＋2≥4x3－4x＋2.
当a＞2时，f(x)＋|a－2|＝4x3＋2a(1－x)－2≥4x3＋4(1－x)－2＝4x3－4x＋2.
设g(x)＝2x3－2x＋1,0≤x≤1，则
g′(x)＝6x2－2＝6，
于是
x
0
1
g′(x)
－
0
＋
g(x)
1
减
极小值
增
1
所以，g(x)min＝g＝1－＞0.
所以当0≤x≤1时，2x3－2x＋1＞0.
故f(x)＋|a－2|≥4x3－4x＋2＞0.
10．B11、B12、E1[2012·浙江卷] 设a>0，b>0，e是自然对数的底数( )
A．若ea＋2a＝eb＋3b，则a>b
B．若ea＋2a＝eb＋3b，则ab
D．若ea－2a＝eb－3b，则aeb＋3b，令函数f(x)＝ex＋3x，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∵f(a)>f(b)，∴a>b，A正确，B错误；
由ea－2a＝eb－3b，有ea－2ab，当a，b∈(ln2，＋∞)时，由f(a)0，g(x)<1＋e－2.
22．解：(1)由f(x)＝，
得f′(x)＝，x∈(0，＋∞)，
由于曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线与x轴平行，
所以f′(1)＝0，因此k＝1.
(2)由(1)得f′(x)＝(1－x－xlnx)，x∈(0，＋∞)，
令h(x)＝1－x－xlnx，x∈(0，＋∞)，
当x∈(0,1)时，h(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，h(x)<0.
又ex>0，
所以x∈(0,1)时，f′(x)>0；
x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0.
因此f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．
(3)证明：因为g(x)＝xf′(x)，
所以g(x)＝(1－x－xlnx)，x∈(0，＋∞)，
由(2)h(x)＝1－x－xlnx，x∈(0，＋∞)，
求导得h′(x)＝－lnx－2＝－(lnx－lne－2)，x∈(0，＋∞)，
所以当x∈(0，e－2)时，h′(x)>0，函数h(x)单调递增；
当x∈(e－2，＋∞)时，h′(x)<0，函数h(x)单调递减．
所以当x∈(0，＋∞)时，h(x)≤h(e－2)＝1＋e－2.
又当x∈(0，＋∞)时，0<<1，
所以当x∈(0，＋∞)时，h(x)<1＋e－2，
即g(x)<1＋e－2.
综上所述结论成立．
21．B12[2012·全国卷] 已知函数f(x)＝x3＋x2＋ax.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)设f(x)有两个极值点x1，x2，若过两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))的直线l与x轴的交点在曲线y＝f(x)上，求a的值．
21．解：(1)f′(x)＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1.
①当a≥1时， f′(x)≥0，且仅当a＝1，x＝－1时，f′(x)＝0，所以f(x)是R上的增函数；
②当a<1时，f′(x)＝0有两个根
x1＝－1－，x2＝－1＋.
当x∈(－∞，－1－)时，f′(x)>0，f(x)是增函数；
当x∈(－1－，－1＋)时，f′(x)<0，f(x)是减函数；
当x∈(－1＋，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)是增函数．
(2)由题设知，x1，x2为方程f′(x)＝0的两个根，故有
a<1，x＝－2x1－a，x＝－2x2－a.
因此f(x1)＝x＋x＋ax1
＝x1(－2x1－a)＋x＋ax1
＝x＋ax1
＝(－2x1－a)＋ax1
＝(a－1)x1－.
同理，f(x2)＝(a－1)x2－.
因此直线l的方程为
y＝(a－1)x－.
设l与x轴的交点为(x0,0)，得
x0＝，
f(x0)＝3＋2＋
＝(12a2－17a＋6)．
由题设知，点(x0,0)在曲线y＝f(x)上，故f(x0)＝0，
解得a＝0或a＝或a＝.
17．B12 [2012·安徽卷] 设定义在(0，＋∞)上的函数f(x)＝ax＋＋b(a>0)．
(1)求f(x)的最小值；
(2)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝x，求a，b的值．
17．解：(1)(方法一)由题设和均值不等式可知，
f(x)＝ax＋＋b≥2＋b.
其中等号成立当且仅当ax＝1.
即当x＝时，f(x)取最小值为2＋b.
(方法二)f(x)的导数f′(x)＝a－＝.
当x>时，f′(x)>0，f(x)在上递增；
当01时，f(x)<(x－1)；
(2)当11时，
g′(x)＝＋－<0，g(x)在(1，＋∞)上单调递减．
又g(1)＝0，有g(x)<0，即
f(x)<(x－1)．
(证法二)
由均值不等式，当x>1时，21时，f(x)<(x－1)．
(2)(证法一)
记h(x)＝f(x)－，由(1)得
h′(x)＝＋－
＝－<－
＝
令g(x)＝(x＋5)3－216x，则当10时，(x－k)f′(x)＋x＋1>0，求k的最大值．
21．解：(1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝ex－a.
若a≤0，则f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，＋∞)单调递增．
若a>0，则当x∈(－∞，lna)时，f′(x)<0；
当x∈(lna，＋∞)时，f′(x)>0，
所以，f(x)在(－∞，lna)单调递减，在(lna，＋∞)单调递增．
(2)由于a＝1，所以(x－k)f′(x)＋x＋1＝(x－k)(ex－1)＋x＋1.
故当x>0时，(x－k)f′(x)＋x＋1>0等价于
k<＋x (x>0)． ①
令g(x)＝＋x，
则g′(x)＝＋1＝.
由(1)知，函数h(x)＝ex－x－2在(0，＋∞)单调递增．而h(1)<0，h(2)>0，所以h(x)在(0，＋
∞)存在唯一的零点．故g′(x)在(0，＋∞)存在唯一的零点．设此零点为α，则α∈(1,2)．
当x∈(0，α)时，g′(x)<0；当x∈(α，＋∞)时，g′(x)>0.所以g(x)在(0，＋∞)的最小值为g(α)．
又由g′(α)＝0，可得eα＝α＋2，所以g(α)＝α＋1∈(2,3)．
由于①式等价于k0)，g(x)＝x3＋bx.
(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；
(2)当a＝3，b＝－9时，若函数f(x)＋g(x)在区间[k,2]上的最大值为28，求k的取值范围．
18．解：(1)f′(x)＝2ax，g′(x)＝3x2＋b.
因为曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，所以f(1)＝g(1)，且f′(1)＝g′(1)．
即a＋1＝1＋b，且2a＝3＋b.
解得a＝3，b＝3.
(2)记h(x)＝f(x)＋g(x)．当a＝3，b＝－9时，
h(x)＝x3＋3x2－9x＋1，
h′(x)＝3x2＋6x－9.
令h′(x)＝0，得x1＝－3，x2＝1.
h(x)与h′(x)在(－∞，2]上的情况如下：
x
(－∞，－3)
－3
(－3,1)
1
(1,2)
2
h′(x)
＋
0
－
0
＋
h(x)
28
－4
3
由此可知：
当k≤－3时，函数h(x)在区间[k,2]上的最大值为h(－3)＝28；
当－3＜k＜2时，函数h(x)在区间[k,2]上的最大值小于28.
因此，k的取值范围是(－∞，－3]．
22．B3、B9、B12[2012·福建卷] 已知函数f(x)＝axsinx－(a∈R)，且在上的最大值为.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)判断函数f(x)在(0，π)内的零点个数，并加以证明．
22．解：(1)由已知f′(x)＝a(sinx＋xcosx)，
对于任意x∈，有sinx＋xcosx＞0.
当a＝0时，f(x)＝－，不合题意；
当a＜0，x∈时，f′(x)＜0，从而f(x)在内单调递减，
又f(x)在上的图象是连续不断的，故f(x)在上的最大值为f(0)＝－，不合题意；
当a＞0，x∈时，f′(x)＞0，从而f(x)在内单调递增，又f(x)在上的图象是连续不断的，故f(x)在上的最大值为f，即a－＝，
解得a＝1.
综上所述，得f(x)＝xsinx－.
(2)f(x)在(0，π)内有且只有两个零点．
证明如下：
由(1)知，f(x)＝xsinx－，从而有f(0)＝－＜0.
f＝＞0，
又f(x)在上的图象是连续不断的．
所以f(x)在内至少存在一个零点．
又由(1)知f(x)在上单调递增，故f(x)在内有且仅有一个零点．
当x∈时，令g(x)＝f′(x)＝sinx＋xcosx.
由g＝1＞0，g(π)＝－π＜0，且g(x)在上的图象是连续不断的，故存在m∈，使得g(m)＝0.
由g′(x)＝2cosx－xsinx，知x∈时，有g′(x)＜0，
从而g(x)在内单调递减．
当x∈时，g(x)＞g(m)＝0，即f′(x)＞0，从而f(x)在内单调递增，
故当x∈时，f(x)≥f＝＞0，
故f(x)在上无零点；
当x∈(m，π)时，有g(x)＜g(m)＝0，即f′(x)＜0，从而f(x)在(m，π)内单调递减．
又f(m)＞0，f(π)＜0，且f(x)在[m，π]上的图象是连续不断的，从而f(x)在(m，π)内有且仅有一个零点．
综上所述，f(x)在(0，π)内有且只有两个零点．
8．B12[2012·辽宁卷] 函数y＝x2－lnx的单调递减区间为( )
A．(－1,1] B．(0,1]
C．[1，＋∞) D．(0，＋∞)
8．B [解析] 本小题主要考查导数的运算与利用导数判断函数单调性．解题的突破口为导数大于0求单调递增区间，导数小于0求单调递减区间．
∵y′＝′＝x－＝＝，又因为定义域为(0，＋∞)，令y′<0，得到00时，因为二次函数y＝ax2＋(a－1)x－a的图像开口向上，而f′(0)＝－a<0，所以有f′(1)＝(a－1)e<0，即00，f(x)不符合条件．
故a的取值范围为0≤a≤1.
(2)因g(x)＝(－2ax＋1＋a)ex，
g′(x)＝(－2ax＋1－a)ex.
(i)当a＝0时，g′(x)＝ex>0，g(x)在x＝0上取得最小值g(0)＝1，在x＝1上取得最大值g(1)＝e.
(ii)当a＝1时，对于任意x∈(0,1)有g′(x)＝－2xex<0，g(x)在x＝0取得最大值g(0)＝2，
在x＝1取得最小值g(1)＝0.
(iii)当00.
①若≥1，即00}，B＝{x∈R|2x2－3(1＋a)x＋6a>0}，D＝A∩B.
(1)求集合D(用区间表示)；
(2)求函数f(x)＝2x3－3(1＋a)x2＋6ax在D内的极值点．
21．解：(1)x∈D⇔x>0且2x2－3(1＋a)x＋6a>0.
令h(x)＝2x2－3(1＋a)x＋6a，
Δ＝9(1＋a)2－48a＝3(3a－1)(a－3)．
①当0，∴B＝R.
于是D＝A∩B＝A＝(0，＋∞)．
②当a＝时，Δ＝0，此时方程h(x)＝0有唯一解
x1＝x2＝＝＝1，
∴B＝(－∞，1)∪(1，＋∞)．
于是D＝A∩B＝(0,1)∪(1，＋∞)．
③当00，此时方程h(x)＝0有两个不同的解
x1＝，
x2＝.
∵x10，
∴B＝(－∞，x1)∪(x2，＋∞)．
又∵x1>0⇔a>0，
∴D＝A∩B＝(0，x1)∪(x2，＋∞)．
(2)f′(x)＝6x2－6(1＋a)x＋6a＝6(x－1)(x－a)．
当0a且x1<<1，
x2＝
＝
>＝1，
∴a∈D,1∉D.
由表可得，x＝a为f(x)在D内的极大值点．
22．B12、E8[2012·湖北卷] 设函数f(x)＝axn(1－x)＋b(x＞0)，n为整数，a，b为常数．曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为x＋y＝1.
(1)求a，b的值；
(2)求函数f(x)的最大值；
(3)证明：f(x)＜.
22．解：(1)因为f(1)＝b，由点(1，b)在x＋y＝1上，可得1＋b＝1，即b＝0.
因为f′(x)＝anxn－1－a(n＋1)xn，所以f′(1)＝－a，
又因为切线x＋y＝1的斜率为－1，所以－a＝－1，即a＝1.故a＝1，b＝0.
(2)由(1)知，f(x)＝xn(1－x)＝xn－xn＋1，f′(x)＝(n＋1)xn－1.
令f′(x)＝0，解得x＝，即f′(x)在(0，＋∞)上有唯一零点x0＝.
在上，f′(x)>0，f(x)单调递增；
而在上，f′(x)<0，f(x)单调递减．
故f(x)在(0，＋∞)上的最大值为f＝
n＝.
(3)证明：令φ(t)＝lnt－1＋(t＞0)，则φ′(t)＝－＝(t＞0)．
在(0,1)上，φ′(t)＜0，故φ(t)单调递减；
而在(1，＋∞)上，φ′(t)＞0，φ(t)单调递增．
故φ(t)在(0，＋∞)上的最小值为φ(1)＝0.所以φ(t)＞0(t＞1)，
即lnt＞1－(t＞1)．
令t＝1＋，得ln＞，即lnn＋1＞lne，
所以n＋1＞e，即＜.
由(2)知，f(x)≤＜，故所证不等式成立．
17．B12、E4[2012·重庆卷] 已知函数f(x)＝ax3＋bx＋c在点x＝2处取得极值c－16.
(1)求a，b的值；
(2)若f(x)有极大值28，求f(x)在[－3,3]上的最小值．
17．解：因f(x)＝ax3＋bx＋c，故f′(x)＝3ax2＋b.
由于f(x)在点x＝2处取得极值c－16.
故有
即化简得
解得a＝1，b＝－12.
(2)由(1)知f(x)＝x3－12x＋c；
f′(x)＝3x2－12＝3(x－2)(x＋2)．
令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝2.
当x∈(－∞，－2)时，f′(x)>0，故f(x)在(－∞，－2)上为增函数；
当x∈(－2,2)时，f′(x)<0，故f(x)在(－2,2)上为减函数；
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(2，＋∞)上为增函数．
由此可知f(x)在x1＝－2处取得极大值f(－2)＝16＋c，f(x)在x2＝2处取得极小值f(2)＝c－16.
由题设条件知16＋c＝28，得c＝12.
此时f(－3)＝9＋c＝21，f(3)＝－9＋c＝3，f(2)＝－16＋c＝－4，
因此f(x)在[－3,3]上的最小值为f(2)＝－4.
21．B12、D2[2012·安徽卷] 设函数f(x)＝＋sinx的所有正的极小值点从小到大排成的数列为{xn}．
(1)求数列{xn}的通项公式；
(2)设{xn}的前n项和为Sn，求sinSn.
21．解：(1)因为f′(x)＝＋cosx＝0，cosx＝－.
解得x＝2kπ±π(k∈Z)．
由xn是f(x)的第n个正极小值点知，
xn＝2nπ－π(n∈N*)．
(2)由(1)可知，Sn＝2π(1＋2＋…＋n)－nπ
＝n(n＋1)π－.
所以sinSn＝sin.
因为n(n＋1)表示两个连续正整数的乘积，n(n＋1)一定为偶数．
所以sinSn＝－sin.
当n＝3m－2(m∈N*)时，
sinSn＝－sin＝－；
当n＝3m－1(m∈N*)时，
sinSn＝－sin＝；
当n＝3m(m∈N*)时，sinSn＝－sin2mπ＝0.
综上所述，sinSn＝
22．B12、M2[2012·湖南卷] 已知函数f(x)＝ex－ax，其中a＞0.
(1)若对一切x∈R，f(x)≥1恒成立，求a的取值集合；
(2)在函数f(x)的图象上取定两点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))(x1＜x2)，记直线AB的斜率为k，证明：存在x0∈(x1，x2)，使f′(x0)＝k成立．
22．解：(1)f′(x)＝ex－a.令f′(x)＝0得x＝lna.
当x＜lna时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x＞lna时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．故当x＝ln a时，f(x)取最小值f(lna)＝a－alna.
于是对一切x∈R，f(x)≥1恒成立，当且仅当
a－alna≥1. ①
令g(t)＝t－tlnt，则g′(t)＝－lnt.
当0＜t＜1时，g′(t)＞0，g(t)单调递增；
当t＞1时，g′(t)＜0，g(t)单调递减．
故当t＝1时，g(t)取最大值g(1)＝1.因此，当且仅当a＝1时，①式成立．
综上所述，a的取值集合为{1}．
(2)由题意知，k＝＝－a.
令φ(x)＝f′(x)－k＝ex－，则
φ(x1)＝－[ex2－x1－(x2－x1)－1]，
φ(x2)＝[ex1－x2－(x1－x2)－1]．
令F(t)＝et－t－1，则F′(t)＝et－1.
当t＜0时，F′(t)＜0，F(t)单调递减；
当t＞0时，F′(t)＞0，F(t)单调递增．
故当t≠0时，F(t)＞F(0)＝0，即et－t－1＞0.
从而ex2－x1－(x2－x1)－1＞0，ex1－x2－(x1－x2)－1＞0，又＞0，＞0，
所以φ(x1)＜0，φ(x2)＞0.
因为函数y＝φ(x)在区间[x1，x2]上的图象是连续不断的一条曲线，所以存在x0∈(x1，x2)，使φ(x0)＝0，即f′(x0)＝k成立．
B13 定积分与微积分基本定理
B14 单元综合
18．B14[2012·江苏卷] 若函数y＝f(x)在x＝x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y＝f(x)的极值点．已知a，b是实数，1和－1是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点．
(1)求a和b的值；
(2)设函数g(x)的导函数g′(x)＝f(x)＋2，求g(x)的极值点；
(3)设h(x)＝f(f(x))－c，其中c∈[－2,2]，求函数y＝h(x)的零点个数．
18．解：(1)由题设知f′(x)＝3x2＋2ax＋b，且f′(－1)＝3－2a＋b＝0，f′(1)＝3＋2a＋b＝0，解得a＝0，b＝－3.
(2)由(1)知f(x)＝x3－3x.因为f(x)＋2＝(x－1)2(x＋2)，所以g′(x)＝0的根为x1＝x2＝1，x3＝－2，于是函数g(x)的极值点只可能是1或－2.
当x<－2时，g′(x)<0；当－20，故－2是g(x)的极值点．
当－21时，g′(x)>0，故1不是g(x)的极值点．
所以g(x)的极值点为－2.
(3)令f(x)＝t，则h(x)＝f(t)－c.先讨论关于x的方程f(x)＝d根的情况，d∈[－2,2]．
当|d|＝2时，由(2)可知，f(x)＝－2的两个不同的根为1和－2，注意到f(x)是奇函数，所以f(x)＝2的两个不同的根为－1和2.
当|d|<2时，因为f(－1)－d＝f(2)－d＝2－d>0，f(1)－d＝f(－2)－d＝－2－d<0，
所以－2，－1,1,2都不是f(x)＝d的根．由(1)知f′(x)＝3(x＋1)(x－1)．
①当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，于是f(x)是单调增函数，从而f(x)>f(2)＝2.
此时f(x)＝d无实根．同理，f(x)＝d在(－∞，－2)上无实根．
②当x∈(1,2)时，f′(x)>0，于是f(x)是单调增函数，又f(1)－d<0，f(2)－d>0，y＝f(x)－d的图象不间断，所以f(x)＝d在(1,2)内有唯一实根．同理，f(x)＝d在(－2，－1)内有唯一实根．
③当x∈(－1,1)时，f′(x)<0，故f(x)是单调减函数，又f(－1)－d>0，f(1)－d<0，y＝f(x)－d的图象不间断，所以f(x)＝d在(－1,1)内有唯一实根．
由上可知：当|d|＝2时，f(x)＝d有两个不同的根x1，x2满足|x1|＝1，|x2|＝2；
当|d|<2时，f(x)＝d有三个不同的根x3，x4，x5满足|xi|<2，i＝3,4,5.
现考虑函数y＝h(x)的零点．
(i)当|c|＝2时，f(t)＝c有两个根t1，t2满足|t1|＝1，|t2|＝2，而f(x)＝t1有三个不同的根，f(x)＝t2有两个不同的根，故y＝h(x)有5个零点．
(ii)当|c|<2时，f(t)＝c有三个不同的根t3，t4，t5满足|ti|<2，i＝3,4,5，而
f(x)＝ti(i＝3,4,5)有三个不同的根，故y＝h(x)有9个零点．
综上可知， 当|c|＝2时，函数y＝h(x)有5个零点；当|c|<2时，函数y＝h(x)有9个零点．
10．B14[2012·江苏卷] 设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f(x)＝其中a，b∈R.若f＝f，
则a＋3b的值为________．
10．－10 [解析] 本题考查函数的周期性以及分段函数的函数值求解．解题突破口为根据周期性将f转化为f.
由条件得f＝，f＝f＝－a＋1，从而＝－a＋1，化简得3a＋2b＝－2，
又f(－1)＝f(1)得－a＋1＝，联立解之得a＝2，b＝－4，从而a＋3b＝－10.
12．B14[2012·福建卷] 已知f(x)＝x3－6x2＋9x－abc，a＜b＜c，且f(a)＝f(b)＝f(c)＝0.现给出如下结论：①f(0)f(1)＞0；②f(0)f(1)＜0；③f(0)f(3)＞0；④f(0)f(3)＜0.
其中正确结论的序号是( )
A．①③ B．①④
C．②③ D．②④
12．C [解析] 对函数求导得：f′(x)＝3x2－12x＋9，
令f′(x)＝0，解得
x1＝1，x2＝3，当x<1时，函数f(x)单调递增；当13时，函数f(x)单调递增，因为a0，且方程有解，故a>0，所以a>0,13，画出函数f(x)的图象，如图所示．显然f(0)<0，f(1)>0，f(3)<0，所以f(0)·f(1)<0，f(0)·f(3)>0.所以②③正确，所以选择C.
9．B14、C3[2012·湖南卷] 设定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数，f′(x)是f(x)的导函数．当x∈[0，π]时，0＜f(x)＜1；当x∈(0，π)且x≠时，x－f′(x)＞0.则函数y＝f(x)－sinx在[－2π，2π]上的零点个数为( )
A．2 B．4 C．5 D．8
9．B [解析] 本题考查函数的性质和函数的零点，以及数形结合思想，意在考查考生函数性质与图像综合运用的能力；具体的解题思路和过程：利用函数的奇偶性、周期性和单调性，作出函数简图，把f(x)－sinx＝0构造两个函数，利用数形结合思想，得出函数的零点数．
由当x∈(0，π) 且x≠时，f′(x)＞0 ，可知函数f(x)在上是单调递减的，在上是单调递增的，又由函数为偶函数，周期为2π，可画出其一个简图，令f(x)－sinx＝0，即f(x)＝sinx，构造两个函数y＝f(x)和y＝sinx，由图可知，函数有4个零点．
[易错点] 本题易错一：对函数的性质掌握不到位，无法作出函数图象的简图；易错二：函数的零点个数的确定有三种方法，此题只能用函数的交点方法求解；易错三：许多考生不习惯作图，无法正确运用数形结合思想解答．
10．B14[2012·山东卷] 函数y＝的图象大致为( )
图1－2
10．D [解析] 本题考查函数的图象与性质，考查推理论证能力，应用意识，中档题．
由函数y＝为奇函数，排除选项A，当x无限大时，y趋向于0，排除选项C，当x从正数趋向于0时，y趋向于正无穷大，故选D.
13．B14[2012·上海卷] 已知函数y＝f(x)的图像是折线段ABC，其中A(0,0)、B、C(1,0)．函数y＝xf(x)(0≤x≤1)的图像与x轴围成的图形的面积为________．
13. [解析] 考查分段函数和用定积分求曲边形的面积，考查学生分类讨论思想和转化思想．
由已知可得函数的解析式y＝xf(x)＝曲线与x轴围成区域的面积，可用定积分表示S＝∫0(2x2 )dx＋(2x－2x2)dx＝.
20．B14[2012·上海卷] 已知f(x)＝lg(x＋1)．
(1)若0＜f(1－2x)－f(x)＜1，求x的取值范围；
(2)若g(x)是以2为周期的偶函数，且当0≤x≤1时，有g(x)＝f(x)，求函数y＝g(x)(x∈[1,2])的反函数．
20．解：(1)由得－1＜x＜1.
由0＜lg(2－2x)－lg(x＋1)＝lg＜1得
1＜＜10.
因为x＋1＞0，所以x＋1＜2－2x＜10x＋10，
－＜x＜，
由得－＜x＜，
所以x的取值范围是.
(2)g(x)是以2为周期的偶函数，当x∈[1,2]时，2－x∈[0,1]，因此
y＝g(x)＝g(x－2)＝g(2－x)＝f(2－x)＝lg(3－x)．
由单调性可得y∈[0，lg2]．
因为x＝3－10y，所以所求反函数是y＝3－10x，x∈[0，lg2]．
22．B14、E9、J3、D5[2012·四川卷] 已知a为正实数，n为自然数，抛物线y＝－x2＋与x轴正半轴相交于点A.设f(n)为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距．
(1)用a和n表示f(n)；
(2)求对所有n都有≥成立的a的最小值；
(3)当06·.
首先证明：当06x.
设函数g(x)＝6x(x2－x)＋1,00.
故g(x)在区间(0,1)上的最小值g(x)min＝g＝>0.
所以，当00，即得>6x.
由06ak，从而
＋＋…＋
＝＋＋…＋>6(a＋a2＋…＋an)
＝6·
＝6·.
