高考数学命题角度4_1空间平行垂直关系的证明大题狂练文

高考数学命题角度4_1空间平行垂直关系的证明大题狂练文

命题角度 4.1：空间平行，垂直关系的证明 1.如图 1，在 Rt ABC 中， 90C   ， D 、E 分别为 AC ， AB 的中点，点 F 为线段CD 上一点，将 ADE 沿 DE 折起到 1A DE 的位置，使 1A F CD ，如图 2. (I)求证： DE ∥平面 1ACB ；(II)求证： 1A F BE ； (Ⅲ)若Q 为线段 1A B 中点，求证： 1AC ⊥平面 DEQ 【答案】（I）见解析（II）见解析(Ⅲ)见解析 试题解析： （I）因为 ,D E 分别为 ,AC AB 的中点，所以 / / .DE BC 又因为 1 1, / /DE ACB DE ACB 平面 所以 平面 （II）由已知得 , / /AC BC DE BC 且 ， 所以 1 1. , ,DE AC DE A D DE CD DE A DC   所以 所以 平面 ， 1 1 1,A F A DC DE A F 而 平面 所以 ，又因为 1 1, .A F CD A F BCDE 所以 平面 所以 1 .A F BE 点睛：本题考查直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定与性质，对空间想象能力有 很高要求. 2.如图，在三棱锥 P ABC 中，已知平面 PBC  平面 ABC . （1）若 ,AB BC CP PB  ，求证： CP PA ； （2）若过点 A 作直线l  平面 ABC ，求证： l  平面 PBC . 【答案】（1）见解析（2）见解析 【 解 析 】【 试 题 分 析 】（ 1 ） 依 据 题 设 借 助 面 面 垂 直 的 性 质 定 理 证 明 AB  平 面 PBC CP AB CP ，进而证得 ， 平 面 PAB ， 然 后 运 用 线 面 垂 直 的 性 质 定 理 证 明 CP PA ；（2）借助题设条件先证明 PD  平面 ABC ，进而确定 l PD ，然后再运用线面 平行的性质定理推证： 证明：（1）因为平面 PBC  平面 ABC ，平面 PBC  平面 =ABC BC ， AB  平面 ABC ， AB BC ，所以 AB  平面 PBC .因为CP  平面 PBC ，所以CP AB .又因 为 , ,CP PB PB AB B   ,AB PC  平面 ,PAB 所以 CP  平面 ,PAB 又因为 PA  平面 ,PAB 所以 CP PA . 3.如图，在四棱锥 E ABCD 中，AE⊥DE，CD⊥平面 ADE，AB⊥平面 ADE，CD=DA=6，AB=2， DE=3． （1）求 B 到平面CDE 的距离 （2）在线段 DE 上是否存在一点 F ，使 AF BCE 平面 ？若存在，求出 EF ED 的值；若不存 在，说明理由． 【答案】（I） 3 3AE  （II）见解析. 【解析】试题分析： (1)利用等体积法结合题意可求得 B 到平面CDE 的距离为3 3 ； (2)当 1 3 EF ED  时满足题意，利用题中所给的条件进行证明即可. 试题解析： 解：（1）方法一：因为CD  平面 ADE ， CD AE ,又 ,AE ED ED CD D   , 所以 AE  平面CDE ，又 / /AB CD ，所以 B 到平面CDE 的距离为 3 3AE  . 方法二：等积法求高. 4. 如 图 ， 四 棱 柱 1 1 1 1ABCD A B C D 中 ， 1AA  平 面 ABCD ， / /AB CD ， 1 2AB BC CD  ， E 为 1AA 的中点. （Ⅰ）证明： 1/ /BE CD ； （Ⅱ）若 45ADC   ， 1CD CC ，求证：平面 1 1EB C  平面 EBC . 【答案】（I）详见解析；（II）详见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）分别取 1,CD DD 的中点 ,M N ，连结 , ,BM MN NE ，可证明四边 形 BMNE 是平行四边形，所有 / /MN BE 又根据 1DD C 中，中位线的性质， 1/ /MN D C ， 根据平行线的传递性可知 1/ /BE CD ；（Ⅱ）根据条件可证明 1,BC AB BC BB  ，所有 BC  平面 1ABB ，即 1BC B E ，也可证明 1B E BE ，所有 1B E  平面 EBC ，即证明了平面 1 1EB C  平面 EBC . 试题解析：（Ⅰ）分别取 1,CD DD 中的中点为 ,M N ，并连接 , ,BM MN NE ， 则由 / /AB CD ， 1 2AB CD 得， / /AB DM ， AB DM ， 可 得 四 边 形 ABMD 为 平 行 四 边 形 ， 那 么 AD BM ， / /AD BM ， 又 AD EN ， / /AD EN ， 所以 / /NE BM ，且 NE BM ，得四边形 BMNE 是平行四边形， 可得 / /BE MN ，又 1/ /MN CD ，所以 1/ /BE CD . （Ⅱ）取 CD 中点 M ，连接 AM ，则 AM DM ， 可得 45DAM ADM     ，则 90AMD   ， 即 AM CD ， / /AM BC ，那么 AB BC ，又 1BC BB ， 得 BC  平面 1 1ABB A ，那么 1BC B E ，由 1CD CC ， 得 AB AE ，又 90BAE   ，那么 45AEB   ， 同理， 1 1 45A EB   ，即得 1BE B E ，可得 1B E  平面 BCE ， 即得平面 1 1EB C  平面 EBC . 【点睛】本题考查了平行与垂直的证明，而垂直的证明是难点，若是证明线线垂直，一般转 化为证明线面垂直，线线垂直，或是三边满足勾股定理，证明线线垂直；若是证明线面垂直， 一般根据判断定理，证明线与平面内的两条相交直线垂直，则线面垂直；若是证明面面垂直， 同样是根据判断定理转化为证明线面垂直，则面面垂直. 5.如图，四边形 ABCD 与 ADEF 均为平行四边形， M N G， ， 分别是 AB AD EF， ， 的中点． （1）求证： BE 平面 DMF ； （2）求证：平面 BDE  平面 MNG . 【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】试题分析： (1)连接 AE ，结合题意证得 BE MO ，利用线面平行的判断定理即可证得 BE  平面 DMF . (2)结合题意首先证得线面平行： DE  平面 MNG ， BD  平面 MNG ，且 DE 与 BD 为平 面 BDE 内的两条相交直线，据此可得平面 BDE  平面 MNG . （2）因为 N G， 分别为平行四边形 ADEF 的边 ,AD EF 的中点， 所以 DE GN ， 又 DE  平面 MNG ， GN  平面 MNG ， 所以 DE  平面 MNG . 又 M 为 AB 中点， 所以 MN 为 ABD 的中位线，所以 BD MN ， 又 BD  平面 MNG ， MN 平面 MNG ， 所以 BD  平面 MNG ， 又 DE 与 BD 为平面 BDE 内的两条相交直线， 所以平面 BDE  平面 MNG . 点睛：证明两个平面平行的方法有： ①用定义，此类题目常用反证法来完成证明； ②用判定定理或推论(即“线线平行⇒面面平行”)，通过线面平行来完成证明； ③根据“垂直于同一条直线的两个平面平行”这一性质进行证明； ④借助“传递性”来完成． 6.在正方体 1 1 1 1ACBD AC B D 中， , ,E F G 分别是 1, ,AB CC AD 的中点. （1）证明：平面 1A BG  平面CEF ； （2）棱 CD 上是否存在点T ，使 / /AT 平面 1B EF ？请证明你的结论. 【答案】（1）见解析（2）在棱 CD 上取点T ，使得 1 4DT DC ，则 / /AT 平面 1B EF . 【解析】试题分析：(1)证明平面 1A BG  平面CEF ，可先证明 BG 平面 EFC ，可先证明 BG CE ， FC BG . (2) 延长 BC ， 1B F 交于 H ，连 EH 交 DC 于 K ,得TK AE 且 TK AE ，四边形 AEKT 为平行四边形，所以 AT EK ，即 AT EH ．即证得 AT  平面 1B EF 试题解析： (2)解：在棱 CD 上取点T ，使得 1 4DT DC ，则 AT  平面 1B EF ． 证明如下：延长 BC ， 1B F 交于 H ，连 EH 交 DC 于 K ． 因为 1 1CC BB ， F 为 1CC 中点，所以 C 为 BH 中点． 因为CD AB ，所以 KC AB ，且 1 1 2 4KC EB CD  ． 因为 1 4DT DC ， E 为 AB 中点，所以TK AE 且TK AE ， 即四边形 AEKT 为平行四边形， 所以 AT EK ，即 AT EH ． 又 EH  平面 1B EF ， AT 平面 1B EF ， 所以 AT  平面 1B EF ． 点睛：存在性问题，可以由果索因，找出所求点的位置，写过程时把结论先写上，利用这一 条件证出结果. 7.如图，在多面体 ABCDEF 中，平面 BDEF  平面 ABCD ，四边形 ABCD 是菱形，四边 形 BDEF 是矩形， 2BD BF ， H 是CF 的中点. （1）求证： / /AF 平面 BDH ； （2）求证：平面 ACE  平面 ACF . 【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】试题分析： (1)利用题意证得 / /OH AF ， 然后由线面平行的判断定理可得 / /AF 平面 BDH . (2)利用题意证得OE  平面 ACF .由面面垂直的判断定理可得平面 ACE  平面 ACF . 试题解析： （1）证明：设 AC BD O  ，连接OH ， 因为四边形 ABCD 是菱形，O 是 AC 的中点 又 H 是 CF 的中点，所以OH 是三角形 AFC 的中位线， 所以 / /OH AF ， 又 AF  平面 BDH ， OH  平面 BDH ， ∴ / /AF 平面 BDH . （2）连接 ,OF OE ，四边形 ABCD 是菱形，所以 AC BD . 因为平面 BDEF  平面 ABCD ，平面 BDEF  平面 ABCD BD ， AC  平面 ABCD ， AC BD ， 所以 AC 平面 BDEF ， 又OE  平面 BDEF ，所以 AC OE . 在矩形 BDEF 中，设 BF a ，则 2EF a ， 2OE OF a  ， 由勾股定理可得， OEF 为直角三角形，且 OE OF . 因为 OE AC ， OE OF ， AC FO O  ， 所以OE  平面 ACF . 又OE  平面 ACE ， 所以平面 ACE  平面 ACF . 8. 如 图 ， 在 几 何 体 ABCDEF 中 ， 底 面 ABCD 为 矩 形 ， / /EF CD ， CD EA ， 2 2CD EF  ， 3ED  ， M 为棱 FC 上一点，平面 ADM 与棱 FB 交于点 N . （Ⅰ）求证： ED CD ； （Ⅱ）求证： / /AD MN ； （Ⅲ）若 AD ED ，试问平面 BCF 是否可能与平面 ADMN 垂直？若能，求出 FM FC 值；若 不能，说明理由。 【答案】（1）见解析（2）见解析（3） 1 2 FM FC  【解析】试题分析： (1)利用题意证得 CD  平面 EAD ．所以 ED CD ． (2)利用线面平行的性质定理 AD / / 平面 FBC．所以 AD / /MN ． (3)假设平面 BCF是否可能与平面 ADMN垂直，结合题意可求得 FM 1 FC 2  （Ⅲ）平面 ADMN 与平面 BCF 可以垂直．证明如下： 连接 DF ．因为 AD ED ， AD CD ， 所以 AD  平面 CDEF ． 所以 AD DM ． 因为 / /AD MN ，所以 DM MN ． 因为平面 ADMN  平面 BCF MN ， 若使平面 ADMN  平面 BCF ， 则 DM  平面 BCF ，所以 DM FC ． 在梯形CDEF 中，因为 / /EF CD ， ED CD ， 2 2CD EF  ， 3ED  ， 所以 2DF DC  ． 所以若使 DM FC 能成立，则 M 为 FC 的中点． 所以 1 2 FM FC  ． 点睛：高考中立体几何试题不断出现了一些具有探索性、开放性的试题。对于这类问题一般 可用综合推理的方法、分析法、特殊化法和向量法来解决。立体几何引入空间向量后，可以 借助向量工具，使几何问题代数化，降低思维的难度.尤其是在解决一些立体几何中的探索性 问题时，更可以发挥这一优势. 9.如图，梯形 ABCD 中， 90 , 2, 1BAD ADC CD AD AB       ，四边形 BDEF 为 正方形，且平面 BDEF  平面 ABCD . （1）求证： DF CE ； （2）若 AC 与 BD 相 交于点 O ，那么在棱 AE 上是否存在点 G ，使得平面 / /OBG 平面 EFG ？并说明理由. 【答案】(1)见解析；(2)见解析. 【解析】试题分析： (1)利用题意首先证得 DF  平面 BCE ，由线面垂直的定义可得 DF CE . (2) 在棱 AE 上存在点G ，使得平面 / /OBG 平面 EFC ，且 1 2 AG GE  ，利用面面平行的判断 定理结合题意证得该结论即可. 试题解析： (1)证明：连接 EB .因为在梯形 ABCD 中， 90 , 1, 2BAD ADC AB AD DC       ， 2 2 22, 2, ,BD BC BD BC CD BC BD        ， 又 因 为 平 面 BDEF  平 面 ABCD ， 平 面 BDEF  平 面 ,ABCD BD BC  平 面 ,ABCD BC  平 面 ,BDEF BC DF  ，又因为 正方形 BDEF 中， DF EB 且 ,EB BC  平面 , ,BCE EB BC B DF    平面 BCE ， 又 CE  平面 ,BCE DF CE  . 点睛：高考中立体几何试题不断出现了一些具有探索性、开放性的试题。对于这类问题一般 可用综合推理的方法、分析法、特殊化法和向量法来解决。立体几何引入空间向量后，可以 借助向量工具，使几何问题代数化，降低思维的难度.尤其是在解决一些立体几何中的探索性 问题时，更可以发挥这一优势. 10.如图，已知长方形 ABCD 中， 2AB AD ， M 为 DC 的中点，将 ADM 沿 AM 折起， 使得平面 ADM  平面 ABCM ，设点 E 是线段 DB 上的一动点（不与 D ， B 重合）． （Ⅰ）当 2AB  时，求三棱锥 M BCD 的体积； （Ⅱ）求证： AE 不可能与 BM 垂直． 【答案】（Ⅰ） 2 12 ；（Ⅱ）证明见解析． 【解析】试题分析： （Ⅰ）由于折叠时有平面 ADM  平面 ABCM ，因此取 AM 中点 N ，则有 DN AM ，从 而有 DN  平面 ABCM ，因此 DN 是三棱锥 D BCM 的高，求出高和底面积可得体积； （Ⅱ）假设 AE 能与 BM 垂直，由已知又可得 BM AM ，从而 BM  平面 ADM ，因此有 BM AD ，从而有 BM  平面 ABD ，因此 BM AB ，这是不可能的，结论得出． 试题解析： （Ⅱ）假设 AE BM ． 由（Ⅰ）可知， DN  平面 ABCM ，∴ BM DN ． 在长方形 ABCD 中， 2AB AD ， ∴ ADM 、 BCM 都是等腰直角三角形，∴ BM AM ． 而 DN 、 AM  平面 ADM ， DN AM N  ， ∴ BM  平面 ADM ． 而 AD  平面 ADM ， ∴ BM AD ． 由假设 AE BM ， AD 、 AE  平面 ABD ， AD AE A  ， ∴ BM  平面 ABD ， 而 AB  平面 ABD ，∴ BM AB ， 这与已知 ABCD 是长方形矛盾， 所以， AE 不可能与 BM 垂直．