2009年天津市高考数学试卷(理科)

2009年天津市高考数学试卷(理科)

‎2009年天津市高考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）‎ ‎1．（5分）i是虚数单位，=（　　）‎ A．1+2i B．﹣1﹣2i C．1﹣2i D．﹣1+2i ‎2．（5分）设变量x，y满足约束条件：，则目标函数z=2x+3y的最小值为（　　）‎ A．6 B．7 C．8 D．23‎ ‎3．（5分）命题“存在x0∈R，2x2﹣1≤0”的否定是（　　）‎ A．不存在x0∈R，2x02﹣1＞0 B．存在x0∈R，2x02﹣1＞0‎ C．对任意的x∈R，2x2﹣1≤0 D．对任意的x∈R，2x2﹣1＞0‎ ‎4．（5分）设函数f（x）=x﹣lnx（x＞0），则y=f（x）（　　）‎ A．在区间（，1），（l，e）内均有零点 B．在区间（，1），（l，e）内均无零点 C．在区间（，1）内无零点，在区间（l，e）内有零点 D．在区间（，1）内有零点，在区间（l，e）内无零点 ‎5．（5分）阅读程序框图，则输出的S=（　　）‎ A．26 B．35 C．40 D．57‎ ‎6．（5分）设a＞0，b＞0．若是3a与3b的等比中项，则的最小值为（　　）‎ A．8 B．4 C．1 D．‎ ‎7．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+）（x∈R，ω＞0）的最小正周期为π，为了得到函数g（x）=cosωx的图象，只要将y=f（x）的图象（　　）‎ A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 ‎8．（5分）已知函数f（x）=若f（2﹣a2）＞f（a），则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） B．（﹣1，2） C．（﹣2，1） D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）‎ ‎9．（5分）设抛物线y2=2x的焦点为F，过点M（，0）的直线与抛物线相交于A、B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|=2，则△BCF与△ACF的面积之比=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．（5分）0＜b＜1+a，若关于x的不等式（x﹣b）2＞（ax）2的解集中的整数恰有3个，则（　　）‎ A．﹣1＜a＜0 B．0＜a＜1 C．1＜a＜3 D．2＜a＜3‎ ‎　‎ 二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）‎ ‎11．（4分）某学院的A，B，C三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本．已知该学院的A专业有380名学生，B专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取　　名学生．‎ ‎12．（4分）如图是一个几何体的三视图，若它的体积是，则a=　　．‎ ‎13．（4分）设直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的方程为y=3x+4则l1与l2的距离为　　．‎ ‎14．（4分）若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay﹣6=0（a＞0）的公共弦的长为，则a=　　．‎ ‎15．（4分）在四边形ABCD中，==（1，1），，则四边形ABCD的面积是　　．‎ ‎16．（4分）用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有　　个（用数字作答）‎ ‎　‎ 三、解答题（共6小题，满分76分）‎ ‎17．（12分）已知：△ABC中，BC=1，AC=，sinC=2sinA ‎（1）求AB的值．‎ ‎（2）求的值．‎ ‎18．（12分）在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品．从这10件产品中任取3件，求：‎ ‎（I）取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望；‎ ‎（II）取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．‎ ‎19．（12分）如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD，‎ ‎（1）求异面直线BF与DE所成的角的大小；‎ ‎（2）证明平面AMD⊥平面CDE；‎ ‎（3）求二面角A﹣CD﹣E的余弦值．‎ ‎20．（12分）已知函数f（x）=（x2+ax﹣2a2+3a）ex（x∈R），其中a∈R．‎ ‎（Ⅰ）当a=0时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）当时，求函数f（x）的单调区间和极值．‎ ‎21．（14分）已知椭圆的两个焦点分别为F1（﹣c，0）和F2（c，0）（c＞0），过点的直线与椭圆相交于A，B两点，且F1A∥F2B，|F1A|=2|F2B|．‎ ‎（1）求椭圆的离心率；‎ ‎（2）求直线AB的斜率；‎ ‎（3）设点C与点A关于坐标原点对称，直线F2B上有一点H（m，n）（m≠0）在△AF1C的外接圆上，求的值．‎ ‎22．（14分）已知等差数列{an}的公差为d（d≠0），等比数列{bn}的公比为q（q＞1）．设sn=a1b1+a2b2+…+anbn，Tn=a1b1﹣a2b2+…+（﹣1）n﹣1anbn，n∈N+，‎ ‎（1）若a1（2）=b1（3）=1，d=2，q=3，求S3的值；‎ ‎（Ⅱ）若b1（6）=1，证明（1﹣q）S2n﹣（1+q）T2n=，n∈（10）N+；‎ ‎（Ⅲ）若正数n满足2≤n≤q，设k1，k2，…，kn和l1，l2，…，ln是1，2，…，n的两个不同的排列，c1=ak1b1+ak2b2+…+aknbn，c2=al1b1+al2b2+…+alnbn证明c1≠c2．‎ ‎　‎ ‎2009年天津市高考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）‎ ‎1．（5分）（2009•天津）i是虚数单位，=（　　）‎ A．1+2i B．﹣1﹣2i C．1﹣2i D．﹣1+2i ‎【分析】复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简即可．‎ ‎【解答】解：，‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）（2009•天津）设变量x，y满足约束条件：，则目标函数z=2x+3y的最小值为（　　）‎ A．6 B．7 C．8 D．23‎ ‎【分析】本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件．画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最小值．‎ ‎【解答】解：画出不等式．表示的可行域，如图，‎ 让目标函数表示直线在可行域上平移，‎ 知在点B自目标函数取到最小值，‎ 解方程组得（2，1），‎ 所以zmin=4+3=7，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）（2009•天津）命题“存在x0∈R，2x2﹣1≤0”的否定是（　　）‎ A．不存在x0∈R，2x02﹣1＞0 B．存在x0∈R，2x02﹣1＞0‎ C．对任意的x∈R，2x2﹣1≤0 D．对任意的x∈R，2x2﹣1＞0‎ ‎【分析】命题的否定只否定结论即可，不要与否命题混淆．‎ ‎【解答】解：结论的否定形式为：2x2﹣1＞0‎ ‎∴原命题的否定为：D．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）（2009•天津）设函数f（x）=x﹣lnx（x＞0），则y=f（x）（　　）‎ A．在区间（，1），（l，e）内均有零点 B．在区间（，1），（l，e）内均无零点 C．在区间（，1）内无零点，在区间（l，e）内有零点 D．在区间（，1）内有零点，在区间（l，e）内无零点 ‎【分析】先对函数f（x）进行求导，再根据导函数的正负情况判断原函数的增减性可得答案．‎ ‎【解答】解：由题得，令f′（x）＞0得x＞3；‎ 令f′（x）＜0得0＜x＜3；f′（x）=0得x=3，‎ 故知函数f（x）在区间（0，3）上为减函数，在区间（3，+∞）为增函数，‎ 在点x=3处有极小值1﹣ln3＜0；又，，．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）（2009•天津）阅读程序框图，则输出的S=（　　）‎ A．26 B．35 C．40 D．57‎ ‎【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=2+5+8+…+14的值．‎ ‎【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，‎ 再根据流程图所示的顺序，可知：‎ 该程序的作用是累加并输出S=2+5+8+…+14的值 ‎∵S=2+5+8+…+14=40．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）（2009•天津）设a＞0，b＞0．若是3a与3b的等比中项，则的最小值为（　　）‎ A．8 B．4 C．1 D．‎ ‎【分析】由题设条件中的等比关系得出a+b=1，代入中，将其变为2+，利用基本不等式就可得出其最小值 ‎【解答】解：因为3a•3b=3，所以a+b=1，‎ ‎，‎ 当且仅当即时“=”成立，‎ 故选择B．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）（2009•天津）已知函数f（x）=sin（ωx+）（x∈R，ω＞0）的最小正周期为π，为了得到函数g（x）=cosωx的图象，只要将y=f（x）的图象（　　）‎ A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 ‎【分析】由周期函数的周期计算公式：，算得ω=2．接下来将f（x）的表达式转化成与g（x）同名的三角函数，再观察左右平移的长度即可．‎ ‎【解答】解：由题知ω=2，‎ 所以，‎ 故选择A．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）（2009•天津）已知函数f（x）=若f（2﹣a2）＞f（a），则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） B．（﹣1，2） C．（﹣2，1） D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）‎ ‎【分析】由题义知分段函数求值应分段处理，利用函数的单调性求解不等式．‎ ‎【解答】解：‎ 由f（x）的解析式可知，f（x）在（﹣∞，+∞）上是单调递增函数，在由f（2﹣a2）＞f（a），得2﹣a2＞a ‎ 即a2+a﹣2＜0，解得﹣2＜a＜1．‎ 故选C ‎　‎ ‎9．（5分）（2009•天津）设抛物线y2=2x的焦点为F，过点M（，0）的直线与抛物线相交于A、B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|=2，则△BCF与△ACF的面积之比=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据=，进而根据两三角形相似，推断出=，根据抛物线的定义求得 ‎=，根据|BF|的值求得B的坐标，进而利用两点式求得直线的方程，把x=代入，即可求得A的坐标，进而求得 的值，则三角形的面积之比可得．‎ ‎【解答】解：如图过B作准线l：x=﹣的垂线，垂足分别为A1，B1，‎ ‎∵=，‎ 又∵△B1BC∽△A1AC、‎ ‎∴=，‎ 由拋物线定义==．‎ 由|BF|=|BB1|=2知xB=，yB=﹣，‎ ‎∴AB：y﹣0=（x﹣）．‎ 把x=代入上式，求得yA=2，xA=2，‎ ‎∴|AF|=|AA1|=．‎ 故===．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）（2009•天津）0＜b＜1+a，若关于x的不等式（x﹣b）2＞（ax）2的解集中的整数恰有3个，则（　　）‎ A．﹣1＜a＜0 B．0＜a＜1 C．1＜a＜3 D．2＜a＜3‎ ‎【分析】要使关于x的不等式（x﹣b）2＞（ax）2的解集中的整数恰有3个，那么此不等式的解集不能是无限区间，从而其解集必为有限区间，‎ ‎【解答】解：由题得不等式（x﹣b）2＞（ax）2‎ 即（a2﹣1）x2+2bx﹣b2＜0，它的解应在两根之间，‎ 因此应有 a2﹣1＞0，解得a＞1或a＜﹣1，注意到0＜b＜1+a，从而a＞1，‎ 故有△=4b2+4b2（a2﹣1）=4a2b2＞0，‎ 不等式的解集为或（舍去）．‎ 不等式的解集为，‎ 又由0＜b＜1+a得，‎ 故，，这三个整数解必为﹣2，﹣1，0‎ ‎2（a﹣1）＜b≤3 （a﹣1），‎ 注意到a＞1，并结合已知条件0＜b＜1+a．‎ 故要满足题设条件，只需要2（a﹣1）＜1+a，即a＜3即可，‎ 解得1＜a＜3．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ 二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）‎ ‎11．（4分）（2009•天津）某学院的A，B，C三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本．已知该学院的A专业有380名学生，B专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取　40　名学生．‎ ‎【分析】根据全校的人数和A，B两个专业的人数，得到C专业的人数，根据总体个数和要抽取的样本容量，得到每个个体被抽到的概率，用C专业的人数乘以每个个体被抽到的概率，得到结果．‎ ‎【解答】解：∵C专业的学生有1200﹣380﹣420=400，‎ 由分层抽样原理，应抽取名．‎ 故答案为：40‎ ‎　‎ ‎12．（4分）（2009•天津）如图是一个几何体的三视图，若它的体积是，则a=　　．‎ ‎【分析】该几何体是放倒的三棱柱，依据所给数据求解即可．‎ ‎【解答】解：由已知可知此几何体是三棱柱，其高为3，底面是底边长为2，‎ 底边上的高为a的等腰三角形，‎ 所以有．‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎13．（4分）（2009•天津）设直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的方程为y=3x+4则l1与l2的距离为　　．‎ ‎【分析】先求出直线的普通方程，再利用两条平行线间的距离公式求出它们的距离即可．‎ ‎【解答】解析：由题直线l1的普通方程为3x﹣y﹣2=0，‎ 故它与l2的距离为．‎ 故答案为 ‎　‎ ‎14．（4分）（2009•天津）若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay﹣6=0（a＞0）的公共弦的长为，则a=　1　．‎ ‎【分析】画出草图，不难得到半径、半弦长的关系，求解即可．‎ ‎【解答】解：由已知x2+y2+2ay﹣6=0的半径为，圆心（0，﹣a），‎ 公共弦所在的直线方程为，ay=1．大圆的弦心距为：|a+|‎ 由图可知，解之得a=1．‎ 故答案为：1．‎ ‎　‎ ‎15．（4分）（2009•天津）在四边形ABCD中，==（1，1），，则四边形ABCD的面积是　　．‎ ‎【分析】根据题意知四边形ABCD是菱形，其边长为，且对角线BD等于边长的倍，再由向量数量积运算的应用可得和，最终可得四边形ABCD的面积 ‎【解答】解：由题，可知平行四边形ABCD的角平分线BD平分∠ABC，四边形ABCD是菱形，其边长为，且对角线BD等于边长的倍，‎ 所以cos∠BAD==﹣，‎ 故sin∠BAD=，SABCD=（）2×=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎16．（4分）（2009•天津）用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有　324　个（用数字作答）‎ ‎【分析】由题意知本题需要分类来解，当个位、十位和百位上的数字为3个偶数，当个位、十位和百位上的数字为1个偶数2个奇数，根据分类计数原理得到结果．‎ ‎【解答】解：由题意知本题需要分类来解：‎ 当个位、十位和百位上的数字为3个偶数的有：+=90种；‎ 当个位、十位和百位上的数字为1个偶数2个奇数的有：+=234种，‎ 根据分类计数原理得到 ‎∴共有90+234=324个．‎ 故答案为：324．‎ ‎　‎ 三、解答题（共6小题，满分76分）‎ ‎17．（12分）（2009•天津）已知：△ABC中，BC=1，AC=，sinC=2sinA ‎（1）求AB的值．‎ ‎（2）求的值．‎ ‎【分析】（1）根据正弦定理将题中正弦值的关系转化为边的关系，即可得到答案．‎ ‎（2）根据三边长可直接验证满足勾股定理进而得到△ABC是Rt△且∠ABC=90°，从而可得到角A的正弦值和余弦值，再由两角和与差的正弦公式和二倍角公式可求最后答案．‎ ‎【解答】解：（1）在△ABC中，∵sinC=2sinA ‎∴由正弦定理得AB=2BC 又∵BC=1‎ ‎∴AB=2‎ ‎（2）在△ABC中，∵AB=2，BC=1，∴AB2+BC2=AC2∴△ABC是Rt△且∠ABC=90°‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2009•天津）在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品．从这10件产品中任取3件，求：‎ ‎（I）取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望；‎ ‎（II）取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由题意知本题是一个古典概型，试验包含的所有事件是从10件产品中任取3件的结果为C103，满足条件的事件是从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的结果数为C3kC73﹣k，写出概率，分布列和期望．‎ ‎（II）取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数包括三种情况，一是恰好取出1件一等品和2件二等品，二是恰好取出2件一等品，三是恰好取出3件一等品，这三种情况是互斥的，根据互斥事件的概率，得到结果．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由题意知本题是一个古典概型，‎ 由于从10件产品中任取3件的结果为C103，‎ 从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的结果数为C3kC73﹣k，‎ 那么从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的概率为P（X=k）=，k=0，1，2，3．‎ ‎∴随机变量X的分布列是 ‎ x ‎ 0‎ ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ p ‎∴X的数学期望EX=‎ ‎（Ⅱ）解：设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A，‎ ‎“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A1‎ ‎“恰好取出2件一等品“为事件A2，‎ ‎”恰好取出3件一等品”为事件A3由于事件A1，A2，A3彼此互斥，‎ 且A=A1∪A2∪A3而，‎ P（A2）=P（X=2）=，P（A3）=P（X=3）=，‎ ‎∴取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为 P（A）=P（A1）+P（A2）+P（A3）=++=‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2009•天津）如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD，‎ ‎（1）求异面直线BF与DE所成的角的大小；‎ ‎（2）证明平面AMD⊥平面CDE；‎ ‎（3）求二面角A﹣CD﹣E的余弦值．‎ ‎【分析】（1）先将BF平移到CE，则∠CED（或其补角）为异面直线BF与DE所成的角，在三角形CED中求出此角即可；‎ ‎（2）欲证平面AMD⊥平面CDE，即证CE⊥平面AMD，根据线面垂直的判定定理可知只需证CE与平面AMD内两相交直线垂直即可，易证DM⊥CE，MP⊥CE；‎ ‎（3）设Q为CD的中点，连接PQ，EQ，易证∠EQP为二面角A﹣CD﹣E的平面角，在直角三角形EQP中求出此角即可．‎ ‎【解答】（1）解：由题设知，BF∥CE，‎ 所以∠CED（或其补角）为异面直线BF与DE所成的角．‎ 设P为AD的中点，连接EP，PC．‎ 因为FE=∥AP，所以FA=∥EP，同理AB=∥PC．‎ 又FA⊥平面ABCD，所以EP⊥平面ABCD．‎ 而PC，AD都在平面ABCD内，‎ 故EP⊥PC，EP⊥AD．由AB⊥AD，可得PC⊥AD设FA=a，‎ 则EP=PC=PD=a，CD=DE=EC=，故∠CED=60°．‎ 所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60°‎ ‎（2）证明：因为DC=DE且M为CE的中点，‎ 所以DM⊥CE．连接MP，则MP⊥CE．又MP∩DM=M，‎ 故CE⊥平面AMD．而CE⊂平面CDE，‎ 所以平面AMD⊥平面CDE．‎ ‎（3）解：设Q为CD的中点，连接PQ，EQ．‎ 因为CE=DE，所以EQ⊥CD．因为PC=PD，‎ 所以PQ⊥CD，故∠EQP为二面角A﹣CD﹣E的平面角．‎ 可得，．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2009•天津）已知函数f（x）=（x2+ax﹣2a2+3a）ex（x∈R），其中a∈R．‎ ‎（Ⅰ）当a=0时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）当时，求函数f（x）的单调区间和极值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）把a=0代入到f（x）中化简得到f（x）的解析式，求出f'（x），因为曲线的切点为（1，f（1）），所以把x=1代入到f'（x）中求出切线的斜率，把x=1代入到f（x）中求出f（1）的值得到切点坐标，根据切点和斜率写出切线方程即可；‎ ‎（Ⅱ）令f'（x）=0求出x的值为x=﹣2a和x=a﹣2，分两种情况讨论：①当﹣2a＜a﹣2时和②当﹣2a＞a﹣2时，讨论f'（x）的正负得到函数的单调区间，根据函数的增减性即可得到函数的最值．‎ ‎【解答】（Ⅰ）解：当a=0时，f（x）=x2ex，f'（x）=（x2+2x）ex，故f'（1）=3e，‎ 所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为3e，f（1）=e，‎ 所以该切线方程为y﹣e=3e（x﹣1），‎ 整理得：3ex﹣y﹣2e=0．‎ ‎（Ⅱ）解：f'（x）=[x2+（a+2）x﹣2a2+4a]ex 令f'（x）=0，解得x=﹣2a，或x=a﹣2．由知，﹣2a≠a﹣2．‎ 以下分两种情况讨论．‎ ‎①若a＞，则﹣2a＜a﹣2．当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：‎ x ‎（﹣∞，a﹣2）‎ ‎﹣2a ‎（﹣2a，a﹣2）‎ a﹣2‎ ‎（a﹣2，+∞）‎ f′（x）‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎﹣‎ ‎0‎ ‎+‎ F（x）‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 所以f（x）在（﹣∞，﹣2a），（a﹣2，+∞）内是增函数，在（﹣2a，a﹣2）内是减函数．‎ 函数f（x）在x=﹣2a处取得极大值f（﹣2a），且f（﹣2a）=3ae﹣2a．‎ 函数f（x）在x=a﹣2处取得极小值f（a﹣2），且f（a﹣2）=（4﹣3a）ea﹣2．‎ ‎②若a＜，则﹣2a＞a﹣2，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：‎ x ‎（﹣∞，a﹣2）‎ a﹣2‎ ‎（a﹣2，﹣2a）‎ ‎﹣2a ‎（﹣2a，+∞）‎ f′（x）‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎﹣‎ ‎0‎ ‎+‎ F（x）‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 所以f（x）在（﹣∞，a﹣2），（﹣2a，+∞）内是增函数，在（a﹣2，﹣2a）内是减函数 函数f（x）在x=a﹣2处取得极大值f（a﹣2），且f（a﹣2）=（4﹣3a）ea﹣2，‎ 函数f（x）在x=﹣2a处取得极小值f（﹣2a），且f（﹣2a）=3ae﹣2a．‎ ‎　‎ ‎21．（14分）（2009•天津）已知椭圆的两个焦点分别为F1（﹣c，0）和F2（c，0）（c＞0），过点的直线与椭圆相交于A，B两点，且F1A∥F2B，|F1A|=2|F2B|．‎ ‎（1）求椭圆的离心率；‎ ‎（2）求直线AB的斜率；‎ ‎（3）设点C与点A关于坐标原点对称，直线F2B上有一点H（m，n）（m≠‎ ‎0）在△AF1C的外接圆上，求的值．‎ ‎【分析】（1）由F1A∥F2B且|F1A|=2|F2B|，得，从而，由此可以求出椭圆的离心率．‎ ‎（2）由题意知椭圆的方程可写为2x2+3y2=6c2，设直线AB的方程为，设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 则它们的坐标满足方程组，整理，得（2+3k2）x2﹣18k2cx+27k2c2﹣6c2=0．再由根的判别式和根与系数的关系求解．‎ ‎（III）解法一：当时，得，．线段AF1的垂直平分线l的方程为直线l与x轴的交点是△AF1C外接圆的圆心，因此外接圆的方程为．由此可以推导出的值．‎ 解法二：由椭圆的对称性可知B，F2，C三点共线，由已知条件能够导出四边形AF1CH为等腰梯形．由此入手可以推导出的值．‎ ‎【解答】（1）解：由F1A∥F2B且|F1A|=2|F2B|，‎ 得，从而 整理，得a2=3c2，故离心率 ‎（2）解：由（I）得b2=a2﹣c2=2c2，‎ 所以椭圆的方程可写为2x2+3y2=6c2‎ 设直线AB的方程为，即y=k（x﹣3c）．‎ 由已知设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 则它们的坐标满足方程组 消去y整理，得（2+3k2）x2﹣18k2cx+27k2c2﹣6c2=0．‎ 依题意，‎ 而①‎ ‎②‎ 由题设知，点B为线段AE的中点，所以x1+3c=2x2③‎ 联立①③解得，‎ 将x1，x2代入②中，解得．‎ ‎（III）解法一：由（II）可知 当时，得，由已知得．‎ 线段AF1的垂直平分线l的方程为直线l与x轴的交点是△AF1C外接圆的圆心，‎ 因此外接圆的方程为．‎ 直线F2B的方程为，‎ 于是点H（m，n）的坐标满足方程组，‎ 由m≠0，解得故 当时，同理可得．‎ 解法二：由（II）可知 当时，得，由已知得 由椭圆的对称性可知B，F2，C三点共线，‎ 因为点H（m，n）在△AF1C的外接圆上，‎ 且F1A∥F2B，所以四边形AF1CH为等腰梯形．‎ 由直线F2B的方程为，‎ 知点H的坐标为．‎ 因为|AH|=|CF1|，所以，解得m=c（舍），或．‎ 则，所以．当时同理可得 ‎　‎ ‎22．（14分）（2009•天津）已知等差数列{an}的公差为d（d≠0），等比数列{bn}的公比为q（q＞1）．设sn=a1b1+a2b2+…+anbn，Tn=a1b1﹣a2b2+…+（﹣1）n﹣1anbn，n∈N+，‎ ‎（1）若a1（2）=b1（3）=1，d=2，q=3，求S3的值；‎ ‎（Ⅱ）若b1（6）=1，证明（1﹣q）S2n﹣（1+q）T2n=，n∈（10）N+；‎ ‎（Ⅲ）若正数n满足2≤n≤q，设k1，k2，…，kn和l1，l2，…，ln是1，2，…，n的两个不同的排列，c1=ak1b1+ak2b2+…+aknbn，c2=al1b1+al2b2+…+alnbn证明c1≠c2．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由题设，可得an=2n﹣1，bn=3n﹣1，n∈N*，由此可求出S3的值．‎ ‎（Ⅱ）证明：由题设可得bn=qn﹣1则S2n=a1+a2q+a3q2++a2nq2n﹣1，T2n=a1﹣a2q+a3q2﹣a4q3+﹣a2nq2n﹣1，由此能够推导出（1﹣q）S2n﹣（1+q）T2n=．‎ ‎（Ⅲ）证明：由题设条件可知 ‎，由此入手能够导出c1≠c2．‎ ‎【解答】（Ⅰ）解：由题设，可得an=2n﹣1，bn=3n﹣1，n∈N*‎ 所以，S3=a1b1+a2b2+a3b3=1×1+3×3+5×9=55‎ ‎（Ⅱ）证明：由题设可得bn=qn﹣1则S2n=a1+a2q+a3q2+…+a2nq2n﹣1，①‎ T2n=a1﹣a2q+a3q2﹣a4q3+…﹣a2nq2n﹣1，‎ S2n﹣T2n=2（a2q+a4q3+…﹣a2nq2n﹣1）‎ ‎1式加上②式，得S2n+T2n=2（a1+a3q2+…+a2n﹣1q2n﹣2）③‎ ‎2式两边同乘q，得q（S2n+T2n）=2（a1q+a3q3+…+a2n﹣1q2n﹣1）‎ 所以，（1﹣q）S2n﹣（1+q）T2n=（S2n﹣T2n）﹣q（S2n+T2n）‎ ‎=2d（q+q3+…+q2n﹣1）‎ ‎=‎ ‎（Ⅲ）证明：c1﹣c2=（ak1﹣al1）b1+（ak2﹣al2）b2+…+（akn﹣aln）bn ‎=（k1﹣l1）db1+（k2﹣l2）db1q+…+（kn﹣ln）db1qn﹣1‎ 因为d≠0，b1≠0，所以 若kn≠ln，取i=n 若kn=ln，取i满足ki≠li且kj=lj，i+1≤j≤n，‎ 由题设知，1＜i≤n 且 当ki＜li2时，得ki﹣li≤﹣1，由q≥n，‎ 得ki﹣li≤q﹣1，i=1，2，3i﹣13‎ 即k1﹣l1≤q﹣1，（k2﹣l2）q≤q（q﹣1），（ki﹣1﹣li﹣1）qi﹣2≤qi﹣2（q﹣1）‎ 又（ki﹣li）qi﹣1≤﹣qi﹣1，‎ 所以 因此c1﹣c2≠0，即c1≠c2‎ 当ki＞li，同理可得，因此c1≠c2．综上c1≠c2．‎ ‎　‎