2014年湖北省高考数学试卷(理科)

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文档介绍

2014年湖北省高考数学试卷(理科)

‎2014年湖北省高考数学试卷(理科)‎ ‎ ‎ 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.(5分)i为虚数单位,()2=(  )‎ A.﹣1 B.1 C.﹣i D.i ‎2.(5分)若二项式(2x+)7的展开式中的系数是84,则实数a=(  )‎ A.2 B. C.1 D.‎ ‎3.(5分)设U为全集,A,B是集合,则“存在集合C使得A⊆C,B⊆∁UC”是“A∩B=∅”的(  )‎ A.充分而不必要的条件 B.必要而不充分的条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎4.(5分)根据如下样本数据,得到回归方程=bx+a,则(  )‎ x ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ y ‎4.0‎ ‎2.5‎ ‎﹣0.5‎ ‎0.5‎ ‎﹣2.0‎ ‎﹣3.0‎ A.a>0,b>0 B.a>0,b<0 C.a<0,b>0 D.a<0,b<0‎ ‎5.(5分)在如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz中,一个四面体的顶点坐标分别为(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2),给出的编号为①,②,③,④的四个图,则该四面体的正视图和俯视图分别为(  )‎ A.①和② B.③和① C.④和③ D.④和②‎ ‎6.(5分)若函数f(x),g(x)满足 f(x)g(x)dx=0,则f(x),g(x)为区间[﹣1,1]上的一组正交函数,给出三组函数:‎ ‎①f(x)=sinx,g(x)=cosx;‎ ‎②f(x)=x+1,g(x)=x﹣1;‎ ‎③f(x)=x,g(x)=x2,‎ 其中为区间[﹣1,1]上的正交函数的组数是(  )‎ A.0 B.1 C.2 D.3‎ ‎7.(5分)由不等式组确定的平面区域记为Ω1,不等式组确定的平面区域记为Ω2,在Ω1中随机取一点,则该点恰好在Ω2内的概率为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎8.(5分)《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:置如其周,令相乘也,又以高乘之,三十六成一,该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h,计算其体积V的近似公式V≈L2h,它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3,那么,近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎9.(5分)已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点.且∠F1PF2=,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为(  )‎ A. B. C.3 D.2‎ ‎10.(5分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=(|x﹣a2|+|x﹣2a2|﹣3a2),若∀x∈R,f(x﹣1)≤f(x),则实数a的取值范围为(  )‎ A.[﹣,] B.[﹣,] C.[﹣,] D.[﹣,]‎ ‎ ‎ 二、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分.‎ ‎11.(5分)设向量=(3,3),=(1,﹣1),若(+λ)⊥(﹣λ),则实数λ=  .‎ ‎12.(5分)直线l1:y=x+a和l2:y=x+b将单位圆C:x2+y2=1分成长度相等的四段弧,则a2+b2=  .‎ ‎13.(5分)设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字三位数,将组成a的3个数字按从小到大排成的三位数记为I(a),按从大到小排成的三位数记为D(a)(例如a=815,则I(a)=158,D(a)=851),阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,任意输入一个a,输出的结果b=  .‎ ‎ ‎ 三、解答题 ‎14.设f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,且f(x)>0,对任意a>0,b>0,若经过点(a,f(a)),(b,﹣f(b))的直线与x轴的交点为(c,0),则称c为关于函数f(x)的平均数,记为Mf(a,b),例如,当f(x)=1(x>0)时,可得Mf(a,b)=c=,即Mf(a,b)为a,b的算术平均数.‎ ‎(1)当f(x)=  (x>0)时,Mf(a,b)为a,b的几何平均数;‎ ‎(2)当f(x)=  (x>0)时,Mf(a,b)为a,b的调和平均数;‎ ‎(以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)‎ ‎15.如图,P为⊙O外一点,过P点作⊙O的两条切线,切点分别为A,B,过PA的中点Q作割线交⊙O于C,D两点,若QC=1,CD=3,则PB=  .‎ ‎16.已知曲线C1的参数方程是(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是ρ=2,则C1与C2交点的直角坐标为  .‎ ‎17.(11分)某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t(单位:h)的变化近似满足函数关系:‎ f(t)=10﹣,t∈[0,24)‎ ‎(Ⅰ)求实验室这一天的最大温差;‎ ‎(Ⅱ)若要求实验室温度不高于11℃,则在哪段时间实验室需要降温?‎ ‎18.(12分)已知等差数列{an}满足:a1=2,且a1,a2,a5成等比数列.‎ ‎(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)记Sn为数列{an}的前n项和,是否存在正整数n,使得Sn>60n+800?若存在,求n的最小值;若不存在,说明理由.‎ ‎19.(12分)如图,在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E,F,M,N分别是棱AB,AD,A1B1,A1D1的中点,点P,Q分别在棱DD1,BB1上移动,且DP=BQ=λ(0<λ<2)‎ ‎(Ⅰ)当λ=1时,证明:直线BC1∥平面EFPQ;‎ ‎(Ⅱ)是否存在λ,使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角?若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.‎ ‎20.(12分)计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站,过去50年的水文资料显示,水库年入流量X(年入流量:一年内上游来水与库区降水之和.单位:亿立方米)都在40以上,其中,不足80的年份有10年,不低于80且不超过120的年份有35年,超过120的年份有5年,将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率,假设各年的年入流量相互独立.‎ ‎(Ⅰ)求未来4年中,至多有1年的年入流量超过120的概率;‎ ‎(Ⅱ)水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制,并有如下关系:‎ 年入流量X ‎40<X<80‎ ‎80≤X≤120‎ X>120‎ 发电机最多可运行台数 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 若某台发电机运行,则该台年利润为5000万元,若某台发电机未运行,则该台年亏损800万元,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机多少台?‎ ‎21.(14分)在平面直角坐标系xOy中,点M到点F(1,0)的距离比它到y轴的距离多1,记点M的轨迹为C.‎ ‎(Ⅰ)求轨迹C的方程;‎ ‎(Ⅱ)设斜率为k的直线l过定点P(﹣2,1),求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围.‎ ‎22.(14分)π为圆周率,e=2.71828…为自然对数的底数.‎ ‎(Ⅰ)求函数f(x)=的单调区间;‎ ‎(Ⅱ)求e3,3e,eπ,πe,3π,π3这6个数中的最大数和最小数;‎ ‎(Ⅲ)将e3,3e,eπ,πe,3π,π3这6个数按从小到大的顺序排列,并证明你的结论.‎ ‎ ‎ ‎2014年湖北省高考数学试卷(理科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.(5分)(2014•湖北)i为虚数单位,()2=(  )‎ A.﹣1 B.1 C.﹣i D.i ‎【分析】可先计算出的值,再计算平方的值.‎ ‎【解答】解:由于,所以,()2=(﹣i)2=﹣1‎ 故选A.‎ ‎ ‎ ‎2.(5分)(2014•湖北)若二项式(2x+)7的展开式中的系数是84,则实数a=(  )‎ A.2 B. C.1 D.‎ ‎【分析】利用二项式定理的展开式的通项公式,通过x幂指数为﹣3,求出a即可.‎ ‎【解答】解:二项式(2x+)7的展开式即(+2x)7的展开式中x﹣3项的系数为84,‎ 所以Tr+1==,‎ 令﹣7+2r=﹣3,解得r=2,‎ 代入得:,‎ 解得a=1,‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎3.(5分)(2014•湖北)设U为全集,A,B是集合,则“存在集合C使得A⊆C,B⊆∁UC”是“A∩B=∅”的(  )‎ A.充分而不必要的条件 B.必要而不充分的条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【分析】通过集合的包含关系,以及充分条件和必要条件的判断,推出结果.‎ ‎【解答】解:由题意A⊆C,则∁UC⊆∁UA,当B⊆∁UC,可得“A∩B=∅”;若“A∩B=∅”能推出存在集合C使得A⊆C,B⊆∁UC,‎ ‎∴U为全集,A,B是集合,则“存在集合C使得A⊆C,B⊆∁UC”是“A∩B=∅”的充分必要的条件.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎4.(5分)(2014•湖北)根据如下样本数据,得到回归方程=bx+a,则(  )‎ x ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ y ‎4.0‎ ‎2.5‎ ‎﹣0.5‎ ‎0.5‎ ‎﹣2.0‎ ‎﹣3.0‎ A.a>0,b>0 B.a>0,b<0 C.a<0,b>0 D.a<0,b<0‎ ‎【分析】通过样本数据表,容易判断回归方程中,b、a的符号.‎ ‎【解答】解:由题意可知:回归方程经过的样本数据对应的点附近,是减函数,所以b<0,且回归方程经过(3,4)与(4,3.5)附近,所以a>0.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎5.(5分)(2014•湖北)在如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz中,一个四面体的顶点坐标分别为(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2),给出的编号为①,②,③,④的四个图,则该四面体的正视图和俯视图分别为(  )‎ A.①和② B.③和① C.④和③ D.④和②‎ ‎【分析】在坐标系中,标出已知的四个点,根据三视图的画图规则,可得结论.‎ ‎【解答】解:在坐标系中,标出已知的四个点,根据三视图的画图规则,可得三棱锥的正视图和俯视图分别为④②,‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎6.(5分)(2014•湖北)若函数f(x),g(x)满足f(x)g(x)dx=0,则f(x),g(x)为区间[﹣1,1]上的一组正交函数,给出三组函数:‎ ‎①f(x)=sinx,g(x)=cosx;‎ ‎②f(x)=x+1,g(x)=x﹣1;‎ ‎③f(x)=x,g(x)=x2,‎ 其中为区间[﹣1,1]上的正交函数的组数是(  )‎ A.0 B.1 C.2 D.3‎ ‎【分析】利用新定义,对每组函数求积分,即可得出结论.‎ ‎【解答】解:对于①:[sinx•cosx]dx=(sinx)dx=﹣cosx=0,∴f(x),g(x)为区间[﹣1,1]上的一组正交函数;‎ 对于②:(x+1)(x﹣1)dx=(x2﹣1)dx=()≠0,∴f(x),g(x)不是区间[﹣1,1]上的一组正交函数;‎ 对于③:x3dx=()=0,∴f(x),g(x)为区间[﹣1,1]‎ 上的一组正交函数,‎ ‎∴正交函数有2组,‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎7.(5分)(2014•湖北)由不等式组确定的平面区域记为Ω1,不等式组确定的平面区域记为Ω2,在Ω1中随机取一点,则该点恰好在Ω2内的概率为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域,求出对应的面积,利用几何槪型的概率公式即可得到结论.‎ ‎【解答】解:平面区域Ω1,为三角形AOB,面积为,‎ 平面区域Ω2,为△AOB内的四边形BDCO,‎ 其中C(0,1),‎ 由,解得,即D(,),‎ 则三角形ACD的面积S==,‎ 则四边形BDCO的面积S=,‎ 则在Ω1中随机取一点,则该点恰好在Ω2内的概率为,‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎8.(5分)(2014•湖北)《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:置如其周,令相乘也,又以高乘之,三十六成一,该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h,计算其体积V的近似公式V≈L2h,它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3,那么,近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】根据近似公式V≈L2h,建立方程,即可求得结论.‎ ‎【解答】解:设圆锥底面圆的半径为r,高为h,则L=2πr,‎ ‎∴=(2πr)2h,‎ ‎∴π=.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎9.(5分)(2014•湖北)已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点.且∠F1PF2=,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为(  )‎ A. B. C.3 D.2‎ ‎【分析】根据双曲线和椭圆的性质和关系,结合余弦定理即可得到结论.‎ ‎【解答】解:设椭圆的长半轴为a,双曲线的实半轴为a1,(a>a1‎ ‎),半焦距为c,‎ 由椭圆和双曲线的定义可知,‎ 设|PF1|=r1,|PF2|=r2,|F1F2|=2c,‎ 椭圆和双曲线的离心率分别为e1,e2‎ ‎∵∠F1PF2=,‎ ‎∴由余弦定理可得4c2=(r1)2+(r2)2﹣2r1r2cos,①‎ 在椭圆中,①化简为即4c2=4a2﹣3r1r2,‎ 即,②‎ 在双曲线中,①化简为即4c2=4a12+r1r2,‎ 即,③‎ 联立②③得,=4,‎ 由柯西不等式得(1+)()≥(1×+)2,‎ 即()=‎ 即,d当且仅当时取等号,‎ 法2:设椭圆的长半轴为a1,双曲线的实半轴为a2,(a1>a2),半焦距为c,‎ 由椭圆和双曲线的定义可知,‎ 设|PF1|=r1,|PF2|=r2,|F1F2|=2c,‎ 椭圆和双曲线的离心率分别为e1,e2‎ ‎∵∠F1PF2=,‎ ‎∴由余弦定理可得4c2=(r1)2+(r2)2﹣2r1r2cos=(r1)2+(r2)2﹣r1r2,‎ 由,得,‎ ‎∴=,‎ 令m===,‎ 当时,m,‎ ‎∴,‎ 即的最大值为,‎ 法3:设PF1|=m,|PF2|=n,则,‎ 则a1+a2=m,‎ 则=,‎ 由正弦定理得=,‎ 即=sin(120°﹣θ)≤=‎ 故选:A ‎ ‎ ‎10.(5分)(2014•湖北)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=(|x﹣a2|+|x﹣2a2|﹣3a2),若∀x∈R,f(x﹣1)≤f(x),则实数a的取值范围为(  )‎ A.[﹣,] B.[﹣,] C.[﹣,] D.[﹣,]‎ ‎【分析】把x≥0时的f(x)改写成分段函数,求出其最小值,由函数的奇偶性可得x<0时的函数的最大值,由对∀x∈R,都有f(x﹣1)≤f(x),可得2a2﹣(﹣4a2)≤1,求解该不等式得答案.‎ ‎【解答】解:当x≥0时,‎ f(x)=,‎ 由f(x)=x﹣3a2,x>2a2,得f(x)>﹣a2;‎ 当a2<x≤2a2时,f(x)=﹣a2;‎ 由f(x)=﹣x,0≤x≤a2,得f(x)≥﹣a2.‎ ‎∴当x>0时,.‎ ‎∵函数f(x)为奇函数,‎ ‎∴当x<0时,.‎ ‎∵对∀x∈R,都有f(x﹣1)≤f(x),‎ ‎∴2a2﹣(﹣4a2)≤1,解得:.‎ 故实数a的取值范围是.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ 二、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分.‎ ‎11.(5分)(2014•湖北)设向量=(3,3),=(1,﹣1),若(+λ)⊥(﹣λ),则实数λ= ±3 .‎ ‎【分析】根据向量垂直与向量坐标之间的关系建立方程关系,即可得到结论.‎ ‎【解答】解:∵向量=(3,3),=(1,﹣1),‎ ‎∴向量||=3,||=,向量•=3﹣3=0,‎ 若(+λ)⊥(﹣λ),‎ 则(+λ)•(﹣λ)=,‎ 即18﹣2λ2=0,‎ 则λ2=9,‎ 解得λ=±3,‎ 故答案为:±3,‎ ‎ ‎ ‎12.(5分)(2014•湖北)直线l1:y=x+a和l2:y=x+b将单位圆C:x2+y2=1分成长度相等的四段弧,则a2+b2= 2 .‎ ‎【分析】由题意可得,圆心(0,0)到两条直线的距离相等,且每段弧长都是圆周的,即==cos45°,由此求得a2+b2的值.‎ ‎【解答】解:由题意可得,圆心(0,0)到两条直线的距离相等,且每段弧长都是圆周的,‎ ‎∴==cos45°=,∴a2+b2=2,‎ 故答案为:2.‎ ‎ ‎ ‎13.(5分)(2014•湖北)设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字三位数,将组成a的3个数字按从小到大排成的三位数记为I(a),按从大到小排成的三位数记为D(a)(例如a=815,则I(a)=158,D(a)=851),阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,任意输入一个a,输出的结果b= 495 .‎ ‎【分析】给出一个三位数的a值,实验模拟运行程序,直到满足条件,确定输出的a值,可得答案.‎ ‎【解答】解:由程序框图知:例当a=123,第一次循环a=123,b=321﹣123=198;‎ 第二次循环a=198,b=981﹣189=792;‎ 第三次循环a=792,b=972﹣279=693;‎ 第四次循环a=693,b=963﹣369=594;‎ 第五次循环a=594,b=954﹣459=495;‎ 第六次循环a=495,b=954﹣459=495,‎ 满足条件a=b,跳出循环体,输出b=495.‎ 故答案为:495.‎ ‎ ‎ 三、解答题 ‎14.(2014•湖北)设f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,且f(x)>0,对任意a>0,b>0,若经过点(a,f(a)),(b,﹣f(b))的直线与x轴的交点为(c,0),则称c为关于函数f(x)的平均数,记为Mf(a,b),例如,当f(x)=1(x>0)时,可得Mf(a,b)=c=,即Mf(a,b)为a,b的算术平均数.‎ ‎(1)当f(x)=  (x>0)时,Mf(a,b)为a,b的几何平均数;‎ ‎(2)当f(x)= x (x>0)时,Mf(a,b)为a,b的调和平均数;‎ ‎(以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)‎ ‎【分析】(1)设f(x)=,(x>0),在经过点(a,)、(b,﹣)的直线方程中,令y=0,求得x=c=,‎ 从而得出结论.‎ ‎(2)设f(x)=x,(x>0),在经过点(a,a)、(b,﹣b)的直线方程中,令y=0,求得x=c=,从而得出结论.‎ ‎【解答】解:(1)设f(x)=,(x>0),则经过点(a,)、(b,﹣)的直线方程为=,‎ 令y=0,求得x=c=,‎ ‎∴当f(x)=,(x>0)时,Mf(a,b)为a,b的几何平均数,‎ 故答案为:.‎ ‎(2)设f(x)=x,(x>0),则经过点(a,a)、(b,﹣b)的直线方程为=,‎ 令y=0,求得x=c=,‎ ‎∴当f(x)=x(x>0)时,Mf(a,b)为a,b的调和平均数,‎ 故答案为:x.‎ ‎ ‎ ‎15.(2014•湖北)如图,P为⊙O外一点,过P点作⊙O的两条切线,切点分别为A,B,过PA的中点Q作割线交⊙O于C,D两点,若QC=1,CD=3,则PB= 4 .‎ ‎【分析】利用切割线定理可得QA2=QC•QD,可求QA,可得PA,利用圆的切线长定理,可得PB.‎ ‎【解答】解:∵QA是⊙O的切线,‎ ‎∴QA2=QC•QD,‎ ‎∵QC=1,CD=3,‎ ‎∴QA2=4,‎ ‎∴QA=2,‎ ‎∴PA=4,‎ ‎∵PA,PB是⊙O的切线,‎ ‎∴PB=PA=4.‎ 故答案为:4.‎ ‎ ‎ ‎16.(2014•湖北)已知曲线C1的参数方程是 ‎(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是ρ=2,则C1与C2交点的直角坐标为 (,1) .‎ ‎【分析】把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程,再把两曲线的方程联立方程组求得 C1与C2交点的直角坐标.‎ ‎【解答】解:把曲线C1的参数方程是(t为参数),‎ 消去参数化为直角坐标方程为x2=3y2 (x≥0,y≥0),即 y=x (x≥0).‎ 曲线C2的极坐标方程是ρ=2,化为直角坐标方程为x2+y2=4.‎ 解方程组 ,再结合x>0、y>0,求得 ,∴C1与C2交点的直角坐标为(,1),‎ 故答案为:(,1).‎ ‎ ‎ ‎17.(11分)(2014•湖北)某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t(单位:h)的变化近似满足函数关系:‎ f(t)=10﹣,t∈[0,24)‎ ‎(Ⅰ)求实验室这一天的最大温差;‎ ‎(Ⅱ)若要求实验室温度不高于11℃,则在哪段时间实验室需要降温?‎ ‎【分析】(Ⅰ)利用两角和差的正弦公式化简函数解析式为f(t)10﹣2sin(t+),t∈[0,24),利用正弦函数的定义域和值域求得f(x)的最大值及最小值,可得实验室这一天的最大温差.‎ ‎(Ⅱ)由题意可得,当f(t)>11时,需要降温,由f(t)>11,求得sin(t+)<﹣,即 <t+<,解得t的范围,可得结论.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)∵f(t)=10﹣=10﹣2sin(t+),t∈[0,24),‎ ‎∴≤t+<,故当t+=时,及t=14时,函数取得最大值为10+2=12,‎ 当t+=时,即t=2时,函数取得最小值为10﹣2=8,‎ 故实验室这一天的最大温差为12﹣8=4℃.‎ ‎(Ⅱ)由题意可得,当f(t)>11时,需要降温,由(Ⅰ)可得f(t)=10﹣2sin(t+),‎ 由10﹣2sin(t+)>11,求得sin(t+)<﹣,即 <t+<,‎ 解得10<t<18,即在10时到18时,需要降温.‎ ‎ ‎ ‎18.(12分)(2014•湖北)已知等差数列{an}满足:a1=2,且a1,a2,a5成等比数列.‎ ‎(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)记Sn为数列{an}的前n项和,是否存在正整数n,使得Sn>60n+800?若存在,求n的最小值;若不存在,说明理由.‎ ‎【分析】(Ⅰ)设出数列的公差,利用等比中项的性质建立等式求得d,则数列的通项公式可得.‎ ‎(Ⅱ)利用(Ⅰ)中数列的通项公式,表示出Sn根据Sn>60n+800,解不等式根据不等式的解集来判断.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)设数列{an}的公差为d,依题意,2,2+d,2+4d成比数列,故有(2+d)2=2(2+4d),‎ 化简得d2﹣4d=0,解得d=0或4,‎ 当d=0时,an=2,‎ 当d=4时,an=2+(n﹣1)•4=4n﹣2.‎ ‎(Ⅱ)当an=2时,Sn=2n,显然2n<60n+800,‎ 此时不存在正整数n,使得Sn>60n+800成立,‎ 当an=4n﹣2时,Sn==2n2,‎ 令2n2>60n+800,即n2﹣30n﹣400>0,‎ 解得n>40,或n<﹣10(舍去),‎ 此时存在正整数n,使得Sn>60n+800成立,n的最小值为41,‎ 综上,当an=2时,不存在满足题意的正整数n,‎ 当an=4n﹣2时,存在满足题意的正整数n,最小值为41‎ ‎ ‎ ‎19.(12分)(2014•湖北)如图,在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E,F,M,N分别是棱AB,AD,A1B1,A1D1的中点,点P,Q分别在棱DD1,BB1上移动,且DP=BQ=λ(0<λ<2)‎ ‎(Ⅰ)当λ=1时,证明:直线BC1∥平面EFPQ;‎ ‎(Ⅱ)是否存在λ,使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角?若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.‎ ‎【分析】(Ⅰ)建立坐标系,求出=2,可得BC1∥FP,利用线面平行的判定定理,可以证明直线BC1∥平面EFPQ;‎ ‎(Ⅱ)求出平面EFPQ的一个法向量、平面MNPQ的一个法向量,利用面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角,建立方程,即可得出结论.‎ ‎【解答】(Ⅰ)证明:以D为原点,射线DA,DC,DD1分别为x,y,z轴的正半轴,建立坐标系,则B(2,2,0),C1(0,2,2),E(2,1,0),F(1,0,0),P(0,0,λ),‎ ‎∴=(﹣2,0,2),=(﹣1,0,λ),=(1,1,0)‎ λ=1时,=(﹣2,0,2),=(﹣1,0,1),‎ ‎∴=2,‎ ‎∴BC1∥FP,‎ ‎∵FP⊂平面EFPQ,BC1⊄平面EFPQ,‎ ‎∴直线BC1∥平面EFPQ;‎ ‎(Ⅱ)设平面EFPQ的一个法向量为=(x,y,z),则,‎ ‎∴取=(λ,﹣λ,1).‎ 同理可得平面MNPQ的一个法向量为=(λ﹣2,2﹣λ,1),‎ 若存在λ,使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角,则 ‎•=λ(λ﹣2)﹣λ(2﹣λ)+1=0,∴λ=1±.‎ ‎∴存在λ=1±,使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角.‎ ‎ ‎ ‎20.(12分)(2014•湖北)计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站,过去50年的水文资料显示,水库年入流量X(年入流量:一年内上游来水与库区降水之和.单位:亿立方米)都在40以上,其中,不足80的年份有10年,不低于80且不超过120的年份有35年,超过120的年份有5年,将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率,假设各年的年入流量相互独立.‎ ‎(Ⅰ)求未来4年中,至多有1年的年入流量超过120的概率;‎ ‎(Ⅱ)水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制,并有如下关系:‎ 年入流量X ‎40<X<80‎ ‎80≤X≤120‎ X>120‎ 发电机最多可运行台数 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 若某台发电机运行,则该台年利润为5000万元,若某台发电机未运行,则该台年亏损800万元,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机多少台?‎ ‎【分析】(Ⅰ)先求出年入流量X的概率,根据二项分布,求出未来4年中,至少有1年的年入流量超过120的概率;‎ ‎(Ⅱ)分三种情况进行讨论,分别求出一台,两台,三台的数学期望,比较即可得到.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)依题意,p1=P(40<X<80)=,,,‎ 由二项分布,未来4年中,至多有1年的年入流量超过120的概率为 ‎=‎ ‎(Ⅱ)记水电站的总利润为Y(单位,万元)‎ ‎(1)安装1台发电机的情形,‎ 由于水库年入流总量大于40,故一台发电机运行的概率为1,对应的年利润Y=5000,E(Y)=5000×1=5000,‎ ‎(2)安装2台发电机的情形,‎ 依题意,当 40<X<80时,一台发电机运行,此时Y=5000﹣800=4200,‎ 因此P(Y=4200)=P(40<X<80)=p1=,‎ 当X≥80时,两台发电机运行,此时Y=5000×2=10000,因此,P(Y=10000)=P(X≥80)=P2+P3=0.8,‎ 由此得Y的分布列如下 Y ‎4200‎ ‎10000‎ P ‎0.2‎ ‎0.8‎ 所以E(Y)=4200×0.2+10000×0.8=8840.‎ ‎(3)安装3台发电机的情形,‎ 依题意,当 40<X<80时,一台发电机运行,此时Y=5000﹣1600=3400,‎ 因此P(Y=3400)=P(40<X<80)=p1=0.2,‎ 当80≤X≤120时,两台发电机运行,此时Y=5000×‎ ‎2﹣800=9200,因此,P(Y=9200)=P(80≤X≤120)=p2=0.7,‎ 当X>120时,三台发电机运行,此时Y=5000×3=15000,因此,P(Y=15000)=P(X>120)=p3=0.1,‎ 由此得Y的分布列如下 Y ‎3400‎ ‎9200‎ ‎15000‎ P ‎0.2‎ ‎0.7‎ ‎0.1‎ 所以E(Y)=3400×0.2+9200×0.7+15000×0.1=8620.‎ 综上,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机2台.‎ ‎ ‎ ‎21.(14分)(2014•湖北)在平面直角坐标系xOy中,点M到点F(1,0)的距离比它到y轴的距离多1,记点M的轨迹为C.‎ ‎(Ⅰ)求轨迹C的方程;‎ ‎(Ⅱ)设斜率为k的直线l过定点P(﹣2,1),求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围.‎ ‎【分析】(Ⅰ)设出M点的坐标,直接由题意列等式,整理后即可得到M的轨迹C的方程;‎ ‎(Ⅱ)设出直线l的方程为y﹣1=k(x+2),和(Ⅰ)中的轨迹方程联立化为关于y的一元二次方程,求出判别式,再在直线y﹣1=k(x+2)中取y=0得到.然后分判别式小于0、等于0、大于0结合x0<0求解使直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)设M(x,y),依题意得:|MF|=|x|+1,即,‎ 化简得,y2=2|x|+2x.‎ ‎∴点M的轨迹C的方程为;‎ ‎(Ⅱ)在点M的轨迹C中,记C1:y2=4x(x≥0),C2:y=0(x<0).‎ 依题意,可设直线l的方程为y﹣1=k(x+2).‎ 由方程组,可得ky2﹣4y+4(2k+1)=0.‎ ‎①当k=0时,此时y=1,把y=1代入轨迹C的方程,得.‎ 故此时直线l:y=1与轨迹C恰好有一个公共点().‎ ‎②当k≠0时,方程ky2﹣4y+4(2k+1)=0的判别式为△=﹣16(2k2+k﹣1).‎ 设直线l与x轴的交点为(x0,0),‎ 则由y﹣1=k(x+2),取y=0得.‎ 若,解得k<﹣1或k>.‎ 即当k∈时,直线l与C1没有公共点,与C2有一个公共点,‎ 故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点.‎ 若或,解得k=﹣1或k=或.‎ 即当k=﹣1或k=时,直线l与C1只有一个公共点,与C2有一个公共点.‎ 当时,直线l与C1有两个公共点,与C2无公共点.‎ 故当k=﹣1或k=或时,直线l与轨迹C恰好有两个公共点.‎ 若,解得﹣1<k<﹣或0<k<.‎ 即当﹣1<k<﹣或0<k<时,直线l与C1有两个公共点,与C2有一个公共点.‎ 此时直线l与C恰有三个公共点.‎ 综上,当k∈∪{0}时,直线l与C恰有一个公共点;‎ 当k∪{﹣1,}时,直线l与C恰有两个公共点;‎ 当k∈时,直线l与轨迹C恰有三个公共点.‎ ‎ ‎ ‎22.(14分)(2014•湖北)π为圆周率,e=2.71828…为自然对数的底数.‎ ‎(Ⅰ)求函数f(x)=的单调区间;‎ ‎(Ⅱ)求e3,3e,eπ,πe,3π,π3这6个数中的最大数和最小数;‎ ‎(Ⅲ)将e3,3e,eπ,πe,3π,π3这6个数按从小到大的顺序排列,并证明你的结论.‎ ‎【分析】(Ⅰ)先求函数定义域,然后在定义域内解不等式f′(x)>0,f′(x)<0即可得到单调增、减区间;‎ ‎(Ⅱ)由e<3<π,得eln3<elnπ,πlne<πln3,即ln3e<lnπe,lneπ<ln3π.再根据函数y=lnx,y=ex,y=πx在定义域上单调递增,可得3e<πe<π3,e3<eπ<3π,从而六个数的最大数在π3与3π之中,最小数在3e与e3之中.由e<3<π及(Ⅰ)的结论,得f(π)<f(3)<f(e),即,由此进而得到结论;‎ ‎(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,3e<πe<π3<3π,3e<e3,又由(Ⅱ)知,,得πe<eπ,故只需比较e3与πe和eπ与π3的大小.由(Ⅰ)可得0<x<e时,.,令x=,有ln<,从而2﹣lnπ,即得lnπ.①,由①还可得lnπe>lne3,3lnπ>π,由此易得结论;‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)函数f(x)的定义域为(0,+∞),‎ ‎∵f(x)=,∴f′(x)=,‎ 当f′(x)>0,即0<x<e时,函数f(x)单调递增;‎ 当f′(x)<0,即x>e时,函数f(x)单调递减.‎ 故函数f(x)的单调递增区间为(0,e),单调递减区间为(e,+∞).‎ ‎(Ⅱ)∵e<3<π,‎ ‎∴eln3<elnπ,πlne<πln3,即ln3e<lnπe,lneπ<ln3π.‎ 于是根据函数y=lnx,y=ex,y=πx在定义域上单调递增,可得3e<πe<π3,e3<eπ<3π,‎ 故这六个数的最大数在π3与3π之中,最小数在3e与e3之中.‎ 由e<3<π及(Ⅰ)的结论,得f(π)<f(3)<f(e),即,‎ 由,得lnπ3<ln3π,∴3π>π3;‎ 由,得ln3e<lne3,∴3e<e3.‎ 综上,6个数中的最大数是3π,最小数是3e.‎ ‎(Ⅲ)由(Ⅱ)知,3e<πe<π3<3π,3e<e3,‎ 又由(Ⅱ)知,,得πe<eπ,‎ 故只需比较e3与πe和eπ与π3的大小.‎ 由(Ⅰ)知,当0<x<e时,f(x)<f(e)=,即.‎ 在上式中,令x=,又,则ln<,‎ 从而2﹣lnπ,即得lnπ.①‎ 由①得,elnπ>e(2﹣)>2.7×(2﹣)>2.7×(2﹣0.88)=3.024>3,即elnπ>3,亦即lnπe>lne3,‎ ‎∴e3<πe.‎ 又由①得,3lnπ>6﹣>6﹣e>π,即3lnπ>π,‎ ‎∴eπ<π3.‎ 综上可得,3e<e3<πe<eπ<π3<3π,即6个数从小到大顺序为3e,e3,πe,eπ,π3,3π.‎ ‎ ‎ 参与本试卷答题和审题的老师有:xintrl;qiss;刘长柏;maths;sxs123;清风慕竹;caoqz;wsj1012;whgcn;wyz123(排名不分先后)‎ ‎2017年2月3日
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