2021高考数学一轮复习专练36基本不等式含解析理新人教版
专练36 基本不等式
命题范围：基本不等式及其应用
[基础强化]
一、选择题
1．函数y＝2x＋的最小值为( )
A．1 B．2
C．2 D．4
2．[2020·天水一中高三测试]若a>0，b>0且2a＋b＝4，则的最小值为( )
A．2 B.
C．4 D.
3．下列结论正确的是( )
A．当x>0且x≠1时，lgx＋≥2
B．当x∈时，sinx＋的最小值为4
C．当x>0时，＋≥2
D．当0
0，y>0，x＋2y＝1，则的最大值为( )
A. B.
C. D.
6．已知a>0，b>0，c>0，且a2＋b2＋c2＝4，则ab＋bc＋ac的最大值为( )
A．8 B．4
C．2 D．1
7．若直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1,1)，则a＋b的最小值等于( )
A．2 B．3
C．4 D．5
8．[2020·兰州一中高三测试]若向量a＝(x－1,2)，b＝(4，y)，a与b相互垂直，则9x＋3y的最小值为( )
A．12 B．2
C．3 D．6
9．[2020·宝鸡中学高三测试]当x>0时，x＋(a>0)的最小值为3，则实数a的值为( )
A．4 B．－4
C．2 D．－2
二、填空题
10．已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋的最小值为________．
11．已知函数f(x)＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝________.
12．[2020·山东聊城一中高三测试]已知a>0，b>0,3a＋b＝2ab，则a＋b的最小值为________．
[能力提升]
13．[2020·合肥一中高三测试]若a，b都是正数，则的最小值为( )
A．7 B．8
C．9 D．10
14．若对于任意的x>0，不等式≤a恒成立，则实数a的取值范围为( )
A．a≥ B．a>
C．a< D．a≤
15．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．
16．[2019·天津卷]设x>0，y>0，x＋2y＝5，则的最小值为________．
专练36 基本不等式
1．C 因为2x>0，所以y＝2x＋≥2＝2，当且仅当2x＝，即x＝时取“＝”．故选C.
2．B ∵a>0，b>0，∴4＝2a＋b≥2(当且仅当2a＝b，即：a＝1，b＝2时等号成立)，∴00，b>0，∴a＝，由a>0，得b>3.∴a＋b＝b＋＝b＋＝(b－3)＋＋7≥2＋7＝4＋7，即a＋b的最小值为7＋4.
5．C x＋2y＝1⇒y＝，则＝.
∵x>0，y>0，x＋2y＝1，
∴00，b>0)过点(1,1)，所以＋＝1.所以a＋b＝(a＋b)·＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝2时取“＝”，故选C.
8．D ∵a⊥b，∴a·b＝(x－1,2)·(4，y)＝4(x－1)＋2y＝0，即2x＋y＝2，
∴9x＋3y＝32x＋3y≥2＝2＝6，当且仅当2x＝y＝1时取等号，∴9x＋3y的最小值为6.
9．A x＋＝x＋1＋－1≥2－1＝2－1，由2－1＝3，得a＝4.
10.
解析：∵a－3b＋6＝0，∴ a－3b＝－6，∴ 2a＋＝2a＋2－3b≥2＝2＝2＝.当且仅当2a＝2－3b，即a＝－3，b＝1时，2a＋取得最小值为.
11．36
解析：∵x>0，a>0，∴4x＋≥2＝4，
当且仅当4x＝，即：x＝时等号成立，由＝3，a＝36.
12．2＋
解析：由3a＋b＝2ab，得＋＝1，
∴a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝2＋(当且仅当＝即b＝a时等号成立)．
13．C ＝5＋＋≥5＋2＝9(当且仅当＝即b＝2a时等号成立)．
14．A ∵＝，∵x>0，∴x＋≥2(当且仅当x＝即x＝1时等号成立)，
∴≤，由题意得a≥.
15．30
解析：一年的总运费为6×＝(万元)．
一年的总存储费用为4x万元．
总运费与总存储费用的和为万元．
因为＋4x≥2＝240，当且仅当＝4x，即x＝30时取得等号，
所以当x＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小．
16．4
解析：本题主要考查基本不等式的应用，考查的核心素养是数学运算、逻辑推理．
＝＝＝2＋.由x＋2y＝5得5≥2，即≤，即xy≤，当且仅当x＝2y＝时等号成立. 2＋≥2＝4，当且仅当2＝，即xy＝3时取等号，结合xy≤可知，xy可以取到3，故的最小值为4.
