2021高考数学一轮复习第1章集合与常用逻辑用语第1节集合教学案文北师大版

2021高考数学一轮复习第1章集合与常用逻辑用语第1节集合教学案文北师大版

第1章 集合与常用逻辑用语 全国卷五年考情图解 高考命题规律把握 说明：“Ⅰ1”指全国卷Ⅰ第1题，“Ⅱ1”指全国卷Ⅱ第1题，“Ⅲ1”指全国卷Ⅲ第1题.‎ ‎1.考查形式 本章在高考中一般考查1或2个小题，主要以选择题为主，很少以填空题的形式出现.‎ ‎2.考查内容 从考查内容来看，集合主要考查集合的运算，包含集合的交、并、补集运算；常用逻辑用语主要考查充分必要条件的判断、逻辑联结词“且”“或”“非”以及全称量词与存在量词.‎ ‎3.备考策略 ‎(1)熟练掌握解决以下问题的方法和规律 ‎①集合的交、并、补集运算问题；‎ ‎②充分条件、必要条件的判断问题；‎ ‎③含有“且”“或”“非”的命题的真假性的判断问题；‎ ‎④含有一个量词的命题的否定问题.‎ ‎(2)重视数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用.‎ - 10 -‎ 第一节　集合 ‎[最新考纲]　1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的含义.3.(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．(3)能使用Venn图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．‎ ‎(对应学生用书第1页)‎ ‎1．集合与元素 ‎(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．‎ ‎(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或表示．‎ ‎(3)集合的表示方法：列举法、描述法、Venn图法．‎ ‎(4)常见数集的记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋)‎ Z Q R ‎2.集合间的基本关系 表示 关系　　‎ 文字语言 符号语言 记法 基本 关系 子集 集合A的元素都是集合B的元素 x∈A⇒x∈B AB或BA 真子集 集合A是集合B的子集，但集合B中至少有一个元素不属于A AB，存在x0∈B，x0A AB或BA 基本 关系 相等 集合A，B的元素完全相同 AB，BA⇒A＝B A＝B 空集 不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集 任意x，x，A ‎3.集合的基本运算 表示 运算　　‎ 文字语言 符号语言 图形语言 记法 - 10 -‎ 交集 属于A且属于B的元素组成的集合 ‎{x|x∈A且x∈B}‎ A∩B 并集 属于A或属于B的元素组成的集合 ‎{x|x∈A或x∈B}‎ A∪B 补集 全集U中不属于A的元素组成的集合 ‎{x|x∈U，xA}‎ UA ‎1．集合子集的个数 对于有限集合A，其元素个数为n，则集合A的子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集个数为2n－2.‎ ‎2．集合的运算性质 ‎(1)并集的性质：A∪＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔BA.‎ ‎(2)交集的性质：A∩＝；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔AB.‎ ‎(3)补集的性质：A∪(UA)＝U；A∩(UA)＝；U(UA)＝A；U(A∩B)＝(UA)∪(UB)；U(A∪B)＝(UA)∩(UB)．‎ 一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)任何一个集合都至少有两个子集． (　　)‎ ‎(2){x|y＝x2}＝{y|y＝x2}＝{(x，y)|y＝x2}． (　　)‎ ‎(3)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1. (　　)‎ ‎(4)直线y＝x＋3与y＝－2x＋6的交点组成的集合是{1,4}． (　　)‎ ‎[答案](1)×　(2)×　(3)×　(4)×‎ 二、教材改编 ‎1．若集合A＝{x∈N|x≤2}，a＝，则下列结论正确的是(　　)‎ A．{a}A　　　　 B．aA C．{a}∈A D．aA D　[由题意知A＝{0,1,2}，由a＝，知aA.]‎ ‎2．已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，则集合M∪N的子集的个数为________．‎ ‎64　[∵M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，‎ ‎∴M∪N＝{0,1,2,3,4,5}，‎ ‎∴M∪N的子集有26＝64个．]‎ ‎3．已知U＝{α|0°＜α＜180°}，A＝{x|x是锐角}，B＝{x|x是钝角}，则U(A∪B - 10 -‎ ‎)＝________.‎ ‎[答案]　{x|x是直角}‎ ‎4．方程组的解集为________．‎ 　[由得 故方程组的解集为.]‎ ‎5．已知集合A＝{x|－2＜x＜3}，集合B＝{x|x－1＜0}，则A∩B＝________，A∪B＝________.‎ ‎(－2,1)　(－∞，3)　[∵A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|x－1＜0}＝{x|x＜1}，‎ ‎∴A∩B＝{x|－2＜x＜1}，A∪B＝{x|x＜3}．]‎ ‎(对应学生用书第2页)‎ ‎⊙考点1　集合的概念 ‎　与集合中的元素有关的问题的求解思路 ‎(1)确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集．‎ ‎(2)看清元素的限制条件．‎ ‎(3)根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数．‎ ‎　1.已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为(　　)‎ A．9 B．8　　　　‎ C．5　　 D．4‎ A　[由x2＋y2≤3知，－≤x≤，－≤y≤.又x∈Z，y∈Z，所以x∈{－1,0,1}，y∈{－1,0,1}，所以A中元素的个数为9，故选A.]‎ ‎2．已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．‎ ‎－　[由题意得m＋2＝3或2m2＋m＝3，‎ 则m＝1或m＝－.‎ 当m＝1时，m＋2＝3且2m2＋m＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意； ‎ 当m＝－时，m＋2＝，2m2＋m＝3，符合题意，故m＝－.]‎ ‎3．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝________.‎ ‎0或　[当a＝0时，显然成立；当a≠0时，Δ＝(－3)2－8a＝0，即a＝.]‎ ‎4．已知a，b∈R，若＝{a2，a＋b,0}，则a2 020＋b2 020＝________.‎ - 10 -‎ ‎1　[由已知得a≠0，则＝0，‎ 所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1或a＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a＝1应舍去，因此a＝－1，故a2 020＋b2 020＝(－1)2 020＋02 020＝1.]‎ ‎(1)求解此类问题时，要特别注意集合中元素的互异性，如T2，T4.(2)常用分类讨论的思想方法求解集合问题，如T3.‎ ‎⊙考点2　集合的基本关系 ‎　判断两集合关系的方法 ‎(1)列举法：用列举法表示集合，再从元素中寻求关系．‎ ‎(2)化简集合法：用描述法表示的集合，若代表元素的表达式比较复杂，往往需化简表达式，再寻求两个集合的关系．‎ ‎(1)(2019·唐山模拟)设集合M＝{x|x2－x＞0}，N＝，则(　　)‎ A．MN　　　 B．NM C．M＝N D．M∪N＝R ‎(2)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，则满足条件ACB的集合C的个数为(　　)‎ A．1 B．2 ‎ C．3　　　　 D．4‎ ‎(3)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若BA，则实数m的取值范围为________．‎ ‎(1)C　(2)D　(3)(－∞，3]　[(1)集合M＝{x|x2－x＞0}＝{x|x＞1或x＜0}，N＝＝{x|x＞1或x＜0}，所以M＝N.故答案为C.‎ ‎(2)因为A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}，ACB，则集合C可以为：{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，共4个．‎ ‎(3)因为BA，‎ 所以①若B＝，则2m－1＜m＋1，此时m＜2.‎ ‎②若B≠，则解得2≤m≤3.‎ 由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为(－∞，3]．]‎ ‎[母题探究]‎ ‎1．(变问法)本例(3)中，若BA，求m的取值范围．‎ ‎[解]　因为BA，‎ ‎①若B＝，成立，此时m＜2.‎ ‎②若B≠，则且边界点不能同时取得，解得2≤m≤3.‎ - 10 -‎ 综合①②，m的取值范围为(－∞，3]．‎ ‎2．(变问法)本例(3)中，若AB，求m的取值范围．‎ ‎[解]　若AB，则即所以m的取值范围为.‎ ‎3．(变条件)若将本例(3)中的集合A改为A＝{x|x＜－2或x＞5}，试求m的取值范围．‎ ‎[解]　因为BA，‎ 所以①当B＝时，2m－1＜m＋1，即m＜2，符合题意．‎ ‎②当B≠时，或 解得或即m＞4.‎ 综上可知，实数m的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞)．‎ ‎(1)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．‎ ‎(2)空集是任何集合的子集，当题目条件中有BA时，应分B＝和B≠两种情况讨论．‎ ‎　1.设M为非空的数集，M{1,2,3}，且M中至少含有一个奇数元素，则这样的集合M共有(　　)‎ A．6个　　　B．5个　　　C．4个　　　D．3个 A　[由题意知，M＝{1}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}，共6个．]‎ ‎2．若集合A＝{1,2}，B＝{x|x2＋mx＋1＝0，x∈R}，且BA，则实数m的取值范围为________．‎ ‎[－2,2)　[①若B＝，则Δ＝m2－4＜0，‎ 解得－2＜m＜2，符合题意；‎ ‎②若1∈B，则12＋m＋1＝0，‎ 解得m＝－2，此时B＝{1}，符合题意；‎ ‎③若2∈B，则22＋2m＋1＝0，‎ 解得m＝－，此时B＝，不合题意．‎ 综上所述，实数m的取值范围为[－2,2)．]‎ ‎⊙考点3　集合的基本运算 ‎　集合运算三步骤 - 10 -‎ ‎　集合的运算 ‎(1)(2019·全国卷Ⅰ)已知集合U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,3,4,5}，B＝{2,3,6,7}，则B∩UA＝(　　)‎ A．{1,6}　 B．{1,7}‎ C．{6,7} D．{1,6,7}‎ ‎(2)(2019·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{x|x＞－1}，B＝{x|x＜2}，则A∩B＝(　　)‎ A．(－1，＋∞) B．(－∞，2)‎ C．(－1,2) D．‎ ‎(3)(2019·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{－1,0,1,2}，B＝{x|x2≤1}，则A∩B＝(　　)‎ A．{－1,0,1} B．{0,1}‎ C．{－1,1} D．{0,1,2}‎ ‎(1)C　(2)C　(3)A　[(1)由题意知UA＝{1,6,7}，又B＝{2,3,6,7}，∴B∩UA＝{6,7}，故选C.‎ ‎(2)∵A＝{x|x＞－1}，B＝{x|x＜2}，∴A∩B＝{x|－1＜x＜2}，即A∩B＝(－1,2)．‎ 故选C.‎ ‎(3)由题意可知B＝{x|－1≤x≤1}，‎ 又∵A＝{－1,0,1,2}，‎ ‎∴A∩B＝{－1,0,1}，‎ 故选A.]‎ ‎[逆向问题]　‎ 已知A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，(UB)∩A＝{9}，则A＝(　　)‎ A．{1,3}　 B．{3,7,9}‎ C．{3,5,9} D．{3,9}‎ D　[法一：(直接法)因为A∩B＝{3}，所以3∈A，又(UB)∩A＝{9}，所以9∈A.若5∈A，则5B(否则5∈A∩B)，从而5∈UB，则(UB)∩A＝{5,9}，与题中条件矛盾，故5‎ - 10 -‎ A.同理，1A,7A，故A＝{3,9}．‎ 法二：(Venn图)如图所示．‎ ‎]‎ ‎　集合运算的常用方法 ‎(1)若集合中的元素是离散的，常用Venn图求解．‎ ‎(2)若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．‎ ‎　利用集合的运算求参数 ‎(1)已知集合A＝{1,3，}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m等于(　　)‎ A．0或　 B．0或3‎ C．1或 D．1或3‎ ‎(2)已知集合M＝{x|－1≤x＜2}，N＝{y|y＜a}，若M∩N≠，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．[－1,2) B．(－∞，2]‎ C．[－1，＋∞) D．(－1，＋∞)‎ ‎(1)B　(2)D　[(1)由A∪B＝A，得BA，所以m∈A.因为A＝{1,3，}，所以m＝或m＝3，即m＝3或m＝1或m＝0.‎ 由集合中元素的互异性知m≠1，故选B.‎ ‎(2)M＝{x|－1≤x＜2}，N＝{y|y＜a}，且M∩N≠，结合数轴可得a＞－1.‎ ‎]‎ ‎　利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法 ‎(1)若集合中的元素能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解．‎ ‎(2)与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到．‎ 提醒：在求出参数后，注意结果的验证(满足集合中元素的互异性)．‎ ‎[教师备选例题]‎ ‎1．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合AB＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}，则AB中元素的个数为(　　)‎ A．77　　　B．49　　　C．45　　　D．30‎ - 10 -‎ C　[如图，集合A表示如图所示的所有圆点“”，集合B表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”，集合AB显然是集合{(x，y)||x|≤3，|y|≤3，x，y∈Z}中除去四个点{(－3，－3)，(－3,3)，(3，－3)，(3,3)}之外的所有整点(即横坐标与纵坐标都为整数的点)，则集合AB表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”＋所有圆点“”，共45个．故AB中元素的个数为45.故选C.]‎ ‎2．设集合A＝{x|x2＋2x－3＞0}，集合B＝{x|x2－2ax－1≤0，a＞0}，若A∩B中恰含有一个整数，则实数a的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D．(1，＋∞)‎ B　[A＝{x|x2＋2x－3＞0}＝{x|x＞1或x＜－3}，设函数f(x)＝x2－2ax－1，因为函数f(x)＝x2－2ax－1图像的对称轴为直线x＝a(a＞0)，f(0)＝－1＜0，根据对称性可知若A∩B中恰有一个整数，则这个整数为2，所以有 即所以 即≤a＜.故选B.]‎ ‎　1.(2019·许昌、洛阳三模)已知集合A＝{x|y＝}，B＝(0,1)，则A∩B＝(　　)‎ A．(0,1) B．(0,1]‎ C．(－1,1) D．[－1,1]‎ A　[由题意得A＝[－1,1]，又B＝(0,1)，∴A∩B＝(0,1)．故选A.]‎ ‎2．(2019·合肥巢湖一模)已知集合A＝{x|x＜3}，B＝{x|x＞a}，若A∩B≠，则实数a的取值范围为(　　)‎ A．[3，＋∞) B．(3，＋∞)‎ C．(－∞，3) D．(－∞，3]‎ C　[因为A∩B≠，所以结合数轴(图略)可知实数a的取值范围是a＜3，故选C.]‎ ‎3．如图，设全集U＝N，集合A＝{1,3,5,7,8}，B＝{1,2,3,4,5}，则图中阴影部分表示的集合为(　　)‎ - 10 -‎ A．{2,4} B．{7,8}‎ C．{1,3,5} D．{1,2,3,4,5}‎ A　[由题图可知阴影部分表示的集合为(UA)∩B，因为集合A＝{1,3,5,7,8}，B＝{1,2,3,4,5}，U＝N，所以(UA)∩B＝{2,4}．故选A.]‎ ‎4．已知A＝{1,2,3,4}，B＝{a＋1,2a}．若A∩B＝{4}，则a＝________.‎ ‎3　[因为A∩B＝{4}，所以a＋1＝4或2a＝4.若a＋1＝4，则a＝3，此时B＝{4,6}，符合题意；若2a＝4，则a＝2，此时B＝{3,4}，不符合题意．综上，a＝3.]‎ - 10 -‎