高考数学复习练习第1部分 专题五 第三讲 第二课时 预测演练提能
1.(2013·重庆高考)如图，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率e＝，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A，A′两点，|AA′|＝4.
(1)求该椭圆的标准方程；
(2)取平行于y轴的直线与椭圆相交于不同的两点P，P′，过P，P′作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外．求△PP′Q的面积S的最大值，并写出对应的圆Q 的标准方程．
解：(1)设该椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，由题意知点A(－c,2)在椭圆上，则＋＝1，从而e2＋＝1，又e＝，故b2＝＝8，从而a2＝＝16.
故该椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)由椭圆的对称性，可设Q(x0,0)．又设M(x，y)是椭圆上任意一点，则|QM|2＝(x－x0)2＋y2＝x2－2x0x＋x＋8×＝(x－2x0)2－x＋8(x∈[－4,4])．
设P(x1，y1)，由题意知，点P是椭圆上到点Q的距离最小的点，因此，当x＝x1时|QM|2取最小值，又x1∈(－4，4)，从而x1＝2x0，且|QP|2＝8－x.
由对称性知P′(x1，－y1)，故|PP′|＝|2y1|，
所以S＝|2y1||x1－x0|＝×2 |x0|＝＝
故当x0＝±时，△PP′Q的面积S取得最大值2.
此时对应的圆Q的圆心坐标为Q(±，0)，半径|QP|＝＝，
因此，这样的圆有两个，其标准方程分别为(x＋)2＋y2＝6，(x－)2＋y2＝6.
2.如图，椭圆C0：＋＝1(a>b>0，a，b为常数)，动圆C1：x2＋y2＝t，b
0)到直线l：x－y－2＝0的距离为.设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．
(1)求抛物线C的方程；
(2)当点P(x0，y0)为直线l上的定点时，求直线AB的方程；
(3)当点P在直线l上移动时，求|AF|·|BF|的最小值．
解：(1)依题意，设抛物线C的方程为x2＝4cy(c>0)，
则＝，结合c>0，解得c＝1.
所以抛物线C的方程为x2＝4y.
(2)抛物线C的方程为x2＝4y，即y＝x2，求导得y′＝x.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则切线PA，PB的斜率分别为x1，x2.
所以切线PA的方程为y－y1＝(x－x1)，即y＝x－＋y1，即x1x－2y－2y1＝0.
同理，可得切线PB的方程为x2x－2y－2y2＝0.
因为切线PA，PB均过点P(x0，y0)，所以x1x0－2y0－2y1＝0，x2x0－2y0－2y2＝0.
所以(x1，y1)，(x2，y2)为方程x0x－2y0－2y＝0的两组解．
所以直线AB的方程为x0x－2y0－2y＝0.
(3)由抛物线定义可知|AF|＝y1＋1，|BF|＝y2＋1，
所以|AF|·|BF|＝(y1＋1)(y2＋1)＝y1y2＋(y1＋y2)＋1.
联立方程消去x整理得y2＋(2y0－x)y＋y＝0，
由根与系数的关系可得y1＋y2＝x－2y0，y1y2＝y，
所以|AF|·|BF|＝y1y2＋(y1＋y2)＋1＝y＋x－2y0＋1.
又点P(x0，y0)在直线l上，所以x0＝y0＋2.
所以y＋x－2y0＋1＝2y＋2y0＋5＝22＋.
所以当y0＝－时，|AF|·|BF|取得最小值，且最小值为.
5.如图，经过点P(2,3)，且中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆M的离心率为.
(1)求椭圆M的方程；
(2)若椭圆M的弦PA，PB所在直线分别交x轴于点C，D，且|PC|＝|PD|，求证：直线AB的斜率为定值．
解：设椭圆M的方程为＋＝1(a＞b＞0)，
则＋＝1，且e2＝＝，
解得a2＝16，b2＝12.
故椭圆M的方程为＋＝1.
(2)证明：由题意知，直线PA的斜率必存在，故设直线PA的方程为y＝k(x－2)＋3，A(xA，yA)，B(xB，yB)，由|PC|＝|PD|可知，直线PB的方程为y＝－k(x－2)＋3.
由方程组可得(4k2＋3)x2－8k(2k－3)x＋4(2k－3)2－48＝0. ①
又方程①有一实根为2，故另一实根为＝＝，
故xA＝.
同理，xB＝.
所以xA＋xB＝，xA＋xB－4＝－，
xA－xB＝.
所以直线AB的斜率kAB＝＝＝，即直线AB的斜率为定值．
6．已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点的距离的最大值为3，最小值为1.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于A，B两点(A，B不是左右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点D.求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．
解：(1)由题意设椭圆的标准方程为：
＋＝1(a>b>0)．
由已知得a＋c＝3，a－c＝1，
所以a＝2，c＝1，
所以b2＝a2－c2＝3，
因此椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立
得(3＋4k2)x2＋8mkx＋4(m2－3)＝0，则
又y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)
＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2
＝.
因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D(2,0)，
所以kADkBD＝－1，即·＝－1.
故y1y2＋x1x2－2(x1＋x2)＋4＝0.
即＋＋＋4＝0.
则7m2＋16mk＋4k2＝0.
解得m＝－2k，或m＝－，且均满足3＋4k2－m2>0.
当m＝－2k时，l的方程为y＝k(x－2)，直线过定点(2,0)，与已知矛盾；
当m＝－时，l的方程为
y＝k，直线过定点.
所以，直线l过定点，定点坐标为.
