陕西高考数学试卷及答案解析

陕西高考数学试卷及答案解析

陕西省2017年高考理科数学试题及答案 ‎（Word版）‎ ‎（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2. 设集合，．若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）‎ A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏 ‎4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某 几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部 分所得，则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎5. 设，满足约束条件，则的最小值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6. 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）‎ A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 ‎7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，‎ ‎2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（ ）‎ A．乙可以知道四人的成绩 ‎ B．丁可以知道四人的成绩中u C．乙、丁可以知道对方的成绩 ‎ ‎ D．乙、丁可以知道自己的成绩 ‎8. 执行右面的程序框图，如果输入的，则输出的 ‎（ ）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎9. 若双曲线（，）的一条渐 近线被圆所截得的弦长为2，则的 离心率为（ ）‎ A．2 B． C． D．‎ ‎10. 已知直三棱柱中，，，，则异面直线 与所成角的余弦值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11. 若是函数的极值点，则的极小值为（ ）‎ A. B. C. D.1‎ ‎12. 已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是（ ）‎ A. B. $来 C. D.‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13. 一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件数，则 ．‎ ‎14. 函数（）的最大值是 ．‎ ‎15. 等差数列的前项和为，，，则 ．‎ ‎16. 已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为 的中点，则 ．‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17.（12分）‎ 的内角的对边分别为 ,已知．‎ ‎(1)求 ‎ ‎(2)若 , 面积为2,求 ‎ ‎18.（12分）‎ 淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）某频率直方图如下：‎ 1. 设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件：旧养殖法的箱产量低于50kg, 新养殖法的箱产量不低于50kg,估计A的概率；‎ 2. 填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：‎ 箱产量＜50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法 新养殖法 ‎3.根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）‎ P（）‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎ ‎ ‎19.（12分）‎ 如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等比三角形且垂直于底面ABCD， ‎ E是PD的中点.‎ ‎（1）证明：直线 平面PAB ‎（2）点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所 成锐角为 ，求二面角M-AB-D的余弦值 ‎20. （12分）‎ 设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M做x轴的垂线，垂足为N，点P满足.‎ ‎（1） 求点P的轨迹方程；‎ ‎（2）设点Q在直线x=-3上，且.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F. ‎ ‎21.（12分）‎ 已知函数且.‎ ‎（1）求a；‎ ‎（2）证明：存在唯一的极大值点，且.‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，按所做的第一题计分。‎ ‎22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ ‎ 在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）M为曲线上的动点，点P在线段OM上，且满足,求点P的轨迹的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点A的极坐标为，点B在曲线上，求面积的最大值．‎ ‎23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）‎ 已知，证明：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）．‎ 参考答案 ‎1．D ‎2．C ‎【解析】1是方程的解，代入方程得 ‎∴的解为或，∴‎ ‎3．B ‎【解析】设顶层灯数为，，，解得．‎ ‎4．B ‎【解析】该几何体可视为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半．‎ ‎5．A ‎【解析】目标区域如图所示，当直线取到点时，所求最小值为．‎ ‎6．D ‎【解析】只能是一个人完成2份工作，剩下2人各完成一份工作．‎ 由此把4份工作分成3份再全排得 ‎7．D ‎【解析】四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说的话．‎ 甲不知自己成绩→乙、丙中必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己成绩；两良亦然）→乙看了丙成绩，知自己成绩→丁看甲，甲、丁中也为一优一良，丁知自己成绩．‎ ‎8．B ‎【解析】，，代入循环得，时停止循环，．‎ ‎9．A ‎【解析】取渐近线，化成一般式，圆心到直线距离为 得，，．‎ ‎10．C ‎【解析】，，分别为，，中点，则，夹角为和夹角或其补角（异面线所成角为）‎ 可知，，‎ 作中点，则可知为直角三角形．‎ ‎，‎ 中，‎ ‎，‎ 则，则中，‎ 则中，‎ 又异面线所成角为，则余弦值为．‎ ‎11．A$来&源：ziyuanku.com ‎【解析】，‎ 则，‎ 则，，‎ 令，得或，‎ 当或时，，‎ 当时，，‎ 则极小值为．‎ ‎12．B ‎ ‎【解析】几何法：‎ 如图，（为中点），‎ 则，‎ 要使最小，则，方向相反，即点在线段上，‎ 则，‎ 即求最大值，‎ 又，‎ 则，‎ 则．‎ 解析法：‎ 建立如图坐标系，以中点为坐标原点，‎ ‎∴，，．‎ 设，‎ ‎，，，‎ ‎∴‎ 则其最小值为，此时，．‎ ‎13．‎ ‎【解析】有放回的拿取，是一个二项分布模型，其中，‎ 则 ‎14．‎ ‎【解析】‎ 令且 则当时，取最大值1．‎ ‎15．‎ ‎【解析】设首项为，公差为．‎ 则 求得，中/华-资*源%库，则，‎ ‎16．‎ ‎【解析】则，焦点为，准线，‎ 如图，为、中点，‎ 故易知线段为梯形中位线，‎ ‎∵，，‎ ‎∴‎ 又由定义，‎ 且，‎ ‎∴‎ ‎17.‎ ‎【解析】（1）依题得：．‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎（2）由⑴可知．‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎18．‎ ‎【解析】（1）记：“旧养殖法的箱产量低于” 为事件 ‎“新养殖法的箱产量不低于”为事件 而 ‎（2）Ziyuanku.com 箱产量 箱产量 中/华-资*源%库旧养殖法 ‎62‎ ‎38‎ 新养殖法 ‎34‎ ‎66‎ 由计算可得的观测值为 ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴有以上的把握产量的养殖方法有关．‎ ‎（3），‎ ‎，‎ ‎，∴中位数为．‎ ‎19．【解析】‎ ‎（1）令中点为，连结，，．‎ ‎∵，为，中点，∴为的中位线，∴．‎ 又∵，∴．‎ 又∵，∴，∴．‎ ‎∴四边形为平行四边形，∴．‎ 又∵，∴‎ ‎（2）以中点为原点，如图建立空间直角坐标系．‎ 设，则，，，，，‎ ‎．‎ 在底面上的投影为，∴．∵，‎ ‎∴为等腰直角三角形．‎ ‎∵为直角三角形，，∴．‎ 设，，．∴．‎ ‎．∴．‎ ‎∴，‎ ‎，．设平面的法向量．‎ ‎，∴‎ ‎，．设平面的法向量为，‎ ‎．‎ ‎∴．‎ ‎∴二面角的余弦值为．‎ ‎20．‎ 【解析】 ‎⑴设，易知 又 ‎∴，又在椭圆上．‎ ‎∴，即．‎ ‎⑵设点，，，‎ 由已知：，‎ ‎，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 设直线：，‎ 因为直线与垂直．‎ ‎∴‎ 故直线方程为，‎ 令，得，‎ ‎，‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ 若，则，，，‎ 直线方程为，直线方程为，‎ 直线过点，为椭圆的左焦点．‎ ‎21．‎ 【解析】 ‎⑴ 因为，，所以．‎ 令，则，，‎ 当时，，单调递减，但，时，；‎ 当时，令，得．‎ 当时，，单调减；当时，，单调增．‎ 若，则在上单调减，；‎ 若，则在上单调增，；‎ 若，则，．‎ 综上，．‎ ‎⑵ ，，．‎ 令，则，．‎ 令得，‎ 当时，，单调递减；当时，，单调递增．‎ 所以，．‎ 因为，，，，‎ 所以在和上，即各有一个零点．‎ 设在和上的零点分别为，因为在上单调减，‎ 所以当时，，单调增；当时，，单调减．因此，是的极大值点．‎ 因为，在上单调增，所以当时，，单调减，时，单调增，因此是的极小值点．‎ 所以，有唯一的极大值点．‎ 由前面的证明可知，，则．‎ 因为，所以，则 又，因为，所以．‎ 因此，．‎ ‎22．‎ ‎【解析】⑴设 则．‎ 解得，化为直角坐标系方程为 ‎．‎ ‎⑵连接，易知为正三角形．‎ 为定值．‎ ‎∴当高最大时，面积最大，‎ 如图，过圆心作垂线，交于点 交圆于点，‎ 此时最大 ‎23．‎ ‎【解析】⑴由柯西不等式得：‎ 当且仅当，即时取等号．‎ ‎⑵∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 由均值不等式可得：‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴ 当且仅当时等号成立．‎