安徽省定远县重点中学2020届高三4月模拟考试数学（文）试题

安徽省定远县重点中学2020届高三4月模拟考试数学（文）试题

定远重点中学2020届高三下学期4月模拟考试 文科数学 本卷满分150分，考试用时120分钟。‎ 第I卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分)‎ ‎1.已知集合，集合，则 A. B. C. D. ‎ ‎2.已知是虚数单位，复数，若，则 ‎ A. 0 B. ‎2 C. D. 1‎ ‎3.‎2019年1月1日，济南轨道交通号线试运行，济南轨道交通集团面向广大市民开展“参观体验，征求意见”活动，市民可以通过济南地铁APP抢票，小陈抢到了三张体验票，准备从四位朋友小王，小张，小刘，小李中随机选择两位与自己一起去参加体验活动，则小王被选中的概率为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎4.等比数列的各项均为实数，其前项和为,己知,则= ‎ A. 32 B. ‎16 C. 4 D. 64‎ ‎5.根据某校10位高一同学的身高(单位：cm)画出的茎叶图（图1），其中左边的数字从左到右分别表示学生身高的百位数字和十位数字，右边的数字表示学生身高的个位数字，设计一个程序框图（图2），用表示第个同学的身高，计算这些同学身高的方差，则程序框图①中要补充的语句是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎6.若对圆上任意一点， 的取值与无关，则实数的取值范围是 A. B. C. 或 D. ‎ ‎7.函数的图象大致是 ‎8.已知平面向量、，满足，若，则向量、的夹角为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎9.椭圆的左、右顶点分别为，点在椭圆上，且直线斜率的取值范围是，则直线斜率的取值范围是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎10.在正方体中，E是侧面内的动点，且平面，则直线与直线AB所成角的正弦值的最小值是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎11.定义在Ｒ上的连续函数满足，且时，恒成立，则不等式的解集为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎12.已知关于的方程在区间上有两个根，且，则实数的取值范围是 ‎ A. B. C. D. ‎ 第II卷（非选择题 90分）‎ 二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分) ‎ ‎13.某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量（毫克/升）与时间（小时）的关系为．如果在前小时消除了的污染物，那么污染物减少需要花费的时间为______小时．‎ ‎14.已知变量满足约束条件，若不等式恒成立，则实数的最大值为 __________．‎ ‎15.如图，正方形的边长为，点分别在边上， 且．将此正方形沿切割得到四个三角形，现用这四个三角形作为一个三棱锥的四个面，则该三棱锥的内切球的体积为________．‎ ‎16.已知双曲线的左右焦点分别为，过点的直线交双曲线右支于两点，若是以为直角顶点的等腰三角形，则的面积为__________．‎ 三、解答题(本大题共6小题，共70分。解答应写需给出文字说明，证明过程或演算步骤。) ‎ ‎17. （本小题满分12分）某城市的公交公司为了方便市民出行，科学规划车辆投放，在一个人员密集流动地段增设一个起点站，为了研究车辆发车间隔时间x与乘客等候人数y之间的关系，经过调查得到如下数据：‎ 调查小组先从这6组数据中选取4组数据求线性回归方程，再用剩下的2组数据进行检验．检验方法如下：先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数，再求与实际等候人数y的差，若差值的绝对值不超过1，则称所求方程是“恰当回归方程”．‎ ‎（1）若选取的是后面4组数据，求y关于x的线性回归方程，并判断此方程是否是“恰当回归方程”；‎ ‎（2）为了使等候的乘客不超过35人，试用（1）中方程估计间隔时间最多可以设置为多少（精确到整数）分钟？‎ 附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），……，（xn，yn），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：‎ ‎18. （本小题满分12分）已知数列{an}的前n项和Sn=n2-5n（n∈N+）．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列{}的前n项和Tn．‎ ‎19. （本小题满分12分）如图，边长为2的正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC边的中点，将，分别沿DE，DF折起，使得A，C两点重合于点M．‎ 求证：；‎ 求三棱锥的体积．‎ ‎20. （本小题满分12分）设函数 .‎ ‎（Ⅰ）讨论函数的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若函数的极大值点为，证明：.‎ ‎21. （本小题满分12分）动点在抛物线上，过点作垂直于 轴，垂足为，设.‎ ‎（Ⅰ）求点的轨迹的方程；‎ ‎（Ⅱ）设点，过点的直线交轨迹于两点，直线的斜率分别为，求的最小值．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，注意：只能做选定的题目，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，已知曲线： （为参数），以原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）过点，且与直线平行的直线交曲线于， 两点，求点到， 两点的距离之积．‎ ‎23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数 ‎(1)当时，求不等式的解集；‎ ‎(2)若函数与的图像恒有公共点，求实数的取值范围.‎ 参考答案 ‎1.A 2.A 3.B 4.A 5.B 6.D 7.A 8.C 9.A 10.B 11.A 12.D ‎13. 14. 15. 16.‎ ‎17.【解析】（1）由后面四组数据求得，，‎ ‎，，‎ ‎∴＝，‎ ‎．‎ ‎∴．‎ 当x＝10时，，而23.6﹣23＝0.6＜1；‎ 当x＝11时，，而25﹣25＝0＜1．‎ ‎∴求出的线性回归方程是“恰当回归方程”；‎ ‎（2）由1.4x+9.6≤35，得x．故间隔时间最多可设置为18分钟．‎ ‎18.（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）因为，‎ 所以,时,‎ 也适合，所以 ‎ ‎（2）因为， ‎ 所以 ‎ ‎ 两式作差得： ‎ 化简得，‎ 所以.‎ ‎19. 证明：（1）在正方形ABCD中，，，‎ 在三棱锥中，有，，且，‎ 面MEF，则；‎ 解：（2）、F分别是边长为2的正方形ABCD中AB、BC边的中点，‎ ‎，‎ ‎，‎ 由（1）知，．‎ ‎20.解：（Ⅰ）的定义域为，，‎ 当时，，则函数在区间单调递增；‎ 当时，由得，由得.‎ 所以，在区间上单调递减，在区间上单调递增；‎ 当时，由得，由得，‎ 所以，函数在区间上单调递增，在区间单调递减.‎ 综上所述，当时，函数在区间单调递增；‎ 当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增；‎ 当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知且时，解得.，‎ 要证，即证，即证：.‎ 令 ，则 .‎ 令，易见函数在区间上单调递增.‎ 而，，‎ 所以在区间上存在唯一的实数，使得，‎ 即，且时，时.‎ 故在上递减，在上递增.‎ ‎∴ .‎ 又，∴ .‎ ‎∴成立，即成立.‎ ‎21.（Ⅰ）； （Ⅱ）1‎ 解析：（Ⅰ）设点，则由得，因为点在抛物线上， ‎ ‎（Ⅱ）方法一：由已知，直线的斜率一定存在，设点，设方程为，‎ 联立得 由韦达定理得 ‎ ‎（1）当直线经过点即或时，当时，直线的斜率看作抛物线在点处的切线斜率，则，此时；当时，同理可得. ‎ ‎（2）当直线不经过点即且时，， ‎ 所以的最小值为. ‎ 方法二：同上 ‎ ‎ ‎ ‎ 故，所以的最小值为 ‎ 方法三：设点，由直线过点交轨迹于两点得：‎ 化简整理得： ‎ ‎，令，则 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎22.解析：（1）由题知，曲线化为普通方程为，由，得，所以直线的直角坐标方程为 ‎．‎ ‎（2）由题知，直线的参数方程为（为参数），‎ 代入曲线： 中，化简，得，‎ 设， 两点所对应的参数分别为， ，则，所以．‎ ‎23.（1）（2）‎ 解析：（1）当时， ‎ 由的不等式的解集为 ‎（2）由二次函数该函数在处取得最小值2，‎ 因为在处取得最大值,‎ 所以要使二次函数与函数的图像恒有公共点，只需