唐山市2018-2019学年度高三年级摸底考试理数学理科数学(解析版)

唐山市2018-2019学年度高三年级摸底考试理数学理科数学(解析版)

唐山市 2018—2019 学年度高三年级摸底考试 理科数学 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的． 1．已知集合 2{ | 5 6 0}, { | 0 8}≤ ≤A x x x B x x     ，则 A B  （ ） A．[0,6) B．[0,1) C．(0,6) D．( 1,8] 1．答案：A 解析： 2{ | 5 6 0} { | 1 6}, { | 0 8}, [0,6)≤ ≤A x x x x x B x x A B           ． 2．设 i(1 2i) 2 iz   ，则 z  （ ） A． 5 B．2 C． 41 5 D．1 2．答案：D 解析： i(1 2i) i 1 2ii(1 2i) 5 12 i 2 i 2 i 5 z          ． 3．等差数列{ }na 的前 n 项和为 nS ，若 3 11 4a a  ，则 13S  （ ） A．13 B．26 C．39 D．52 3．答案：B 解析：由等差数列的性质可知， 1 13 1 13 3 11 13 13( )4, 262 a aa a a a S        ． 4．随机变量 服从正态分布 2( , )N   ，若 ( 2) 0.2, (2 6) 0.6P P      ，则   （ ） A．6 B．5 C．4 D．3 4．答案：C 解析： ( 6) ( 2) (2 6) 0.8, ( 6) 1 ( 6) 0.2P P P P P                 ， ( 2) ( 6)P P     ， 2 6 42    ． 5．cos105 cos15    （ ） A． 2 2 B． 2 2 C． 6 2 D． 6 2 5．答案：D 解析：解法一 3 2 6cos105 cos15 cos(60 45 ) cos(60 45 ) 2sin 60 sin 45 2 2 2 2                     ． 解法二 6cos105 cos15 sin15 cos15 (sin15 cos15 ) 2 sin(45 15 ) 2 sin 60 2                       6．已知某几何体的三视图如图所示（俯视图中曲线为四分之一圆弧），则该几何体的表面积为（ ） A．1 4  B．3 2  C． 2 4  D．4 6．答案：D 解析：由题设知，该几何体是棱长为 1 的正方体截去底面半径为 1 的 1 4 圆柱后得到的，如图所示，所以表 面积 21 12 1 1 1 2 (1 1) 2 1 1 44 4S                   ． 7．设函数 ( ) ( )x xf x x e e  ，则 ( )f x （ ） A．是奇函数，且在(0, ) 上是增函数 B．是偶函数，且在(0, ) 上是增函数 C．是奇函数，且在(0, ) 上是减函数 D．是偶函数，且在(0, ) 上是减函数 7．答案：A 解析： ( ) ( ) ( )x xf x x e e f x      ，故 ( )f x 为奇函数， ( ) ( )x x x xf x e e x e e      ， 当 0x  时， x xe e ，所以 ( ) 0x xx e e  ，又 0x xe e  ，所以 ( ) 0f x  ，所以 ( )f x 在 (0, ) 上是 增函数． 8．已知 1 2,e e   是两个单位向量， 1 2e e   的最小值为 3 2 ，则 1 2e e    （ ） A．1 B． 3 C．1 或 3 D．2 8．答案：C 解析：设向量 1 2,e e   的夹角为 ，则 2 2 22 2 1 2 1 1 2 22 cos 2cos 1e e e e e e                     ， 当 cos   时， 2 1 2e e   取得最小值 2 3 11 cos , cos4 2      ，故 2 1 2 2 2cos 1e e       或 3， 所以 1 2 1e e    或 3 ． 9．已知程序框图如图所示，则该程序框图的功能是（ ） A．求 1 1 1 11 3 5 7 21     的值 B．求 1 1 1 11 3 5 7 19     的值 C．求 1 1 1 11 3 5 7 19     的值 D．求 1 1 1 11 3 5 7 21     的值 9．答案：C 解析：执行程序框图， 1 1 11, 1, 3; 1 , 1, 5; 1 , 1, 7;3 3 5S a n S a n S a n                 1 1 1 11 , 1, 21 193 5 7 19S a n           满足条件，退出循环，故该程序框图的功能是求 1 1 1 11 3 5 7 19     的值． 10．已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b    和双曲线 2 2: 1E x y  有相同的焦点 1 2,F F ，且离心率之积为 1， P 为两曲线的一个交点，则 1 2F PF△ 的形状为（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 10．答案：B 解析：双曲线的离心率为 2 ，所以椭圆的离心率 2 2 ce a  ，又因为 2c  ，所以 2, 2a b  ， 由 1 2 1 1 2 2 4 3 2 1 PF PF PF PF PF PF            ，又 1 2 2 2F F  ，所以 2 2 2 1 1 2 2PF F F PF  ，所以 1 2F PF△ 是直角 三角形． 11．已知函数 ( ) sin sin 3 , [0,2 ]f x x x x    ，则 ( )f x 的所有零点之和等于（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 11．答案：C 解析：解法一：由 ( ) sin sin 3 0f x x x   ，得sin sin 3x x ，在同一坐标系中作出函数 siny x 与函 数 sin 3y x 在 [0,2 ]x  上的图象，由图可知，共有 7 个交点，且这 7 个交点关于点( ,0) 对称， 所以 ( )f x 的所有零点之和等于7 ． 1 0.5 0.5 1 π 3 2π 3 π 4π 3 5π 3 2π 解法二： ( ) sin sin 3 sin(2 ) sin(2 ) 2cos 2 sinf x x x x x x x x x        ，令 ( ) 0f x  ，得cos 2 0x  或sin 0x  ；由cos 2 0x  ，得 2 , , ,2 2 4Z Zkx k k x k         ，又 [0,2 ]x  ， 3 5 7 4 4 4 4x      或 或 或 ； 由sin 0x  ，得 0 2x   或 或 ， 3 5 7 0 2 74 4 4 4               ． 12．已知三棱锥 P ABC 的四个顶点都在半径为 3 的球面上， AB AC ，则该三棱锥体积的最大值是 （ ） A．16 3 B． 32 3 C． 64 3 D．32 12．答案：B 解析：设 ,AB a AC b  ，则 1 2ABCS bc△ ， ABC△ 所在外接圆的半径 2 2 2 a br  ，球心O 到平面 ABC 的距离 2 2 2 2 9 4 a bd R r     ，三棱锥体积最大时， 2 2 3 9 4 a bh R d      ， 则 2 2 2 2 2 21 1 3 9 3 93 6 2 12 4 ≤P ABC ABC a b a b a bV S h ab                     △ （当且仅当 a b 时等号成 立），设 2 2 9 4 a bt   ，则0 3≤t  ， 2 3 29 1( ) (3 ) ( 3 9 27)3 3 tV t t t t t       ， 2( ) 2 3 ( 3)( 1)V t t t t t         ， 当 0 1≤t  时， ( ) 0, ( )V t V t  单调递增，当1 3t  时， ( ) 0, ( )V t V t  单调递减， 所以当 1t  ，即 4a b h   时，三棱锥体积取得最大值 32(1) 3V  ． 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中的横线上． 13．已知 ,x y 满足 2 4 2 2 3 3 ≥ ≥ ≤ x y x y x y       ，则 2z x y  的最大值为 ． 13．答案：2 解析：作出可行域为如图所示的 ABC△ ，其中 (0, 2), (1,0), (2,3)A B C ，则 2, 2, 1A B Cz z z    ， max 2Bz z   ． O x y A B C 14．在 5 2 2ax x     的展开式中， 4x 的系数为 5，则实数 a 的值为 ． 14．答案： 1 2 解析：由条件可知二项展开式的通项 2 5 5 10 3 1 5 5 2( ) ( 2) k k k k k k k kT C ax C a xx            ，令10 3 4k  ，得 2k  ，故 2 2 3 3 3 5 1 1( 2) 40 5, ,8 2C a a a a      ． 15．已知直线 : 2 0l kx y k    与圆 2 2: 2 7 0C x y y    相交于 ,A B 两点，则 AB 的最小值为 ． 15．答案： 2 6 解析：直线l 的方程为 2 ( 1)y k x   ，经过定点 (1,2)P ，由已知的圆C 的标准方程为 2 2( 1) 8x y   ， 可知圆心 (0,1)C ，半径 2 2r  ，由 2 22AB r d  可知当直线l 与CP 垂直时弦长最小，此时 2d CP  ，故 2 2 min 2 (2 2) ( 2) 2 6AB    ． 4 3 2 1 1 2 2 2 B A P C O 16． ABC△ 的垂心 H 在其内部， 30 , 3A AH    ，则 3BH CH 的取值范围是 ． 16．答案：(1, 3) 解析：由已知，得 ABC△ 为锐角三角形，如图，延长 , ,AH BH CH 分别交 , ,BC AC AB 于 , ,E F D ，因 为 H 是垂心，所以 , ,AE BC BF AC CD AB   ，又 30BAC  ，所以 60ABF ACD     ． 设 , (0 ,30 )BAH       ，则 30CAH     ，又 3AH  ， 所以在 ABH△ 中，由正弦定理得 2sinsin sin 60 BH AH BH     ， 在 ACH△ 中，由正弦定理得 2sin(30 )sin(30 ) sin 60 CH AH CH         ． 所以 3 2 3 sin 2sin(30 ) 3 sin cos 2sin(30 )BH CH               ，因为 (0 ,30 )    ， 所以 30 (30 ,60 )     ，所以 1 3sin(30 ) , 2sin(30 ) (1, 3)2 2           ， ， 即 3 (1, 3)BH CH  A B C D E FH 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，每个试题考 生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共 60 分． 17．（本小题满分 12 分） 已知数列{ }na 的前 n 项和为 nS ， 3 1 2 n n aS  ． （1）求 na ； （2）若 ( 1)n nb n a  ，且数列{ }nb 的前 n 项和为 nT ，求 nT ． 17．解析：（1）由已知可得， 2 3 1n nS a  ， ① 所以 1 12 3 1 ( 2)n nS a n   ≥ ， ② ①－②得， 1 12( ) 3 3n n n nS S a a    ， 化简为 13 ( 2)n na a n ≥ ，即 1 3 ( 2)n n a na   ≥ ， …3 分 在①中，令 1n  可得 1 1a  ， …4 分 所以数列{ }na 是以 1 为首项，3 为公比的等比数列， 从而有 13n na  ． …6 分 （2） 1( 1) 3n nb n    ， 0 1 2 2 1 1 2 3 1 0 3 1 3 2 3 ( 2) 3 ( 1) 3 3 0 3 1 3 2 3 ( 2) 3 ( 1) 3 n n n n n n T n n T n n                                ③ ④ ③－④得， 1 2 3 12 3 3 3 3 ( 1) 3n n nT n         …8 分 3 3 (3 2 ) 3 3( 1) 31 3 2 n n n nn        ． …10 分 所以， (2 3) 3 3 4 n n nT    ． …12 分 18．（本小题满分 12 分） 甲、乙两位工人分别用两种不同工艺生产同一种零件，已知尺寸在[223, 228]（单位：mm）内的零件为一 等品，其余为二等品．甲、乙当天生产零件尺寸的茎叶图如图所示： 甲 乙 8 7 21 8 9 8 6 6 5 2 22 1 3 4 5 7 8 4 3 1 23 0 2 （1）从甲、乙两位工人当天生产的零件中各随机抽取 1 个零件，求抽取的 2 个零件等级互不相同的概率； （2）从工人甲当天生产的零件中随机抽取 3 个零件，记这 3 个零件中一等品数量为 X，求 X 的分布列和 数学期望． 18．解析：（1）由茎叶图可知，甲当天生产了 10 个零件，其中 4 个一等品，6 个二等品；乙当天生产了 10 个零件，其中 5 个一等品，5 个二等品， 所以，抽取的 2 个零件等级互不相同的概率 4 5 6 5 1 10 10 2P     ． …5 分 （2）X 可取 0，1，2，3． …6 分 0 3 1 2 2 1 3 0 4 6 4 6 4 6 4 6 3 3 3 3 10 10 10 10 1 1 3 1( 0) ; ( 1) ; ( 2) , ( 3)6 2 10 30 C C C C C C C CP X P X P X P XC C C C            ； …10 分 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 1 6 1 2 3 10 1 30 ∴随机变量 X 的期望 1 1 3 1 6( ) 0 1 2 36 2 10 30 5E X          ． …12 分 19．（本小题满分 12 分） 斜率为 ( 0)k k  的直线l 与抛物线 2y x 交于 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 两点，O 为坐标原点． （1）当 1 2 2x x  时，求 k ； （2）若OB l ，且 3AB OB ，求 AB ． 19．解析：（1）由已知可得， 2 2 1 1 2 2y x y x ， ， 所以 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2( )( ) 2( )y y x x x x x x x x        ， 此时，直线l 的斜率 1 2 1 2 2y yk x x   ． …4 分 （2）因为OB l ，所以 kOB＝－ 1 k ， 又因为 2 2 2 2 2 2 OB y xk xx x   ，所以， 2 1x k  ， …6 分 又由（1）可知， 1 2 1 2 1 2 y yx x kx x    ，从而有， 1 2 1x k x k k    ， 所以 2 2 1 2 21 1AB k x x k k k      ， 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 4 2 1 1 1 kOB x y x x k k k        …9 分 因为 3AB OB ，所以 2 2 2 2 3 11 kk k k k    ， 化简得， 3 2 3k k  |，解得， 1k   ， 所以， 2 21 3 2AB k k k    ． …12 分 20．（本小题满分 12 分） 在直角三角形 ABC 中， 2AB BC  ， D 为 AC 的中点．如图，以 BD 为折痕将 ABD△ 折起，使点 A 到达点 P 的位置，且 PB CD ． （1）求证： PD  平面 BCD ； （2）求 PA 与平面 PBC 所成角的正弦值． P A B CD 20．解析：（1）∵直角三角形 ABC 中， AB＝BC＝2，D 为 AC 的中点， ∴BD⊥CD， 又∵PB⊥CD，BD∩PB＝B， ∴CD⊥平面 PBD， ∴CD⊥PD， 又∵AD⊥BD， ∴PD⊥BD． 又因为 BD∩CD＝D， ∴PD⊥平面 BCD． …5 分 （2）以 D 为坐标原点，DA，DB，DP 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系 D－xyz， 则 ( 2,0,0), (0, 2,0), ( 2,0,0), (0,0, 2)A B C P ， ( 2,0, 2), (0, 2, 2), ( 2, 2,0)PA PB CB        , 设平面 PBC 的法向量 ( , , )n x y z ， 由 2 2 0 2 2 0 n PB y z n CB x y              ，可取 (1, 1, 1)n    ． …9 分 6cos , 3 PA nPA n PA n         ，∴直线 PA 与平面 PBC 所成角的正弦值为 6 3 ． …12 分 21．（本小题满分 12 分） 已知函数 1( ) log ( 0af x x ax   ，且 1)a  ． （1）当 a e 时，曲线 ( )y f x 与直线 y m 相切，求 m 的值； （2）若 ( )≥ ef x a ，求 a 的取值范围． （1）当 a e 时， 1( ) lnf x x x  ，所以 2 2 1 1 1( ) xf x x x x     ． …1 分 设切点为 0 0( , ( ))x f x ，曲线 ( )y f x 与 y m 相切，得 0( ) 0f x  ， A B C P D x y z 解得 0 1x  ，所以切点为(1,1) ． …3 分 所以 1m  ． …4 分 （2）依题意得 (1) ef a ≥ ，所以1 e a ≥ ，从而 a e≥ ． …5 分 因为 2 ln( ) ,ln x af x a ex a   ≥ ， 所以当0 lnx a  时， ( ) 0f x  ， ( )f x 单调递减；当 lnx a 时， ( ) 0f x  ， ( )f x 单调递增， 所以当 lnx a ， ( )f x 取得最小值 1log (ln ) lna a a ． …7 分 设 ( ) ln ,g x e x x x  ≥e ，则 ( ) 1e e xg x x x     ≤0 ， 所以 ( )g x 在[ , )e  单调递减，从而 ( ) ( ) 0≤g x g e  ，所以 lne x x≤ ． …10 分 又 a e≥ ，所以 lne a a≤ ，从而 1 ln e a a ≥ ，当且仅当 a e 时等号成立． 因为ln 1a≥ ，所以log (ln ) 0a a ≥ ，即 1log (ln ) lna ea a a ≥ ． 综上，满足题设的 a 的取值范围为[ , )e  ． …12 分 （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所作的第一题计分． 22．【选修 4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分 10 分） 在极坐标系中，曲线C 的方程为 2 2 2 sin 4 04          ，以极点O 为原点，极轴为 x 轴正半轴建 立平面直角坐标系 xOy ，直线 cos: sin x tl y t      （t 为参数，0≤  ）． （1）求曲线C 的直角坐标方程； （2）设直线l 与曲线C 相交于 ,A B 两点，求 OA OB 的取值范围． 22．（1）由 2 2 2 sin 4 04          得， 2 2 cos 2 sin 4 0        ． 所以 2 2 2 2 4 0x y x y     ．曲线 C 的直角坐标方程为 2 2( 1) ( 1) 6x y    ． …5 分 （2）将直线 l 的参数方程代入 2 2 2 2 4 0x y x y     并整理得， 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2(sin cos ) 4 0, 2(sin cos ), 4 0. 2(sin cos ) 2 2 sin 4 t t t t t t OA OB t t t t                              因为0  ≤ ，所以 5 4 4 4     ≤ ，从而有 2 2 2 sin 2 24       ≤ ． 所以 OA OB 的取值范围是[0, 2 2]． …10 分 23．【选修 4—5：不等式选讲】（本小题满分 10 分） 已知 ( ) 1 2 1f x x x    ． （1）求不等式 ( ) 0f x  的解集； （2）若 Rx 时，不等式 ( )≤f x a x 恒成立，求 a 的取值范围． 23．（1）由题意得 1 2 1x x   , 所以 2 21 2 1x x   , 整理可得 2 2 0x x  ，解得0 2x  ，故原不等式的解集为{ | 0 2}x x  ． …5 分 （2）由已知可得， ( )a f x x≥ 恒成立， 设 ( ) ( )g x f x x  ，则 2, 1 1( ) 2 , 1 2 12 2, 2 x g x x x x x           ≤ ≤ 由 ( )g x 的单调性可知， 1 2x  时， ( )g x 取得最大值 1， 所以 a 的取值范围是[1, ) ． …10 分