高考数学专题复习练习：阶段滚动检测(四)

高考数学专题复习练习：阶段滚动检测(四)

阶段滚动检测(四)‎ 考生注意：‎ ‎1．本试卷分第Ⅰ卷(填空题)和第Ⅱ卷(解答题)两部分，共4页．‎ ‎2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．‎ ‎3．本次考试时间120分钟，满分160分．‎ ‎4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．‎ 第Ⅰ卷 ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上)‎ ‎1．(2016·吉林实验中学)已知集合A＝，B＝，则A∪(∁RB)＝____________.‎ ‎2．(2016·淮安模拟)下列结论正确的个数是________．‎ ‎①已知复数z＝i(1－i)，z在复平面内对应的点位于第四象限；‎ ‎②若x，y是实数，则“x2≠y2”的充要条件是“x≠y或x≠－y”；‎ ‎③命题p：“∃x∈R，x2－x－1>0”的否定綈p：“∀x∈R，x2－x－1≤0”．‎ ‎3．(2016·常州模拟)已知O为坐标原点，点C是线段AB上一点，且A(1,1)，C(2,3)，||＝2||，则向量的坐标是________．‎ ‎4．(2016·云南第一次统一检测)已知函数f(x)的定义域为实数集R，∀x∈R，f(x－90)＝则f(10)－f(－100)的值为________．‎ ‎5．(2015·长沙月考)已知f(x)是定义域为(－1,1)的奇函数，而且f(x)是减函数，如果f(m－2)＋f(2m－3)>0，那么实数m的取值范围是____________．‎ ‎6．设a＝(sin 17°＋cos 17°)，b＝2cos213°－1，c＝，则a，b，c的大小关系是____________．‎ ‎7．(2016·青岛一模)已知数列为等差数列，其前n项和为Sn，若a3＝6，S3＝12，则公差d＝________.‎ ‎8．在锐角三角形ABC中，若a＝7，b＝8，向量m＝(，cos A)，n＝(sin A，－)，且m⊥n，则△ABC的面积为________．‎ ‎9．已知数列满足a1＝1，且an＝an－1＋()n(n≥2且n∈N*)，则数列的通项公式为____________．‎ ‎10．(2016·天津模拟)若不等式2xln x≥－x2＋ax－3对x∈(0，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围是________．‎ ‎11．(2016·镇江模拟)对于一切实数x，令[x]为不大于x的最大整数，则函数f(x)＝[x]称为高斯函数或取整函数．若an＝f()，n∈N*，Sn为数列的前n项和，则S3n＝____________.‎ ‎12．设函数f(x)＝若函数y＝f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是________________．‎ ‎13．(2015·郑州模拟)整数数列{an}满足an＋2＝an＋1－an (n∈N*)，若此数列的前800项的和是2 013，前813项的和是2 000，则其前2 015项的和为________．‎ ‎14．(2016·徐州模拟)已知函数f(x)＝2sin2(＋x)－cos 2x.若关于x的方程f(x)－m＝2在[，]上有解，则实数m的取值范围为________．‎ 第Ⅱ卷 二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎15.(14分)(2016·南京、无锡、扬州联考)已知f(x)＝－3x2＋a(5－a)x＋b.‎ ‎(1)当不等式f(x)＞0的解集为(－1,3)时，求实数a，b的值；‎ ‎(2)若对任意实数a，f(2)＜0恒成立，求实数b的取值范围.‎ ‎16.(14分)(2016·青岛模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a≠b，c＝，cos2A－cos2B＝sin A·cos A－sin Bcos B.‎ ‎(1)求角C的大小；　(2)若sin A＝，求△ABC的面积.‎ ‎17.(14分)(2016·咸阳模拟)已知公差大于零的等差数列的前n项和为Sn，且满足a3·a4＝117，a2＋a5＝22.‎ ‎(1)求通项an；　‎ ‎(2)求Sn的最小值；　‎ ‎(3)若数列是等差数列，且bn＝，求非零常数c.‎ ‎18.(16分)(2016·南京、扬州、泰州三模)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，A>0，ω>0，－<φ<)的部分图象如图所示．‎ ‎(1)求函数f(x)的解析式；　(2)若f(α)＝，求sin(2α＋)的值.‎ ‎19．(16分)(2016·临沂模拟)已知a＝(cos x，sin x)，b＝A(cos 2φ，－sin 2φ)，f(x)＝a·b(A＞0，|φ|＜)的部分图象如图所示，P，Q分别是该图象的最高点和最低点，点P的坐标为(1，A)，点R的坐标为(1,0)，△PRQ的面积为.‎ ‎(1)求A及φ的值；‎ ‎(2)将f(x)的图象向左平移2个单位长度后得到函数g(x)的图象，求函数g(x)的单调减区间．‎ ‎20.(16分)(2016·辽宁重点中学协作体模拟)已知函数f(x)＝.‎ ‎(1)判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性；　‎ ‎(2)若x＞0，证明：(ex－1)ln(x＋1)＞x2.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 答案解析 ‎1．(－∞，1]∪[2，＋∞)‎ 解析　∵∁RB＝＝，‎ ‎∴A∪(∁RB)＝.‎ ‎2．1‎ 解析　①已知复数z＝i(1－i)，z在复平面内对应的点位于第四象限是错误的，因为z＝1＋i，对应点在第一象限；②若x，y是实数，则“x2≠y2”的充要条件是“x≠y或x≠－y”是错误的，因为“x2≠y2”的充要条件是“x≠y且x≠－y”；③命题p：“∃x∈R，x2－x－1>0”的否定綈p：“∀x∈R，x2－x－1≤0”是正确的，存在性命题的否定是全称命题．‎ ‎3．(4,7)‎ 解析　由点C是线段AB上一点，||＝2||，得＝－2.‎ 设点B坐标为(x，y)，则(2－x,3－y)＝－2(1,2)，‎ 即解得 所以向量的坐标是(4,7)．‎ ‎4．－8‎ 解析　因为f(10)＝f(100－90)＝lg 100＝2，‎ f(－100)＝f(－10－90)＝－(－10)＝10，‎ 所以f(10)－f(－100)＝2－10＝－8.‎ ‎5. 解析　∵f(x)是定义域为(－1,1)的奇函数，‎ ‎∴－10可转化为 f(m－2)>－f(2m－3)，‎ ‎∴f(m－2)>f(－2m＋3)，‎ ‎∵f(x)是减函数，‎ ‎∴m－2<－2m＋3，‎ ‎∵　∴10)，则h′(x)＝.‎ 当x∈(0,1)时，h′(x)<0，函数h(x)单调递减；‎ 当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，函数h(x)单调递增，所以h(x)min＝h(1)＝4，‎ 所以a≤h(x)min＝4.故a的取值范围是(－∞，4]．‎ ‎11.n2－n 解析　由题意，当n＝3k，n＝3k＋1，n＝3k＋2时均有an＝f()＝[]＝k，‎ 所以S3n＝0＋0+＋＋…+＋n ‎＝3××(n－1)＋n＝n2－n.‎ ‎12．(－∞，1]∪[4，＋∞)‎ 解析　如图，画出f(x)＝的图象，若使函数y＝f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，则a＋1≤2或a≥4，解得实数a的取值范围是(－∞，1]∪[4，＋∞)．‎ ‎13．－13‎ 解析　由an＋2＝an＋1－an，得an＋2＝an－an－1－an＝－an－1，易得该数列是周期为6的数列，且an＋2＋an－1＝0，S800＝a1＋a2＝2 013，S813＝a1＋a2＋a3＝2 000，‎ ‎∴∴ ‎∴依次可得a5＝－1 000，a6＝13，‎ 由此可知an＋1＋an＋2＋an＋3＋an＋4＋an＋5＋an＋6＝0，∴S2 015＝S5＝－13.‎ ‎14．[0,1]‎ 解析　f(x)＝2sin2(＋x)－cos 2x ‎＝1－cos(＋2x)－cos 2x ‎＝1＋sin 2x－cos 2x ‎＝2sin(2x－)＋1，‎ 又x∈[，]，所以2x－∈[，]，‎ sin(2x－)∈[，1]，所以f(x)的值域为[2,3]，‎ 而f(x)＝m＋2，所以m＋2∈[2,3]，则m∈[0,1]．‎ ‎15．解　(1)f(x)＞0，即－3x2＋a(5－a)x＋b＞0，‎ 所以3x2－a(5－a)x－b＜0，‎ 所以 解得或 ‎(2)f(2)＜0，即－12＋2a(5－a)＋b＜0，‎ 即2a2－10a＋(12－b)＞0对任意实数a恒成立，‎ 所以Δ＝100－8(12－b)＜0恒成立，‎ 所以b＜－.‎ 所以实数b的取值范围为(－∞，－)．‎ ‎16．解　(1)由题意得 －＝sin 2A－sin 2B，‎ 即sin 2A －cos 2A＝sin 2B－cos 2B，‎ 即sin(2A－)＝sin(2B－)．‎ 由a≠b，得A≠B，又A＋B∈(0，π)，‎ 得2A－＋2B－＝π，‎ 即A＋B＝，所以C＝.‎ ‎(2)由c＝，sin A＝，＝，得a＝.‎ 由a＜c，得A＜C，从而cos A＝，‎ 故sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝，‎ 所以△ABC的面积为S＝acsin B＝.‎ ‎17．解　(1)因为数列为等差数列，‎ 所以a3＋a4＝a2＋a5＝22.‎ 又a3·a4＝117，‎ 所以a3，a4是方程x2－22x＋117＝0的两个实根，‎ 又公差d＞0，所以a3＜a4，‎ 所以a3＝9，a4＝13，‎ 所以 所以 所以通项an＝4n－3.‎ ‎(2)由(1)知，a1＝1，d＝4，‎ 所以Sn＝na1＋×d＝2n2－n＝2(n－)2－.‎ 所以当n＝1时，Sn最小，‎ 最小值为S1＝a1＝1.‎ ‎(3)由(2)知，Sn＝2n2－n，‎ 所以bn＝＝，‎ 所以b1＝，b2＝，b3＝.‎ 因为数列是等差数列，‎ 所以2b2＝b1＋b3，‎ 即×2＝＋，‎ 所以2c2＋c＝0，‎ 所以c＝－或c＝0(舍去)，‎ 故c＝－.‎ ‎18．解　(1)由题图可知A＝2，T＝2π，故ω＝1，‎ 所以f(x)＝2sin(x＋φ)．‎ 又因为f()＝2sin(＋φ)＝2且－<φ<，‎ 故φ＝－，‎ 所以f(x)＝2sin(x－)．‎ ‎(2)由f(α)＝，得sin(α－)＝，‎ 所以sin(2α＋)＝sin[2(α－)＋]‎ ‎＝cos[2(α－)]＝1－2sin2(α－)＝－.‎ ‎19．解　(1)因为f(x)＝a·b＝Acos xcos 2φ－Asin xsin 2φ＝Acos (x＋2φ)，‎ 所以函数f(x)的周期T＝＝6.‎ 如图，设直线PQ与x轴的交点为M，则点M是函数f(x)的图象与x轴的一个交点，‎ 由题意得|RM|＝T＝，|PR|＝A，‎ 所以S△PRQ＝2·S△PRM＝2×××A＝，即A＝，‎ 所以P(1，)，f(x)＝cos(x＋2φ)，f(1)＝cos(＋2φ)＝，‎ 即cos(＋2φ)＝1，‎ 所以＋2φ＝2kπ(k∈Z)，‎ 即φ＝－＋kπ(k∈Z)．‎ 因为|φ|＜，所以φ＝－.‎ 综上，A＝，φ＝－.‎ ‎(2)由(1)得f(x)＝cos(x－)．‎ 由题意得g(x)＝cos[(x＋2)－]＝cos(x＋)，‎ 由2kπ≤x＋≤π＋2kπ(k∈Z)，‎ 得6k－1≤x≤6k＋2(k∈Z)，‎ 即函数g(x)的单调减区间为[6k－1,6k＋2](k∈Z)．‎ ‎20．(16分)(1)解　函数f(x)的定义域是(－1,0)∪(0，＋∞)．‎ 对f(x)求导得f′(x)＝，‎ 令g(x)＝－ln(x＋1)，则 当x＞0时，g′(x)＝－＝－＜0.‎ 故g(x)是(0，＋∞)上的减函数，所以g(x)＜g(0)＝0.‎ 所以f′(x)＜0，所以函数f(x)是(0，＋∞)上的减函数．‎ ‎(2)证明　将不等式(ex－1)ln(x＋1)＞x2等价为＞.‎ 因为＝＝，‎ 故原不等式等价于＞，‎ 由(1)知，f(x)＝是(0，＋∞)上的减函数，‎ 故要证原不等式成立，只需证明：当x＞0时，x＜ex－1.‎ 令h(x)＝ex－x－1，则 h′(x)＝ex－1＞0，h(x)是(0，＋∞)上的增函数，‎ 所以h(x)＞h(0)＝0，即x＜ex－1，‎ 故f(x)＞f(ex－1)，‎ 即＞＝.‎ 故原不等式得证．‎