2012年高考数学真题分类汇编A 集合与常用逻辑用语(理科)
A 集合与常用逻辑用语
A1 集合及其运算
1．A1[2012·湖南卷] 设集合M＝{－1,0,1}，N＝{x|x2≤x}，则M∩N＝( )
A．{0} B．{0,1}
C．{－1,1} D．{－1,0,1}
1．B [解析] 本题考查集合的运算，意在考查考生对集合交集的简单运算．
解得集合N＝{ x|0≤x ≤1}，直接运算得M∩N＝{0,1}．
2．A1[2012·广东卷] 设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，则∁UM＝( )
A．U B．{1,3,5}
C．{3,5,6} D．{2,4,6}
2．C [解析] 因为U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，所以∁UM＝{3,5,6}，所以选择C.
1．A1[2012·北京卷] 已知集合A＝{x∈R|3x＋2>0}，B＝{x∈R|(x＋1)(x－3)>0}，则A∩B＝( )
A．(－∞，－1) B.
C. D．(3，＋∞)
1．D [解析] 因为A＝{x|3x＋2>0}＝
＝，
B＝{x|x<－1或x>3}＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)，所以A∩B＝(3，＋∞)，答案为D.
2．A1[2012·全国卷] 已知集合A＝{1,3，}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m＝( )
A．0或 B．0或3
C．1或 D．1或3
2．B [解析] 本小题主要考查集合元素的性质和集合的关系．解题的突破口为集合元素的互异性和集合的包含关系．
由A∪B＝A得B⊆A，所以有m＝3或m＝.由m＝得m＝0或1，经检验，m＝1时B＝{1,1}矛盾，m＝0或3时符合，故选B.
1．A1[2012·江苏卷] 已知集合A＝{1,2,4}，B＝{2,4,6}，则A∪B＝________.
1．{1,2,4,6} [解析] 考查集合之间的运算．解题的突破口为直接运用并集定义即可．由条件得A∪B＝{1,2,4,6}．
1．A1[2012·江西卷] 若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为( )
A．5 B．4 C．3 D．2
1．C [解析] 考查集合的含义与表示；解题的突破口为列出所有结果，再检验元素的互异性．当x＝－1，y＝0时，z＝－1，当x＝－1，y＝2时，z＝1，当x＝1，y＝0时，z＝1，当x＝1，y＝2时，z＝3，故集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素个数为3，故选C.
1．A1[2012·课标全国卷] 已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为( )
A．3 B．6 C．8 D．10
1．D [解析] 对于集合B，因为x－y∈A，且集合A中的元素都为正数，所以x>y.故集合
B＝{(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(3,1)，(3,2)，(2,1)}，其含有10个元素．故选D.
1．A1[2012·辽宁卷] 已知全集U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A＝{0,1,3,5,8}，集合B＝{2,4,5,6,8}，则(∁UA)∩(∁∪B)＝( )
A．{5,8} B．{7,9}
C．{0,1,3} D．{2,4,6}
1．B [解析] 本小题主要考查集合的概念及基本运算．解题的突破口为弄清交集与补集的概念以及运算性质．
法一：∵∁UA＝，∁UB＝，∴(∁UA)∩(∁UB)＝.
法二：∵A∪B＝，∴(∁UA)∩(∁UB)＝∁U＝.
2．A1[2012·山东卷] 已知全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则(∁UA)∪B为( )
A．{1,2,4} B．{2,3,4}
C．{0,2,4} D．{0,2,3,4}
2．C [解析] 本题考查集合间的关系及交、并、补的运算，考查运算能力，容易题．
∵U＝，A＝，B＝，
∴∁UA＝，(∁UA)∪B＝.
1．A1[2012·陕西卷] 集合M＝{x|lgx>0}，N＝{x|x2≤4}，则M∩N＝( )
A．(1,2) B．[1,2) C．(1,2] D．[1,2]
1．C [解析] 本小题主要考查集合的概念及基本运算以及对数函数的性质、一元二次不等式的解法．解题的突破口为解对数不等式以及一元二次不等式．对于lgx>0可解得x>1；对于x2≤4可解得－2≤x≤2，根据集合的运算可得1
3}，那么A∩(∁RB)＝{x|30且a≠1，则“函数f(x)＝ax在R上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．A [解析] 本题考查充分必要条件及函数的单调性，考查推理论证能力，容易题．
当f＝ax为R上的减函数时，00，此时g(x)＝(2－a)x3在R上为增函数成立；当g(x)＝(2－a)x3为增函数时，2－a>0即a<2，但10即可，只要使－4比2m，－m－3中较小的一个大即可，当m∈(－1,0)时，2m>－m－3，只要－4>－m－3，解得m>1与m∈(－1,0)的交集为空集；
当m＝－1时，两根为－2；－2>－4，不符合；当m∈(－4，－1)时，2m<－m－3，所以只要－4>2m，
所以m∈(－4，－2)．
综上可知m∈(－4，－2)．
3．A2、L4[2012·北京卷] 设a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
3．B [解析] ∵若a＝0，则复数a＋bi是实数(b＝0)或纯虚数(b≠0)．
若复数a＋bi是纯虚数则a＝0.综上，a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的必要而不充分条件．
6．A2、G5[2012·安徽卷] 设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．A [解析] 本题考查线面关系的判断，证明，充要条件的判断．
由题知命题是条件命题为“α⊥β”，命题“a⊥b”为结论命题，当α⊥β时，由线面垂直的性质定理可得a⊥b，所以条件具有充分性；但当a⊥b时，如果a∥m，就得不出α⊥β，所以条件不具有必要性，故条件是结论的充分不必要条件．
15．A2、C8、E6、E9[2012·安徽卷] 设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．
①若ab>c2，则C<；
②若a＋b>2c，则C<；
③若a3＋b3＝c3，则C<；
④若(a＋b)c<2ab，则C>；
⑤若(a2＋b2)c2<2a2b2，则C>.
15．①②③ [解析] 本题考查命题真假的判断，正、余弦定理，不等式的性质，基本不等式等．
对于①，由c2＝a2＋b2－2abcosC＝＋≥2，则cosC>，因为03即
8cosC＋2>3≥6，则cosC>，因为0＋≥，可得>c，所以ab>c2，因为a2＋b2≥2ab>ab>c2，所以C<，④错误；
对于⑤，c2<2a2b2可变为＋<，即>，所以c2≥，所以C<，故⑤错误．故答案为①②③.
21．A2、D5 [2012·安徽卷] 数列{xn}满足x1＝0，xn＋1＝－x＋xn＋c(n∈N*)．
(1)证明：{xn}是递减数列的充分必要条件是c<0；
(2)求c的取值范围，使{xn}是递增数列．
21．解：(1)证明：先证充分性，若c<0，由于xn＋1＝－x＋xn＋c≤xn＋c0即xn<1－.
由②式和xn≥0还可得，对任意n≥1都有
－xn＋1≤(1－)(－xn)．③
反复运用③式，
得－xn≤(1－)n－1(－x1)<(1－)n－1，
xn<1－和－xn<(1－)n－1两式相加，
知2－1<(1－)n－1对任意n≥1成立．
根据指数函数y＝(1－)x的性质，得2－1≤0，c≤，故00.
即证xn<对任意n≥1成立．
下面用数学归纳法证明当0xn，即{xn}是递增数列．
由(i)(ii)知，使得数列{xn}单调递增的c的范围是.
A3 基本逻辑联结词及量词
5．A3[2012·江西卷] 下列命题中，假命题为( )
A．存在四边相等的四边形不是正方形
B．z1，z2∈C，z1＋z2为实数的充分必要条件是z1，z2互为共轭复数
C．若x，y∈R，且x＋y>2，则x，y至少有一个大于1
D．对于任意n∈N*，C＋C＋…＋C都是偶数
5．B [解析] 考查命题的真假的判断、含量词命题真假的判断、组合数性质以及逻辑推理能力等；∵菱形四边相等，但不是正方形，∴A为真命题；∵z1，z2为任意实数时，z1＋z2为实数，∴B为假命题；∵x，y都小于等于1时，x＋y≤2，∴C为真命题；∵C＋C＋C＋…＋C＝2n，又n∈N*，∴D为真命题．故选B.
2．A3[2012·湖北卷] 命题“∃x0∈∁RQ，x∈Q”的否定是( )
A．∃x0∉∁RQ，x∈Q B．∃x0∈∁RQ，x∉Q
C．∀x∉∁RQ，x3∈Q D．∀x∈∁RQ，x3∉Q
2．D [解析] 本命题为特称命题，写其否定的方法是：先将存在量词改为全称量词，再否定结论，故所求否定为“∀x∈∁RQ，x3∉Q”. 故选D.
14．A2、A3、B3、E3[2012·北京卷] 已知f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)，g(x)＝2x－2，若同时满足条件：
①∀x∈R，f(x)<0或g(x)<0；
②∃x∈(－∞，－4)，f(x)g(x)<0.
则m的取值范围是________．
14．(－4，－2) [解析] 本题考查函数图像与性质、不等式求解、逻辑、二次函数与指数函数等基础知识和基本技能．
满足条件①时，由g(x)＝2x－2<0，可得x<1，要使∀x∈R，f(x)<0或g(x)<0，必须使x≥1时，f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)<0恒成立，
当m＝0时，f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)＝0不满足条件，所以二次函数f(x)必须开口向下，也就是m<0，要满足条件，必须使方程f(x)＝0的两根2m，－m－3都小于1，即可得m∈(－4,0)．
满足条件②时，因为x∈(－∞，－4)时，g(x)<0，所以要使∃x∈(－∞，－4)时，f(x)g(x)<0，只要∃x0∈(－∞，－4)时，使f(x0)>0即可，只要使－4比2m，－m－3中较小的一个大即可，当m∈(－1,0)时，2m>－m－3，只要－4>－m－3，解得m>1与m∈(－1,0)的交集为空集；
当m＝－1时，两根为－2；－2>－4，不符合；当m∈(－4，－1)时，2m<－m－3，所以只要－4>2m，
所以m∈(－4，－2)．
综上可知m∈(－4，－2)．
A4 单元综合
3．A4[2012·福建卷] 下列命题中，真命题是( )
A．∃x0∈R，ex0≤0
B．∀x∈R,2x＞x2
C．a＋b＝0的充要条件是＝－1
D．a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件
3．D [解析] A是假命题，根据指数函数的性质不存在x0，使得ex0≤0；B也是假命题，当x＝2时，2x＝x2；C是假命题，当a＋b＝0时，不一定满足＝－1，如a＝b＝0；显然D是真命题．
