2014年湖北省高考数学试卷（文科）

2014年湖北省高考数学试卷（文科）

‎2014年湖北省高考数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合A={1，3，5，6}，则∁UA=（　　）‎ A．{1，3，5，6} B．{2，3，7} C．{2，4，7} D．{2，5，7}‎ ‎2．（5分）i为虚数单位，（）2=（　　）‎ A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i ‎3．（5分）命题“∀x∈R，x2≠x”的否定是（　　）‎ A．∀x∉R，x2≠x B．∀x∈R，x2=x C．∃x∉R，x2≠x D．∃x∈R，x2=x ‎4．（5分）若变量x，y满足约束条件，则2x+y的最大值是（　　）‎ A．2 B．4 C．7 D．8‎ ‎5．（5分）随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为p1，点数之和大于5的概率记为p2，点数之和为偶数的概率记为p3，则（　　）‎ A．p1＜p2＜p3 B．p2＜p1＜p3 C．p1＜p3＜p2 D．p3＜p1＜p2‎ ‎6．（5分）根据如下样本数据：‎ x ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ y ‎4.0‎ ‎2.5‎ ‎﹣0.5‎ ‎0.5‎ ‎﹣2.0‎ ‎﹣3.0‎ 得到了回归方程=x+，则（　　）‎ A．＞0，＜0 B．＞0，＞0 C．＜0，＜0 D．＜0，＞0‎ ‎7．（5分）在如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz中，一个四面体的顶点坐标分别为（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2），给出的编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（　　）‎ A．①和② B．③和① C．④和③ D．④和②‎ ‎8．（5分）设a，b是关于t的方程t2cosθ+tsinθ=0的两个不等实根，则过A（a，a2），B（b，b2）两点的直线与双曲线﹣=1的公共点的个数为（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎9．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣3x，则函数g（x）=f（x）﹣x+3的零点的集合为（　　）‎ A．{1，3} B．{﹣3，﹣1，1，3} C．{2﹣，1，3} D．{﹣2﹣，1，3}‎ ‎10．（5分）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.‎ ‎11．（5分）甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测，若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为　 　件．‎ ‎12．（5分）若向量=（1，﹣3），||=||，•=0，则||=　 　．‎ ‎13．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，a=1，b=，则B=　 　．‎ ‎14．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入n的值为4，则输出S的值为　 　．‎ ‎15．（5分）如图所示，函数y=f（x）的图象由两条射线和三条线段组成，若∀x∈R，f（x）＞f（x﹣1），则正实数a的取值范围为　 　．‎ ‎16．（5分）某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F（单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时）与车流速度v（假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒）、平均车长l（单位：米）的值有关，其公式为F=．‎ ‎（Ⅰ）如果不限定车型，l=6.05，则最大车流量为　 　辆/小时；‎ ‎（Ⅱ）如果限定车型，l=5，则最大车流量比（Ⅰ）中的最大车流量增加　 　辆/小时．‎ ‎17．（5分）已知圆O：x2+y2=1和点A（﹣2，0），若定点B（b，0）（b≠‎ ‎﹣2）和常数λ满足：对圆O上任意一点M，都有|MB|=λ|MA|，则：‎ ‎（Ⅰ）b=　 　；‎ ‎（Ⅱ）λ=　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎18．（12分）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：f（t）=10﹣cost﹣sint，t∈[0，24）．‎ ‎（Ⅰ）求实验室这一天上午8时的温度；‎ ‎（Ⅱ）求实验室这一天的最大温差．‎ ‎19．（12分）已知等差数列{an}满足：a1=2，且a1，a2，a5成等比数列．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）记Sn为数列{an}的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn＞60n+800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．‎ ‎20．（13分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F、P、Q、M、N分别是棱AB、AD、DD1、BB1、A1B1、A1D1的中点，求证：‎ ‎（Ⅰ）直线BC1∥平面EFPQ；‎ ‎（Ⅱ）直线AC1⊥平面PQMN．‎ ‎21．（14分）π为圆周率，e=2.71828…为自然对数的底数．‎ ‎（Ⅰ）求函数f（x）=的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）求e3，3e，eπ，πe，3π，π3这6个数中的最大数与最小数．‎ ‎22．（14分）在平面直角坐标系xOy中，点M到点F（1，0）的距离比它到y轴的距离多1，记点M的轨迹为C．‎ ‎（Ⅰ）求轨迹C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设斜率为k的直线l过定点P（﹣2，1），求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围．‎ ‎　‎ ‎2014年湖北省高考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合A={1，3，5，6}，则∁UA=（　　）‎ A．{1，3，5，6} B．{2，3，7} C．{2，4，7} D．{2，5，7}‎ ‎【分析】根据全集U以及A，求出A的补集即可．‎ ‎【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合A={1，3，5，6}，‎ ‎∴∁UA={2，4，7}．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）i为虚数单位，（）2=（　　）‎ A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i ‎【分析】由条件里哦也难怪两个复数代数形式的乘除法法则，虚数单位i的幂运算性质，计算求得结果．‎ ‎【解答】解：（）2===﹣1，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）命题“∀x∈R，x2≠x”的否定是（　　）‎ A．∀x∉R，x2≠x B．∀x∈R，x2=x C．∃x∉R，x2≠x D．∃x∈R，x2=x ‎【分析】‎ 根据全称命题的否定是特称命题，利用特称命题写出命题的否定命题．‎ ‎【解答】解：根据全称命题的否定是特称命题，‎ ‎∴命题的否定是：∃x0∈R，=x0．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了全称命题的否定，要注意命题的否定与命题的否命题是两个完全不同的命题，全称命题的否定是特称命题．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）若变量x，y满足约束条件，则2x+y的最大值是（　　）‎ A．2 B．4 C．7 D．8‎ ‎【分析】本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最大值．‎ ‎【解答】解：满足约束条件的可行域如下图中阴影部分所示：‎ ‎∵目标函数Z=2x+y，‎ ‎∴ZO=0，ZA=4，ZB=7，ZC=4，‎ 故2x+y的最大值是7，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为p1，点数之和大于5的概率记为p2，点数之和为偶数的概率记为p3，则（　　）‎ A．p1＜p2＜p3 B．p2＜p1＜p3 C．p1＜p3＜p2 D．p3＜p1＜p2‎ ‎【分析】首先列表，然后根据表格点数之和不超过5，点数之和大于5，点数之和为偶数情况，再根据概率公式求解即可．‎ ‎【解答】解：列表得：‎ ‎（1，6）‎ ‎ （2，6）‎ ‎（3，6）‎ ‎（4，6）‎ ‎（5，6）‎ ‎（6，6）‎ ‎（1，5）‎ ‎（2，5）‎ ‎（3，5）‎ ‎（4，5）‎ ‎（5，5）‎ ‎（6，5）‎ ‎（1，4）‎ ‎（2，4）‎ ‎（3，4）‎ ‎（4，4）‎ ‎（5，4）‎ ‎（6，4）‎ ‎（1，3）‎ ‎（2，3）‎ ‎（3，3）‎ ‎（4，3）‎ ‎（5，3）‎ ‎（6，3）‎ ‎（1，2）‎ ‎（2，2）‎ ‎（3，2）‎ ‎（4，2）‎ ‎（5，2）‎ ‎（6，2）‎ ‎（1，1）‎ ‎（2，1）‎ ‎（3，1）‎ ‎（4，1）‎ ‎（5，1）‎ ‎（6，1）‎ ‎∴一共有36种等可能的结果，‎ ‎∴两个骰子点数之和不超过5的有10种情况，点数之和大于5的有26种情况，点数之和为偶数的有18种情况，‎ ‎∴向上的点数之和不超过5的概率记为p1=，点数之和大于5的概率记为p2=，点数之和为偶数的概率记为p3=，‎ ‎∴p1＜p3＜p2‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了树状图法与列表法求概率．注意树状图法与列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）根据如下样本数据：‎ x ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ y ‎4.0‎ ‎2.5‎ ‎﹣0.5‎ ‎0.5‎ ‎﹣2.0‎ ‎﹣3.0‎ 得到了回归方程=x+，则（　　）‎ A．＞0，＜0 B．＞0，＞0 C．＜0，＜0 D．＜0，＞0‎ ‎【分析】利用公式求出b，a，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：样本平均数=5.5，=0.25，‎ ‎∴=﹣24.5，=17.5，∴b=﹣=﹣1.4，‎ ‎∴a=0.25﹣（﹣1.4）•5.5=7.95，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查线性回归方程的求法，考查最小二乘法，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）在如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz中，一个四面体的顶点坐标分别为（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2），给出的编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（　　）‎ A．①和② B．③和① C．④和③ D．④和②‎ ‎【分析】在坐标系中，标出已知的四个点，根据三视图的画图规则，可得结论．‎ ‎【解答】解：在坐标系中，标出已知的四个点，根据三视图的画图规则，可得三棱锥的正视图和俯视图分别为④②，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查三视图的画法，做到心中有图形，考查空间想象能力，是基础题．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）设a，b是关于t的方程t2cosθ+tsinθ=0的两个不等实根，则过A（a，a2），B（b，b2）两点的直线与双曲线﹣=1的公共点的个数为（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【分析】求出过A（a，a2），B（b，b2）两点的直线为y=﹣x，结合双曲线的渐近线方程，可得结论．‎ ‎【解答】解：∵a，b是关于t的方程t2cosθ+tsinθ=0的两个不等实根，‎ ‎∴a+b=﹣，ab=0，‎ 过A（a，a2），B（b，b2）两点的直线为y﹣a2=（x﹣a），即y=（b+a）x﹣ab，‎ 即y=﹣x，‎ ‎∵双曲线﹣=1的一条渐近线方程为y=﹣x，‎ ‎∴过A（a，a2），B（b，b2）两点的直线与双曲线﹣=1的公共点的个数为0．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】‎ 本题考查双曲线的方程与性质，考查直线与双曲线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣3x，则函数g（x）=f（x）﹣x+3的零点的集合为（　　）‎ A．{1，3} B．{﹣3，﹣1，1，3} C．{2﹣，1，3} D．{﹣2﹣，1，3}‎ ‎【分析】首先根据f（x）是定义在R上的奇函数，求出函数在R上的解析式，再求出g（x）的解析式，根据函数零点就是方程的解，问题得以解决．‎ ‎【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣3x，‎ 令x＜0，则﹣x＞0，‎ ‎∴f（﹣x）=x2+3x=﹣f（x）‎ ‎∴f（x）=﹣x2﹣3x，‎ ‎∴‎ ‎∵g（x）=f（x）﹣x+3‎ ‎∴g（x）=‎ 令g（x）=0，‎ 当x≥0时，x2﹣4x+3=0，解得x=1，或x=3，‎ 当x＜0时，﹣x2﹣4x+3=0，解得x=﹣2﹣，‎ ‎∴函数g（x）=f（x）﹣x+3的零点的集合为{﹣2﹣，1，3}‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查函数的奇偶性及其应用，考查函数的零点，函数方程思想．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据近似公式V≈L2h，建立方程，即可求得结论．‎ ‎【解答】解：设圆锥底面圆的半径为r，高为h，则L=2πr，‎ ‎∴=（2πr）2h，‎ ‎∴π=．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查圆锥体积公式，考查学生的阅读理解能力，属于基础题．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.‎ ‎11．（5分）甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测，若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为　1800　件．‎ ‎【分析】根据样本容量为80，可得抽取的比例，再求得样本中由乙设备生产的产品数，乙设备生产的产品总数=．‎ ‎【解答】解：∵样本容量为80，∴抽取的比例为=，‎ 又样本中有50件产品由甲设备生产，∴样本中30件产品由乙设备生产，‎ ‎∴乙设备生产的产品总数为30×60=1800．‎ 故答案为：1800．‎ ‎【点评】本题考查了分层抽样方法，熟练掌握分层抽样方法的特征是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）若向量=（1，﹣3），||=||，•=0，则||=　　．‎ ‎【分析】利用向量模的计算公式、向量垂直与数量积的关系即可得出．‎ ‎【解答】解：设=（x，y），∵向量=（1，﹣3），||=||，•=0，‎ ‎∴，解得或．‎ ‎∴=（3，1），（﹣3，﹣1）．‎ ‎∴==（2，4）或（﹣4，2）．‎ ‎∴=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了向量模的计算公式、向量垂直与数量积的关系，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎13．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，a=1，b=，则B=　或　．‎ ‎【分析】利用正弦定理列出关系式，将a，sinA，b的值代入求出sinB的值，即可确定出B的度数．‎ ‎【解答】解：∵在△ABC中，A=，a=1，b=，‎ ‎∴由正弦定理=得：sinB===，‎ ‎∵a＜b，∴A＜B，‎ ‎∴B=或．‎ 故答案为：或．‎ ‎【点评】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入n的值为4，则输出S的值为　40　．‎ ‎【分析】由图知，每次进入循环体后，S的值被施加的运算是S=S+2k+k，故由此运算规律进行计算，当k=5时不满足条件k≤4，退出循环，输出S的值为40．‎ ‎【解答】解：由题意，模拟执行程序，可得：‎ n=4，k=1，S=0‎ 满足条件k≤4，S=0+21+1=3，k=2‎ 满足条件k≤4，S=3+22+2=9，k=3‎ 满足条件k≤4，S=9+23+3=20，k=4‎ 满足条件k≤4，S=20+24+4=40，k=5‎ 不满足条件k≤4，退出循环，输出S的值为40．‎ 故答案为：40．‎ ‎【点评】本题考查循环结构，已知运算规则与运算次数，求最后运算结果，是算法中一种常见的题型，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）如图所示，函数y=f（x）的图象由两条射线和三条线段组成，若∀x∈R，f（x）＞f（x﹣1），则正实数a的取值范围为　（0，）　．‎ ‎【分析】由已知中的函数图象可得f（4a）=a，f（﹣4a）=﹣a，若∀x∈R，f（x）＞‎ f（x﹣1），则，解不等式可得正实数a的取值范围．‎ ‎【解答】解：由已知可得：a＞0，‎ 且f（4a）=a，f（﹣4a）=﹣a，‎ 若∀x∈R，f（x）＞f（x﹣1），‎ 则，解得a＜，‎ 故正实数a的取值范围为：（0，），‎ 故答案为：（0，）‎ ‎【点评】本题考查的知识点是函数的图象，其中根据已知分析出不等式组，是解答的关键．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F（单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时）与车流速度v（假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒）、平均车长l（单位：米）的值有关，其公式为F=．‎ ‎（Ⅰ）如果不限定车型，l=6.05，则最大车流量为　1900　辆/小时；‎ ‎（Ⅱ）如果限定车型，l=5，则最大车流量比（Ⅰ）中的最大车流量增加　100　辆/小时．‎ ‎【分析】（Ⅰ）把l带入，分子分母同时除以v，利用基本不等式求得F的最大值．‎ ‎（Ⅱ）把l带入，分子分母同时除以v，利用基本不等式求得F的最大值最后于（Ⅰ）中最大值作差即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）F==，‎ ‎∵v+≥2=22，当v=11时取最小值，‎ ‎∴F=≤1900，‎ 故最大车流量为：1900辆/小时；‎ ‎（Ⅱ）F===，‎ ‎∵v+≥2=20，‎ ‎∴F≤2000，‎ ‎2000﹣1900=100（辆/小时）‎ 故最大车流量比（Ⅰ）中的最大车流量增加100辆/小时．‎ 故答案为：1900，100‎ ‎【点评】本题主要考查了基本不等式的性质．基本不等式应用时，注意“一正，二定，三相等”必须满足．‎ ‎　‎ ‎17．（5分）已知圆O：x2+y2=1和点A（﹣2，0），若定点B（b，0）（b≠﹣2）和常数λ满足：对圆O上任意一点M，都有|MB|=λ|MA|，则：‎ ‎（Ⅰ）b=　﹣　；‎ ‎（Ⅱ）λ=　　．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用|MB|=λ|MA|，可得（x﹣b）2+y2=λ2（x+2）2+λ2y2，由题意，取（1，0）、（﹣1，0）分别代入，即可求得b；‎ ‎（Ⅱ）取（1，0）、（﹣1，0）分别代入，即可求得λ．‎ ‎【解答】解：解法一：设点M（cosθ，sinθ），则由|MB|=λ|MA|得（cosθ﹣b）2+sin2θ=λ2[（cosθ+2）2+sin2θ]，即 ‎﹣2bcosθ+b2+1=4λ2cosθ+5λ2对任意θ都成立，所以．又由|MB|=λ|MA|得λ＞0，且b≠﹣2，解得．‎ 解法二：（Ⅰ）设M（x，y），则 ‎∵|MB|=λ|MA|，‎ ‎∴（x﹣b）2+y2=λ2（x+2）2+λ2y2，‎ 由题意，取（1，0）、（﹣1，0）分别代入可得（1﹣b）2=λ2（1+2）2，（﹣1﹣b）2=λ2（﹣1+2）2，‎ ‎∴b=﹣，λ=．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知λ=．‎ 故答案为：﹣，．‎ ‎【点评】本题考查圆的方程，考查赋值法的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎18．（12分）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：f（t）=10﹣cost﹣sint，t∈[0，24）．‎ ‎（Ⅰ）求实验室这一天上午8时的温度；‎ ‎（Ⅱ）求实验室这一天的最大温差．‎ ‎【分析】（Ⅰ）直接根据f（t）的解析式求得f（8）的值．‎ ‎（Ⅱ）根据f（t）=10﹣2sin（+t），t∈[0，24），求得函数f（t）取得最大值和最小值，从而得到这一天的最大温差．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵f（t）=10﹣cost﹣sint，t∈[0，24）．‎ ‎∴f（8）=10﹣cos﹣sin=10﹣×（﹣）﹣=10，‎ 故实验室这一天上午8时的温度为10℃．‎ ‎（Ⅱ）∵f（t）=10﹣cost﹣sint=10﹣2sin（+t），t∈[0，24）．‎ ‎∴＜+t＜，故当+t=，即t=14时，函数f（t）取得最大值为10+2=12，‎ 当+t=，即t=2时，函数f（t）取得最小值为10﹣2=8，‎ 故实验室这一天的最大温差为12﹣8=4℃．‎ ‎【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象特征，正弦函数的值域，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）已知等差数列{an}满足：a1=2，且a1，a2，a5成等比数列．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）记Sn为数列{an}的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn＞60n+800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．‎ ‎【分析】（Ⅰ）设出数列的公差，利用等比中项的性质建立等式求得d，则数列的通项公式可得．‎ ‎（Ⅱ）利用（Ⅰ）中数列的通项公式，表示出Sn根据Sn＞60n+800，解不等式根据不等式的解集来判断．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设数列{an}的公差为d，依题意，2，2+d，2+4d成比数列，故有（2+d）2=2（2+4d），‎ 化简得d2﹣4d=0，解得d=0或4，‎ 当d=0时，an=2，‎ 当d=4时，an=2+（n﹣1）•4=4n﹣2．‎ ‎（Ⅱ）当an=2时，Sn=2n，显然2n＜60n+800，‎ 此时不存在正整数n，使得Sn＞60n+800成立，‎ 当an=4n﹣2时，Sn==2n2，‎ 令2n2＞60n+800，即n2﹣30n﹣400＞0，‎ 解得n＞40，或n＜﹣10（舍去），‎ 此时存在正整数n，使得Sn＞60n+800成立，n的最小值为41，‎ 综上，当an=2时，不存在满足题意的正整数n，‎ 当an=4n﹣2时，存在满足题意的正整数n，最小值为41‎ ‎【点评】‎ 本题主要考查了等差数列和等比数列的性质．要求学生对等差数列和等比数列的通项公式，求和公式熟练记忆．‎ ‎　‎ ‎20．（13分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F、P、Q、M、N分别是棱AB、AD、DD1、BB1、A1B1、A1D1的中点，求证：‎ ‎（Ⅰ）直线BC1∥平面EFPQ；‎ ‎（Ⅱ）直线AC1⊥平面PQMN．‎ ‎【分析】（Ⅰ）要证直线BC1∥平面EFPQ，只需证BC1∥FP，且BC1⊄平面EFPQ即可，由AD1∥BC1，FP∥AD1即可证出；‎ ‎（Ⅱ）要证直线AC1⊥平面PQMN，只需证出MN⊥AC1，且PN⊥AC1即可．‎ ‎【解答】证明：（Ⅰ）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，连接AD1，‎ ‎∵AD1∥BC1，且F、P分别是AD、DD1的中点，‎ ‎∴FP∥AD1，∴BC1∥FP，‎ 又FP⊂平面EFPQ，且BC1⊄平面EFPQ，‎ ‎∴直线BC1∥平面EFPQ；‎ ‎（Ⅱ）连接AC、BD，B1D1，则AC⊥BD，‎ ‎∵CC1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，‎ ‎∴CC1⊥BD；‎ 又AC∩CC1=C，∴BD⊥平面ACC1，‎ 又AC1⊂平面ACC1，∴BD⊥AC1；‎ 又∵M、N分别是A1B1、A1D1的中点，‎ ‎∴MN∥B1D1，‎ 又B1D1∥BD，∴MN∥BD，‎ ‎∴MN⊥AC1；‎ 又PN∥A1D，A1D⊥AD1，C1D1⊥平面ADD1A1，‎ ‎∴C1D1⊥AD1，‎ 且AD1∩C1D1=D1，‎ ‎∴A1D⊥平面AC1D1，‎ ‎∴A1D⊥AC1，‎ ‎∴PN⊥AC1；‎ 又PN∩MN=N，∴直线AC1⊥平面PQMN．‎ ‎【点评】本题考查了证明空间中的线面平行与线面垂直的问题，解题时应明确空间中的线面平行、线面垂直的判定方法是什么，也考查了逻辑思维能力与空间想象能力，是基础题．‎ ‎　‎ ‎21．（14分）π为圆周率，e=2.71828…为自然对数的底数．‎ ‎（Ⅰ）求函数f（x）=的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）求e3，3e，eπ，πe，3π，π3这6个数中的最大数与最小数．‎ ‎【分析】第（Ⅰ）问中，先根据分式求导法则，再解对数不等式即可；‎ 第（Ⅱ）问中，可先将6个数分组，比较各组内数的大小后，再比较组与组之间的数的大小，而数的大小比较，可以考虑函数y=lnx，y=ex，y=πx的单调性．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．‎ 由f（x）=得．‎ 当f′（x）＞0，即0＜x＜e时，f（x）单调递增；‎ 当f′（x）＜0，即x＞e时，f（x）单调递减，‎ 所以函数f（x）的单调递增区间为（0，e），单调递减区间为（e，+∞）．‎ ‎（Ⅱ）∵e＜3＜π，∴eln3＜elnπ，πlne＜πln3，‎ 从而有ln3e＜lnπe，lneπ＜ln3π．‎ 于是，根据函数y=lnx，y=ex，y=πx在定义域上单调递增，‎ 可得3e＜πe＜π3，e3＜eπ＜3π，‎ ‎∴这6个数的最大数在π3与3π之中，最小数在3e与e3之中．‎ 由（Ⅰ）知，f（x）=在[e，+∞）上单调递减，‎ ‎∴即 得∴‎ 综上可知，6个数中的最大数是3π，最小数是3e．‎ ‎【点评】1、求单调区间时，先写出函数的定义域，为后面取区间时作参考．‎ ‎2、利用指数函数、对数函数的单调性比较数的大小时，应注意以下几个要点：‎ ‎（1）寻找同底的指数式或对数式；‎ ‎（2）分清是递增还是递减；‎ ‎（3）把自变量的值放到同一个单调区间上．‎ ‎　‎ ‎22．（14分）在平面直角坐标系xOy中，点M到点F（1，0）的距离比它到y轴的距离多1，记点M的轨迹为C．‎ ‎（Ⅰ）求轨迹C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设斜率为k的直线l过定点P（﹣2，1），求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围．‎ ‎【分析】（Ⅰ）设出M点的坐标，直接由题意列等式，整理后即可得到M的轨迹C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设出直线l的方程为y﹣1=k（x+2），和（Ⅰ）中的轨迹方程联立化为关于y的一元二次方程，求出判别式，再在直线y﹣1=k（x+2）中取y=0得到．然后分判别式小于0、等于0、大于0结合x0＜‎ ‎0求解使直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设M（x，y），依题意得：|MF|=|x|+1，即，‎ 化简得，y2=2|x|+2x．‎ ‎∴点M的轨迹C的方程为；‎ ‎（Ⅱ）在点M的轨迹C中，记C1：y2=4x（x≥0），C2：y=0（x＜0）．‎ 依题意，可设直线l的方程为y﹣1=k（x+2）．‎ 由方程组，可得ky2﹣4y+4（2k+1）=0．‎ ‎①当k=0时，此时y=1，把y=1代入轨迹C的方程，得．‎ 故此时直线l：y=1与轨迹C恰好有一个公共点（）．‎ ‎②当k≠0时，方程ky2﹣4y+4（2k+1）=0的判别式为△=﹣16（2k2+k﹣1）．‎ 设直线l与x轴的交点为（x0，0），‎ 则由y﹣1=k（x+2），取y=0得．‎ 若，解得k＜﹣1或k＞．‎ 即当k∈时，直线l与C1没有公共点，与C2有一个公共点，‎ 故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点．‎ 若或，解得k=﹣1或k=或．‎ 即当k=﹣1或k=时，直线l与C1只有一个公共点，与C2有一个公共点．‎ 当时，直线l与C1有两个公共点，与C2无公共点．‎ 故当k=﹣1或k=或时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点．‎ 若，解得﹣1＜k＜﹣或0＜k＜．‎ 即当﹣1＜k＜﹣或0＜k＜时，直线l与C1有两个公共点，与C2有一个公共点．‎ 此时直线l与C恰有三个公共点．‎ 综上，当k∈∪{0}时，直线l与C恰有一个公共点；‎ 当k∪{﹣1，}时，直线l与C恰有两个公共点；‎ 当k∈时，直线l与轨迹C恰有三个公共点．‎ ‎【点评】本题考查轨迹方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，体现了分类讨论的数学思想方法，重点是做到正确分类，是中档题．‎ ‎　‎