- 2021-04-13 发布 |
- 37.5 KB |
- 26页
申明敬告: 本站不保证该用户上传的文档完整性,不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。
文档介绍
2014年湖北省高考数学试卷(理科)
2014年湖北省高考数学试卷(理科) 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(5分)i为虚数单位,()2=( ) A.﹣1 B.1 C.﹣i D.i 2.(5分)若二项式(2x+)7的展开式中的系数是84,则实数a=( ) A.2 B. C.1 D. 3.(5分)设U为全集,A,B是集合,则“存在集合C使得A⊆C,B⊆∁UC”是“A∩B=∅”的( ) A.充分而不必要的条件 B.必要而不充分的条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.(5分)根据如下样本数据,得到回归方程=bx+a,则( ) x 3 4 5 6 7 8 y 4.0 2.5 ﹣0.5 0.5 ﹣2.0 ﹣3.0 A.a>0,b>0 B.a>0,b<0 C.a<0,b>0 D.a<0,b<0 5.(5分)在如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz中,一个四面体的顶点坐标分别为(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2),给出的编号为①,②,③,④的四个图,则该四面体的正视图和俯视图分别为( ) A.①和② B.③和① C.④和③ D.④和② 6.(5分)若函数f(x),g(x)满足 f(x)g(x)dx=0,则f(x),g(x)为区间[﹣1,1]上的一组正交函数,给出三组函数: ①f(x)=sinx,g(x)=cosx; ②f(x)=x+1,g(x)=x﹣1; ③f(x)=x,g(x)=x2, 其中为区间[﹣1,1]上的正交函数的组数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 7.(5分)由不等式组确定的平面区域记为Ω1,不等式组确定的平面区域记为Ω2,在Ω1中随机取一点,则该点恰好在Ω2内的概率为( ) A. B. C. D. 8.(5分)《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:置如其周,令相乘也,又以高乘之,三十六成一,该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h,计算其体积V的近似公式V≈L2h,它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3,那么,近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( ) A. B. C. D. 9.(5分)已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点.且∠F1PF2=,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( ) A. B. C.3 D.2 10.(5分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=(|x﹣a2|+|x﹣2a2|﹣3a2),若∀x∈R,f(x﹣1)≤f(x),则实数a的取值范围为( ) A.[﹣,] B.[﹣,] C.[﹣,] D.[﹣,] 二、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分. 11.(5分)设向量=(3,3),=(1,﹣1),若(+λ)⊥(﹣λ),则实数λ= . 12.(5分)直线l1:y=x+a和l2:y=x+b将单位圆C:x2+y2=1分成长度相等的四段弧,则a2+b2= . 13.(5分)设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字三位数,将组成a的3个数字按从小到大排成的三位数记为I(a),按从大到小排成的三位数记为D(a)(例如a=815,则I(a)=158,D(a)=851),阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,任意输入一个a,输出的结果b= . 三、解答题 14.设f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,且f(x)>0,对任意a>0,b>0,若经过点(a,f(a)),(b,﹣f(b))的直线与x轴的交点为(c,0),则称c为关于函数f(x)的平均数,记为Mf(a,b),例如,当f(x)=1(x>0)时,可得Mf(a,b)=c=,即Mf(a,b)为a,b的算术平均数. (1)当f(x)= (x>0)时,Mf(a,b)为a,b的几何平均数; (2)当f(x)= (x>0)时,Mf(a,b)为a,b的调和平均数; (以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可) 15.如图,P为⊙O外一点,过P点作⊙O的两条切线,切点分别为A,B,过PA的中点Q作割线交⊙O于C,D两点,若QC=1,CD=3,则PB= . 16.已知曲线C1的参数方程是(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是ρ=2,则C1与C2交点的直角坐标为 . 17.(11分)某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t(单位:h)的变化近似满足函数关系: f(t)=10﹣,t∈[0,24) (Ⅰ)求实验室这一天的最大温差; (Ⅱ)若要求实验室温度不高于11℃,则在哪段时间实验室需要降温? 18.(12分)已知等差数列{an}满足:a1=2,且a1,a2,a5成等比数列. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)记Sn为数列{an}的前n项和,是否存在正整数n,使得Sn>60n+800?若存在,求n的最小值;若不存在,说明理由. 19.(12分)如图,在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E,F,M,N分别是棱AB,AD,A1B1,A1D1的中点,点P,Q分别在棱DD1,BB1上移动,且DP=BQ=λ(0<λ<2) (Ⅰ)当λ=1时,证明:直线BC1∥平面EFPQ; (Ⅱ)是否存在λ,使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角?若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由. 20.(12分)计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站,过去50年的水文资料显示,水库年入流量X(年入流量:一年内上游来水与库区降水之和.单位:亿立方米)都在40以上,其中,不足80的年份有10年,不低于80且不超过120的年份有35年,超过120的年份有5年,将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率,假设各年的年入流量相互独立. (Ⅰ)求未来4年中,至多有1年的年入流量超过120的概率; (Ⅱ)水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制,并有如下关系: 年入流量X 40<X<80 80≤X≤120 X>120 发电机最多可运行台数 1 2 3 若某台发电机运行,则该台年利润为5000万元,若某台发电机未运行,则该台年亏损800万元,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机多少台? 21.(14分)在平面直角坐标系xOy中,点M到点F(1,0)的距离比它到y轴的距离多1,记点M的轨迹为C. (Ⅰ)求轨迹C的方程; (Ⅱ)设斜率为k的直线l过定点P(﹣2,1),求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围. 22.(14分)π为圆周率,e=2.71828…为自然对数的底数. (Ⅰ)求函数f(x)=的单调区间; (Ⅱ)求e3,3e,eπ,πe,3π,π3这6个数中的最大数和最小数; (Ⅲ)将e3,3e,eπ,πe,3π,π3这6个数按从小到大的顺序排列,并证明你的结论. 2014年湖北省高考数学试卷(理科) 参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(5分)(2014•湖北)i为虚数单位,()2=( ) A.﹣1 B.1 C.﹣i D.i 【分析】可先计算出的值,再计算平方的值. 【解答】解:由于,所以,()2=(﹣i)2=﹣1 故选A. 2.(5分)(2014•湖北)若二项式(2x+)7的展开式中的系数是84,则实数a=( ) A.2 B. C.1 D. 【分析】利用二项式定理的展开式的通项公式,通过x幂指数为﹣3,求出a即可. 【解答】解:二项式(2x+)7的展开式即(+2x)7的展开式中x﹣3项的系数为84, 所以Tr+1==, 令﹣7+2r=﹣3,解得r=2, 代入得:, 解得a=1, 故选:C. 3.(5分)(2014•湖北)设U为全集,A,B是集合,则“存在集合C使得A⊆C,B⊆∁UC”是“A∩B=∅”的( ) A.充分而不必要的条件 B.必要而不充分的条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【分析】通过集合的包含关系,以及充分条件和必要条件的判断,推出结果. 【解答】解:由题意A⊆C,则∁UC⊆∁UA,当B⊆∁UC,可得“A∩B=∅”;若“A∩B=∅”能推出存在集合C使得A⊆C,B⊆∁UC, ∴U为全集,A,B是集合,则“存在集合C使得A⊆C,B⊆∁UC”是“A∩B=∅”的充分必要的条件. 故选:C. 4.(5分)(2014•湖北)根据如下样本数据,得到回归方程=bx+a,则( ) x 3 4 5 6 7 8 y 4.0 2.5 ﹣0.5 0.5 ﹣2.0 ﹣3.0 A.a>0,b>0 B.a>0,b<0 C.a<0,b>0 D.a<0,b<0 【分析】通过样本数据表,容易判断回归方程中,b、a的符号. 【解答】解:由题意可知:回归方程经过的样本数据对应的点附近,是减函数,所以b<0,且回归方程经过(3,4)与(4,3.5)附近,所以a>0. 故选:B. 5.(5分)(2014•湖北)在如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz中,一个四面体的顶点坐标分别为(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2),给出的编号为①,②,③,④的四个图,则该四面体的正视图和俯视图分别为( ) A.①和② B.③和① C.④和③ D.④和② 【分析】在坐标系中,标出已知的四个点,根据三视图的画图规则,可得结论. 【解答】解:在坐标系中,标出已知的四个点,根据三视图的画图规则,可得三棱锥的正视图和俯视图分别为④②, 故选:D. 6.(5分)(2014•湖北)若函数f(x),g(x)满足f(x)g(x)dx=0,则f(x),g(x)为区间[﹣1,1]上的一组正交函数,给出三组函数: ①f(x)=sinx,g(x)=cosx; ②f(x)=x+1,g(x)=x﹣1; ③f(x)=x,g(x)=x2, 其中为区间[﹣1,1]上的正交函数的组数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 【分析】利用新定义,对每组函数求积分,即可得出结论. 【解答】解:对于①:[sinx•cosx]dx=(sinx)dx=﹣cosx=0,∴f(x),g(x)为区间[﹣1,1]上的一组正交函数; 对于②:(x+1)(x﹣1)dx=(x2﹣1)dx=()≠0,∴f(x),g(x)不是区间[﹣1,1]上的一组正交函数; 对于③:x3dx=()=0,∴f(x),g(x)为区间[﹣1,1] 上的一组正交函数, ∴正交函数有2组, 故选:C. 7.(5分)(2014•湖北)由不等式组确定的平面区域记为Ω1,不等式组确定的平面区域记为Ω2,在Ω1中随机取一点,则该点恰好在Ω2内的概率为( ) A. B. C. D. 【分析】作出不等式组对应的平面区域,求出对应的面积,利用几何槪型的概率公式即可得到结论. 【解答】解:平面区域Ω1,为三角形AOB,面积为, 平面区域Ω2,为△AOB内的四边形BDCO, 其中C(0,1), 由,解得,即D(,), 则三角形ACD的面积S==, 则四边形BDCO的面积S=, 则在Ω1中随机取一点,则该点恰好在Ω2内的概率为, 故选:D. 8.(5分)(2014•湖北)《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:置如其周,令相乘也,又以高乘之,三十六成一,该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h,计算其体积V的近似公式V≈L2h,它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3,那么,近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( ) A. B. C. D. 【分析】根据近似公式V≈L2h,建立方程,即可求得结论. 【解答】解:设圆锥底面圆的半径为r,高为h,则L=2πr, ∴=(2πr)2h, ∴π=. 故选:B. 9.(5分)(2014•湖北)已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点.且∠F1PF2=,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( ) A. B. C.3 D.2 【分析】根据双曲线和椭圆的性质和关系,结合余弦定理即可得到结论. 【解答】解:设椭圆的长半轴为a,双曲线的实半轴为a1,(a>a1 ),半焦距为c, 由椭圆和双曲线的定义可知, 设|PF1|=r1,|PF2|=r2,|F1F2|=2c, 椭圆和双曲线的离心率分别为e1,e2 ∵∠F1PF2=, ∴由余弦定理可得4c2=(r1)2+(r2)2﹣2r1r2cos,① 在椭圆中,①化简为即4c2=4a2﹣3r1r2, 即,② 在双曲线中,①化简为即4c2=4a12+r1r2, 即,③ 联立②③得,=4, 由柯西不等式得(1+)()≥(1×+)2, 即()= 即,d当且仅当时取等号, 法2:设椭圆的长半轴为a1,双曲线的实半轴为a2,(a1>a2),半焦距为c, 由椭圆和双曲线的定义可知, 设|PF1|=r1,|PF2|=r2,|F1F2|=2c, 椭圆和双曲线的离心率分别为e1,e2 ∵∠F1PF2=, ∴由余弦定理可得4c2=(r1)2+(r2)2﹣2r1r2cos=(r1)2+(r2)2﹣r1r2, 由,得, ∴=, 令m===, 当时,m, ∴, 即的最大值为, 法3:设PF1|=m,|PF2|=n,则, 则a1+a2=m, 则=, 由正弦定理得=, 即=sin(120°﹣θ)≤= 故选:A 10.(5分)(2014•湖北)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=(|x﹣a2|+|x﹣2a2|﹣3a2),若∀x∈R,f(x﹣1)≤f(x),则实数a的取值范围为( ) A.[﹣,] B.[﹣,] C.[﹣,] D.[﹣,] 【分析】把x≥0时的f(x)改写成分段函数,求出其最小值,由函数的奇偶性可得x<0时的函数的最大值,由对∀x∈R,都有f(x﹣1)≤f(x),可得2a2﹣(﹣4a2)≤1,求解该不等式得答案. 【解答】解:当x≥0时, f(x)=, 由f(x)=x﹣3a2,x>2a2,得f(x)>﹣a2; 当a2<x≤2a2时,f(x)=﹣a2; 由f(x)=﹣x,0≤x≤a2,得f(x)≥﹣a2. ∴当x>0时,. ∵函数f(x)为奇函数, ∴当x<0时,. ∵对∀x∈R,都有f(x﹣1)≤f(x), ∴2a2﹣(﹣4a2)≤1,解得:. 故实数a的取值范围是. 故选:B. 二、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分. 11.(5分)(2014•湖北)设向量=(3,3),=(1,﹣1),若(+λ)⊥(﹣λ),则实数λ= ±3 . 【分析】根据向量垂直与向量坐标之间的关系建立方程关系,即可得到结论. 【解答】解:∵向量=(3,3),=(1,﹣1), ∴向量||=3,||=,向量•=3﹣3=0, 若(+λ)⊥(﹣λ), 则(+λ)•(﹣λ)=, 即18﹣2λ2=0, 则λ2=9, 解得λ=±3, 故答案为:±3, 12.(5分)(2014•湖北)直线l1:y=x+a和l2:y=x+b将单位圆C:x2+y2=1分成长度相等的四段弧,则a2+b2= 2 . 【分析】由题意可得,圆心(0,0)到两条直线的距离相等,且每段弧长都是圆周的,即==cos45°,由此求得a2+b2的值. 【解答】解:由题意可得,圆心(0,0)到两条直线的距离相等,且每段弧长都是圆周的, ∴==cos45°=,∴a2+b2=2, 故答案为:2. 13.(5分)(2014•湖北)设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字三位数,将组成a的3个数字按从小到大排成的三位数记为I(a),按从大到小排成的三位数记为D(a)(例如a=815,则I(a)=158,D(a)=851),阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,任意输入一个a,输出的结果b= 495 . 【分析】给出一个三位数的a值,实验模拟运行程序,直到满足条件,确定输出的a值,可得答案. 【解答】解:由程序框图知:例当a=123,第一次循环a=123,b=321﹣123=198; 第二次循环a=198,b=981﹣189=792; 第三次循环a=792,b=972﹣279=693; 第四次循环a=693,b=963﹣369=594; 第五次循环a=594,b=954﹣459=495; 第六次循环a=495,b=954﹣459=495, 满足条件a=b,跳出循环体,输出b=495. 故答案为:495. 三、解答题 14.(2014•湖北)设f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,且f(x)>0,对任意a>0,b>0,若经过点(a,f(a)),(b,﹣f(b))的直线与x轴的交点为(c,0),则称c为关于函数f(x)的平均数,记为Mf(a,b),例如,当f(x)=1(x>0)时,可得Mf(a,b)=c=,即Mf(a,b)为a,b的算术平均数. (1)当f(x)= (x>0)时,Mf(a,b)为a,b的几何平均数; (2)当f(x)= x (x>0)时,Mf(a,b)为a,b的调和平均数; (以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可) 【分析】(1)设f(x)=,(x>0),在经过点(a,)、(b,﹣)的直线方程中,令y=0,求得x=c=, 从而得出结论. (2)设f(x)=x,(x>0),在经过点(a,a)、(b,﹣b)的直线方程中,令y=0,求得x=c=,从而得出结论. 【解答】解:(1)设f(x)=,(x>0),则经过点(a,)、(b,﹣)的直线方程为=, 令y=0,求得x=c=, ∴当f(x)=,(x>0)时,Mf(a,b)为a,b的几何平均数, 故答案为:. (2)设f(x)=x,(x>0),则经过点(a,a)、(b,﹣b)的直线方程为=, 令y=0,求得x=c=, ∴当f(x)=x(x>0)时,Mf(a,b)为a,b的调和平均数, 故答案为:x. 15.(2014•湖北)如图,P为⊙O外一点,过P点作⊙O的两条切线,切点分别为A,B,过PA的中点Q作割线交⊙O于C,D两点,若QC=1,CD=3,则PB= 4 . 【分析】利用切割线定理可得QA2=QC•QD,可求QA,可得PA,利用圆的切线长定理,可得PB. 【解答】解:∵QA是⊙O的切线, ∴QA2=QC•QD, ∵QC=1,CD=3, ∴QA2=4, ∴QA=2, ∴PA=4, ∵PA,PB是⊙O的切线, ∴PB=PA=4. 故答案为:4. 16.(2014•湖北)已知曲线C1的参数方程是 (t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是ρ=2,则C1与C2交点的直角坐标为 (,1) . 【分析】把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程,再把两曲线的方程联立方程组求得 C1与C2交点的直角坐标. 【解答】解:把曲线C1的参数方程是(t为参数), 消去参数化为直角坐标方程为x2=3y2 (x≥0,y≥0),即 y=x (x≥0). 曲线C2的极坐标方程是ρ=2,化为直角坐标方程为x2+y2=4. 解方程组 ,再结合x>0、y>0,求得 ,∴C1与C2交点的直角坐标为(,1), 故答案为:(,1). 17.(11分)(2014•湖北)某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t(单位:h)的变化近似满足函数关系: f(t)=10﹣,t∈[0,24) (Ⅰ)求实验室这一天的最大温差; (Ⅱ)若要求实验室温度不高于11℃,则在哪段时间实验室需要降温? 【分析】(Ⅰ)利用两角和差的正弦公式化简函数解析式为f(t)10﹣2sin(t+),t∈[0,24),利用正弦函数的定义域和值域求得f(x)的最大值及最小值,可得实验室这一天的最大温差. (Ⅱ)由题意可得,当f(t)>11时,需要降温,由f(t)>11,求得sin(t+)<﹣,即 <t+<,解得t的范围,可得结论. 【解答】解:(Ⅰ)∵f(t)=10﹣=10﹣2sin(t+),t∈[0,24), ∴≤t+<,故当t+=时,及t=14时,函数取得最大值为10+2=12, 当t+=时,即t=2时,函数取得最小值为10﹣2=8, 故实验室这一天的最大温差为12﹣8=4℃. (Ⅱ)由题意可得,当f(t)>11时,需要降温,由(Ⅰ)可得f(t)=10﹣2sin(t+), 由10﹣2sin(t+)>11,求得sin(t+)<﹣,即 <t+<, 解得10<t<18,即在10时到18时,需要降温. 18.(12分)(2014•湖北)已知等差数列{an}满足:a1=2,且a1,a2,a5成等比数列. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)记Sn为数列{an}的前n项和,是否存在正整数n,使得Sn>60n+800?若存在,求n的最小值;若不存在,说明理由. 【分析】(Ⅰ)设出数列的公差,利用等比中项的性质建立等式求得d,则数列的通项公式可得. (Ⅱ)利用(Ⅰ)中数列的通项公式,表示出Sn根据Sn>60n+800,解不等式根据不等式的解集来判断. 【解答】解:(Ⅰ)设数列{an}的公差为d,依题意,2,2+d,2+4d成比数列,故有(2+d)2=2(2+4d), 化简得d2﹣4d=0,解得d=0或4, 当d=0时,an=2, 当d=4时,an=2+(n﹣1)•4=4n﹣2. (Ⅱ)当an=2时,Sn=2n,显然2n<60n+800, 此时不存在正整数n,使得Sn>60n+800成立, 当an=4n﹣2时,Sn==2n2, 令2n2>60n+800,即n2﹣30n﹣400>0, 解得n>40,或n<﹣10(舍去), 此时存在正整数n,使得Sn>60n+800成立,n的最小值为41, 综上,当an=2时,不存在满足题意的正整数n, 当an=4n﹣2时,存在满足题意的正整数n,最小值为41 19.(12分)(2014•湖北)如图,在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E,F,M,N分别是棱AB,AD,A1B1,A1D1的中点,点P,Q分别在棱DD1,BB1上移动,且DP=BQ=λ(0<λ<2) (Ⅰ)当λ=1时,证明:直线BC1∥平面EFPQ; (Ⅱ)是否存在λ,使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角?若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由. 【分析】(Ⅰ)建立坐标系,求出=2,可得BC1∥FP,利用线面平行的判定定理,可以证明直线BC1∥平面EFPQ; (Ⅱ)求出平面EFPQ的一个法向量、平面MNPQ的一个法向量,利用面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角,建立方程,即可得出结论. 【解答】(Ⅰ)证明:以D为原点,射线DA,DC,DD1分别为x,y,z轴的正半轴,建立坐标系,则B(2,2,0),C1(0,2,2),E(2,1,0),F(1,0,0),P(0,0,λ), ∴=(﹣2,0,2),=(﹣1,0,λ),=(1,1,0) λ=1时,=(﹣2,0,2),=(﹣1,0,1), ∴=2, ∴BC1∥FP, ∵FP⊂平面EFPQ,BC1⊄平面EFPQ, ∴直线BC1∥平面EFPQ; (Ⅱ)设平面EFPQ的一个法向量为=(x,y,z),则, ∴取=(λ,﹣λ,1). 同理可得平面MNPQ的一个法向量为=(λ﹣2,2﹣λ,1), 若存在λ,使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角,则 •=λ(λ﹣2)﹣λ(2﹣λ)+1=0,∴λ=1±. ∴存在λ=1±,使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角. 20.(12分)(2014•湖北)计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站,过去50年的水文资料显示,水库年入流量X(年入流量:一年内上游来水与库区降水之和.单位:亿立方米)都在40以上,其中,不足80的年份有10年,不低于80且不超过120的年份有35年,超过120的年份有5年,将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率,假设各年的年入流量相互独立. (Ⅰ)求未来4年中,至多有1年的年入流量超过120的概率; (Ⅱ)水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制,并有如下关系: 年入流量X 40<X<80 80≤X≤120 X>120 发电机最多可运行台数 1 2 3 若某台发电机运行,则该台年利润为5000万元,若某台发电机未运行,则该台年亏损800万元,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机多少台? 【分析】(Ⅰ)先求出年入流量X的概率,根据二项分布,求出未来4年中,至少有1年的年入流量超过120的概率; (Ⅱ)分三种情况进行讨论,分别求出一台,两台,三台的数学期望,比较即可得到. 【解答】解:(Ⅰ)依题意,p1=P(40<X<80)=,,, 由二项分布,未来4年中,至多有1年的年入流量超过120的概率为 = (Ⅱ)记水电站的总利润为Y(单位,万元) (1)安装1台发电机的情形, 由于水库年入流总量大于40,故一台发电机运行的概率为1,对应的年利润Y=5000,E(Y)=5000×1=5000, (2)安装2台发电机的情形, 依题意,当 40<X<80时,一台发电机运行,此时Y=5000﹣800=4200, 因此P(Y=4200)=P(40<X<80)=p1=, 当X≥80时,两台发电机运行,此时Y=5000×2=10000,因此,P(Y=10000)=P(X≥80)=P2+P3=0.8, 由此得Y的分布列如下 Y 4200 10000 P 0.2 0.8 所以E(Y)=4200×0.2+10000×0.8=8840. (3)安装3台发电机的情形, 依题意,当 40<X<80时,一台发电机运行,此时Y=5000﹣1600=3400, 因此P(Y=3400)=P(40<X<80)=p1=0.2, 当80≤X≤120时,两台发电机运行,此时Y=5000× 2﹣800=9200,因此,P(Y=9200)=P(80≤X≤120)=p2=0.7, 当X>120时,三台发电机运行,此时Y=5000×3=15000,因此,P(Y=15000)=P(X>120)=p3=0.1, 由此得Y的分布列如下 Y 3400 9200 15000 P 0.2 0.7 0.1 所以E(Y)=3400×0.2+9200×0.7+15000×0.1=8620. 综上,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机2台. 21.(14分)(2014•湖北)在平面直角坐标系xOy中,点M到点F(1,0)的距离比它到y轴的距离多1,记点M的轨迹为C. (Ⅰ)求轨迹C的方程; (Ⅱ)设斜率为k的直线l过定点P(﹣2,1),求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围. 【分析】(Ⅰ)设出M点的坐标,直接由题意列等式,整理后即可得到M的轨迹C的方程; (Ⅱ)设出直线l的方程为y﹣1=k(x+2),和(Ⅰ)中的轨迹方程联立化为关于y的一元二次方程,求出判别式,再在直线y﹣1=k(x+2)中取y=0得到.然后分判别式小于0、等于0、大于0结合x0<0求解使直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围. 【解答】解:(Ⅰ)设M(x,y),依题意得:|MF|=|x|+1,即, 化简得,y2=2|x|+2x. ∴点M的轨迹C的方程为; (Ⅱ)在点M的轨迹C中,记C1:y2=4x(x≥0),C2:y=0(x<0). 依题意,可设直线l的方程为y﹣1=k(x+2). 由方程组,可得ky2﹣4y+4(2k+1)=0. ①当k=0时,此时y=1,把y=1代入轨迹C的方程,得. 故此时直线l:y=1与轨迹C恰好有一个公共点(). ②当k≠0时,方程ky2﹣4y+4(2k+1)=0的判别式为△=﹣16(2k2+k﹣1). 设直线l与x轴的交点为(x0,0), 则由y﹣1=k(x+2),取y=0得. 若,解得k<﹣1或k>. 即当k∈时,直线l与C1没有公共点,与C2有一个公共点, 故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点. 若或,解得k=﹣1或k=或. 即当k=﹣1或k=时,直线l与C1只有一个公共点,与C2有一个公共点. 当时,直线l与C1有两个公共点,与C2无公共点. 故当k=﹣1或k=或时,直线l与轨迹C恰好有两个公共点. 若,解得﹣1<k<﹣或0<k<. 即当﹣1<k<﹣或0<k<时,直线l与C1有两个公共点,与C2有一个公共点. 此时直线l与C恰有三个公共点. 综上,当k∈∪{0}时,直线l与C恰有一个公共点; 当k∪{﹣1,}时,直线l与C恰有两个公共点; 当k∈时,直线l与轨迹C恰有三个公共点. 22.(14分)(2014•湖北)π为圆周率,e=2.71828…为自然对数的底数. (Ⅰ)求函数f(x)=的单调区间; (Ⅱ)求e3,3e,eπ,πe,3π,π3这6个数中的最大数和最小数; (Ⅲ)将e3,3e,eπ,πe,3π,π3这6个数按从小到大的顺序排列,并证明你的结论. 【分析】(Ⅰ)先求函数定义域,然后在定义域内解不等式f′(x)>0,f′(x)<0即可得到单调增、减区间; (Ⅱ)由e<3<π,得eln3<elnπ,πlne<πln3,即ln3e<lnπe,lneπ<ln3π.再根据函数y=lnx,y=ex,y=πx在定义域上单调递增,可得3e<πe<π3,e3<eπ<3π,从而六个数的最大数在π3与3π之中,最小数在3e与e3之中.由e<3<π及(Ⅰ)的结论,得f(π)<f(3)<f(e),即,由此进而得到结论; (Ⅲ)由(Ⅱ)可知,3e<πe<π3<3π,3e<e3,又由(Ⅱ)知,,得πe<eπ,故只需比较e3与πe和eπ与π3的大小.由(Ⅰ)可得0<x<e时,.,令x=,有ln<,从而2﹣lnπ,即得lnπ.①,由①还可得lnπe>lne3,3lnπ>π,由此易得结论; 【解答】解:(Ⅰ)函数f(x)的定义域为(0,+∞), ∵f(x)=,∴f′(x)=, 当f′(x)>0,即0<x<e时,函数f(x)单调递增; 当f′(x)<0,即x>e时,函数f(x)单调递减. 故函数f(x)的单调递增区间为(0,e),单调递减区间为(e,+∞). (Ⅱ)∵e<3<π, ∴eln3<elnπ,πlne<πln3,即ln3e<lnπe,lneπ<ln3π. 于是根据函数y=lnx,y=ex,y=πx在定义域上单调递增,可得3e<πe<π3,e3<eπ<3π, 故这六个数的最大数在π3与3π之中,最小数在3e与e3之中. 由e<3<π及(Ⅰ)的结论,得f(π)<f(3)<f(e),即, 由,得lnπ3<ln3π,∴3π>π3; 由,得ln3e<lne3,∴3e<e3. 综上,6个数中的最大数是3π,最小数是3e. (Ⅲ)由(Ⅱ)知,3e<πe<π3<3π,3e<e3, 又由(Ⅱ)知,,得πe<eπ, 故只需比较e3与πe和eπ与π3的大小. 由(Ⅰ)知,当0<x<e时,f(x)<f(e)=,即. 在上式中,令x=,又,则ln<, 从而2﹣lnπ,即得lnπ.① 由①得,elnπ>e(2﹣)>2.7×(2﹣)>2.7×(2﹣0.88)=3.024>3,即elnπ>3,亦即lnπe>lne3, ∴e3<πe. 又由①得,3lnπ>6﹣>6﹣e>π,即3lnπ>π, ∴eπ<π3. 综上可得,3e<e3<πe<eπ<π3<3π,即6个数从小到大顺序为3e,e3,πe,eπ,π3,3π. 参与本试卷答题和审题的老师有:xintrl;qiss;刘长柏;maths;sxs123;清风慕竹;caoqz;wsj1012;whgcn;wyz123(排名不分先后) 2017年2月3日查看更多