高考数学专题复习练习:9_6 双曲线

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高考数学专题复习练习:9_6 双曲线

‎1.双曲线定义 平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.‎ 集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中a,c为常数且a>0,c>0.‎ ‎(1)当2a<|F1F2|时,P点的轨迹是双曲线;‎ ‎(2)当2a=|F1F2|时,P点的轨迹是两条射线;‎ ‎(3)当2a>|F1F2|时,P点不存在.‎ ‎2.双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 -=1(a>0,b>0)‎ -=1(a>0,b>0)‎ 图形 性质 范围 x≥a或x≤-a,y∈R x∈R,y≤-a或y≥a 对称性 对称轴:坐标轴 对称中心:原点 顶点 A1(-a,0),A2(a,0)‎ A1(0,-a),A2(0,a)‎ 渐近线 y=±x y=±x 离心率 e=,e∈(1,+∞),其中c= 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|=2a;线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长|B1B2|=2b;a叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长 a、b、c的 c2=a2+b2 (c>a>0,c>b>0)‎ 关系 ‎【知识拓展】‎ 巧设双曲线方程 ‎(1)与双曲线-=1(a>0,b>0)有共同渐近线的方程可表示为-=t(t≠0).‎ ‎(2)过已知两个点的双曲线方程可设为+=1(mn<0).‎ ‎【思考辨析】‎ 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.( × )‎ ‎(2)方程-=1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线.( × )‎ ‎(3)双曲线方程-=λ(m>0,n>0,λ≠0)的渐近线方程是-=0,即±=0.( √ )‎ ‎(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等于.( √ )‎ ‎(5)若双曲线-=1(a>0,b>0)与-=1(a>0,b>0)的离心率分别是e1,e2,则+=1(此结论中两条双曲线称为共轭双曲线).( √ )‎ ‎1.(教材改编)若双曲线-=1 (a>0,b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长,则该双曲线的离心率为(  )‎ A. B.5‎ C. D.2‎ 答案 A 解析 由题意得b=2a,又a2+b2=c2,∴5a2=c2.‎ ‎∴e2==5,∴e=.‎ ‎2.等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,C与抛物线y2=16x的准线交于A,B两点,|AB|=4,则C的实轴长为(  )‎ A. B.2 C.4 D.8‎ 答案 C 解析 设C:-=1.‎ ‎∵抛物线y2=16x的准线为x=-4,联立-=1和x=-4,得A(-4,),B(-4,-),‎ ‎∴|AB|=2=4,‎ ‎∴a=2,∴2a=4.‎ ‎∴C的实轴长为4.‎ ‎3.(2015·安徽)下列双曲线中,焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是(  )‎ A.x2-=1 B.-y2=1‎ C.-x2=1 D.y2-=1‎ 答案 C 解析 由双曲线性质知A、B项双曲线焦点在x轴上,不合题意;C、D项双曲线焦点均在y轴上,但D项渐近线为y=±x,只有C符合,故选C.‎ ‎4.(2016·江苏)在平面直角坐标系xOy中,双曲线-=1的焦距是________.‎ 答案 2 解析 由已知,a2=7,b2=3,则c2=7+3=10,故焦距为2c=2.‎ ‎5.双曲线-y2=1的顶点到其渐近线的距离等于________.‎ 答案  解析 双曲线的一个顶点坐标为(2,0),‎ 一条渐近线方程是y=x,即x-2y=0,‎ 则顶点到渐近线的距离d==.‎ 题型一 双曲线的定义及标准方程 命题点1 利用定义求轨迹方程 例1 已知圆C1:(x+3)2+y2=1和圆C2:(x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为____________________.‎ 答案 x2-=1(x≤-1)‎ 解析 如图所示,设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.‎ 根据两圆外切的条件,‎ 得|MC1|-|AC1|=|MA|,‎ ‎|MC2|-|BC2|=|MB|,‎ 因为|MA|=|MB|,‎ 所以|MC1|-|AC1|=|MC2|-|BC2|,‎ 即|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=2,‎ 所以点M到两定点C1、C2的距离的差是常数且小于|C1C2|=6.‎ 又根据双曲线的定义,得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大,与C1的距离小),‎ 其中a=1,c=3,则b2=8.‎ 故点M的轨迹方程为x2-=1(x≤-1).‎ 命题点2 利用待定系数法求双曲线方程 例2 根据下列条件,求双曲线的标准方程:‎ ‎(1)虚轴长为12,离心率为;‎ ‎(2)焦距为26,且经过点M(0,12);‎ ‎(3)经过两点P(-3,2)和Q(-6,-7).‎ 解 (1)设双曲线的标准方程为 -=1或-=1(a>0,b>0).‎ 由题意知,2b=12,e==.‎ ‎∴b=6,c=10,a=8.‎ ‎∴双曲线的标准方程为-=1或-=1.‎ ‎(2)∵双曲线经过点M(0,12),∴M(0,12)为双曲线的一个顶点,故焦点在y轴上,且a=12.‎ 又2c=26,∴c=13,∴b2=c2-a2=25.‎ ‎∴双曲线的标准方程为-=1.‎ ‎(3)设双曲线方程为mx2-ny2=1(mn>0).‎ ‎∴解得 ‎∴双曲线的标准方程为-=1.‎ 命题点3 利用定义解决焦点三角形问题 例3 已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=2的左,右焦点,点P在C上,|PF1|=2|PF2|,则cos ∠F1PF2=________.‎ 答案  解析 ∵由双曲线的定义有|PF1|-|PF2|‎ ‎=|PF2|=2a=2,‎ ‎∴|PF1|=2|PF2|=4,‎ 则cos∠F1PF2= ‎==.‎ 引申探究 ‎1.本例中将条件“|PF1|=2|PF2|”改为“∠F1PF2=60°”,则△F1PF2的面积是多少?‎ 解 不妨设点P在双曲线的右支上,‎ 则|PF1|-|PF2|=2a=2,‎ 在△F1PF2中,由余弦定理,得 cos∠F1PF2= ‎=,所以|PF1|·|PF2|=8,‎ 所以S△F1PF2=|PF1|·|PF2|sin 60°=2.‎ ‎2.本例中将条件“|PF1|=2|PF2|”改为“·=0”,则△F1PF2的面积是多少?‎ 解 不妨设点P在双曲线的右支上,则|PF1|-|PF2|=2a=2,‎ 由于·=0,所以⊥,‎ 所以在△F1PF2中,有|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,‎ 即|PF1|2+|PF2|2=16,‎ 所以|PF1|·|PF2|=4,‎ 所以S△F1PF2=|PF1|·|PF2|=2.‎ 思维升华 (1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线,进而根据要求可求出双曲线方程;‎ ‎(2)在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,经常结合||PF1|-|PF2||=2a ‎,运用平方的方法,建立与|PF1|·|PF2|的联系.‎ ‎(3)待定系数法求双曲线方程具体过程中先定形,再定量,即先确定双曲线标准方程的形式,然后再根据a,b,c,e及渐近线之间的关系,求出a,b的值,如果已知双曲线的渐近线方程,求双曲线的标准方程,可设有公共渐近线的双曲线方程为-=λ(λ≠0),再由条件求出λ的值即可.‎ ‎ (1)已知F1,F2为双曲线-=1的左,右焦点,P(3,1)为双曲线内一点,点A在双曲线上,则|AP|+|AF2|的最小值为(  )‎ A.+4 B.-4‎ C.-2 D.+2 ‎(2)设F1,F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左,右焦点,双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|·|PF2|=ab,则该双曲线的离心率为(  )‎ A. B. C. D.3‎ 答案 (1)C (2)B 解析 (1)由题意知,|AP|+|AF2|=|AP|+|AF1|-2a,‎ 要求|AP|+|AF2|的最小值,只需求|AP|+|AF1|的最小值,‎ 当A,P,F1三点共线时,取得最小值,‎ 则|AP|+|AF1|=|PF1|=,‎ ‎∴|AP|+|AF2|的最小值为|AP|+|AF1|-2a=-2.‎ 故选C.‎ ‎(2)不妨设P为双曲线右支上一点,|PF1|=r1,|PF2|=r2.根据双曲线的定义,得r1-r2=2a,‎ 又r1+r2=3b,故r1=,r2=.‎ 又r1·r2=ab,所以·=ab,解得=(负值舍去),故e====,故选B.‎ 题型二 双曲线的几何性质 例4 (1)(2016·浙江)已知椭圆C1:+y2=1(m>1)与双曲线C2:-y2=1(n>0)的焦点重合,e1,e2分别为C1,C2的离心率,则(  )‎ A.m>n且e1e2>1 B.m>n且e1e2<1‎ C.m<n且e1e2>1 D.m<n且e1e2<1‎ ‎(2)(2015·山东)在平面直角坐标系xOy中,双曲线C1:-=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线C2:x2=2py(p>0)交于点O,A,B.若△OAB的垂心为C2的焦点,则C1的离心率为________.‎ 答案 (1)A (2) 解析 (1)由题意可得m2-1=n2+1,即m2=n2+2,‎ 又∵m>0,n>0,故m>n.‎ 又∵e·e=·=·==1+>1,∴e1·e2>1.‎ ‎(2)由题意,不妨设直线OA的方程为y=x,直线OB的方程为y=-x.‎ 由得x2=2p ·x,‎ ‎∴x=,y=,∴A.‎ 设抛物线C2的焦点为F,则F,‎ ‎∴kAF=.‎ ‎∵△OAB的垂心为F,∴AF⊥OB,∴kAF·kOB=-1,‎ ‎∴·=-1,∴=.‎ 设C1的离心率为e,则e2===1+=.‎ ‎∴e=. ‎ 思维升华 双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率,在双曲线-=1(a>0,b>0)中,离心率e与双曲线的渐近线的斜率k=±满足关系式e2=1+k2.‎ ‎ (2016·全国甲卷)已知F1,F2是双曲线E:-=1的左,右焦点,点M在E上,MF1与x轴垂直,sin∠MF2F1=,则E的离心率为(  )‎ A. B. C. D.2‎ 答案 A 解析 离心率e=,由正弦定理得e====.故选A.‎ 题型三 直线与双曲线的综合问题 例5 (2016·兰州模拟)已知椭圆C1的方程为+y2=1,双曲线C2的左,右焦点分别是C1的左,右顶点,而C2的左,右顶点分别是C1的左,右焦点.‎ ‎(1)求双曲线C2的方程;‎ ‎(2)若直线l:y=kx+与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B,且·>2(其中O为原点),求k的取值范围.‎ 解 (1)设双曲线C2的方程为-=1(a>0,b>0),‎ 则a2=4-1=3,c2=4,‎ 再由a2+b2=c2,得b2=1.‎ 故C2的方程为-y2=1.‎ ‎(2)将y=kx+代入-y2=1,‎ 得(1-3k2)x2-6kx-9=0.‎ 由直线l与双曲线C2交于不同的两点,得 ‎∴k2≠且k2<1.①‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 则x1+x2=,x1x2=.‎ ‎∴x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+)(kx2+)=(k2+1)x1x2+k(x1+x2)+2=.‎ 又∵·>2,得x1x2+y1y2>2,‎ ‎∴>2,即>0,‎ 解得0)的离心率等于,直线y=kx-1与双曲线E的右支交于A,B两点.‎ ‎(1)求k的取值范围;‎ ‎(2)若|AB|=6,点C是双曲线上一点,且=m(+),求k,m的值.‎ 解 (1)由得 故双曲线E的方程为x2-y2=1.‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 由 得(1-k2)x2+2kx-2=0.(*)‎ ‎∵直线与双曲线右支交于A,B两点,‎ 故 即所以10,b>0)的焦距为10,点P(2,1)在C的一条渐近线上,则C的方程为(  )‎ A.-=1 B.-=1‎ C.-=1 D.-=1‎ 答案 A 解析 依题意解得∴双曲线C的方程为-=1.‎ ‎2.(2016·全国乙卷)已知方程-=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是(  )‎ A.(-1,3) B.(-1,)‎ C.(0,3) D.(0,)‎ 答案 A 解析 ∵方程-=1表示双曲线,‎ ‎∴(m2+n)·(3m2-n)>0,解得-m20,b>0)的左,右焦点,若在双曲线的右支上存在一点M,使得(+)·=0(其中O为坐标原点),且||=||,则双曲线的离心率为(  )‎ A.-1 B. C. D.+1‎ 答案 D 解析 ∵=-,‎ ‎∴(+)·=(+)·(-)=0,‎ 即2-2=0,∴||=||=c,‎ 在△MF1F2中,边F1F2上的中线等于|F1F2|的一半,可得⊥.‎ ‎∵||=||,‎ ‎∴可设||=λ(λ>0),||=λ,‎ 得(λ)2+λ2=4c2,解得λ=c,‎ ‎∴||=c,||=c,‎ ‎∴根据双曲线定义得2a=||-||=(-1)c,‎ ‎∴双曲线的离心率e==+1.‎ ‎4.(2016·庐江第二中学月考)已知椭圆+=1(a1>b1>0)的长轴长、短轴长、焦距成等比数列,离心率为e1;双曲线-=1(a2>0,b2>0)的实轴长、虚轴长、焦距也成等比数列,离心率为e2,则e1e2等于(  )‎ A. B.1 C. D.2‎ 答案 B 解析 由b=a1c1,得a-c=a1c1,∴e1==.‎ 由b=a2c2,得c-a=a2c2,∴e2==.‎ ‎∴e1e2=×=1.‎ ‎5.(2015·课标全国Ⅰ)已知M(x0,y0)是双曲线C:-y2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点,若·<0,则y0的取值范围是(  )‎ A. B. C. D. 答案 A 解析 由题意知a=,b=1,c=,‎ ‎∴F1(-,0),F2(,0),‎ ‎∴=(--x0,-y0),=(-x0,-y0).‎ ‎∵·<0,∴(--x0)(-x0)+y<0,‎ 即x-3+y<0.∵点M(x0,y0)在双曲线上,‎ ‎∴-y=1,即x=2+2y,‎ ‎∴2+2y-3+y<0,∴-0,b>0)的左焦点,点E是该双曲线的右顶点,过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点,若△ABE是锐角三角形,则该双曲线的离心率e的取值范围是(  )‎ A.(1,+∞) B.(1,2)‎ C.(1,1+) D.(2,1+)‎ 答案 B 解析 由题意易知点F的坐标为(-c,0),A(-c,),B(-c,-),E(a,0),‎ ‎∵△ABE是锐角三角形,∴·>0,‎ 即·=(-c-a,)·(-c-a,-)>0,‎ 整理得3e2+2e>e4,∴e(e3-3e-3+1)<0,‎ ‎∴e(e+1)2(e-2)<0,解得e∈(0,2),又e>1,‎ ‎∴e∈(1,2),故选B.‎ ‎7.(2016·北京)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线为2x+y=0,一个焦点为(,0),则a=________;b=________.‎ 答案 1 2‎ 解析 由2x+y=0,得y=-2x,所以=2.‎ 又c=,a2+b2=c2,解得a=1,b=2.‎ ‎8.(2016·浙江)设双曲线x2-=1的左,右焦点分别为F1,F2,若点P在双曲线上,且△F1PF2‎ 为锐角三角形,则|PF1|+|PF2|的取值范围是________.‎ 答案 (2,8)‎ 解析 如图,由已知可得a=1,b=,c=2,从而|F1F2|=4,由对称性不妨设P在右支上,‎ 设|PF2|=m,‎ 则|PF1|=m+2a=m+2,‎ 由于△PF1F2为锐角三角形,‎ 结合实际意义需满足 解得-1+<m<3,又|PF1|+|PF2|=2m+2,‎ ‎∴2<2m+2<8.‎ ‎9.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线的右支上,且|PF1|=4|PF2|,则此双曲线的离心率e的最大值为________.‎ 答案  解析 由定义,知|PF1|-|PF2|=2a.‎ 又|PF1|=4|PF2|,∴|PF1|=a,|PF2|=a.‎ 在△PF1F2中,由余弦定理,‎ 得cos∠F1PF2==-e2.‎ 要求e的最大值,即求cos∠F1PF2的最小值,‎ ‎∴当cos∠F1PF2=-1时,得e=,‎ 即e的最大值为.‎ ‎10.(2015·课标全国Ⅰ)已知F是双曲线C:x2-=1的右焦点,P是C的左支上一点,A(0,6).当△APF的周长最小时,该三角形的面积为________.‎ 答案 12 解析 设左焦点为F1,|PF|-|PF1|=2a=2,‎ ‎∴|PF|=2+|PF1|,△APF的周长为|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+2+|PF1|,△APF 周长最小即为|AP|+|PF1|最小,当A、P、F1在一条直线时最小,过AF1的直线方程为+=1,与x2-=1联立,解得P点坐标为(-2,2),此时S△APF=S△AF1F-S△F1PF=12.‎ ‎11.中心在原点,焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1,F2,且|F1F2|=2,椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4,离心率之比为3∶7.‎ ‎(1)求这两曲线方程;‎ ‎(2)若P为这两曲线的一个交点,求cos∠F1PF2的值.‎ 解 (1)由已知c=,设椭圆长半轴长,短半轴长分别为a,b,‎ 双曲线实半轴长,虚半轴长分别为m,n,‎ 则 解得a=7,m=3.∴b=6,n=2.‎ ‎∴椭圆方程为+=1,‎ 双曲线方程为-=1.‎ ‎(2)不妨设F1,F2分别为左,右焦点,P是第一象限的一个交点,‎ 则|PF1|+|PF2|=14,|PF1|-|PF2|=6,‎ ‎∴|PF1|=10,|PF2|=4.又|F1F2|=2,‎ ‎∴cos∠F1PF2===. ‎ ‎12.(2016·湖北部分重点中学第一次联考)在面积为9的△ABC中,tan∠BAC=-,且=2,现建立以A点为坐标原点,以∠BAC的平分线所在直线为x轴的平面直角坐标系,如图所示 .‎ ‎(1)求AB,AC所在直线的方程;‎ ‎(2)求以AB,AC所在直线为渐近线且过点D的双曲线的方程;‎ ‎(3)过D分别作AB,AC所在直线的垂线DF,DE(E,F为垂足),求·的值.‎ 解 (1)设∠CAx=α,则由tan∠BAC=tan 2α ‎==-及α为锐角,‎ 得tan α=2,∴AC所在直线方程为y=2x,‎ AB所在直线方程为y=-2x.‎ ‎(2)设所求双曲线的方程为4x2-y2=λ(λ≠0),‎ C(x1,y1),B(x2,y2)(x1>0,x2>0).‎ 由=2,得D(,).‎ ‎∵点D在双曲线上,∴4()2-()2=λ,‎ ‎∴x1x2=λ.①‎ 由tan∠BAC=-,得sin∠BAC=.‎ ‎∵|AB|==x2,|AC|==x1,‎ ‎∴S△ABC=|AB|·|AC|·sin∠BAC ‎=×5x1x2× ‎=2x1x2=9,代入①,‎ 得λ=16,∴双曲线的方程为-=1.‎ ‎(3)由题意知〈,〉=π-∠BAC,‎ ‎∴cos〈,〉=-cos∠BAC=,‎ 设D(x0,y0),则-=1.‎ 又∵点D到AB,AC所在直线距离分别为||=,||=,‎ ‎∴·=||||·cos〈,〉‎ ‎=·×=.‎ ‎*13.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一个焦点是F2(2,0),且b=a.‎ ‎(1)求双曲线C的方程;‎ ‎(2)设经过焦点F2的直线l的一个法向量为(m,1),当直线l与双曲线C的右支交于不同的两点A,B时,求实数m的取值范围,并证明AB中点M在曲线3(x-1)2-y2=3上;‎ ‎(3)设(2)中直线l与双曲线C的右支交于A,B两点,问是否存在实数m,使得∠AOB为锐角?‎ 若存在,请求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.‎ 解 (1)c=2,c2=a2+b2,‎ ‎∴4=a2+3a2,∴a2=1,b2=3,‎ ‎∴双曲线C的方程为x2-=1.‎ ‎(2)l:m(x-2)+y=0,‎ 由 得(3-m2)x2+4m2x-4m2-3=0.‎ 由Δ>0,得4m4+(3-m2)(4m2+3)>0,‎ ‎12m2+9-3m2>0,即m2+1>0恒成立.‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 则x1+x2=,x1x2=.‎ 又∴ ‎∴m2>3,∴m∈(-∞,-)∪(,+∞).‎ ‎∵=,=-+2m=-,‎ ‎∴AB的中点M(,-),‎ ‎∵3(-1)2- ‎=3×- ‎=3×=3,‎ ‎∴M在曲线3(x-1)2-y2=3上.‎ ‎(3)设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 假设存在实数m,使∠AOB为锐角,‎ 则·>0,‎ ‎∴x1x2+y1y2>0.‎ ‎∵y1y2=(-mx1+2m)(-mx2+2m)‎ ‎=m2x1x2-2m2(x1+x2)+4m2,‎ ‎∴(1+m2)x1x2-2m2(x1+x2)+4m2>0,‎ ‎∴(1+m2)(4m2+3)-8m4+4m2(m2-3)>0,‎ 即7m2+3-12m2>0,∴m2<,‎ 与m2>3矛盾,∴不存在实数m,使得∠AOB为锐角.‎
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