2013届理科班初三数学教学质量调研试卷

2013届理科班初三数学教学质量调研试卷

2013 届初三数学教学质量调研试卷 （满分 150 分，考试时间 100 分钟） 考生注意： 1. 本试卷含三个大题，共 25 题； 2. 答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律 无效； 3. 除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计 算的主要步骤. 一、选择题:(本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分) 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题 纸的相应位置上】 1. 同位素的半衰期（half－life）表示衰变一半样品所需的时间．镭－226 的半衰期约为 1600 年，1600 用科学记数法表示为 （A）1.6×103； （B）0.16×104； （C）16×102； （D）160×10． 2. 若点 P（a，b）在第四象限，则点 Q（ a ， 1b  ）在 （A）第一象限； （B）第二象限； （C）第三象限； （D）第四象限． 3. 若两圆的直径分别是 4 和 6，圆心距为 2，则这两圆的位置关系是 （A）外离； （B）相交； （C）外切； （D）内切． 4. 某课外小组的同学们在社会实践活动中调查了 20 户家庭某月的用电量，如下表所示： 用电量（度） 120 140 160 180 200 户数 2 3 6 7 2 则这 20 户家庭该月用电量的众数和中位数分别是 （A）180，160； （B）160，180； （C）160，160； （D）180，180． 5. 下列各组图形必相似的是 （A）任意两个等腰三角形； （B）有两边对应成比例，且有一个角对应相等的两三角形； （C）两边为 4 和 5 的直角三角形与两边为 8 和 10 的直角三角形； （D）两边及其中一边上的中线对应成比例的两三角形． 6. 定义：如果一元二次方程 2 0( 0)ax bx c a    满足 0abc   ，那么我们称这个方程为 “凤凰”方程．已知 是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下 列结论正确的是 （A） ac ； （B） ab ； （C）bc ； （D） abc． 二、填空题:（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置】 7. 9 的算术平方根是 ▲ ． 8. 分解因式： 324x xy ▲ ． 9. 函数 42yx的定义域是 ▲ ． 10. 不等式组 3 2 5 21 x x    的整数解是 ▲ ． 11. 将抛物线 21 2yx 向上平移 2 个单位，再向右平移 1 个单位后，得到的抛物线的解析式 为 ▲ ． 12. 从标有 1 到 9 序号的 9 张卡片中任意抽取一张，抽到序号是 3 的倍数的概率是 ▲ ． 13. 已知⊙O 的半径为 2，直线 l 上有一点 P 满足 OP = 2，则直线 l 与⊙O 的位置关系是 ▲ ． 14. 在△ABC 中，DE∥BC，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，且 AD = 3BD，如果 AB a ，AC b ， 那么 DE = ▲ （结果用a 、b 表示）． 15. 对某校九年级随机抽取若干名学生进行体能测试，成绩记为 1 分，2 分，3 分，4 分共 4 个等级，将调查结果绘制成如下条形统计图（图 1）和扇形统计图（图 2）．根据图中信息， 这些学生的平均分数是 ▲ 分． 16. 如图 3，矩形纸片 ABCD 中，AD = 9，AB = 3，将其折叠， 使点 D 与点 B 重合，折痕为 EF，那么折痕 EF 的长为 ▲ ． 17. 已知在⊙O 中，半径 r = 5，AB，CD 是两条平行弦，且 AB = 8，CD = 6，则弦 AC 的长为 ▲ ． 18. 如图 4，点 A 是 5×5 网格图形中的一个格点（小正方形的 顶点），图中每个小正方形的边长为 1，以 A 为其中的一 个顶点，面积等于 5 2 的格点等腰直角三角形（三角形的三 个顶点都是格点）的个数是 ▲ ． 三、解答题：（本大题共 7 题，满分 78 分） 19.（本题满分 10 分） 先化简，再求值： 222 1 1 2 1 2 x x x x x x x      ，其中 32x ． A 图 4 图 1 12 3 人数 分数 成绩频数条形统计图 1 2 3 4 图 2 成绩频数扇形统计图 4 分 30% 3 分 42.5% 1 分 2 分 A B C D E F C 图 3 20.（本题满分 10 分） 解方程： 22 9 5 3x x x    ． 21.（本题满分 10 分，第（1）小题满分 3 分，第（2）小题满分 7 分） 如图 5，已知△ABC 是等边三角形，点 D、F 分别在线 段 BC、AB 上，∠EFB = 60°，DC = EF． （1）求证：四边形 EFCD 是平行四边形； （2）若 BF = EF，求证：AE = AD． 22.（本题满分 10 分） 图 6 为圆柱形大型储油罐固定在 U 型槽上的横截面图．已知 图中 ABCD 为等腰梯形（AB∥DC），支点 A 与 B 相距 8m，罐底 最低点到地面 CD 距离为 1m．设油罐横截面圆心为 O，半径为 5m，∠D = 56°，求：U 型槽的横截面（阴影部分）的面积． （参考数据：sin53°≈0.8，tan56°≈1.5，π≈3，结果保留整数） 23.（本题满分 12 分，每小题满分各 6 分） 如图 7，A、D 分别在 x 轴和 y 轴上，CD∥x 轴，BC∥y 轴．点 P 从 D 点出发，以 1cm/s 的速度，沿五边形 OABCD 的边匀速运动一周．记顺次联结 P、O、D 三点所围成图形的面积 为 S cm2，点 P 运动的时间为 t s．已知 S 与 t 之间的函数关系如图 8 中折线段 OEFGHI 所示． （1）求 A、B 两点的坐标； （2）若直线 PD 将五边形 OABCD 分成面积相等的两部分，求直线 PD 的函数解析式． O A B C D x（cm） y（cm） 图 7 O E F G H I S（cm2） t（s） 图 8 3 6 11 12 4 B A E C D F 图 5 A 图 6 B D C O 24.（本题满分 12 分，第（1）小题满分 2 分，第（2）、（3）小题满分各 5 分） 如果抛物线 C1 的顶点在抛物线 C2 上，同时抛物线 C2 的顶点在抛物线 C1 上，那么我们称 抛物线 C1 与 C2 关联． （1）已知抛物线① 2 21y x x   ，判断下列抛物线② 2 21y x x    ；③ 2 21y x x   与 已知抛物线①是否关联，并说明理由； （2）抛物线 C1: 21 ( 1) 28yx   ，动点 P 的坐标为（t，2），将抛物线 C1 绕点 P（t，2）旋转 180°得到抛物线 C2，若抛物线 C2 与 C1 关联，求抛物线 C2 的解析式； （3）A 为抛物线 C1: 的顶点，B 为与抛物线 C1 关联的抛物线顶点，是否存在 以 AB 为斜边的等腰直角△ABC，使其直角顶点 C 在 y 轴上，若存在，求出点 C 的坐标； 若不存在，请说明理由． 25.（本题满分 14 分，第（1）小题满分 3 分，第（2）小题满分 5 分，第（3）小题满分 6 分） 已知菱形 ABCD 中，BD 为对角线，P、Q 两点分别在 AB、BD 上，且满足 PCQ ABD   ． （1）如图 9，当 90BAD   时，求证： 2DQ BP CD； （2）如图 10，当 120BAD   时，试探究线段 DQ、BP、CD 之间的数量关系，并证明你的 结论； （3）如图 11，在（2）的条件下，延长 CQ 交 AD 边于点 E，交 BA 的延长线于点 M，作∠DCE 的平分线交 AD 边于点 F．若 5 7 CQ PM  ， 35 24EF  ，求线段 BP 的长． A B C D P Q 图 9 A B C D P Q 图 10 A B C D P Q E F M 图 11 2013 届初三数学教学质量调研试卷 答案要点与评分标准 说明： 1．解答只列出试题的一种或几种解法．如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分 标准相应评分； 2．第一、二大题若无特别说明，每题评分只有满分或零分； 3．第三大题中各题右端所注分数，表示考生正确做对这一步应得分数； 4．评阅试卷，要坚持每题评阅到底，不能因考生解答中出现错误而中断对本题的评阅．如果 考生的解答在某一步出现错误，影响后继部分而未改变本题的内容和难度，视影响的程度 决定后继部分的给分，但原则上不超过后继部分应得分数的一半； 5．评分时，给分或扣分均以 1 分为基本单位． 一、选择题:(本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分) 1.A； 2.C； 3.B； 4.A； 5.D； 6. A． 二、填空题:（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分） 7. 3 ； 8. ( 2 )( 2 )x x y x y； 9. 2x  ； 10. 0，1，2，3； 11. 21 ( 1) 22yx    ；12. 1 3 ； 13. 相交或相切； 14. 33 44ba ； 15. 2.95； 16. 10 ； 17. 2 或52或 72 18. 16． 三、解答题：（本大题共 7 题，满分 78 分） 19. 解： 原式 2( 1) 1 2 ( 1)( 1) 2 x x x x x x x       ，…………………………………………（3 分） 1 22 xx xx  ，…………………………………………………………………（3 分） 1 2x  ．…………………………………………………………………………（2 分） 当 32x 时，原式 3 3 ．…………………………………………………（2 分） 20. 解：两边平方，得 222 9 5 ( 3)x x x    ，…………………………………………（3 分） 整理得： 2 3 4 0xx   ，………………………………………………………（3 分） 解得： 1 1x  ， 2 4x  ．………………………………………………………（2 分） 经检验， 是增根．………………………………………………………（1 分） ∴ 4x  是原方程的解．…………………………………………………………（1 分） 21. 证明：（1）∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC = 60°．……………………………（1 分） ∵∠EFB = 60°， ∴∠ABC =∠EFB，∴EF∥DC．………………………………………………（1 分） ∵DC = EF， ∴四边形 EFCD 是平行四边形．………………………………………………（1 分） （2）联结 BE，……………………………………………………………………（1 分） ∵BF = EF，∠EFB = 60°，∴△EFB 是等边三角形，…………………………（1 分） ∴EB = EF，∠EBF = 60°． ∵DC = EF，∴EB = DC．………………………………………………………（1 分） ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠ACB = 60°，AB = AC，………………………………………………………（1 分） ∴∠EBF =∠ACB，………………………………………………………………（1 分） ∴△AEB≌△ADC．………………………………………………………………（1 分） ∴AE = AD．………………………………………………………………………（1 分） 22. 解：如图 1，联结 AO、BO，过点 A 作 AE⊥DC 于点 E，过点 O 作 ON⊥DC 于点 N，ON 交⊙O 于点 M，交 AB 于点 F，则 OF⊥AB．…（1 分） ∵OA = OB = 5m，AB = 8m， ∴ 1 4m2AF BF AB   ，∠AOB = 2∠AOF．…（1 分） 在 Rt△AOF 中，sin∠AOF = AF AO = 0.8 = sin53°． ∴∠AOF = 53°，则∠AOB = 106°．………………（1 分） ∵ 223mOF OA AF   ，由题意得：MN = 1m， ∴ 3mFN OM OF MN    ．…………………（1 分） ∵四边形 ABCD 是等腰梯形，AE⊥DC，FN⊥AB， ∴AE = FN = 3m，DC = AB + 2DE． 在 Rt△ADE 中， 3tan56 2 AE DE   ，∴DE = 2m，DC = 12m．……………（2 分） ∴ ()ABCD OABOABS S S S  阴影部分 梯形 扇形 221 106 1(8 12) 3 ( 5 8 3) 20(m )2 360 2         ．…………………（3 分） 答：U 型槽的横截面积约为 20m2．……………………………………………（1 分） 23. 解：（1）联结 AD，设点 A 的坐标为（a，0）． ∵DO + OA = 6cm，∴DO = 6 - AO = 6 - a．…………………………………（1 分） ∵ 4AODS  ，∴ 11(6 ) 422DO AO a a    ，解得： 2a  或 4a  ．………（2 分） ∵ 3DO  ，∴ 3AO  ，∴ ，∴点 A 的坐标为（2，0）．………………（1 分） 点 D 的坐标为（0，4），延长 CB 交 x 轴于点 M． ∵AB = 5，CB = 1，∴MB = 3，…………………………………………………（1 分） ∴ 224AM AB MB   ，∴OM = 6，∴点 B 的坐标为（6，3）．………（1 分） （2）显然点 P 一定在 AB 上，设点 P（x，y），联结 PC、PO． 则 11( ) 922DPC PBC ABMOMCDDPBC OABCDS S S S S S       矩形四边形 五边形 ．…（1 分） ∴ 116 (4 ) 1 (6 ) 922yx        ，即 6 12xy．………………………（1 分） 同理，由 9DPAOS 四边形 可得 29xy．………………………………………（1 分） A 图 1 B D C E N M F O 由 6 12 29 xy xy    ，解得 42 15 11 11xy， ，∴P（ 42 11 ，15 11 ）．…………………（1 分） 设直线 PD 的函数解析式为 4y kx，则15 42 411 11 k，∴ 29 42k  ．…（1 分） ∴直线 PD 的函数解析式为 29 442yx   ．……………………………………（1 分） 24. 解：（1）抛物线① 222 1 ( 1) 2y x x x      ，其顶点坐标 M（-1，-2）. 经验算，点 M 在抛物线②上，不在抛物线③上，所以抛物线①与抛物线③不是关联 的；………………………………………………………………………………（1 分） 抛物线② 222 1 ( 1) 2y x x x        ，其顶点坐标 Q（1，2）. 经验算，点 Q 在抛物线①上，所以抛物线①与抛物线②是关联的. ………（1 分） （2）抛物线 C1: 21 ( 1) 28yx   的顶点 M 的坐标为（-1，-2），因为动点 P 的坐标为 （t，2），所以点 P 在直线 y = 2 上，作点 M 关于点 P 的对称点 N，分别过点 M、N 作直线 y = 2 的垂线，垂足为 E、F，则 ME = NF = 3，所以点 N 的纵坐标为 6. …………………………………………………………………………………（1 分） 当 y = 6 时， 21 ( 1) 2 68 x    ，解得： 1 7x  ， 2 9x  .……………………（1 分） ∴N（7，6）或 N（-9，6）. ……………………………………………………（1 分） ①设抛物线 C2 的解析式为 2( 7) 6y a x   ， ∵点 M（-1，-2）在抛物线 C2 上，∴ 22 ( 1 7) 6a     ，得 1 8a  . ∴抛物线 C2 的解析式为 21( 7) 68yx    .…………………………………（1 分） ②设抛物线 C2 的解析式为 2( 9) 6y a x   ， ∵点 M（-1，-2）在抛物线 C2 上，∴ 22 ( 1 9) 6a     ，得 . ∴抛物线 C2 的解析式为 21( 9) 68yx    .…………………………………（1 分） （3）点 C 为 y 轴上一动点，以 AC 为腰作等腰直角△ABC，设点 C 的坐标为（0，c）， 图 2 O E x M y P F N 图 3 O C x A y F B H B  D D 则点 B 的坐标分两类： ①当 A、B、C 逆时针分布时，如图 3 中点 B，过 A、B 作 y 轴的垂线，垂足分别为 H、 F，则△BCF ≌△CAH，∴CF = AH = 1，BF = CH = c + 2，点 B 的坐标为（c + 2，c - 1）. ……………………………………………………………………（1 分） 当点 B 在抛物线 C1: 21 ( 1) 28yx   上时， 211 ( 2 1) 28cc     ，解得： 1c  . ……………………………………………………………………………………（1 分） ②当 A、B、C 顺时针分布时，如图 3 中点 B ，过 作 y 轴的垂线，垂足为 D，同理 可得点 的坐标为（- c - 2，c + 1）. ………………………………………（1 分） 当点 在抛物线 C1: 上 时 ， 211 ( 2 1) 28cc      ， 解 得 ： 3 4 2c  .………………………………………………………………………（1 分） 综上所述，存在三个符合条件的等腰直角三角形，其中点 C 的坐标分别为 C1（0，1）， C2（0，3 4 2 ）， C3（0，3 4 2 ）. …………………………………（1 分） 25.（1）证明：如图 4，联结 AC，在菱形 ABCD 中，∵∠BAD = 90°， ∴四边形 ABCD 为正方形，∴∠PAC = ∠QDC = 45°. ∵ 45ACP ACQ     ， 45DCQ ACQ     ，∴∠ACP = ∠DCQ. …（1 分） ∴△APC ∽△DQC，∴ 2AP AC DQ CD，∴ 2AP DQ .…………………（1 分） ∵ AP BP CD，∴ 2DQ BP CD.……………………………………（1 分） （2） 32DQ BP CD .……………………………………………………………（1 分） 证明：如图 5，联结 AC，在 DQ 上取一点 M，联结 CM，使∠MCD = ∠MDC = 30°， 则∠QMC =∠PAC = 60°. 过点 M 作 MG⊥CD 于点 G. 在 Rt△MGC 中， 1sin 60 2CG CM CD    ，∴ 3CD CM . ∵ 60ACP ACB BCP BCP      ， 60MCQ MCB PCQ BCP BCP           ， ∴∠ACP = ∠MCQ. ……………………………………………………………（1 分） ∴△APC∽△MQC，∴ 3AP AC CD MQ CM CM，∴ 3 3MQ AP .………（1 分） A B C D P Q 图 4 A B C D P Q 图 5 M G ∵ 3 3MQ DQ DM DQ CD    ， AP CD BP，………………………（1 分） ∴ 33()33CD BP DQ CD   ，…………（1 分） 即 32DQ BP CD . （3）解：如图 6，在菱形 ABCD 中，∠ABD = ∠BDC = 30°， ∵∠PCQ = ∠ABD = 30°，∴∠PCQ =∠QDC. ∵BM∥CD，∴∠PMC = ∠QCD. ∴△CQD ∽△MPC，∴ 5 7 CQ CD PM MC， ∴ 5 7 BC MC  .………………………（1 分） 设 BC = 5k，则 MC = 7k，过点 C 作 CH⊥AB 于点 H. 在 Rt△CHB 中， 5cos60 2BH BC k    ， 5sin 60 32CH BC k    . 在 Rt△MHC 中， 2211 2MH MC CH k   ，∴BM = BH + MH = 8k. ∴AM = BM - AB = 3k.……………………………………………………………（1 分） ∵AM∥CD，∴ AM AE AE CD DE AD AE ，∴ 3 55 k AE k k AE  ，得 15 8AE k .（1 分） 延长 CF、BM 交于点 I，则∠DCF = ∠MIC. ∵FC 平分∠ECD，∴∠ECF = ∠DCF， ∴∠MCI = ∠MIC，∴MI = MC = 7k，∴AI = AM + MI = 10k. ∵AI∥CD，∴ AI AF AF CD DF AD AF ，∴10 55 k AF k k AF  ，得 10 3AF k .（1 分） ∴ 35 35 24 24EF AF AE k    ，得 1k  ，∴CD = 5. ………………………（1 分） 过点 C 作 CN⊥BD 于点 N. 在 Rt△CND 中， 5sin 60 32DN CD    ，∴ 2 5 3BD DN. ∵DE∥BC，∴ DE DQ DQ BC BQ BD DQ ，∴ 25 8 5 53 DQ DQ   ，得 25 313DQ  . ∴ 552313BP CD DQ   .……………………………………………………（1 分） A B C D P Q E F M 图 6 H I N 题号 考点 相对难度 备注 1 科学计数法 ★☆☆☆☆ 2 点与直角坐标系 ★☆☆☆☆ 3 圆与圆的位置关系 ★☆☆☆☆ 4 中位数，众数 ★☆☆☆☆ 5 相似三角形的判定 ★☆☆☆☆ 6 一元二次方程根的判别式 ★★☆☆☆ 7 算术平方根 ★☆☆☆☆ 8 分解因式 ★☆☆☆☆ 9 函数定义域，二次根式 ★☆☆☆☆ 10 解不等式组 ★☆☆☆☆ 11 二次函数图象平移 ★☆☆☆☆ 12 概率 ★☆☆☆☆ 13 直线与圆的位置关系 ★☆☆☆☆ 14 平面向量，平行线分线段成比例 ★★☆☆☆ 15 条形、扇形统计图，加权平均数 ★★☆☆☆ 16 图形的折叠，勾股定理 ★★☆☆☆ 17 垂径定理，勾股定理 ★★★☆☆ 两个层次的分类讨论，共四种 情况 18 三角形面积计算，格点问题 ★★★★☆ 分 A 为直角顶点和非直角顶点 两种情况讨论 19 分式，二次根式计算和化简 ★☆☆☆☆ 20 解无理方程 ★☆☆☆☆ 21 等边三角形，全等三角形等 ★★☆☆☆ 22 垂径定理，解直角三角形的应用，特殊 图形面积计算 ★★★☆☆ 注意面积的计算方法，计算要 仔细 23 一次函数图象、待定系数法求解析式 ★★★★☆ 读得懂图象就不难，正常难度 24 二次函数图象、顶点 ★★★★☆ 看得懂定义就不难，正常难度 25 相似三角形，平行线分线段成比例，解 直角三角形，正方形、菱形的性质等 ★★★★★ 几何综合题，难题，较复杂