浙江专用2020版高考数学一轮复习(练习)专题9平面解析几何 第77练 高考大题突破练 _圆锥曲线中的范围最值问题

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浙江专用2020版高考数学一轮复习(练习)专题9平面解析几何 第77练 高考大题突破练 _圆锥曲线中的范围最值问题

第77练 高考大题突破练—圆锥曲线中的范围、最值问题 ‎[基础保分练]‎ ‎1.(2019·嘉兴模拟)如图,AB为半圆x2+y2=1(y≥0)的直径,点D,P是半圆弧上的两点,OD⊥AB,∠POB=30°.曲线C经过点P,且曲线C上任意点M满足:|MA|+|MB|为定值.‎ ‎(1)求曲线C的方程;‎ ‎(2)设过点D的直线l与曲线C交于不同的两点E,F,求△OEF的面积最大时的直线l的方程.‎ ‎2.(2019·温州模拟)斜率为k的直线交抛物线x2=4y于A,B两点,已知点B的横坐标比点A的横坐标大4,直线y=-kx+1交线段AB于点R,交抛物线于点P,Q.‎ ‎(1)若点A的横坐标等于0,求|PQ|的值;‎ ‎(2)求|PR|·|QR|的最大值.‎ ‎3.(2019·台州模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,左顶点为A,点P(,)在椭圆C上,且△PF1F2的面积为2.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)过原点O且与x轴不重合的直线交椭圆C于E,F两点,直线AE,AF分别与y轴交于点M,N.求证:以MN为直径的圆恒过焦点F1,F2,并求出△F1MN面积的取值范围.‎ ‎[能力提升练]‎ ‎4.已知椭圆C:+=1(a>b>0),其短轴的一个端点与两个焦点构成面积为的正三角形,过椭圆C的右焦点作斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆C相交于A,B两点,线段AB的中点为P.‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程;‎ ‎(2)过点P垂直于AB的直线与x轴交于点D,试求的取值范围.‎ 答案精析 基础保分练 ‎1.解 (1)根据椭圆的定义知,曲线C是以A(-1,0),B(1,0)为焦点的椭圆,‎ 其中2c=2,P.‎ ‎2a=|PA|+|PB|‎ ‎=+ ‎=+,‎ ‎∴a2=,b2=,‎ ‎∴曲线C的方程为+=1.‎ ‎(2)由题意知过点D的直线l的斜率存在,设其为k,‎ 则l:y=kx+1.‎ 由 得(2+6k2)x2+12kx+3=0,‎ Δ=(12k)2-4·(2+6k2)·3=24(3k2-1)>0,‎ x1+x2=-,x1·x2=,‎ ‎∴|EF|=·|x1-x2|=·,‎ 又∵点O到直线l的距离d=,‎ ‎∴△OEF的面积S=·|EF|·d=.‎ 令=λ,λ>0,‎ 则S=·=·≤·=.‎ 当且仅当λ=,即λ=,3k2-1=2,k=±1时,△OEF面积取最大值.‎ 此时直线l的方程为x-y+1=0或x+y-1=0.‎ ‎2.解 (1)∵A(0,0),∴B(4,4),∴k=1,‎ 联立可得x2+4x-4=0,‎ 设P(x1,y1),Q(x2,y2),‎ 则x1+x2=-4,x1x2=-4,‎ 则|PQ|=|x1-x2|=8.‎ ‎(2)设AB的方程为y=kx+b,代入x2=4y,得x2-4kx-4b=0,‎ ‎∵xB-xA==4,‎ ‎∴k2=1-b,‎ 由解得xR==,‎ 联立得x2+4kx-4=0.‎ 设P(x1,y1),Q(x2,y2),‎ 则x1+x2=-4k,x1x2=-4,‎ ‎∴|PR|·|QR|‎ ‎=-(1+k2)(x1-xR)(x2-xR)‎ ‎=-(1+k2)[x1x2-xR(x1+x2)+x]‎ ‎=-(1+k2) ‎=-2+,‎ ‎∴当k=±时,|PR|·|QR|取得最大值.‎ ‎3.解 (1)设椭圆C的焦距为2c,‎ ‎∵S△PF1F2=×2c×=2,∴c=2,‎ 又点P(,)在椭圆C上,‎ ‎∴+=1,‎ ‎∴a4-9a2+8=0,解得a2=8或a2=1(舍去),‎ 又a2-b2=4,∴b2=4,‎ ‎∴椭圆C的方程为+=1.‎ ‎(2)∵A(-2,0),F1(-2,0),F2(2,0),‎ 当直线EF的斜率不存在时,E,F为短轴的两个端点,由对称性不妨令点E在x轴上方,则M(0,2),N(0,-2),‎ ‎∴F1M⊥F1N,F2M⊥F2N,‎ 则以MN为直径的圆恒过焦点F1,F2.‎ 当直线EF的斜率存在且不为零时,设直线EF的方程为y=kx(k≠0),‎ 设点E(x0,y0)(不妨设x0>0),‎ 则点F(-x0,-y0),‎ 由消去y,得x2=,‎ ‎∴x0=,y0=,‎ ‎∴直线AE的方程为y=(x+2),‎ ‎∵直线AE与y轴交于点M,‎ 令x=0,得y=,‎ 即点M,‎ 同理可得点N,‎ ‎∴=,=,‎ ‎∴·=0,∴F1M⊥F1N,‎ 同理F2M⊥F2N,则以MN为直径的圆恒过焦点F1,F2.‎ 当直线EF的斜率存在且不为零时,‎ ‎|MN|= ‎= ‎=2·>4,‎ ‎∴△F1MN的面积为|OF1|·|MN|>4.‎ 当直线EF的斜率不存在时,|MN|=4,‎ ‎△F1MN的面积为|OF1|·|MN|=4.‎ 综上,以MN为直径的圆恒过焦点F1,F2,△F1MN面积的取值范围是[4,+∞).‎ 能力提升练 ‎4.解 (1)设右焦点的坐标为(c,0),易知面积为的正三角形的边长为2,依题意知,2a ‎=4,a=2,c=a=1,‎ 所以b2=a2-c2=3,‎ 所以,椭圆C的方程为+=1.‎ ‎(2)设过椭圆C的右焦点的直线l的方程为y=k(x-1),‎ 将其代入+=1中,‎ 得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,‎ 其中,Δ=144(k2+1)>0,‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 则x1+x2=,x1x2=,‎ 所以y1+y2=k(x1+x2)-2k ‎=-2k=,‎ 因为P为线段AB的中点,‎ 所以,点P的坐标为.‎ 故点P的坐标为,‎ 又直线PD的斜率为-,‎ 直线PD的方程为 y-=-,‎ 令y=0,得x=,‎ 则点D的坐标为,‎ 所以,|DP|==,‎ 又|AB|= ‎= ‎==.‎ 所以,== ‎=,‎ 又k2+1>1,所以0<<1,‎ 所以0<<.‎ 所以,的取值范围是.‎
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