2015年陕西省高考数学试卷（文科）

2015年陕西省高考数学试卷（文科）

‎2015年陕西省高考数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（每小题5分，共60分）‎ ‎1．（5分）设集合M={x|x2=x}，N={x|lgx≤0}，则M∪N=（　　）‎ A．[0，1] B．（0，1] C．[0，1） D．（﹣∞，1]‎ ‎2．（5分）某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（　　）‎ A．93 B．123 C．137 D．167‎ ‎3．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过点（﹣1，1），则该抛物线焦点坐标为（　　）‎ A．（﹣1，0） B．（1，0） C．（0，﹣1） D．（0，1）‎ ‎4．（5分）设f（x）=，则f（f（﹣2））=（　　）‎ A．﹣1 B． C． D．‎ ‎5．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（　　）‎ A．3π B．4π C．2π+4 D．3π+4‎ ‎6．（5分）“sinα=cosα”是“cos2α=0”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎7．（5分）根据如图框图，当输入x为6时，输出的y=（　　）‎ A．1 B．2 C．5 D．10‎ ‎8．（5分）对任意向量、，下列关系式中不恒成立的是（　　）‎ A．||≤|||| B．||≤|||﹣|||‎ C．（）2=||2 D．（）•（）=2﹣2‎ ‎9．（5分）设f（x）=x﹣sinx，则f（x）（　　）‎ A．既是奇函数又是减函数 B．既是奇函数又是增函数 C．是有零点的减函数 D．是没有零点的奇函数 ‎10．（5分）设f（x）=lnx，0＜a＜b，若p=f（），q=f（），r=（f（a）+f（b）），则下列关系式中正确的是（　　）‎ A．q=r＜p B．p=r＜q C．q=r＞p D．p=r＞q ‎11．（5分）某企业生产甲、乙两种产品均需用A、B两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产一吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（　　）‎ ‎ ‎ ‎ 甲 乙 ‎ ‎ 原料限额 ‎ A（吨）‎ ‎ 3‎ ‎ 2‎ ‎12‎ ‎ B（吨）‎ ‎ 1‎ ‎2‎ ‎ 8‎ A．12万元 B．16万元 C．17万元 D．18万元 ‎12．（5分）设复数z=（x﹣1）+yi（x，y∈R），若|z|≤1，则y≥x的概率为（　　）‎ A．+ B．+ C．﹣ D．﹣‎ ‎　‎ 二.填空题：把答案填写在答题的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．（5分）中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为　 　．‎ ‎14．（5分）如图，某港口一天6时到18时的水渠变化曲线近似满足函数y=3sin（x+φ）+k．据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为　 　．‎ ‎15．（5分）函数y=xex在其极值点处的切线方程为　 　．‎ ‎16．（5分）观察下列等式：‎ ‎1﹣=‎ ‎1﹣+﹣=+‎ ‎1﹣+﹣+﹣=++‎ ‎…‎ 据此规律，第n个等式可为　 　．‎ ‎　‎ 三.解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤（共5小题，共70分）‎ ‎17．（12分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行．‎ ‎（Ⅰ）求A；‎ ‎（Ⅱ）若a=，b=2，求△ABC的面积．‎ ‎18．（12分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=，AB=BC=AD=a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到如图2中△A1BE的位置，得到四棱锥A1﹣BCDE．‎ ‎（Ⅰ）证明：CD⊥平面A1OC；‎ ‎（Ⅱ）当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1﹣BCDE的体积为36，求a的值．‎ ‎19．（12分）随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：‎ ‎（Ⅰ）在4月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率；‎ ‎（Ⅱ）西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率．‎ 日期 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ 天气 晴 雨 阴 阴 阴 雨 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 晴 日期 ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎21‎ ‎22‎ ‎23‎ ‎24‎ ‎25‎ ‎26‎ ‎27‎ ‎28‎ ‎29‎ ‎30‎ 天气 晴 阴 雨 阴 阴 晴 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 雨 ‎20．（12分）如图，椭圆E：+=1（a＞b＞0）经过点A（0，﹣1），且离心率为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆E的方程；‎ ‎（Ⅱ）经过点（1，1），且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ斜率之和为2．‎ ‎21．（12分）设fn（x）=x+x2+…+xn﹣1，x≥0，n∈N，n≥2．‎ ‎（Ⅰ）求fn′（2）；‎ ‎（Ⅱ）证明：fn（x）在（0，）内有且仅有一个零点（记为an），且0＜an﹣＜（）n．‎ ‎　‎ 三.请在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分[选修4-1：几何证明选讲]‎ ‎22．（10分）如图，AB切⊙O于点B，直线AO交⊙O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C．‎ ‎（Ⅰ）证明：∠CBD=∠DBA；‎ ‎（Ⅱ）若AD=3DC，BC=，求⊙O的直径．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．‎ ‎（Ⅰ）写出⊙C的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎24．已知关于x的不等式|x+a|＜b的解集为{x|2＜x＜4}‎ ‎（Ⅰ）求实数a，b的值；‎ ‎（Ⅱ）求+的最大值．‎ ‎　‎ ‎2015年陕西省高考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（每小题5分，共60分）‎ ‎1．（5分）设集合M={x|x2=x}，N={x|lgx≤0}，则M∪N=（　　）‎ A．[0，1] B．（0，1] C．[0，1） D．（﹣∞，1]‎ ‎【分析】求解一元二次方程化简M，求解对数不等式化简N，然后利用并集运算得答案．‎ ‎【解答】解：由M={x|x2=x}={0，1}，‎ N={x|lgx≤0}=（0，1]，‎ 得M∪N={0，1}∪（0，1]=[0，1]．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了并集及其运算，考查了对数不等式的解法，是基础题．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（　　）‎ A．93 B．123 C．137 D．167‎ ‎【分析】利用百分比，可得该校女教师的人数．‎ ‎【解答】解：初中部女教师的人数为110×70%=77；高中部女教师的人数为150×40%=60，‎ ‎∴该校女教师的人数为77+60=137，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】‎ 本题考查该校女教师的人数，考查收集数据的方法，考查学生的计算能力，比较基础．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过点（﹣1，1），则该抛物线焦点坐标为（　　）‎ A．（﹣1，0） B．（1，0） C．（0，﹣1） D．（0，1）‎ ‎【分析】利用抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过点（﹣1，1），求得=1，即可求出抛物线焦点坐标．‎ ‎【解答】解：∵抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过点（﹣1，1），‎ ‎∴=1，‎ ‎∴该抛物线焦点坐标为（1，0）．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查抛物线焦点坐标，考查抛物线的性质，比较基础．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）设f（x）=，则f（f（﹣2））=（　　）‎ A．﹣1 B． C． D．‎ ‎【分析】利用分段函数的性质求解．‎ ‎【解答】解：∵，‎ ‎∴f（﹣2）=2﹣2=，‎ f（f（﹣2））=f（）=1﹣=．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查函数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分段函数的性质的合理运用．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（　　）‎ A．3π B．4π C．2π+4 D．3π+4‎ ‎【分析】由已知中的三视图可得，该几何体是以俯视图为底面的半圆柱，底面半径为1，高为2，代入柱体表面积公式，可得答案．‎ ‎【解答】解：由已知中的三视图可得，该几何体是以俯视图为底面的半圆柱，‎ 底面半径为1，高为2，‎ 故该几何体的表面积S=2×π+（2+π）×2=3π+4，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是柱体的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度中档．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）“sinα=cosα”是“cos2α=0”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【分析】由cos2α=cos2α﹣sin2α，即可判断出．‎ ‎【解答】解：由cos2α=cos2α﹣sin2α，‎ ‎∴“sinα=cosα”是“cos2α=0”的充分不必要条件．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了倍角公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）根据如图框图，当输入x为6时，输出的y=（　　）‎ A．1 B．2 C．5 D．10‎ ‎【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x的值，当x=﹣3时不满足条件x≥0，计算并输出y的值为10．‎ ‎【解答】解：模拟执行程序框图，可得 x=6‎ x=3‎ 满足条件x≥0，x=0‎ 满足条件x≥0，x=﹣3‎ 不满足条件x≥0，y=10‎ 输出y的值为10．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的x的值是解题的关键，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）对任意向量、，下列关系式中不恒成立的是（　　）‎ A．||≤|||| B．||≤|||﹣|||‎ C．（）2=||2 D．（）•（）=2﹣2‎ ‎【分析】由向量数量积的运算和性质逐个选项验证可得．‎ ‎【解答】解：选项A恒成立，∵||=|||||cos＜，＞|，‎ 又|cos＜，＞|≤1，∴||≤||||恒成立；‎ 选项B不恒成立，由三角形的三边关系和向量的几何意义可得||≥|||﹣|||；‎ 选项C恒成立，由向量数量积的运算可得（）2=||2；‎ 选项D恒成立，由向量数量积的运算可得（）•（）=2﹣2．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查平面向量的数量积，属基础题．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）设f（x）=x﹣sinx，则f（x）（　　）‎ A．既是奇函数又是减函数 B．既是奇函数又是增函数 C．是有零点的减函数 D．是没有零点的奇函数 ‎【分析】利用函数的奇偶性的定义判断f（x）为奇函数，再利用导数研究函数的单调性，从而得出结论．‎ ‎【解答】解：由于f（x）=x﹣sinx的定义域为R，且满足f（﹣x）=﹣x+sinx=﹣f（x），‎ 可得f（x）为奇函数．‎ 再根据f′（x）=1﹣cosx≥0，可得f（x）为增函数，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查函数的奇偶性的判断方法，利用导数研究函数的单调性，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）设f（x）=lnx，0＜a＜b，若p=f（），q=f（），r=（f（a）+f（b）），则下列关系式中正确的是（　　）‎ A．q=r＜p B．p=r＜q C．q=r＞p D．p=r＞q ‎【分析】由题意可得p=（lna+lnb），q=ln（）≥ln（）=p，r=‎ ‎（lna+lnb），可得大小关系．‎ ‎【解答】解：由题意可得若p=f（）=ln（）=lnab=（lna+lnb），‎ q=f（）=ln（）≥ln（）=p，‎ r=（f（a）+f（b））=（lna+lnb），‎ ‎∴p=r＜q，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查不等式与不等关系，涉及基本不等式和对数的运算，属基础题．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）某企业生产甲、乙两种产品均需用A、B两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产一吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（　　）‎ ‎ ‎ ‎ 甲 乙 ‎ ‎ 原料限额 ‎ A（吨）‎ ‎ 3‎ ‎ 2‎ ‎12‎ ‎ B（吨）‎ ‎ 1‎ ‎2‎ ‎ 8‎ A．12万元 B．16万元 C．17万元 D．18万元 ‎【分析】设每天生产甲乙两种产品分别为x，y吨，利润为z元，然后根据题目条件建立约束条件，得到目标函数，画出约束条件所表示的区域，然后利用平移法求出z的最大值．‎ ‎【解答】解：设每天生产甲乙两种产品分别为x，y吨，利润为z元，‎ 则，‎ 目标函数为 z=3x+4y．‎ 作出二元一次不等式组所表示的平面区域（阴影部分）即可行域．‎ 由z=3x+4y得y=﹣x+，‎ 平移直线y=﹣x+由图象可知当直线y=﹣x+经过点B时，直线y=﹣x+的截距最大，‎ 此时z最大，‎ 解方程组，解得，‎ 即B的坐标为x=2，y=3，‎ ‎∴zmax=3x+4y=6+12=18．‎ 即每天生产甲乙两种产品分别为2，3吨，能够产生最大的利润，最大的利润是18万元，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题主要考查线性规划的应用，建立约束条件和目标函数，利用数形结合是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）设复数z=（x﹣1）+yi（x，y∈R），若|z|≤1，则y≥x的概率为（　　）‎ A．+ B．+ C．﹣ D．﹣‎ ‎【分析】判断复数对应点图形，利用几何概型求解即可．‎ ‎【解答】解：复数z=（x﹣1）+yi（x，y∈R），若|z|≤1，它的几何意义是以（1，0）为圆心，1为半径的圆以及内部部分．y≥x的图形是图形中阴影部分，如图：‎ 复数z=（x﹣1）+yi（x，y∈R），若|z|≤1，则y≥x的概率：=．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查复数的几何意义，几何概型的求法，考查计算能力以及数形结合的能力．‎ ‎　‎ 二.填空题：把答案填写在答题的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．（5分）中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为　5　．‎ ‎【分析】由题意可得首项的方程，解方程可得．‎ ‎【解答】解：设该等差数列的首项为a，‎ 由题意和等差数列的性质可得2015+a=1010×2‎ 解得a=5‎ 故答案为：5‎ ‎【点评】本题考查等差数列的基本性质，涉及中位数，属基础题．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）如图，某港口一天6时到18时的水渠变化曲线近似满足函数y=3sin（x+φ）+k．据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为　8　．‎ ‎【分析】由图象观察可得：ymin=﹣3+k=2，从而可求k的值，从而可求ymax=3+k=3+5=8．‎ ‎【解答】解：∵由题意可得：ymin=﹣3+k=2，‎ ‎∴可解得：k=5，‎ ‎∴ymax=3+k=3+5=8，‎ 故答案为：8．‎ ‎【点评】本题主要考查了正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）函数y=xex在其极值点处的切线方程为　y=﹣　．‎ ‎【分析】求出极值点，再结合导数的几何意义即可求出切线的方程．‎ ‎【解答】解：依题解：依题意得y′=ex+xex，‎ 令y′=0，可得x=﹣1，‎ ‎∴y=﹣．‎ 因此函数y=xex在其极值点处的切线方程为y=﹣．‎ 故答案为：y=﹣．‎ ‎【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）观察下列等式：‎ ‎1﹣=‎ ‎1﹣+﹣=+‎ ‎1﹣+﹣+﹣=++‎ ‎…‎ 据此规律，第n个等式可为　+…+=+…+　．‎ ‎【分析】由已知可得：第n个等式含有2n项，其中奇数项为，偶数项为﹣．其等式右边为后n项的绝对值之和．即可得出．‎ ‎【解答】解：由已知可得：第n个等式含有2n项，其中奇数项为，偶数项为﹣．其等式右边为后n项的绝对值之和．‎ ‎∴第n个等式为：+…+=+…+．‎ ‎【点评】本题考查了观察分析猜想归纳求数列的通项公式方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ 三.解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤（共5小题，共70分）‎ ‎17．（12分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行．‎ ‎（Ⅰ）求A；‎ ‎（Ⅱ）若a=，b=2，求△ABC的面积．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用向量的平行，列出方程，通过正弦定理求解A；‎ ‎（Ⅱ）利用A，以及a=，b=2，通过余弦定理求出c，然后求解△ABC的面积．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）因为向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行，‎ 所以asinB﹣=0，由正弦定理可知：sinAsinB﹣sinBcosA=0，因为sinB≠0，‎ 所以tanA=，可得A=；‎ ‎（Ⅱ）a=，b=2，由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA，可得7=4+c2﹣2c，解得c=3，‎ ‎△ABC的面积为：=．‎ ‎【点评】本题考查余弦定理以及正弦定理的应用，三角形的面积的求法，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=，AB=BC=AD=a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到如图2中△A1BE的位置，得到四棱锥A1﹣BCDE．‎ ‎（Ⅰ）证明：CD⊥平面A1OC；‎ ‎（Ⅱ）当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1﹣BCDE的体积为36，求a的值．‎ ‎【分析】（I）运用E是AD的中点，判断得出BE⊥AC，BE⊥面A1OC，考虑CD∥DE，即可判断CD⊥面A1OC．‎ ‎（II）运用好折叠之前，之后的图形得出A1O是四棱锥A1﹣BCDE的高，平行四边形BCDE的面积S=BC•AB=a2，运用体积公式求解即可得出a的值．‎ ‎【解答】解：‎ ‎（I）在图1中，‎ 因为AB=BC==a，E是AD的中点，‎ ‎∠BAD=，‎ 所以BE⊥AC，‎ 即在图2中，BE⊥A1O，BE⊥OC，‎ 从而BE⊥面A1OC，‎ 由CD∥BE，‎ 所以CD⊥面A1OC，‎ ‎（II）即A1O是四棱锥A1﹣BCDE的高，‎ 根据图1得出A1O=AB=a，‎ ‎∴平行四边形BCDE的面积S=BC•AB=a2，‎ V==a=a3，‎ 由a=a3=36，得出a=6．‎ ‎【点评】本题考查了平面立体转化的问题，运用好折叠之前，之后的图形，对于空间直线平面的位置关系的定理要很熟练．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：‎ ‎（Ⅰ）在4月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率；‎ ‎（Ⅱ）西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率．‎ 日期 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ 天气 晴 雨 阴 阴 阴 雨 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 晴 日期 ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎21‎ ‎22‎ ‎23‎ ‎24‎ ‎25‎ ‎26‎ ‎27‎ ‎28‎ ‎29‎ ‎30‎ 天气 晴 阴 雨 阴 阴 晴 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 雨 ‎【分析】（Ⅰ）在4月份任取一天，不下雨的天数是26，即可估计西安市在该天不下雨的概率；‎ ‎（Ⅱ）求得4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，可得晴天的次日不下雨的概率，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）在4月份任取一天，不下雨的天数是26，以频率估计概率，估计西安市在该天不下雨的概率为；‎ ‎（Ⅱ）称相邻的两个日期为“互邻日期对”，由题意，4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的概率为，‎ 从而估计运动会期间不下雨的概率为．‎ ‎【点评】本题考查概率的应用，考查学生的计算能力，确定基本事件的个数是关键．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）如图，椭圆E：+=1（a＞b＞0）经过点A（0，﹣1），且离心率为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆E的方程；‎ ‎（Ⅱ）经过点（1，1），且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ斜率之和为2．‎ ‎【分析】（Ⅰ）运用离心率公式和a，b，c的关系，解方程可得a，进而得到椭圆方程；‎ ‎（Ⅱ）由题意设直线PQ的方程为y=k（x﹣1）+1（k≠0），代入椭圆方程+y2=1，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简计算即可得到结论．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由题设知，=，b=1，‎ 结合a2=b2+c2，解得a=，‎ 所以+y2=1；‎ ‎（Ⅱ）证明：由题意设直线PQ的方程为y=k（x﹣1）+1（k≠0），‎ 代入椭圆方程+y2=1，‎ 可得（1+2k2）x2﹣4k（k﹣1）x+2k（k﹣2）=0，‎ 由已知得（1，1）在椭圆外，‎ 设P（x1，y1），Q（x2，y2），x1x2≠0，‎ 则x1+x2=，x1x2=，‎ 且△=16k2（k﹣1）2﹣8k（k﹣2）（1+2k2）＞0，解得k＞0或k＜﹣2．‎ 则有直线AP，AQ的斜率之和为kAP+kAQ=+‎ ‎=+=2k+（2﹣k）（+）=2k+（2﹣k）•‎ ‎=2k+（2﹣k）•=2k﹣2（k﹣1）=2．‎ 即有直线AP与AQ斜率之和为2．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理，考查直线的斜率公式，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）设fn（x）=x+x2+…+xn﹣1，x≥0，n∈N，n≥2．‎ ‎（Ⅰ）求fn′（2）；‎ ‎（Ⅱ）证明：fn（x）在（0，）内有且仅有一个零点（记为an），且0＜an﹣＜（）n．‎ ‎【分析】（Ⅰ）将已知函数求导，取x=2，得到fn′（2）；‎ ‎（Ⅱ）只要证明fn（x）在（0，）内有单调递增，得到仅有一个零点，然后fn（an）变形得到所求．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由已知，f′n（x）=1+2x+3x2+…+nxn﹣1，‎ 所以，①‎ 则2f′n（2）=2+2×22+3×23+…+n2n，②，‎ ‎①﹣②得﹣f′n（2）=1+2+22+23+…+2n﹣1﹣n•2n==（1﹣n）2n﹣1，‎ 所以．‎ ‎（Ⅱ）因为f（0）=﹣1＜0，fn（）=﹣1=1﹣2×≥1﹣2×＞0，‎ 所以fn（x）在（0，）内至少存在一个零点，‎ 又f′n（x）=1+2x+3x2+…+nxn﹣1＞0，所以fn（x）在（0，）内单调递增，‎ 所以fn（x）在（0，）内有且仅有一个零点an，由于fn（x）=，‎ 所以0=fn（an）=，‎ 所以，故，‎ 所以0＜．‎ ‎【点评】本题考查了函数求导、错位相减法求数列的和、函数的零点判断等知识，计算比较复杂，注意细心．‎ ‎　‎ 三.请在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分[选修4-1：几何证明选讲]‎ ‎22．（10分）如图，AB切⊙O于点B，直线AO交⊙O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C．‎ ‎（Ⅰ）证明：∠CBD=∠DBA；‎ ‎（Ⅱ）若AD=3DC，BC=，求⊙O的直径．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据直径的性质即可证明：∠CBD=∠DBA；‎ ‎（Ⅱ）结合割线定理进行求解即可求⊙O的直径．‎ ‎【解答】证明：（Ⅰ）∵DE是⊙O的直径，‎ 则∠BED+∠EDB=90°，‎ ‎∵BC⊥DE，‎ ‎∴∠CBD+∠EDB=90°，即∠CBD=∠BED，‎ ‎∵AB切⊙O于点B，‎ ‎∴∠DBA=∠BED，即∠CBD=∠DBA；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知BD平分∠CBA，‎ 则=3，‎ ‎∵BC=，‎ ‎∴AB=3，AC=，‎ 则AD=3，‎ 由切割线定理得AB2=AD•AE，‎ 即AE=，‎ 故DE=AE﹣AD=3，‎ 即可⊙O的直径为3．‎ ‎【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用和证明，根据相应的定理是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．‎ ‎（Ⅰ）写出⊙C的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．‎ ‎【分析】（I）由⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．化为ρ2=2，把代入即可得出；．‎ ‎（II）设P，又C．利用两点之间的距离公式可得|PC|=，再利用二次函数的性质即可得出．‎ ‎【解答】解：（I）由⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．‎ ‎∴ρ2=2，化为x2+y2=，‎ 配方为=3．‎ ‎（II）设P，又C．‎ ‎∴|PC|==≥2，‎ 因此当t=0时，|PC|取得最小值2．此时P（3，0）．‎ ‎【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标方程、参数方程的应用、两点之间的距离公式、二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎24．已知关于x的不等式|x+a|＜b的解集为{x|2＜x＜4}‎ ‎（Ⅰ）求实数a，b的值；‎ ‎（Ⅱ）求+的最大值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由不等式的解集可得ab的方程组，解方程组可得；‎ ‎（Ⅱ）原式=+=+，由柯西不等式可得最大值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）关于x的不等式|x+a|＜b可化为﹣b﹣a＜x＜b﹣a，‎ 又∵原不等式的解集为{x|2＜x＜4}，‎ ‎∴，解方程组可得；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可得+=+‎ ‎=+≤‎ ‎=2=4，‎ 当且仅当=即t=1时取等号，‎ ‎∴所求最大值为4‎ ‎【点评】本题考查不等关系与不等式，涉及柯西不等式求最值，属基础题．‎ ‎　‎