高考数学第九章平面解析几何第5课时直线与圆的位置关系更多资料关注微博高中学习资料库

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第九章 平面解析几何第5课时　直线与圆的位置关系 ‎1. 已知圆O：x2＋y2＝4，则过点P(2，4)与圆O相切的切线方程为________________．‎ 答案：3x－4y＋10＝0或x＝2‎ 解析：∵ 点P(2，4)不在圆O上，∴切线PT的直线方程可设为y＝k(x－2)＋4.根据d＝r，∴＝2，解得k＝，所以y＝(x－2)＋4，即3x－4y＋10＝0.因为过圆外一点作圆的切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在．易求另一条切线为x＝2.‎ ‎2. (必修2P115练习1改编)已知圆(x－1)2＋(y＋2)2＝6与直线2x＋y－5＝0的位置关系是________．‎ 答案：相交 解析：由题意知圆心(1，－2)到直线2x＋y－5＝0的距离d＝，0＜d＜，故该直线与圆相交但不过圆心．‎ ‎3. (必修2P115练习4改编)若圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点，则实数k的取值范围是________．‎ 答案：(－，)‎ 解析：由题意知＞1，解得－＜k＜.‎ ‎4. 过直线x＋y－2＝0上点P作圆x2＋y2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P的坐标是__________．‎ 答案：(，)‎ 解析：本题主要考查数形结合的思想，设P(x，y)，则由已知可得PO(O为原点)与切线的夹角为30°，则|PO|＝2，由可得 ‎5. (必修2P107习题4改编)以点(2，－2)为圆心并且与圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0相外切的圆的方程是________．‎ 答案：(x－2)2＋(y＋2)2＝9‎ 解析：设所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝r2(r>0)，此圆与圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，即(x＋1)2＋(y－2)2＝4相外切，所以＝2＋r，解得r＝3.所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝9.‎ ‎1. 直线与圆的位置关系 ‎(1) 直线与圆相交，有两个公共点；‎ ‎(2) 直线与圆相切，只有一个公共点；‎ ‎(3) 直线与圆相离，无公共点．‎ ‎2. 直线与圆的位置关系的判断方法 直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的位置关系的判断方法：‎ ‎(1)几何方法：‎ 圆心(a，b)到直线Ax＋By＋C＝0的距离为d，‎ dr直线与圆相离．‎ ‎(2) 代数方法：‎ 由Ax＋By＋C＝0，(x－a)2＋(y－b)2＝r2，消元，得到的一元二次方程的判别式为Δ，则 Δ>0直线与圆相交；‎ Δ＝0直线与圆相切；‎ Δ<0直线与圆相离．‎ ‎3. 圆与圆的位置关系及判断方法 ‎(1) 圆与圆的位置关系有五种，分别为外离、外切、相交、内切、内含．‎ ‎(2) 判断两圆位置关系的方法 两圆(x－a1)2＋(y－b1)2＝r12(r1>0)与(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0)的圆心距为d，则 d>r1＋r2两圆外离；‎ d＝r1＋r2两圆外切；‎ ‎|r1－r2|r，即b<－5－3或b>5－3时，直线与圆相离．‎ 题型2　直线与圆相交的弦的问题 例2　已知圆C：x2＋(y－3)2＝4，一动直线l过A(－1，0)与圆C相交于P、Q两点，‎ M是PQ中点，l与直线m：x＋3y＋6＝0相交于N.‎ ‎(1) 求证：当l与m垂直时，l必过圆心C；‎ ‎(2) 当PQ＝2时，求直线l的方程；‎ ‎(3) 探索·是否与直线l的倾斜角有关？若无关，请求出其值；若有关，请说明理由．‎ ‎(1) 证明：∵ l与m垂直，且km＝－，‎ ‎∴ kl＝3.又kAC＝3，所以当l与m垂直时，l的方程为y＝3(x＋1)，l必过圆心C.‎ ‎(2) 解：①当直线l与x轴垂直时，易知x＝－1符合题意．②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0.因为PQ＝2 ，所以CM＝＝1，则由CM＝＝1，得k＝，∴直线l：4x－3y＋4＝0. 从而所求的直线l的方程为x＝－1或4x－3y＋4＝0.‎ ‎(3) 解：∵ CM⊥MN，∴·＝(＋)·＝·＋·＝· .‎ ‎①当l与x轴垂直时，易得N，则＝.又＝(1，3)，∴·＝·＝－5；②当l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，则由 得N，则＝.‎ ‎∴·＝·＝＋＝－5.‎ 综上，·与直线l的斜率无关，且·＝－5.‎ 另解：连结CA并延长交m于点B，连结CM，CN，由题意知AC⊥m，又CM⊥l，∴四点M、C、N、B都在以CN为直径的圆上，由相交弦定理，得·＝－|AM|·|AN|＝－|AC|·|AB|＝－5. ‎ 已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝4，直线l1过定点A(1，0)．‎ ‎(1) 若l1与圆相切，求l1的方程；‎ ‎(2) 若l1与圆相交于P、Q两点，线段PQ的中点为M，又l1与l2：x＋2y＋2＝0的交点为N，判断AM·AN是否为定值？若是，则求出定值；若不是，请说明理由．‎ 解：(1) ①若直线l1的斜率不存在，即直线是x＝1，符合题意．‎ ‎②若直线l1斜率存在，设直线l1为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0.‎ 由题意知，圆心(3，4)到已知直线l1的距离等于半径2，即＝2，解得k＝.‎ ‎∴所求直线方程是x＝1或3x－4y－3＝0.‎ ‎(2) (解法1)直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为kx－y－k＝0.‎ 由得N.‎ 又直线CM与l1垂直，‎ 由得M.‎ ‎∴ AM·AN＝·‎ ‎＝·＝6为定值．‎ 故AM·AN是定值，且为6.‎ ‎(解法2)直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为kx－y－k＝0.‎ 由得N.‎ 再由 得(1＋k2)x2－(2k2＋8k＋6)x＋k2＋8k＋21＝0.‎ ‎∴x1＋x2＝，得M.‎ 以下同解法1.‎ ‎(解法3)用几何法 连结CA并延长交l2于点B，kAC＝2，kl2＝－，‎ ‎∴CB⊥l2.如图所示，△AMC∽△ABN，则＝，‎ 可得AM·AN＝AC·AB＝2·＝6，是定值．‎ 题型3　圆的切线问题 例3　求半径为4，与圆x2＋y2－4x－2y－4＝0相切，且和直线y＝0相切的圆的方程．‎ 解：由题意，设所求圆的方程为圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.‎ 圆C与直线y＝0相切，且半径为4，则圆心C的坐标为C1(a，4)或C2(a，－4)．又已知圆x2＋y2－4x－2y－4＝0的圆心A的坐标为(2，1)，半径为3.若两圆相切，则|CA|＝4＋3＝7或|CA|＝4－3＝1.‎ ‎①当C1(a，4)时，有(a－2)2＋(4－1)2＝72或(a－2)2＋(4－1)2＝12(无解)，故可得a＝2±2.∴所求圆方程为(x－2－2)2＋(y－4)2＝42或(x－2＋2)2＋(y－4)2＝42.‎ ‎②当C2(a，－4)时，(a－2)2＋(－4－1)2＝72或(a－2)2＋(－4－1)2＝12(无解)，故a＝2±2.‎ ‎∴所求圆的方程为(x－2－2)2＋(y＋4)2＝42或(x－2＋2)2＋(y＋4)2＝42.‎ 自点A(－3，3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，反射光线所在的直线与圆C：x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切．求：‎ ‎(1) 光线l和反射光线所在的直线方程；‎ ‎(2) 光线自A到切点所经过的路程．‎ 解：根据对称关系，首先求出点A的对称点A′的坐标为，其次设过A′的圆C的切线方程为 y＝k－3.‎ 根据d＝r，即求出圆C的切线的斜率为k＝或k＝，‎ 进一步求出反射光线所在的直线的方程为 ‎4x－3y＋3＝0或3x－4y－3＝0.‎ 最后根据入射光与反射光关于x轴对称，求出入射光所在直线方程为4x＋3y＋3＝0或3x＋4y－3＝0.‎ 光路的距离为，可由勾股定理求得 ＝－＝7.‎ ‎【示例】　(本题模拟高考评分标准，满分14分)‎ 直线l过点(－4，0)且与圆(x＋1)2＋(y－2)2＝25交于A，B两点，如果AB＝8，求直线l的方程．‎ 学生错解：解：设直线l的方程为y＝k(x＋4)，由被圆截得的弦长为8，可得圆心(－1，2)到直线y＝k(x＋4)的距离为3，即＝3，解得k＝－，此时直线方程为5x＋12y＋20＝0.‎ 审题引导： (1) 如何设过定点的直线的方程？(2) 圆中弦长的问题，通常作怎样的辅助线构造直角三角形来解决？‎ 规范解答： 解：过点(－4，0)的直线若垂直于x轴，经验证符合条件，即方程为x＋4＝0满足题意；(4分)‎ 若存在斜率，设其直线方程为y＝k(x＋4)，由被圆截得的弦长为8，可得圆心(－1，2)到直线y＝k(x＋4)的距离为3，‎ 即＝3，解得k＝－，(10分)‎ 此时直线方程为5x＋12y＋20＝0，(12分)‎ 综上直线方程为5x＋12y＋20＝0或x＋4＝0.(14分)‎ 错因分析： 1. 解答本题易误认为斜率k一定存在从而漏解.2. 对于过定点的动直线设方程时，可结合题意或作出符合题意的图形分析斜率k是否存在，以避免漏解．‎ ‎1. 在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是____________．‎ 答案： 解析：∵ 圆C的方程可化为(x－4)2＋y2＝1，∴圆C的圆心为(4，0)，半径为1.由题意知，直线y＝kx－2上至少存在一点A(x0，kx0－2)，以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴存在x0∈R，使得AC≤1＋1成立，即ACmin≤2.‎ ‎∵ ACmin即为点C到直线y＝kx－2的距离，‎ ‎∴≤2，解得0≤k≤.∴ k的最大值是.‎ ‎2. 已知直线l过点(－2，0)，当直线l与圆x2＋y2＝2x有两个交点时，其斜率k的取值范围是________．‎ 答案： 解析：易知圆心坐标是(1，0)，圆的半径是1，直线l的方程是y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0，根据点到直线的距离公式得＜1，即k2＜，解得－＜k＜.‎ ‎3. 直线y＝kx＋3与圆(x－2)2＋(y－3)2＝4相交于M，N两点，若MN≥2，则k的取值范围是________．‎ 答案： 解析：设圆心C(2，3)到直线y＝kx＋3的距离为d，若MN≥2，则d2＝r2－≤4－3＝1，即≤1，‎ 解得－≤k≤.‎ ‎4. 若圆O：x2＋y2＝5与圆O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长是________．‎ 答案：4‎ 解析：依题意得OO1＝＝5，且△OO1A是直角三角形，S△OO1A＝··OO1＝·OA·AO1，因此AB＝＝＝4.‎ ‎5. 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心在坐标原点O，右焦点为F.若C的右准线l的方程为x＝4，离心率e＝.‎ ‎(1) 求椭圆C的标准方程；‎ ‎(2) 设点P为准线l上一动点，且在x轴上方．圆M经过O、F、P三点，求当圆心M到x轴的距离最小时圆M的方程．‎ 解：(1) 由题意，设椭圆C的标准方程为＋＝1(a>b>0)，则解得a＝2，c＝2.从而b2＝a2－c2＝4.所以所求椭圆C的标准方程为＋＝1.‎ ‎(2) (解法1)由(1)知F(2，0)．由题意可设P(4，t)，t>0.‎ 线段OF的垂直平分线方程为x＝1.①‎ 因为线段FP的中点为，斜率为，‎ 所以FP的垂直平分线方程为y－＝－(x－3)，即y＝－x＋＋.②‎ 联立①②，解得即圆心M.‎ 因为t>0，所以＋≥2＝2，当且仅当＝，即t＝2时，圆心M到x轴的距离最小，此时圆心为M(1，2)，半径为OM＝3.故所求圆M的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝9.‎ ‎(解法2)由(1)知F(2，0)．由题意可设P(4，t)，t>0.因为圆M过原点O，故可设圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＝0.将点F、P的坐标代入得解得 所以圆心M的坐标为，即(1，＋)．因为t>0，所以＋≥2＝2，当且仅当＝，即t＝2时，圆心M到x轴的距离最小，此时E＝－4.故所求圆M的方程为x2＋y2－2x－4y＝0.‎ ‎6. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C由圆弧C1和圆弧C2相接而成，两相接点M、N均在直线x＝5上．圆弧C1的圆心是坐标原点O，半径为r1＝13；圆弧C2过点A(29，0)．‎ ‎(1) 求圆弧C2所在圆的方程；‎ ‎(2) 曲线C上是否存在点P，满足PA＝PO？若存在，指出有几个这样的点；若不存在，请说明理由；‎ ‎(3) 已知直线l：x－my－14＝0与曲线C交于E、F两点，当EF＝33时，求坐标原点O到直线l的距离．‎ 解：(1) 由题意得，圆弧C1所在圆的方程为x2＋y2＝169.令x＝5，解得M(5，12)，N(5，－12)，又C2过点A(29，0)，设圆弧C2所在圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，‎ 则　解得 所以圆弧C2所在圆的方程为x2＋y2－28x－29＝0.‎ ‎(2) 假设存在这样的点P(x，y)，则由PA＝PO，得(x－29)2＋y2＝30(x2＋y2)，即x2＋y2＋2x－29＝0.‎ 由 解得x＝－70(舍去)；‎ 由 解得x＝0(舍去)．所以这样的点P不存在．‎ ‎(3)‎ ‎ 因为圆弧C1、C2所在圆的半径分别为r1＝13，r2＝15，因为EF>2r1，EF>2r2，所以E、F两点分别在两个圆弧上．设点O到直线l的距离为d，因为直线l恒过圆弧C2所在圆的圆心(14，0)，所以EF＝15＋＋，‎ 即＋＝18，解得d2＝，所以点O到直线l的距离为.‎ ‎1. 已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么·的最小值为________．‎ 答案：－3＋2 解析：设∠APB＝2θ，||＝x，则·＝||·||·cos2θ＝||2cos2θ＝(||2－1)·(1－2sin2θ)＝(x2－1)·＝x2－2－1＋≥－3＋2，当且仅当x2＝，即x＝时取等号．‎ ‎2. 若直线y＝x＋b与曲线y＝3－有公共点，则b的取值范围是________．‎ 答案：[1－2，3]‎ 解析：y＝3－变形为(x－2)2＋(y－3)2＝4(0≤x≤4，1≤y≤3)，表示以(2，3)为圆心，2为半径的下半圆，如图所示．‎ 若直线y＝x＋b与曲线y＝3－有公共点，只需直线y＝x＋b在图中两直线之间(包括图中两条直线)，y＝x＋b与下半圆相切时，圆心到直线y＝x＋b的距离为2，即＝2，解得b＝1－2或b＝1＋2(舍去)，‎ ‎∴b的取值范围为1－2≤b≤3.‎ ‎3. 已知圆C过点P(1，1)，且与圆M：(x＋2)2＋(y＋2)2＝r2(r＞0)关于直线x＋y＋2＝0对称．‎ ‎(1) 求圆C的方程；‎ ‎(2) 过点P作两条相异直线分别与圆C相交于A、B，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行？请说明理由．‎ 解：(1) 设圆心C(a，b)，则 解得则圆C的方程为x2＋y2＝r2，将点P的坐标代入得r2＝2，‎ 故圆C的方程为x2＋y2＝2.‎ ‎(2) 由题意知，直线PA和直线PB的斜率存在，且互为相反数，故可设PA：y－1＝k(x－1)，‎ PB：y－1＝－k(x－1)，由得(1＋k2)x2＋2k(1－k)x＋(1－k)2－2＝0.因为点P的横坐标x＝1一定是该方程的解，‎ 故可得xA＝.同理可得xB＝，所以kAB＝＝＝＝1＝kOP，‎ 所以，直线AB和OP一定平行．‎ ‎4. 已知以点C(t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O为原点．‎ ‎(1) 求证：△AOB的面积为定值；‎ ‎(2) 设直线2x＋y－4＝0与圆C交于点M、N，若|OM|＝|ON|，求圆C的方程；‎ ‎(3) 在(2)的条件下，设P、Q分别是直线l：x＋y＋2＝0和圆C的动点，求|PB|＋|PQ|的最小值及此时点P的坐标．‎ 解：(1) 由题设知，圆C的方程为(x－t)2＋＝t2＋，化简得x2－2tx＋y2－y＝0，当y＝0时，x＝0或2t，则A(2t，0)；当x＝0时，y＝0或，则B，‎ ‎∴ SΔAOB＝|OA|·|OB|＝|2t|·＝4为定值．‎ ‎(2) ∵ |OM|＝|ON|，则原点O在MN的中垂线上，设MN的中点为H，则CH⊥MN，∴ C、H、O三点共线，则直线OC的斜率k＝＝＝，∴ t＝2或t＝－2，‎ ‎∴圆心C(2，1)或C(－2，－1)∴ 圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5或(x＋2)2＋(y＋1)2＝5，由于当圆方程为(x＋2)2＋(y＋1)2＝5时，直线2x＋y－4＝0到圆心的距离d>r，此时不满足直线与圆相交，故舍去. ‎ ‎∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5‎ ‎(3) 点B(0，2)关于直线x＋y＋2＝0的对称点为B′(－4，－2)，则|PB|＋|PQ|＝|PB′|＋|PQ|≥|B′Q|，又B′到圆上点Q的最短距离为|B′C|－r＝－＝3－＝2. ‎ 所以|PB|＋|PQ|的最小值2，直线B′C的方程为y＝x，则直线B′C与直线x＋y＋2＝0的交点P的坐标为.‎ ‎1. 两圆位置关系的判断常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到．‎ ‎2. 圆的弦长的常用求法：‎ ‎(1) 几何法：设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则＝r2－d2；‎ ‎(2) 代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：‎ AB＝|x1－x2|＝.‎