2021届高考数学一轮复习第二章函数概念及基本初等函数Ⅰ第9节函数模型及其应用教学案含解析新人教A版

2021届高考数学一轮复习第二章函数概念及基本初等函数Ⅰ第9节函数模型及其应用教学案含解析新人教A版

- 1 - 第 9 节 函数模型及其应用 考试要求 1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、 指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义；2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、 幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用. 知 识 梳 理 1.指数、对数、幂函数模型性质比较 函数 性质 y＝ax (a>1) y＝logax (a>1) y＝xn (n>0) 在(0，＋∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随 x 的增大逐渐表现 为与 y 轴平行 随 x 的增大逐渐表现 为与 x 轴平行 随 n 值变化 而各有不同 2.几种常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a、b 为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c 为常数，a≠0) 与指数函数 相关的模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c 为常数，a>0 且 a≠1，b≠0) 与对数函数 相关的模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c 为常数，a>0 且 a≠1，b≠0) 与幂函数 相关的模型 f(x)＝axn＋b(a，b，n 为常数，a≠0) [常用结论与微点提醒] 1.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增 加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来越小. - 2 - 2.充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键. 3.易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实 际问题的合理性. 诊 断 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)某种商品进价为每件 100 元，按进价增加 10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售， 则每件还能获利.( ) (2)函数 y＝2x 的函数值比 y＝x2 的函数值大.( ) (3)不存在 x0，使 ax01)的增长速度会超过并远远大于 y＝xa(a>0)的增 长速度.( ) 解析 (1)9 折出售的售价为 100(1＋10%)× 9 10 ＝99(元). ∴每件赔 1 元，(1)错. (2)中，当 x＝2 时，2x＝x2＝4.不正确. (3)中，如 a＝x0＝1 2 ，n＝1 4 ，不等式成立，因此(3)错. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ 2.(老教材必修 1P107A1 改编)在某个物理实验中，测得变量 x 和变量 y 的几组数据，如下表： x 0.50 0.99 2.01 3.98 y －0.99 0.01 0.98 2.00 则对 x，y 最适合的拟合函数是( ) A.y＝2x B.y＝x2－1 C.y＝2x－2 D.y＝log2x 解析 根据 x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除 A；根据 x＝2.01，y＝0.98，代入计 算，可以排除 B，C；将各数据代入函数 y＝log2x，可知满足题意. 答案 D 3.(新教材必修第一册 P149 例 4 改编)当生物死亡后，其体内原有的碳 14 的含量大约每经过 5 730 年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳 14 含量不足死亡前 - 3 - 的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了.若某死亡生物体内的碳 14 用该放射性探 测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是( ) A.8 B.9 C.10 D.11 解析 设该死亡生物体内原有的碳 14 的含量为 1，则经过 n 个“半衰期”后的含量为 1 2 n ，由 1 2 n < 1 1 000 ，得 n≥10. 所以，若某死亡生物体内的碳 14 用该放射性探测器探测不到，则它至少需要经过 10 个“半 衰期”. 答案 C 4.(2020·西安一中月考)已知 f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当 x∈(4，＋∞)时，对三 个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是( ) A.f(x)>g(x)>h(x) B.g(x)>f(x)>h(x) C.g(x)>h(x)>f(x) D.f(x)>h(x)>g(x) 解析 在同一坐标系内，根据函数图象变化趋势，当 x∈(4，＋∞)时，增长速度大小排列为 g(x)>f(x)>h(x). 答案 B 5.(多填题)(2018·浙江卷)我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁 一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一.凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？” 设鸡翁、鸡母、鸡雏个数分别为 x，y，z，则 x＋y＋z＝100， 5x＋3y＋1 3 z＝100，当 z＝81 时，x＝________， y＝________. 解析 把 z＝81 代入方程组，化简得 x＋y＝19， 5x＋3y＝73， 解得 x＝8，y＝11. 答案 8 11 6.(多填题)(2019·北京卷)李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、 京白梨、西瓜、桃，价格依次为 60 元/盒、65 元/盒、80 元/盒、90 元/盒.为增加销量，李明 对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到 120 元，顾客就少付 x 元.每笔订单顾客网 上支付成功后，李明会得到支付款的 80%. - 4 - (1)当 x＝10 时，顾客一次购买草莓和西瓜各 1 盒，需要支付________元； (2)在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则 x 的最大 值为________. 解析 (1)顾客一次购买草莓和西瓜各 1 盒，原价应为 60＋80＝140(元)，超过了 120 元可以 优惠，所以当 x＝10 时，顾客需要支付 140－10＝130(元).(2)由题意知，当 x 确定后，顾客 可以得到的优惠金额是固定的，所以顾客支付的金额越少，优惠的比例越大.而顾客要想得到 优惠，最少要一次购买 2 盒草莓，此时顾客支付的金额为(120－x)元，所以(120－ x)×80%≥120×0.7，所以 x≤15.即 x 的最大值为 15. 答案 (1)130 (2)15 考点一 利用函数的图象刻画实际问题 【例 1】 (2017·全国Ⅲ卷)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并 整理了 2014 年 1 月至 2016 年 12 月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折 线图. 根据该折线图，下列结论错误的是( ) A.月接待游客量逐月增加 B.年接待游客量逐年增加 C.各年的月接待游客量高峰期大致在 7，8 月 D.各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳 解析 由题图可知，2014 年 8 月到 9 月的月接待游客量在减少，则 A 选项错误. 答案 A 规律方法 1.当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点， 结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选出符合实际情况的答 案. 2.图形、表格能直观刻画两变量间的依存关系，考查了数学直观想象核心素养. - 5 - 【训练 1】 高为 H，满缸水量为 V 的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水 从洞中流出，若鱼缸水深为 h 时水的体积为 v，则函数 v＝f(h)的大致图象是( ) 解析 由题意知，水深 h 越大，水的体积 v 就越大. 当 h＝0 时，v＝0，故可排除 A，C； 当 h∈[0，H]时，不妨将水“流出”设想为“流入”. 每当 h 增加一个单位增量Δh 时，根据鱼缸形状可知，函数 v 的变化，开始其增量越来越大， 经过中截面后增量越来越小，故 v＝f(h)的图象是先凹后凸的，故选 B. 答案 B 考点二 已知函数模型求解实际问题 【例 2】 为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层，体育馆要建造可使用 20 年的 隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元.该建筑物每年的能源消耗费用 C(单位：万元) 与隔热层厚度 x(单位：cm)满足关系：C(x)＝ k 3x＋5 (0≤x≤10，k 为常数)，若不建隔热层， 每年能源消耗费用为 8 万元，设 f(x)为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和. (1)求 k 的值及 f(x)的表达式； (2)隔热层修建多厚时，总费用 f(x)达到最小？并求最小值. 解 (1)当 x＝0 时，C＝8，∴k＝40， ∴C(x)＝ 40 3x＋5 (0≤x≤10)， ∴f(x)＝6x＋20×40 3x＋5 ＝6x＋ 800 3x＋5 (0≤x≤10). (2)由(1)得 f(x)＝2(3x＋5)＋ 800 3x＋5 －10. 令 3x＋5＝t，t∈[5，35]， 则 y＝2t＋800 t －10≥2 2t·800 t －10＝70(当且仅当 2t＝800 t ，即 t＝20 时等号成立)， 此时 x＝5，因此 f(x)的最小值为 70. ∴隔热层修建 5 cm 厚时，总费用 f(x)达到最小，最小值为 70 万元. - 6 - 规律方法 1.求解已知函数模型解决实际问题的关注点. (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数. (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数. 2.利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验. 【训练 2】 (2019·全国Ⅱ卷)2019 年 1 月 3 日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球 背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就.实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术 问题是地面与探测器的通信联系.为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿 着围绕地月拉格朗日 L2 点的轨道运行.L2 点是平衡点，位于地月连线的延长线上.设地球质量 为 M1，月球质量为 M2，地月距离为 R，L2 点到月球的距离为 r，根据牛顿运动定律和万有引力 定律，r 满足方程： M1 （R＋r）2＋M2 r2＝(R＋r)M1 R3. 设α＝r R .由于α的值很小，因此在近似计算中3α3＋3α4＋α5 （1＋α）2 ≈3α3，则 r 的近似值为( ) A. M2 M1 R B. M2 2M1 R C. 3 3M2 M1 R D. 3 M2 3M1 R 解析 由α＝r R ，得 r＝αR， 代入 M1 （R＋r）2＋M2 r2＝(R＋r)M1 R3， 整理得3α3＋3α4＋α5 （1＋α）2 ＝M2 M1 . 又3α3＋3α4＋α5 （1＋α）2 ≈3α3，即 3α3≈M2 M1 ，所以α≈ 3 M2 3M1 ， 故 r＝αR≈ 3 M2 3M1 R. 答案 D 考点三 构建函数模型的实际问题 多维探究 角度 1 构建二次函数、分段函数模型 【例 3－1】 (2020·济南一中月考)响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王大 学毕业后决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调研，生产某小型电子产品需投入年固定 成本 2 万元，每生产 x 万件，需另投入流动成本 W(x)万元，在年产量不足 8 万件时，W(x)＝1 3 x2 - 7 - ＋2x.在年产量不小于 8 万件时，W(x)＝7x＋100 x －37.每件产品售价 6 元.通过市场分析，小 王生产的商品能当年全部售完. (1)写出年利润 P(x)(万元)关于年产量 x(万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－ 固定成本－流动成本) (2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 解 (1)因为每件商品售价为 6 元，则 x 万件商品销售收入为 6x 万元.依题意得 当 0200. 两边取对数，得 n·lg1.12>lg 2－lg 1.3， 所以 n>lg 2－lg 1.3 lg 1.12 ≈0.30－0.11 0.05 ＝19 5 ， 又 n∈N*，所以 n≥4， 所以从 2023 年开始，该公司投入的研发资金开始超过 200 万元. 答案 (1)C (2)③ (3)D A 级 基础巩固 一、选择题 1.一根蜡烛长 20 cm，点燃后每小时燃烧 5 cm，燃烧时剩下的高度 h(cm)与燃烧时间 t(小时) - 10 - 的函数关系用图象表示为( ) 解析 由题意得关系式为 h＝20－5t(0≤t≤4).图象应为 B 项. 答案 B 2.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限 M 约为 3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总 数 N 约为 1080.则下列各数中与M N 最接近的是( ) (参考数据：lg 3≈0.48) A.1033 B.1053 C.1073 D.1093 解析 由题意，lg M N ＝lg 3361 1080＝lg 3361－lg 1080 ＝361lg 3－80lg 10≈93. 所以M N ≈1093，故与M N 最接近的是 1093. 答案 D 3.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 L 汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽 车在不同速度下的燃油效率情况.下列斜述中正确的是( ) A.消耗 1 L 汽油，乙车最多可行驶 5 km B.以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 C.甲车以 80 km/h 的速度行驶 1 小时，消耗 10 L 汽油 - 11 - D.某城市机动车最高限速 80 km/h，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 解析 对于 A，消耗 1 L 汽油，乙车行驶的最大距离大于 5 km，故 A 错；对于 B，以相同速度 行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故 B 错； 对于 C，甲车以 80 km/h 行驶 1 小时，里程为 80 km，燃油效率为 10 km/L，消耗 8 L 汽油， 故 C 错；对于 D，因为在速度低于 80 km/h 时，丙车的燃油效率高于乙车，故 D 正确. 答案 D 4.(2020·武汉模拟)复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本 金，再计算下一期的利息.某同学有压岁钱 1 000 元，存入银行，年利率为 2.25%，若放入微 信零钱通或者支付宝的余额宝，年利率可达 4.01%.如果将这 1 000 元选择合适方式存满 5 年， 可以多获利息( ) (参考数据：1.022 54≈1.093，1.022 55≈1.118，1.040 15≈1.217) A.176 元 B.99 元 C.77 元 D.88 元 解析 将 1 000 元钱存入微信零钱通或者支付宝的余额宝，选择复利的计算方法，则存满 5 年后的本息和为 1 000×(1＋4.01%)5≈1 217(元)，故共得利息 1 217－1 000＝217(元).将 1 000 元存入银行，则存满 5 年后的本息和为 1 000×(1＋2.25%)5≈1 118(元)，即获利息 1 118 －1 000＝118(元).故可以多获利息 217－118＝99(元). 答案 B 5.我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同要求.音量大小的单位是 分贝(dB)，对于一个强度为 I 的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：η＝10lgI I0 (其中 I0 是人耳能听到声音的最低声波强度)，则 70 dB 的声音的声波强度 I1 是 60 dB 的声音的声波 强度 I2 的( ) A.7 6 倍 B.10 7 6 倍 C.10 倍 D.ln 7 6 倍 解析 由η＝10lg I I0 得 I＝I010η 10 ，所以 I1＝I0107，I2＝I0106，所以I1 I2 ＝10，所以 70 dB 的声 音的声波强度 I1 是 60 dB 的声音的声波强度 I2 的 10 倍. 答案 C 二、填空题 6.某公司一年购买某种货物 600 吨，每次购买 x 吨，运费为 6 万元/次，一年的总存储费用为 - 12 - 4x 万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x 的值是________. 解析 一年的总运费与总存储费用之和为 y＝6×600 x ＋4x＝3 600 x ＋4x≥2 3 600 x ×4x＝ 240，当且仅当3 600 x ＝4x，即 x＝30 时，y 有最小值 240. 答案 30 7.“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的.已知某品牌商品广 告销售的收入 R 与广告费 A 之间满足关系 R＝a A(a 为常数)，广告效应为 D＝a A－A.那么精 明的商人为了取得最大的广告效应，投入的广告费应为________(用常数 a 表示). 解析 令 t＝ A(t≥0)，则 A＝t2， ∴D＝at－t2＝－ t－1 2 a 2 ＋1 4 a2， ∴当 t＝1 2 a，即 A＝1 4 a2 时，D 取得最大值. 答案 1 4 a2 8.一个容器装有细沙 a cm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余 的细沙量为 y＝ae－bt(cm3)，经过 8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min， 容器中的沙子只有开始时的八分之一. 解析 当 t＝8 时，y＝ae－8b＝1 2 a，所以 e－8b＝1 2 . 容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即 y＝ae－bt＝1 8 a，e－bt＝1 8 ＝(e－8b)3＝e－24b，则 t＝24. 所以再经过 16 min 容器中的沙子只有开始时的八分之一. 答案 16 三、解答题 9.候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的 飞行速度 v(单位：m/s)与其耗氧量 Q 之间的关系为 v＝a＋blog3 Q 10 (其中 a，b 是实数).据统计， 该种鸟类在静止时其耗氧量为 30 个单位，而其耗氧量为 90 个单位时，其飞行速度为 1 m/s. (1)求出 a，b 的值； (2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于 2 m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？ 解 (1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为 0 m/s，此时耗氧量为 30 个单位， 故有 a＋blog3 30 10 ＝0，即 a＋b＝0. - 13 - 当耗氧量为 90 个单位时，速度为 1 m/s， 故有 a＋blog3 90 10 ＝1，即 a＋2b＝1. 解方程组 a＋b＝0， a＋2b＝1， 得 a＝－1， b＝1. (2)由(1)知，v＝－1＋log3 Q 10 . 所以要使飞行速度不低于 2 m/s，则有 v≥2， 即－1＋log3 Q 10 ≥2，解得 Q≥270. 所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于 2 m/s 时，其耗氧量至少要 270 个单位. 10.某医药机构测定，某种药品服用后每毫升血液中的含药量 y(微克)与时间 t(小时)之间近 似满足如图所示的曲线. (1)写出服用药品后 y 与 t 之间的函数关系式； (2)据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于 0.50 微克时治疗有效，求服用药品后的有效 时间. 解 (1)由题中图象，设 y＝ kt，0≤t≤1， 1 2 t－a ，t>1. 当 t＝1 时，由 y＝4，得 k＝4； 当 1 2 1－a ＝4，得 a＝3.所以 y＝ 4t，0≤t≤1， 1 2 t－3 ，t>1. (2)由 y≥0.50，得 0≤t≤1， 4t≥0.50 或 t>1， 1 2 t－3 ≥0.50， 解得1 8 ≤t≤4，因此服用药品后的有效时间为 4－1 8 ＝31 8 (小时). B 级 能力提升 11.将甲桶中的 a L 水缓慢注入空桶乙中，t min 后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线 y＝ - 14 - aent.假设过 5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过 m min 甲桶中的水只有a 4 L，则 m 的值为 ( ) A.5 B.8 C.9 D.10 解析 ∵5 min 后甲桶和乙桶的水量相等， ∴函数 y＝f(t)＝aent 满足 f(5)＝ae5n＝1 2 a， 可得 n＝1 5 ln 1 2 ，∴f(t)＝a· 1 2 t 5 ， 因此，当 k min 后甲桶中的水只有a 4 L 时， f(k)＝a· 1 2 k 5 ＝1 4 a，即 1 2 k 5 ＝1 4 ， ∴k＝10，由题可知 m＝k－5＝5. 答案 A 12.某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了 n 次涨停(每次 上涨 10%)，又经历了 n 次跌停(每次下跌 10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费 用)为( ) A.略有盈利 B.略有亏损 C.没有盈利也没有亏损 D.无法判断盈亏情况 解析 设该股民购这支股票的价格为 a 元，则经历 n 次涨停后的价格为 a(1＋10%)n＝a×1.1n 元，经历 n 次跌停后的价格为 a×1.1n×(1－10%)n＝a×1.1n×0.9n＝a×(1.1×0.9)n＝0.99n·a ＜a，故该股民这支股票略有亏损. 答案 B 13.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是 T0，经过一定 时间 t(单位：min)后的温度是 T，则 T－Ta＝(T0－Ta) 1 2 t h ，其中 Ta 称为环境温度，h 称为半衰 期.现有一杯用 85 ℃热水冲的速溶咖啡，放在 21 ℃的房间中，如果咖啡降到 37 ℃需要 16 min， 那么这杯咖啡要从 37 ℃降到 29 ℃，还需要________ min. 解析 由题意知 Ta＝21 ℃. 令 T0＝85 ℃，T＝37 ℃， - 15 - 得 37－21＝(85－21)· 1 2 16 h ，解得 h＝8. 令 T0＝37 ℃，T＝29 ℃， 则 29－21＝(37－21)· 1 2 t 8 ，解得 t＝8. 答案 8 14.(2020·佛山一中月考)近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方 便，某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资 240 万元.根据行业规定，每个城市至少要 投资 80 万元，由前期市场调研可知：甲城市收益 P 与投入 a(单位：万元)满足 P＝4 2a－6， 乙城市收益 Q 与投入 a(单位：万元)满足 Q＝ 1 4 a＋2，80≤a≤120， 32，1200， - 16 - 故 f(x)的最大值为 88. 因此，当甲城市投资 128 万元，乙城市投资 112 万元时，总收益最大，且最大收益为 88 万元. C 级 创新猜想 15.(多选题)(2020·济南月考)甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动， 它们的路程 fi(x)(i＝1，2，3，4)关于时间 x(x≥0)的函数关系式分别为 f1(x)＝2x－1，f2(x) ＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，则下列结论正确的是( ) A.当 x>1 时，甲走在最前面 B.当 x>1 时，乙走在最前面 C.当 01 时，丁走在最后面 D.如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲 解析 甲、乙、丙、丁的路程 fi(x)(i＝1，2，3，4)关于时间 x(x≥0)的函数关系式分别为 f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，它们对应的函数模型分别为指数型 函数模型、二次函数模型、一次函数模型、对数型函数模型. 当 x＝2 时，f1(2)＝3，f2(2)＝4，所以 A 不正确； 当 x＝5 时，f1(5)＝31，f2(5)＝25，所以 B 不正确； 根据四种函数的变化特点，对数型函数的增长速度是先快后慢，又当 x＝1 时，甲、乙、丙、 丁四个物体走过的路程相等，从而可知，当 01 时，丁走在最 后面，所以 C 正确； 指数型函数的增长速度是先慢后快，当运动的时间足够长时，最前面的物体一定是按照指数 型函数模型运动的物体，即一定是甲物体，所以 D 正确. 答案 CD