【精品】人教版 九年级下册数学 28

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第 1 页 共 7 页 第二十八章 锐角三角函数 28.1 锐角三角函数 第 3 课时 特殊角的三角函数值 学习目标： 1. 运用三角函数的知识，自主探索，推导出 30°、45°、60°角的三角函数值. 2. 熟记三个特殊锐角的三角函数值，并能准确地加以运用. 重点：运用三角函数的知识，自主探索，推导出 30°、45°、60°角的三角函数值. 难点：熟记三个特殊锐角的三角函数值，并能准确地加以运用. 自主学习 一、知识链接 互余的两角之间的三角函数关系： 若∠A+∠B=90°，则 sin A cos B，cos A sin B，tan A · tan B = . 合作探究 一、要点探究 探究点 1：30°、45°、60°角的三角函数值 合作探究 两块三角尺中有几个不同的锐角？分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正 切值． 【归纳总结】 30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表： 第 2 页 共 7 页 三角函数 30° 45° 60° sin α 1 2 2 2 3 2 cos α 3 2 2 2 1 2 tan α 3 3 1 3 【典例精析】 例 1 求下列各式的值： （1）cos260°+（sin60°）2； （2） cos45 tan 45 . sin 45     提示：cos260°表示(cos60°)2，即(cos60°)×(cos60°). 练一练 计算： (1) sin30°+ cos45°； (2) （sin30°）2+ (cos30°)2－tan45°. 探究点 2：通过三角函数值求角度 第 3 页 共 7 页 例 2 (1) 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 6 ，BC = 3 ，求 ∠A 的度数； (2) 如图，AO 是圆锥的高，OB 是底面半径，AO = 3 OB，求 α 的度数. 练一练 求满足下列条件的锐角 α . (1) 2sin α－ 3 = 0； (2) tan α－1 = 0. 例 3 已知 △ABC 中的 ∠A 与 ∠B 满足 (1－tan A)2 ＋|sin B－ 3 2 |＝0，试判断 △ABC 的形状． 练一练 1. 已知，△ABC 中的∠A 和∠B 满足| tan B－ 3 | ＋ (2 sin A－ 3 )2 ＝0，求∠A， ∠B 的度数. 第 4 页 共 7 页 2. 已知 α 为锐角，且 tan α 是方程 x2 + 2x －3 = 0 的一个根，求 2 sin2α + cos2α － 3 tan (α+15°)的值． 二、课堂小结 当堂检测 1. 3 tan (α+20°)＝1，锐角 α 的度数应是 ( ) A.40° B.30° C.20° D. 10° 2. 已知∠A 为锐角，sin A = 1 2 ，则下列正确的是 ( ) A.cos A = 2 2 B.cos A = 3 2 C. tan A =1 D.tan A = 3 3. 在 △ABC 中，若 2 1 3sin cos 02 2A B         ，则∠C = . 第 5 页 共 7 页 4. 如图，以 O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线 OA 交于点 B，再以 B 为圆心，BO 长 为半径画弧，两弧交于点 C，画射线 OC，则 sin∠AOC 的值为_______. 5.求下列各式的值： (1) 1－2 sin30°cos30°； (2) 3tan30°－tan45°+2sin60°； (3)   30tan 1 60sin1 60cos ； (4) ( ) ( )0202112 sin 45 cos60 1 1 2 .2  - + - + - 6.如图，在△ABC 中，∠A=30°， 3tan 2 32B AC ， ，求 AB 的长度. 参考答案 自主学习 一、知识链接 = = 1 课堂探究 一、要点探究 第 6 页 共 7 页 探究点 1：30°、45°、60°角的三角函数值 合作探究 解：设 30°所对的直角边长为 a，那么斜边长为 2a，另一条直角边长 =  2 22 3 .a a a  ∴ 1sin30 2 2 a a   ， 3 3cos30 2 2 a a   ， 3tan30 .33 a a   ∴ 3 3sin 60 2 2 a a   ， 1cos60 2 2 a a   ， 3tan 60 3.a a   设含 45°角的三角尺的两条直角边长为 a，则斜边长= 2 2 2 .a a a  ∴ 2sin 45 22 a a   ， 2cos45 22 a a   ，tan 45 1.a a   【典例精析】 例 1 解：（1）cos260°+（sin60°）2 221 3 1.2 2             （2） cos45 2 2tan 45 1 0.2 2sin 45         练一练 解：（1）原式 = 1 2 1 2 .2 2 2   （2）原式 = 221 3 1 0.2 2              探究点 2：通过三角函数值求角度 例 2 解：（1）在图中，∴ 3 2sin 26 BCA AB    ，∴∠A=45°. （2）在图中，∵ tan α = 3 3AO OB BO OB   ，∴ α = 60°. 练一练 解：（1）sin α = 3 2 ，∴ α = 60°.（2）tan α =1，∴ α = 45°. 例 3 解：∵ (1－tan A)2 ＋ | sin B－ 3 2 |＝0，∴ tan A＝1，sin B＝ 3 2 ． ∴ ∠A＝45°， ∠B＝60°，∴∠C＝180°－45°－60°＝75°，∴ △ABC 是锐角三角形． 练一练 1.解：∵| tan B－ 3 | ＋ (2 sin A－ 3 )2 ＝0， ∴ tan B＝ 3 ，sin A＝ 3 2 ， ∴ ∠B＝60°，∠A＝60°. 第 7 页 共 7 页 2. 解：解方程 x2 + 2x － 3 = 0，得 x1 = 1，x2 = －3. ∵ α为锐角，tan α ＞0，∴ tan α =1.∴ α = 45°. ∴ 2 sin2α + cos2α－ 3 tan(α+15°)=2sin245°+cos245° 3 tan60° 2 2 2 22 + 3 32 2                 3.2   当堂检测 1. D 2.B 3.120° 4. 3 2 5.解：(1) 31 2  (2) 2 3 1 (3)2 (4) 3 4 6. 解：过点 C 作 CD⊥AB 于点 D.∵∠A=30°， 2 3AC  ， ∴ 1sin 2 CDA AC   ， 3cos 2 ADA AC   .∴ 1 2 3 32CD    ， 3 2 3 32AD    . 3tan 2 CDB BD   ， 23 2. 3 BD    ∴ AB = AD + BD = 3 + 2 = 5.