2009年全国统一高考数学试卷Ⅱ（文科）【word版本、可编辑、附详细答案和解释】
2009年全国统一高考数学试卷Ⅱ（文科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1. 已知全集U＝{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，M＝{1, 3, 5, 7}，N＝{5, 6, 7}，则∁U(M∪N)＝（ ）
A.{5, 7} B.{2, 4} C.{2, 4, 8} D.{1, 3, 5, 6, 7}
2. 函数y=-x(x≤0)的反函数是（ ）
A.y=x2(x≥0) B.y=-x2(x≥0) C.y=x2(x≤0) D.y=-x2(x≤0)
3. 函数y＝log22-x2+x的图象（ ）
A.关于直线y＝-x对称 B.关于原点对称
C.关于y轴对称 D.关于直线y＝x对称
4. 已知△ABC中，cotA=-125，则cosA=( )
A.1213 B.513 C.-513 D.-1213
5. 已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB=2，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为（ ）
A.1010 B.15 C.31010 D.35
6. 已知向量a→=(2, 1)，a→⋅b→=10，|a→+b→|=52，则|b→|＝（ ）
A.5 B.10 C.5 D.25
7. 设a=lge，b=(lge)2，c=lge，则( )
A.a>b>c B.c>a>b C.a>c>b D.c>b>a
8. 双曲线x26-y23=1的渐近线与圆(x-3)2+y2=r2(r>0)相切，则r=( )
A.3 B.2 C.3 D.6
9. 若将函数y＝tan(ωx+π4)(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度后，与函数y＝tan(ωx+π6)的图象重合，则ω的最小值为（ ）
A.16 B.14 C.13 D.12
10. 甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（ ）
A.6种 B.12种 C.24种 D.30种
11. 已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C:y2=8x相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=( )
A.13 B.23 C.23 D.223
12. 纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“△”的面的方位（ ）
A.南 B.北 C.西 D.下
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13. 设等比数列{an}的前n项和为Sn．若a1＝1，S6＝4S3，则a4＝________．
14. (xy-yx)4的展开式中x3y3的系数为________．
15. 已知圆O:x2+y2=5和点A(1, 2)，则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积=________．
16. 设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45∘角的平面截球O的表面得到圆C．若圆C的面积等于7π4，则球O的表面积等于________．
三、解答题（共6小题，满分70分）
17. 已知等差数列{an}中，a3a7=-16，a4+a6=0，求{an}前n项和Sn．
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18. 设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，cos(A-C)+cosB=32，b2=ac，求B．
19. 如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，D，E分别为AA1，B1C的中点，DE⊥平面BCC1．
(1)求证：AB=AC；
(2)设二面角A-BD-C的大小为60∘，求B1C与平面BCD所成角的大小．
20. 某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有10名工人，其中有6名女工人．现采用分层抽样（层内采用不放回简单随即抽样）从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核．
（1）求从甲、乙两组各抽取的人数；
（2）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；
（3）求抽取的4名工人中恰有2名男工人的概率．
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21. 设函数f(x)=13x3-(1+a)x2+4ax+24a，其中常数a>1，
(I)讨论f(x)的单调性；
(II)若当x≥0时，f(x)>0恒成立，求a的取值范围．
22. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为33，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为22，
(Ⅰ)求a，b的值；
(Ⅱ)C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有OP→=OA→+OB→成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．
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参考答案与试题解析
2009年全国统一高考数学试卷Ⅱ（文科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1.C
【分析】
∵ M＝{1, 3, 5, 7}，N＝{5, 6, 7}，
∴ M∪N＝{1, 3, 5, 6, 7}，
∵ U＝{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，
∴ ∁U(M∪N)＝{2, 4, 8}
2.B
【分析】
解：由原函数定义域x≤0可知A、C错，
原函数的值域y≥0可知D错，
故选B．
3.B
【分析】
由于定义域为(-2, 2)关于原点对称，
又f(-x)=log22+x2-x=-log22-x2+x=-f(x)，故函数为奇函数，
图象关于原点对称，
4.D
【分析】
解：∵ cotA=-125
∴ A为钝角，cosA<0排除A和B，
再由cotA=cosAsinA=-125，和sin2A+cos2A=1求得cosA=-1213，
故选D．
5.C
【分析】
解：如图连接A1B，则有A1B // CD1，
∠A1BE就是异面直线BE与CD1所成角，
设AB=1，
则A1E=AE=1，∴ BE=2，A1B=5．
由余弦定理可知：cos∠A1BE=2+5-122⋅5=31010．
故选C．
6.C
【分析】
∵ |a→+b→|=52，|a→|=5
∴ (a→+b→)2=a→2+b→2+2a→⋅b→=50，
得|b→|＝5
7.C
【分析】
解：∵ 1
12lge>(lge)2，
∴ a>c>b．
故选C．
8.A
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【分析】
解：双曲线的渐近线方程为y=±12x，即x±2y=0，
圆心(3, 0)到直线的距离d=|3|(2)2+1=3，
∴ r=3．
故选A．
9.D
【分析】
y＝tan(ωx+π4)，向右平移π6个单位可得：y＝tan[ω(x-π6)+π4]＝tan(ωx+π6)
∴ π4-π6ω+kπ=π6
∴ ω＝k+12(k∈Z)，
又∵ ω>0
∴ ωmin=12．
10.C
【分析】
根据题意，分两步，
①由题意可得，所有两人各选修2门的种数C42C42＝36，
②两人所选两门都相同的有为C42＝6种，都不同的种数为C42＝6，
11.D
【分析】
解：设抛物线C:y2=8x的准线为l:x=-2，
直线y=k(x+2)(k>0)恒过定点P(-2, 0)，
如图过A，B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，
由|FA|=2|FB|，则|AM|=2|BN|，
点B为AP的中点、连接OB，
则|OB|=12|AF|，
∴ |OB|=|BF|，点B的横坐标为1，
故点B的坐标为(1,22)∴ k=22-01-(-2)=223，
故选D.
12.B
【分析】
解：如图所示．
故选B
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13.3
【分析】
设等比数列的公比为q，则由S6＝4S3知q≠1，
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∴ S6=1-q61-q=4(1-q3)1-q．
∴ q3＝3．∴ a1q3＝3．
14.6
【分析】
解：(xy-yx)4=x2y2(x-y)4，
只需求(x-y)4展开式中的含xy项的系数．
∵ (x-y)4的展开式的通项为Tr+1=C4r(x)4-r(-y)r，
令4-r=2,r=2, 得r=2，
∴ 展开式中x3y3的系数为C42=6.
故答案为：6.
15.254
【分析】
解：由题意知，点A在圆上，切线斜率为-1KOA=-121=-12，
用点斜式可直接求出切线方程为：y-2=-12(x-1)，
即x+2y-5=0，从而求出在两坐标轴上的截距分别是5和52，
所以，所求面积为12×52×5=254．
故答案为：254.
16.8π
【分析】
解：设球半径为R，圆C的半径为r，
由πr2=7π4，得r2=74．
因为OC=22⋅R2=24R．
由R2=(24R)2+r2=18R2+74得R2=2
故球O的表面积等于8π
故答案为：8π，
三、解答题（共6小题，满分70分）
17.解：设{an}的公差为d，则(a1+2d)(a1+6d)=-16a1+3d+a1+5d=0，
即a12+8da1+12d2=-16a1=-4d，
解得a1=-8d=2或a1=8d=-2，
因此Sn=-8n+n(n-1)=n(n-9)，或Sn=8n-n(n-1)=-n(n-9)．
【分析】
解：设{an}的公差为d，则(a1+2d)(a1+6d)=-16a1+3d+a1+5d=0，
即a12+8da1+12d2=-16a1=-4d，
解得a1=-8d=2或a1=8d=-2，
因此Sn=-8n+n(n-1)=n(n-9)，或Sn=8n-n(n-1)=-n(n-9)．
18.由cos(A-C)+cosB=32及B=π-(A+C)得
cos(A-C)-cos(A+C)=32，
∴ cosAcosC+sinAsinC-(cosAcosC-sinAsinC)=32，
∴ sinAsinC=34．
又由b2=ac及正弦定理得sin2B=sinAsinC，
故sin2B=34，
∴ sinB=32或sinB=-32（舍去），
于是B=π3或B=2π3．
又由b2=ac
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知b≤a或b≤c
所以B=π3．
【分析】
由cos(A-C)+cosB=32及B=π-(A+C)得
cos(A-C)-cos(A+C)=32，
∴ cosAcosC+sinAsinC-(cosAcosC-sinAsinC)=32，
∴ sinAsinC=34．
又由b2=ac及正弦定理得sin2B=sinAsinC，
故sin2B=34，
∴ sinB=32或sinB=-32（舍去），
于是B=π3或B=2π3．
又由b2=ac
知b≤a或b≤c
所以B=π3．
19.解：(1)取BC中点F,连接EF，则EF//B1B，
EF=12B1B，从而EF//DA且EF=DA.
连接AF,则ADEF为平行四边形，
从而AF//DE.
又DE⊥平面BCC1，
故AF⊥平面BCC1，
从而AF⊥BC，
即AF为BC的垂直平分线，
所以AB=AC.
(2)作AG⊥BD，垂足为G，连接CG，
由三垂线定理知CG⊥BD，
故∠AGC为二面角A-BD-C的平面角，
由题设知，∠AGC=60∘，
设AC=2，则AG=23.
又AB=2，BC=22，
故AF=2，
由AB⋅AD=AG⋅BD得，
2AD=23⋅AD2+22，
解得AD=2.
故AD=AF，
又AD⊥AF,
所以四边形ADEF为正方形.
因为BC⊥AF，BC⊥AD，AF∩AD=A，
故BC⊥平面DEF,
因此平面BCD⊥平面DEF,
连接AE，DF，设AE∩DF=H，则
EH⊥DF，EH⊥平面BCD.
连接CH，则
∠ECH为B1C与平面BCD所成的角.
因为四边形ADEF为正方形，AD=2，
故EH=1，
又EC=12B1C=2，
所以∠ECH=30∘，
即B1C与平面BCD所成的角为30∘.
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【分析】
解：(1)取BC中点F,连接EF，则EF//B1B，
EF=12B1B，从而EF//DA且EF=DA.
连接AF,则ADEF为平行四边形，
从而AF//DE.
又DE⊥平面BCC1，
故AF⊥平面BCC1，
从而AF⊥BC，
即AF为BC的垂直平分线，
所以AB=AC.
(2)作AG⊥BD，垂足为G，连接CG，
由三垂线定理知CG⊥BD，
故∠AGC为二面角A-BD-C的平面角，
由题设知，∠AGC=60∘，
设AC=2，则AG=23.
又AB=2，BC=22，
故AF=2，
由AB⋅AD=AG⋅BD得，
2AD=23⋅AD2+22，
解得AD=2.
故AD=AF，
又AD⊥AF,
所以四边形ADEF为正方形.
因为BC⊥AF，BC⊥AD，AF∩AD=A，
故BC⊥平面DEF,
因此平面BCD⊥平面DEF,
连接AE，DF，设AE∩DF=H，则
EH⊥DF，EH⊥平面BCD.
连接CH，则
∠ECH为B1C与平面BCD所成的角.
因为四边形ADEF为正方形，AD=2，
故EH=1，
又EC=12B1C=2，
所以∠ECH=30∘，
即B1C与平面BCD所成的角为30∘.
20.解：（1）由于甲、乙两组各有10名工人，根据分层抽样原理，要从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核，则从每组各抽取2名工人．
（2）记A表示事件：从甲组抽取的工人中恰有1名女工人，则P(A)=C41C61C102=815
（3）Ai表示事件：从甲组抽取的2名工人中恰有i名男工人，i=0，1，2
B表示事件：从乙组抽取的2名工人中恰有j名男工人，j=0，1，2
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B表示事件：抽取的4名工人中恰有2名男工人．
Ai与Bj独立，i，j=0，1，2，且B=A0⋅B2+A1⋅B1+A2⋅B0
故P(B)=P(A0⋅B2+A1⋅B1+A2⋅B0)=P(A0)⋅P(B2)+P(A1)⋅P(B1)+P(A2)⋅P(B0)
=C62C62+C61C41C61C41+C42C42c102C102=3175
【分析】
解：（1）由于甲、乙两组各有10名工人，根据分层抽样原理，要从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核，则从每组各抽取2名工人．
（2）记A表示事件：从甲组抽取的工人中恰有1名女工人，则P(A)=C41C61C102=815
（3）Ai表示事件：从甲组抽取的2名工人中恰有i名男工人，i=0，1，2
B表示事件：从乙组抽取的2名工人中恰有j名男工人，j=0，1，2
B表示事件：抽取的4名工人中恰有2名男工人．
Ai与Bj独立，i，j=0，1，2，且B=A0⋅B2+A1⋅B1+A2⋅B0
故P(B)=P(A0⋅B2+A1⋅B1+A2⋅B0)=P(A0)⋅P(B2)+P(A1)⋅P(B1)+P(A2)⋅P(B0)
=C62C62+C61C41C61C41+C42C42c102C102=3175
21.解：(1)f'(x)=x2-2(1+a)x+4a=(x-2)(x-2a)
由a>1知，当x<2时，f'(x)>0，
故f(x)在区间(-∞, 2)是增函数；
当22a时，f'(x)>0，
故f(x)在区间(2a, +∞)是增函数．
综上，当a>1时，f(x)在区间(-∞, 2)和(2a, +∞)是增函数，
在区间(2, 2a)是减函数．
(2)由(1)知，当x≥0时，f(x)在x=2a或x=0处取得最小值．
f(2a)=13(2a)3-(1+a)(2a)2+4a⋅2a+24a=-43a3+4a2+24a，f(0)=24a
由假设知a>1f(2a)>0f(0)>0
即a>1-43a(a+3)(a-6)>024a>0.解得11知，当x<2时，f'(x)>0，
故f(x)在区间(-∞, 2)是增函数；
当22a时，f'(x)>0，
故f(x)在区间(2a, +∞)是增函数．
综上，当a>1时，f(x)在区间(-∞, 2)和(2a, +∞)是增函数，
在区间(2, 2a)是减函数．
(2)由(1)知，当x≥0时，f(x)在x=2a或x=0处取得最小值．
f(2a)=13(2a)3-(1+a)(2a)2+4a⋅2a+24a=-43a3+4a2+24a，f(0)=24a
由假设知a>1f(2a)>0f(0)>0
即a>1-43a(a+3)(a-6)>024a>0.解得10．
由韦达定理有：y1+y2=-4m2m2+3，y1y2=-42m2+3，①
假设存在点P，使OP→=OA→+OB→成立，则其充要条件为：
点P的坐标为(x1+x2, y1+y2)，
点P在椭圆上，即(x1+x2)23+(y1+y2)22=1．
整理得2x12+3y12+2x22+3y22+4x1x2+6y1y2＝6．
又A、B在椭圆上，即2x12+3y12＝6，2x22+3y22＝6、
故2x1x2+3y1y2+3＝0②
将x1x2＝(my1+1)(my2+1)＝m2y1y2+m(y1+y2)+1及①代入②解得m2=12
∴ y1+y2=22-22，
x1+x2=-4m22m2+3+2=32，即P(32,±22)
当m=22,P(32,-22),l:x=22y+1；
当m=-22,P(32,22),l:x=-22y+1
【分析】
（I）设F(c, 0)，直线l:x-y-c＝0，
由坐标原点O到l的距离为22
则|0-0-c|2=22，解得c＝1
又e=ca=33，∴ a=3,b=2
(II)由(I)知椭圆的方程为C:x23+y22=1
设A(x1, y1)、B(x2, y2)
由题意知l的斜率为一定不为0，故不妨设l:x＝my+1
代入椭圆的方程中整理得(2m2+3)y2+4my-4＝0，显然△>0．
由韦达定理有：y1+y2=-4m2m2+3，y1y2=-42m2+3，①
假设存在点P，使OP→=OA→+OB→成立，则其充要条件为：
点P的坐标为(x1+x2, y1+y2)，
点P在椭圆上，即(x1+x2)23+(y1+y2)22=1．
整理得2x12+3y12+2x22+3y22+4x1x2+6y1y2＝6．
又A、B在椭圆上，即2x12+3y12＝6，2x22+3y22＝6、
故2x1x2+3y1y2+3＝0②
将x1x2＝(my1+1)(my2+1)＝m2y1y2+m(y1+y2)+1及①代入②解得m2=12
∴ y1+y2=22-22，
x1+x2=-4m22m2+3+2=32，即P(32,±22)
当m=22,P(32,-22),l:x=22y+1；
当m=-22,P(32,22),l:x=-22y+1
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