2014年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学

2014年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学

‎2014年江苏高考数学试题 数学Ⅰ试题 参考公式:‎ 圆柱的侧面积公式:S圆柱=cl, 其中c是圆柱底面的周长，l为母线长.‎ 圆柱的体积公式:V圆柱=Sh,其中S是圆柱的底面积，h为高.‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.‎ ‎1．已知集合，，则 ．‎ ‎2．已知复数(i为虚数单位)，则z的实部为 ．‎ ‎3．右图是一个算法流程图，则输出的n的值是 ．‎ ‎4．从这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的 概率是 ．‎ ‎5．已知函数与，它们的图象有一个横坐标为 的交点，则的值是 ．‎ ‎6．为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm），所得数据均在区间上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有 株 树木的底部周长小于100 cm．‎ ‎7．在各项均为正数的等比数列中，若，，‎ 则的值是 ．‎ ‎8．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为，体积分别为，若它们的侧面积相等，且，则的值是 ．‎ ‎9．在平面直角坐标系xOy中，直线被圆截得的弦长为 ．‎ ‎10．已知函数，若对任意，都有成立，则实数m的取值范围是 ．‎ ‎11．在平面直角坐标系xOy中，若曲线(为常数)过点，且该曲线在点P处的切线与直线平行，则的值是 ．‎ ‎12．如图，在平行四边形ABCD中，已知，，，则的 值是 ．‎ ‎13．已知是定义在R上且周期为3的函数，当时，．若函数在区间上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是 ．‎ ‎14．若的内角满足，则的最小值是 ．‎ 二、解答题：本大题共6小题, 共计90 分. 请在答题卡指定区域内作答, 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎15．(本小题满分14 分)已知，．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的值．‎ ‎16．(本小题满分14 分)如图，在三棱锥中，分别为棱的中点．已知．‎ ‎（1）求证：直线PA∥平面DEF；‎ ‎（2）平面BDE⊥平面ABC．‎ ‎17．(本小题满分14 分)如图，在平面直角坐标系xOy中，分别是椭圆的左、右焦点，顶点B的坐标为，连结并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连结．‎ ‎（1）若点C的坐标为，且，求椭圆的方程；‎ ‎（2）若，求椭圆离心率e的值．‎ ‎18．(本小题满分16分)如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m．经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸)，．‎ ‎（1）求新桥BC的长；‎ ‎（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？‎ ‎19．(本小题满分16分)已知函数其中e是自然对数的底数．‎ ‎（1）证明：是上的偶函数；‎ ‎（2）若关于x的不等式在上恒成立，求实数m的取值范围；‎ ‎（3）已知正数a满足：存在，使得成立．试比较与的大小，并证明你的结论．‎ ‎20．(本小题满分16分)设数列的前n项和为．若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得，则称是“H数列”．‎ ‎（1）若数列的前n项和，证明：是“H数列”；‎ ‎（2）设是等差数列，其首项，公差．若是“H数列”，求d的值；‎ ‎（3）证明：对任意的等差数列，总存在两个“H数列”和，使得成立．‎ 数学Ⅱ(附加题)‎ ‎21.【选做题】本题包括A, B,C,D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ A.【选修4-1:几何证明选讲】(本小题满分10分)‎ ‎ 如图，AB是圆O的直径，C、 D是圆O 上位于AB异侧的两点 ‎ 证明:∠OCB=∠D.‎ B.【选修4-2:矩阵与变换】(本小题满分10分)‎ 已知矩阵，，向量，为实数，若，求的值．‎ C.【选修4-4:坐标系与参数方程】(本小题满分10分)‎ 在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，直线l与抛物线交于两点，求线段AB的长．‎ D.【选修4-5:不等式选讲】(本小题满分10分)‎ 已知x>0, y>0,证明：(1+x+y2)( 1+x2+y)≥9xy.‎ ‎【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎22．(本小题满分10分)‎ 盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．‎ ‎（1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P；‎ ‎（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为，随机变量X表示中的最大数，求X的概率分布和数学期望．‎ ‎23．(本小题满分10分)‎ 已知函数，设为的导数，．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）证明：对任意的，等式成立．‎ ‎2014年江苏高考数学试题 参考答案 ‎1． 2． 21 3． 5 4． 5． 6． 24 7． 4 8． ‎ ‎9． 10. 11． 12． 22 13. 14． ‎ ‎15． 本小题主要考查三角函数的基本关系式、两角和与差及二倍角的公式，考查运算求解能力. 满分14分.‎ ‎（1）∵，‎ ‎∴‎ ‎ ；‎ ‎（2）∵‎ ‎ ∴．‎ ‎16．本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，‎ 考查空间想象能力和推理论证能力.满分14分.‎ ‎（1）∵为中点 ∴DE∥PA ‎∵平面DEF，DE平面DEF ∴PA∥平面DEF ‎（2）∵为中点 ∴‎ ‎∵为中点 ∴‎ ‎∴ ∴，∴DE⊥EF ‎∵，∴‎ ‎∵ ∴DE⊥平面ABC ‎∵DE平面BDE， ∴平面BDE⊥平面ABC．‎ ‎17．本小题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与直线的位置关系等基础知识，考查运 ‎ 算求解能力. 满分14分.‎ ‎（1）∵，∴‎ ‎∵，∴，∴‎ ‎∴椭圆方程为 ‎（2）设焦点 ‎∵关于x轴对称，∴‎ ‎∵三点共线，∴，即①‎ ‎∵，∴，即②‎ ‎①②联立方程组，解得 ∴‎ ‎∵C在椭圆上，∴，‎ 化简得，∴, 故离心率为 ‎18． 解：本小题主要考查直线方程、直线与圆的位置关系和解三角形等基础知识，考查建立数学模型及运用数学知识解决实际问题的能力.满分16分.‎ 解法一：‎ (1) 如图，以O为坐标原点，OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy.‎ 由条件知A(0, 60)，C(170, 0)，‎ 直线BC的斜率k BC=－tan∠BCO=－.‎ 又因为AB⊥BC，所以直线AB的斜率k AB=.‎ 设点B的坐标为(a,b)，则k BC=‎ ‎ k AB=‎ 解得a=80，b=120. 所以BC=.‎ 因此新桥BC的长是150 m.‎ ‎(2)设保护区的边界圆M的半径为r m,OM=d m,(0≤d≤60).‎ 由条件知，直线BC的方程为，即 由于圆M与直线BC相切，故点M(0，d)到直线BC的距离是r，‎ 即.‎ 因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m,‎ 所以即解得 故当d=10时,最大，即圆面积最大. ‎ 所以当OM = 10 m时，圆形保护区的面积最大.‎ 解法二:(1)如图，延长OA, CB交于点F.‎ 因为tan∠BCO=.所以sin∠FCO=，cos∠FCO=.‎ 因为OA=60,OC=170，所以OF=OC tan∠FCO=.‎ CF=,从而.‎ 因为OA⊥OC，所以cos∠AFB=sin∠FCO==，‎ 又因为AB⊥BC，所以BF=AF cos∠AFB==，从而BC=CF－BF=150.‎ 因此新桥BC的长是150 m.‎ ‎(2)设保护区的边界圆M与BC的切点为D，连接MD，则MD⊥BC，且MD是圆M的半 径，并设MD=r m，OM=d m(0≤d≤60).‎ 因为OA⊥OC，所以sin∠CFO =cos∠FCO，‎ 故由(1)知，sin∠CFO =所以.‎ 因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m,‎ 所以即解得 故当d=10时,最大，即圆面积最大.‎ 所以当OM = 10 m时，圆形保护区的面积最大.‎ ‎19．本小题主要考查初等函数的基本性质、导数的应用等基础知识，考查综合运用数学思想 ‎ 方法分析与解决问题的能力.满分16分.‎ ‎（1），，∴是上的偶函数 ‎（2）由题意，，即 ‎∵，∴，即对恒成立 令，则对任意恒成立 ‎∵，当且仅当时等号成立 ‎∴‎ ‎（3），当时，∴在上单调增 令，‎ ‎∵，∴，即在上单调减 ‎∵存在，使得，∴，即 ‎∵‎ 设，则 当时，，单调增；‎ 当时，，单调减 因此至多有两个零点，而 ‎∴当时，，；‎ 当时，，；‎ 当时，，．‎ ‎20．本小题主要考查数列的概念、等差数列等基础知识，考查探究能力及推理论证能力, 满分16分.‎ ‎（1）当时，‎ 当时，‎ ‎∴时，，当时，‎ ‎∴是“H数列”‎ ‎（2）‎ 对，使，即 取得，‎ ‎∵，∴，又，∴，∴‎ ‎（3）设的公差为d 令，对，‎ ‎，对，‎ 则，且为等差数列 的前n项和，令，则 当时；‎ 当时；‎ 当时，由于n与奇偶性不同，即非负偶数，‎ 因此对，都可找到，使成立，即为“H数列”．‎ 的前ｎ项和，令，则 ‎∵对，是非负偶数，∴‎ 即对，都可找到，使得成立，即为“H数列”‎ 因此命题得证.‎ ‎21.‎ A.本小题主要考查圆的基本性质，考查推理论证能力.满分10分.‎ 证明：因为B, C是圆O上的两点，所以OB=OC.‎ ‎ 故∠OCB=∠B.‎ ‎ 又因为C, D是圆O上位于AB异侧的两点，‎ ‎ 故∠B，∠D为同弧所对的两个圆周角，‎ ‎ 所以∠B=∠D.‎ ‎ 因此∠OCB=∠D.‎ B. 本小题主要考查矩阵的乘法等基础知识，考查运算求解能力.满分10分.‎ ‎，，由得解得 C. 本小题主要考查直线的参数方程、抛物线的标准方程等基础知识，考查运算求解能力.满分10分.‎ 直线l：代入抛物线方程并整理得 ‎∴交点，，故 D. 本小题主要考查算术一几何平均不等式.考查推理论证能力.满分10分.‎ 证明：因为x>0, y>0, 所以1+x+y2≥，1+x2+y≥，‎ 所以(1+x+y2)( 1+x2+y)≥=9xy.‎ ‎22.【必做题】本小题主要考查排列与组合、离散型随机变量的均值等基础知识，考查运算求解能力.满分10分.‎ ‎（1）一次取2个球共有种可能情况，2个球颜色相同共有种可能情况 ‎∴取出的2个球颜色相同的概率 ‎（2）X的所有可能取值为，则 ‎∴X的概率分布列为 X ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P 故X的数学期望 ‎23.【必做题】本题主要考查简单的复合函数的导数，考查探究能力及运用数学归纳法的推理论证能力.满分10分.‎ ‎(1)解：由已知，得 于是 所以 故 ‎(2)证明：由已知，得等式两边分别对x求导，得，‎ 即，类似可得 ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ 下面用数学归纳法证明等式对所有的都成立.‎ ‎(i)当n=1时，由上可知等式成立.‎ ‎(ii)假设当n=k时等式成立, 即.‎ 因为 ‎，‎ 所以.‎ 所以当n=k+1时,等式也成立.‎ 综合(i),(ii)可知等式对所有的都成立.‎ 令，可得().‎ 所以().‎