2013年四川省广安市中考数学试卷及答案(解析版)

2013年四川省广安市中考数学试卷及答案(解析版)

四川省广安市2013年中考数学试卷 一、选择题：每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意要求，请将符合要求的选项的代号填涂在机读卡上（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）‎ ‎1．（3分）（2013•广安）4的算术平方根是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎±2‎ B．‎ C．‎ ‎2‎ D．‎ ‎﹣2‎ 考点：‎ 算术平方根．‎ 分析：‎ 根据算术平方根的定义即可得出答案．‎ 解答：‎ 解：4的算术平方根是2，‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题主要考查了算术平方根，注意算术平方根与平方根的区别．‎ ‎　‎ ‎2．（3分）（2013•广安）未来三年，国家将投入8450亿元用于缓解群众“看病难、看病贵”的问题．将8450亿元用科学记数法表示为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎0.845×104亿元 B．‎ ‎8.45×103亿元 C．‎ ‎8.45×104亿元 D．‎ ‎84.5×102亿元 考点：‎ 科学记数法—表示较大的数．‎ 分析：‎ 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．‎ 解答：‎ 解：将8450亿元用科学记数法表示为8.45×103亿元．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．‎ ‎　‎ ‎3．（3分）（2013•广安）下列运算正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ a2•a4=a8‎ B．‎ ‎2a2+a2=3a4‎ C．‎ a6÷a2=a3‎ D．‎ ‎（ab2）3=a3b6‎ 考点：‎ 同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．‎ 分析：‎ 分别利用合并同类项法则、同底数幂的除法、同底数幂的乘法、积的乘方法则分的判断得出即可．‎ 解答：‎ 解：A、a2•a4=a6，故此选项错误；‎ B、2a2+a2=3a2，故此选项错误；‎ C、a6÷a2=a4，故此选项错误；‎ D、（ab2）3=a3b6，故此选项正确．‎ 故选：D．‎ 点评：‎ 本题考查了合并同类项法则、同底数幂的除法、同底数幂的乘法、积的乘方，解题的关键是掌握相关运算的法则．‎ ‎　‎ ‎4．（3分）（2013•广安）有五个相同的小正方体堆成的物体如图所示，它的主视图是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 简单组合体的三视图．‎ 分析：‎ 找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．‎ 解答：‎ 解：从正面看易得第一层有3个正方形，第二层最左边有一个正方形．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．‎ ‎　‎ ‎5．（3分）（2013•广安）数据21、12、18、16、20、21的众数和中位数分别是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎21和19‎ B．‎ ‎21和17‎ C．‎ ‎20和19‎ D．‎ ‎20和18‎ 考点：‎ 众数；中位数．‎ 分析：‎ 根据众数和中位数的定义求解即可．‎ 解答：‎ 解：在这一组数据中21是出现次数最多的，故众数是21；‎ 数据按从小到大排列：12、16、18、20、21、21，中位数是（18+20）÷2=19，故中位数为19．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题考查了中位数，众数的意义．找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数．如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数个，则找中间两位数的平均数．众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．‎ ‎　‎ ‎6．（3分）（2013•广安）如果a3xby与﹣a2ybx+1是同类项，则（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 解二元一次方程组；同类项．3718684‎ 专题：‎ 计算题 分析：‎ 根据同类项的定义列出方程组，然后利用代入消元法求解即可．‎ 解答：‎ 解：∵a3xby与﹣a2ybx+1是同类项，‎ ‎∴，‎ ‎②代入①得，3x=2（x+1），‎ 解得x=2，‎ 把x=2代入②得，y=2+1=3，‎ 所以，方程组的解是．‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题考查的是二元一次方程组的解法，方程组中未知数的系数较小时可用代入法，当未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法较简单，根据同类项的“两同”列出方程组是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎7．（3分）（2013•广安）等腰三角形的一条边长为6，另一边长为13，则它的周长为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎25‎ B．‎ ‎25或32‎ C．‎ ‎32‎ D．‎ ‎19‎ 考点：‎ 等腰三角形的性质；三角形三边关系．3718684‎ 分析：‎ 因为已知长度为6和13两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．‎ 解答：‎ 解：①当6为底时，其它两边都为13，‎ ‎6、13、13可以构成三角形，‎ 周长为32；‎ ‎②当6为腰时，‎ 其它两边为6和13，‎ ‎∵6+6＜13，‎ ‎∴不能构成三角形，故舍去，‎ ‎∴答案只有32．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎8．（3分）（2013•广安）下列命题中正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 函数y=的自变量x的取值范围是x＞3‎ ‎　‎ B．‎ 菱形是中心对称图形，但不是轴对称图形 ‎　‎ C．‎ 一组对边平行，另一组对边相等四边形是平行四边形 ‎　‎ D．‎ 三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等 考点：‎ 命题与定理．3718684‎ 分析：‎ 根据菱形、等腰梯形的性质以及外心的性质和二次根式的性质分别判断得出即可．‎ 解答：‎ 解：A、函数y=的自变量x的取值范围是x≥3，故此选项错误；‎ B、菱形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项错误；‎ C、一组对边平行，另一组对边相等四边形是也可能是等腰梯形，故此选项错误；‎ D、根据外心的性质，三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，故此选项正确．‎ 故选：D．‎ 点评：‎ 此题主要考查了菱形、等腰梯形的性质以及外心的性质和二次根式的性质，熟练掌握相关定理和性质是解题关键．‎ ‎　‎ ‎9．（3分）（2013•广安）如图，已知半径OD与弦AB互相垂直，垂足为点C，若AB=8cm，CD=3cm，则圆O的半径为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ cm B．‎ ‎5cm C．‎ ‎4cm D．‎ cm 考点：‎ 垂径定理；勾股定理．3718684‎ 分析：‎ 连接AO，根据垂径定理可知AC=AB=4cm，设半径为x，则OC=x﹣3，根据勾股定理即可求得x的值．‎ 解答：‎ 解：连接AO，‎ ‎∵半径OD与弦AB互相垂直，‎ ‎∴AC=AB=4cm，‎ 设半径为x，则OC=x﹣3，‎ 在Rt△ACO中，AO2=AC2+OC2，‎ 即x2=42+（x﹣3）2，‎ 解得：x=，‎ 故半径为cm．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，解答本题的关键是熟练掌握垂径定理、勾股定理的内容，难度一般．‎ ‎　‎ ‎10．（3分）（2013•广安）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x=1．下列结论：‎ ‎①abc＞O，②2a+b=O，③b2﹣4ac＜O，④4a+2b+c＞O 其中正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎①③‎ B．‎ 只有②‎ C．‎ ‎②④‎ D．‎ ‎③④‎ 考点：‎ 二次函数图象与系数的关系．3718684‎ 分析：‎ 由抛物线开口向下，得到a小于0，再由对称轴在y轴右侧，得到a与b异号，可得出b大于0，又抛物线与y轴交于正半轴，得到c大于0，可得出abc小于0，选项①错误；由抛物线与x轴有2个交点，得到根的判别式b2﹣4ac大于0，选项②错误；由x=﹣2时对应的函数值小于0，将x=﹣2代入抛物线解析式可得出4a﹣2b+c小于0，最后由对称轴为直线x=1，利用对称轴公式得到b=﹣2a，得到选项④正确，即可得到正确结论的序号．‎ 解答：‎ 解：∵抛物线的开口向上，∴a＞0，‎ ‎∵﹣＞0，∴b＜0，‎ ‎∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，‎ ‎∴abc＜0，①错误；‎ ‎∵对称轴为直线x=1，∴﹣=1，即2a+b=0，②正确，‎ ‎∵抛物线与x轴有2个交点，∴b2﹣4ac＞0，③错误；‎ ‎∵对称轴为直线x=1，‎ ‎∴x=2与x=0时的函数值相等，而x=0时对应的函数值为正数，‎ ‎∴4a+2b+c＞0，④正确；‎ 则其中正确的有②④．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 此题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），a的符号由抛物线开口方向决定；b的符号由对称轴的位置及a的符号决定；c的符号由抛物线与y轴交点的位置决定；抛物线与x轴的交点个数，决定了b2﹣4ac的符号，此外还要注意x=1，﹣1，2及﹣2对应函数值的正负来判断其式子的正确与否．‎ ‎　‎ 二、填空题：请将最简答案直接填写在题目后的横线上（本大题共6个小题，每小题3分．共18分）‎ ‎11．（3分）（2013•广安）方程x2﹣3x+2=0的根是　1或2　．‎ 考点：‎ 解一元二次方程-因式分解法．3718684‎ 专题：‎ 因式分解．‎ 分析：‎ 由题已知的方程进行因式分解，将原式化为两式相乘的形式，再根据两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0，求出方程的解．‎ 解答：‎ 解：因式分解得，（x﹣1）（x﹣2）=0，‎ 解得x1=1，x2=2．‎ 点评：‎ 本题考查了因式分解法解一元二次方程，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根，因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．‎ ‎　‎ ‎12．（3分）（2013•广安）将点A（﹣1，2）沿x轴向右平移3个单位长度，再沿y轴向下平移4个长度单位后得到点A′的坐标为　（2，﹣2）　．‎ 考点：‎ 坐标与图形变化-平移．3718684‎ 分析：‎ 根据点的平移规律，左右移，横坐标减加，纵坐标不变；上下移，纵坐标加减，横坐标不变即可解的答案．‎ 解答：‎ 解：∵点A（﹣1，2）沿x轴向右平移3个单位长度，再沿y轴向下平移4个长度单位后得到点A′，‎ ‎∴A′的坐标是（﹣1+3，2﹣4），‎ 即：（2，﹣2）．‎ 故答案为：（2，﹣2）．‎ 点评：‎ 此题主要考查了点的平移规律，正确掌握规律是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎13．（3分）（2013•广安）如图，若∠1=40°，∠2=40°，∠3=116°30′，则∠4=　63°30′　．‎ 考点：‎ 平行线的判定与性质．3718684‎ 分析：‎ 根据∠1=∠2可以判定a∥b，再根据平行线的性质可得∠3=∠5，再根据邻补角互补可得答案．‎ 解答：‎ 解：∵∠1=40°，∠2=40°，‎ ‎∴a∥b，‎ ‎∴∠3=∠5=116°30′，‎ ‎∴∠4=180°﹣116°30′=63°30′，‎ 故答案为：63°30′．‎ 点评：‎ 此题主要考查了平行线的判定与性质，关键是掌握同位角相等，两直线平行．‎ ‎　‎ ‎14．（3分）（2013•广安）解方程：﹣1=，则方程的解是　x=﹣　．‎ 考点：‎ 解分式方程．3718684‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．‎ 解答：‎ 解：去分母得：4x﹣x+2=﹣3，‎ 解得：x=﹣，‎ 经检验是分式方程的解．‎ 故答案为：x=﹣‎ 点评：‎ 此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．‎ ‎　‎ ‎15．（3分）（2013•广安）如图，如果从半径为5cm的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高是　3　cm．‎ 考点：‎ 圆锥的计算．3718684‎ 分析：‎ 因为圆锥的高，底面半径，母线构成直角三角形，则留下的扇形的弧长==8π，所以圆锥的底面半径r==4cm，利用勾股定理求圆锥的高即可；‎ 解答：‎ 解：∵从半径为5cm的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，‎ ‎∴留下的扇形的弧长==8π，‎ 根据底面圆的周长等于扇形弧长，‎ ‎∴圆锥的底面半径r==4cm，‎ ‎∴圆锥的高为=3cm 故答案为：3．‎ 点评：‎ 此题主要考查了主要考查了圆锥的性质，要知道（1）圆锥的高，底面半径，母线构成直角三角形，（2）此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．解此类题目要根据所构成的直角三角形的勾股定理作为等量关系求解．‎ ‎　‎ ‎16．（3分）（2013•广安）已知直线y=x+（n为正整数）与坐标轴围成的三角形的面积为Sn，则S1+S2+S3+…+S2012=　　．‎ 考点：‎ 一次函数图象上点的坐标特征．3718684‎ 专题：‎ 规律型．‎ 分析：‎ 令x=0，y=0分别求出与y轴、x轴的交点，然后利用三角形面积公式列式表示出Sn，再利用拆项法整理求解即可．‎ 解答：‎ 解：令x=0，则y=，‎ 令y=0，则﹣x+=0，‎ 解得x=，‎ 所以，Sn=••=（﹣），‎ 所以，S1+S2+S3+…+S2012=（﹣+﹣+﹣+…+﹣）=（﹣）=．‎ 故答案为：．‎ 点评：‎ 本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，表示出Sn，再利用拆项法写成两个数的差是解题的关键，也是本题的难点．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共4个小题，第17小题5分，第18、19、20小题各6分，共23分）‎ ‎17．（6分）（2013•广安）计算：（）﹣1+|1﹣|﹣﹣2sin60°．‎ 考点：‎ 实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．3718684‎ 分析：‎ 分别进行负整数指数幂、绝对值、开立方、特殊角的三角函数值等运算，然后按照实数的运算法则计算即可．‎ 解答：‎ 解：原式=2+﹣1+2﹣2×=3．‎ 点评：‎ 本题考查了实数的运算，涉及了负整数指数幂、绝对值、开立方、特殊角的三角函数值等知识，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎18．（6分）（2013•广安）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x=4．‎ 考点：‎ 分式的化简求值．3718684‎ 分析：‎ 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．‎ 解答：‎ 解：原式=（﹣）÷‎ ‎=×‎ ‎=﹣，‎ 当x=4时，原式=﹣=﹣．‎ 点评：‎ 本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎19．（6分）（2013•广安）如图，在平行四边形ABCD中，AE∥CF，求证：△ABE≌△CDF．‎ 考点：‎ 平行四边形的性质；全等三角形的判定．3718684‎ 专题：‎ 证明题．‎ 分析：‎ 首先证明四边形AECF是平行四边形，即可得到AE=CF，AF=CF，再根据由三对边相等的两个三角形全等即可证明：△ABE≌△CDF．‎ 解答：‎ 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AE∥CF，AD=BC，AB=CD，‎ ‎∵AE∥CF，‎ ‎∴四边形AECF是平行四边形，‎ ‎∴AE=CF，AF=CF，‎ ‎∴BE=DE，‎ 在△ABE和△CDF中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABE≌△CDF（SSS）．‎ 点评：‎ 此题主要考查学生对平行四边形的判定与性质和全等三角形的判定的理解和掌握，难度不大，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎20．（6分）（2013•广安）已知反比例函数y=（k≠0）和一次函数y=x﹣6．‎ ‎（1）若一次函数与反比例函数的图象交于点P（2，m），求m和k的值．‎ ‎（2）当k满足什么条件时，两函数的图象没有交点？‎ 考点：‎ 反比例函数与一次函数的交点问题．3718684‎ 分析：‎ ‎（1）两个函数交点的坐标满足这两个函数关系式，因此将交点的坐标分别代入反比例函数关系式和一次函数关系式即可求得待定的系数；‎ ‎（2）函数的图象没有交点，即无解，用二次函数根的判别式可解．‎ 解答：‎ 解：（1）∵一次函数和反比例函数的图象交于点（2，m），‎ ‎∴m=2﹣6，‎ 解得m=﹣4，‎ 即点P（2，﹣4），‎ 则k=2×（﹣4）=﹣8．‎ ‎∴m=﹣4，k=﹣8；‎ ‎（2）由联立方程y=（k≠0）和一次函数y=x﹣6，‎ 有=x﹣6，即x2﹣6x﹣k=0．‎ ‎∵要使两函数的图象没有交点，须使方程x2﹣6x﹣k=0无解．‎ ‎∴△=（﹣6）2﹣4×（﹣k）=36+4k＜0，‎ 解得k＜﹣9．‎ ‎∴当k＜﹣9时，两函数的图象没有交点．‎ 点评：‎ 本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，注意先代入一次函数解析式，求得两个函数的交点坐标．‎ ‎　‎ 四、实践应用：（本大题共4个小题，其中第21小题6分，地22、23、24小题各8分，共30分）‎ ‎21．（6分）（2013•广安）‎6月5日是“世界环境日”，广安市某校举行了“洁美家园”的演讲比赛，赛后整理参赛同学的成绩，将学生的成绩分成A、B、C、D四个等级，并制成了如下的条形统计图和扇形图（如图1、图2）．‎ ‎（1）补全条形统计图．‎ ‎（2）学校决定从本次比赛中获得A和B的学生中各选出一名去参加市中学生环保演讲比赛．已知A等中男生有2名，B等中女生有3 名，请你用“列表法”或“树形图法”的方法求出所选两位同学恰好是一名男生和一名女生的概率．‎ 考点：‎ 条形统计图；扇形统计图；列表法与树状图法．3718684‎ 专题：‎ 计算题 分析：‎ ‎（1）根据等级为A的人数除以所占的百分比求出总人数，进而求出等级B的人数，补全条形统计图即可；‎ ‎（2）列表得出所有等可能的情况数，找出一男一女的情况数，即可求出所求的概率．‎ 解答：‎ 解：（1）根据题意得：3÷15%=20（人），‎ 故等级B的人数为20﹣（3+8+4）=5（人），‎ 补全统计图，如图所示；‎ ‎（2）列表如下：‎ 男 男 女 女 女 男 ‎（男，男）‎ ‎（男，男）‎ ‎（女，男）‎ ‎（女，男）‎ ‎（女，男）‎ 男 ‎（男，男）‎ ‎（男，男）‎ ‎（女，男）‎ ‎（女，男）‎ ‎（女，男）‎ 女 ‎（男，女）‎ ‎（男，女）‎ ‎（女，女）‎ ‎（女，女）‎ ‎（女，女）‎ 所有等可能的结果有15种，其中恰好是一名男生和一名女生的情况有8种，‎ 则P恰好是一名男生和一名女生=．‎ 点评：‎ 此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及列表法与树状图法，弄清题意是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎22．（8分）（2013•广安）某商场筹集资金12.8万元，一次性购进空调、彩电共30台．根据市场需要，这些空调、彩电可以全部销售，全部销售后利润不少于1.5万元，其中空调、彩电的进价和售价见表格．‎ 空调 彩电 进价（元/台）‎ ‎5400‎ ‎3500‎ 售价（元/台）‎ ‎6100‎ ‎3900‎ 设商场计划购进空调x台，空调和彩电全部销售后商场获得的利润为y元．‎ ‎（1）试写出y与x的函数关系式；‎ ‎（2）商场有哪几种进货方案可供选择？‎ ‎（3）选择哪种进货方案，商场获利最大？最大利润是多少元？‎ 考点：‎ 一次函数的应用．3718684‎ 分析：‎ ‎（1）y=（空调售价﹣空调进价）x+（彩电售价﹣彩电进价）×（30﹣x）；‎ ‎（2）根据用于一次性购进空调、彩电共30台，总资金为12.8万元，全部销售后利润不少于1.5万元．得到一元一次不等式组，求出满足题意的x的正整数值即可；‎ ‎（3）利用y与x的函数关系式y=150x+6000的增减性来选择哪种方案获利最大，并求此时的最大利润即可．‎ 解答：‎ 解：（1）设商场计划购进空调x台，则计划购进彩电（30﹣x）台，由题意，得 y=（6100﹣5400）x+（3900﹣3500）（30﹣x）=300x+12000；‎ ‎（2）依题意，有，‎ 解得10≤x≤12．‎ ‎∵x为整数，‎ ‎∴x=10，11，12．‎ 即商场有三种方案可供选择：‎ 方案1：购空调10台，购彩电20台；‎ 方案2：购空调11台，购彩电19台；‎ 方案3：购空调12台，购彩电18台；‎ ‎（3）∵y=300x+12000，k=300＞0，‎ ‎∴y随x的增大而增大，‎ 即当x=12时，y有最大值，y最大=300×12+12000=15600元．‎ 故选择方案3：购空调12台，购彩电18台时，商场获利最大，最大利润是15600元．‎ 点评：‎ 本题主要考查了一次函数和一元一次不等式组的实际应用，难度适中，得出商场获得的利润y与购进空调x的函数关系式是解题的关键．在解答一次函数的应用问题中，要注意自变量的取值范围还必须使实际问题有意义．‎ ‎　‎ ‎23．（8分）（2013•广安）如图，广安市防洪指挥部发现渠江边一处长400米，高8米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤（横截面为梯形ABCD）急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽2米，加固后，背水坡EF的坡比i=1：2．‎ ‎（1）求加固后坝底增加的宽度AF的长；‎ ‎（2）求完成这项工程需要土石多少立方米？‎ 考点：‎ 解直角三角形的应用-仰角俯角问题．3718684‎ 专题：‎ 应用题．‎ 分析：‎ ‎（1）分别过E、D作AB的垂线，设垂足为G、H．在Rt△EFG中，根据坡面的铅直高度（即坝高）及坡比，即可求出FG的长，同理可在Rt△ADH中求出AH的长；由AF=FG+GH﹣AH求出AF的长．‎ ‎（2）已知了梯形AFED的上下底和高，易求得其面积．梯形AFED的面积乘以坝长即为所需的土石的体积．‎ 解答：‎ 解：（1）分别过点E、D作EG⊥AB、DH⊥AB交AB于G、H，‎ ‎∵四边形ABCD是梯形，且AB∥CD，‎ ‎∴DH平行且等于EG，‎ 故四边形EGHD是矩形，‎ ‎∴ED=GH，‎ 在Rt△ADH中，AH=DH÷tan∠DAH=8÷tan45°=8（米），‎ 在Rt△FGE中，i=1：2=，‎ ‎∴FG=2EG=16（米），‎ ‎∴AF=FG+GH﹣AH=16+2﹣8=10（米）；‎ ‎（2）加宽部分的体积V=S梯形AFED×坝长=×（2+10）×8×400=19200（立方米）．‎ 答：（1）加固后坝底增加的宽度AF为10米；（2）完成这项工程需要土石19200立方米．‎ 点评：‎ 本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是理解坡度、坡比的含义，构造直角三角形，利用三角函数表示相关线段的长度，难度一般．‎ ‎　‎ ‎24．（8分）（2013•广安）雅安芦山发生7.0级地震后，某校师生准备了一些等腰直角三角形纸片，从每张纸片中剪出一个半圆制作玩具，寄给灾区的小朋友．已知如图，是腰长为4的等腰直角三角形ABC，要求剪出的半圆的直径在△ABC的边上，且半圆的弧与△ABC的其他两边相切，请作出所有不同方案的示意图，并求出相应半圆的半径（结果保留根号）．‎ 考点：‎ 作图—应用与设计作图．3718684‎ 专题：‎ 作图题．‎ 分析：‎ 分直径在直角边AC、BC上和在斜边AB上三种情况分别求出半圆的半径，然后作出图形即可．‎ 解答：‎ 解：根据勾股定理，斜边AB==4，‎ ‎①如图1、图2，直径在直角边BC或AC上时，‎ ‎∵半圆的弧与△ABC的其它两边相切，‎ ‎∴=，‎ 解得r=4﹣4，‎ ‎②如图3，直径在斜边AB上时，∵半圆的弧与△ABC的其它两边相切，‎ ‎∴=，‎ 解得r=2，‎ 作出图形如图所示：‎ 点评：‎ 本题考查了应用与设计作图，主要利用了直线与圆相切，相似三角形对应边成比例的性质，分别求出半圆的半径是解题的关键．‎ ‎　‎ 五、理论与论证（9分）‎ ‎25．（9分）（2013•广安）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作半圆⊙0，交BC于点D，连接AD，过点D作DE⊥AC，垂足为点E，交AB的延长线于点F．‎ ‎（1）求证：EF是⊙0的切线．‎ ‎（2）如果⊙0的半径为5，sin∠ADE=，求BF的长．‎ 考点：‎ 切线的判定；等腰三角形的性质；圆周角定理；解直角三角形．3718684‎ 分析：‎ ‎（1）连结OD，AB为⊙0的直径得∠ADB=90°，由AB=AC，根据等腰三角形性质得AD平分BC，即DB=DC，则OD为△ABC的中位线，所以OD∥AC，而DE⊥AC，则OD⊥DE，然后根据切线的判定方法即可得到结论；‎ ‎（2）由∠DAC=∠DAB，根据等角的余角相等得∠ADE=∠ABD，在Rt△ADB中，利用解直角三角形的方法可计算出AD=8，在Rt△ADE中可计算出AE=，然后由OD∥AE，‎ 得△FDO∽△FEA，再利用相似比可计算出BF．‎ 解答：‎ ‎（1）证明：连结OD，如图，‎ ‎∵AB为⊙0的直径，‎ ‎∴∠ADB=90°，‎ ‎∴AD⊥BC，‎ ‎∵AB=AC，‎ ‎∴AD平分BC，即DB=DC，‎ ‎∵OA=OB，‎ ‎∴OD为△ABC的中位线，‎ ‎∴OD∥AC，‎ ‎∵DE⊥AC，‎ ‎∴OD⊥DE，‎ ‎∴EF是⊙0的切线；‎ ‎（2）解：∵∠DAC=∠DAB，‎ ‎∴∠ADE=∠ABD，‎ 在Rt△ADB中，sin∠ADE=sin∠ABD==，而AB=10，‎ ‎∴AD=8，‎ 在Rt△ADE中，sin∠ADE==，‎ ‎∴AE=，‎ ‎∵OD∥AE，‎ ‎∴△FDO∽△FEA，‎ ‎∴=，即=，‎ ‎∴BF=．‎ 点评：‎ 本题考查了切线的判定定理：过半径的外端点且与半径垂直的直线为圆的切线．也考查了等腰三角形的性质、圆周角定理和解直角三角形．‎ ‎　‎ 六、拓展探究（10分）‎ ‎26．（9分）（2013•广安）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C三点，已知点A（﹣3，0），B（0，3），C（1，0）．‎ ‎（1）求此抛物线的解析式．‎ ‎（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点，（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为F，交直线AB于点E，作PD⊥AB于点D．‎ ‎①动点P在什么位置时，△PDE的周长最大，求出此时P点的坐标；‎ ‎②连接PA，以AP为边作图示一侧的正方形APMN，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点M或N恰好落在抛物线对称轴上时，求出对应的P点的坐标．（结果保留根号）‎ 考点：‎ 二次函数综合题．3718684‎ 专题：‎ 代数几何综合题．‎ 分析：‎ ‎（1）把点A、B、C的坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求二次函数解析式解答即可；‎ ‎（2）①根据点A、B的坐标求出OA=OB，从而得到△AOB是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠BAO=45°，然后求出△PED是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质，PD越大，△PDE的周长最大，再判断出当与直线AB平行的直线与抛物线只有一个交点时，PD最大，再求出直线AB的解析式为y=x+3，设与AB平行的直线解析式为y=x+m，与抛物线解析式联立消掉y，得到关于x的一元二次方程，利用根的判别式△=0列式求出m的值，再求出x、y的值，从而得到点P的坐标；‎ ‎②先确定出抛物线的对称轴，然后（i）分点M在对称轴上时，过点P作PQ⊥对称轴于Q，根据同角的余角相等求出∠APF=∠QPM，再利用“角角边”证明△APF和△MPQ全等，根据全等三角形对应边相等可得PF=PQ，设点P的横坐标为n，表示出PQ的长，即PF，然后代入抛物线解析式计算即可得解；（ii）点N在对称轴上时，同理求出△APF和△ANQ全等，根据全等三角形对应边相等可得PF=AQ，根据点A的坐标求出点P的纵坐标，再代入抛物线解析式求出横坐标，即可得到点P的坐标．‎ 解答：‎ 解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（0，3），C（1，0），‎ ‎∴，‎ 解得，‎ 所以，抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3；‎ ‎（2）①∵A（﹣3，0），B（0，3），‎ ‎∴OA=OB=3，‎ ‎∴△AOB是等腰直角三角形，‎ ‎∴∠BAO=45°，‎ ‎∵PF⊥x轴，‎ ‎∴∠AEF=90°﹣45°=45°，‎ 又∵PD⊥AB，‎ ‎∴△PDE是等腰直角三角形，‎ ‎∴PD越大，△PDE的周长越大，‎ 易得直线AB的解析式为y=x+3，‎ 设与AB平行的直线解析式为y=x+m，‎ 联立，‎ 消掉y得，x2+3x+m﹣3=0，‎ 当△=32﹣4×1×（m﹣3）=0，‎ 即m=时，直线与抛物线只有一个交点，PD最长，‎ 此时x=﹣，y=﹣+=，‎ ‎∴点P（﹣，）时，△PDE的周长最大；‎ ‎②抛物线y=﹣x2﹣2x+3的对称轴为直线x=﹣=﹣1，‎ ‎（i）如图1，点M在对称轴上时，过点P作PQ⊥对称轴于Q，‎ 在正方形APMN中，AP=PM，∠APM=90°，‎ ‎∴∠APF+∠FPM=90°，∠QPM+∠FPM=90°，‎ ‎∴∠APF=∠QPM，‎ ‎∵在△APF和△MPQ中，‎ ‎，‎ ‎∴△APF≌△MPQ（AAS），‎ ‎∴PF=PQ，‎ 设点P的横坐标为n（n＜0），则PQ=﹣1﹣n，‎ 即PF=﹣1﹣n，‎ ‎∴点P的坐标为（n，﹣1﹣n），‎ ‎∵点P在抛物线y=﹣x2﹣2x+3上，‎ ‎∴﹣n2﹣2n+3=﹣1﹣n，‎ 整理得，n2+n﹣4=0，‎ 解得n1=（舍去），n2=，‎ ‎﹣1﹣n=﹣1﹣=，‎ 所以，点P的坐标为（，）；‎ ‎（ii）如图2，点N在对称轴上时，设抛物线对称轴与x轴交于点Q，‎ ‎∵∠PAF+∠FPA=90°，∠PAF+∠QAN=90°，‎ ‎∴∠FPA=∠QAN，‎ 又∵∠PFA=∠AQN=90°，PA=AN，‎ ‎∴△APF≌△NAQ，‎ ‎∴PF=AQ，‎ 设点P坐标为P（x，﹣x2﹣2x+3），‎ 则有﹣x2﹣2x+3=﹣1﹣（﹣3）=2，‎ 解得x=﹣1（不合题意，舍去）或x=﹣﹣1，‎ 此时点P坐标为（﹣﹣1，2）．‎ 综上所述，当顶点M恰好落在抛物线对称轴上时，点P坐标为（，），当顶点N恰好落在抛物线对称轴上时，点P的坐标为（﹣﹣1，2）．‎ 点评：‎ 本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的判定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，抛物线上点的坐标特征，（2）确定出△PDE是等腰直角三角形，从而判断出点P为平行于AB的直线与抛物线只有一个交点时的位置是解题的关键，（3）根据全等三角形的性质用点P的横坐标表示出纵坐标或用纵坐标求出横坐标是解题的关键．‎ ‎　‎