高考数学专题复习练习第2讲 排列与组合

高考数学专题复习练习第2讲 排列与组合

第2讲 排列与组合 一、选择题 ‎1．2013年春节放假安排：农历除夕至正月初六放假，共7天．某单位安排7位员工值班，每人值班1天，每天安排1人．若甲不在除夕值班，乙不在正月初一值班，而且丙和甲在相邻的两天值班，则不同的安排方案共有(　　)‎ A．1 440种 B．1 360种 C．1 282种 D．1 128种 解析 采取对丙和甲进行捆绑的方法：‎ 如果不考虑“乙不在正月初一值班”，则安排方案有：A·A＝1 440种，‎ 如果“乙在正月初一值班”，则安排方案有：C·A·A·A＝192种，‎ 若“甲在除夕值班”，则“丙在初一值班”，则安排方案有：A＝120种．‎ 则不同的安排方案共有1 440－192－120＝1 128(种)．‎ 答案 D ‎2．A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边(A、B可以不相邻)，那么不同的排法共有 (　　)．‎ A.24种 B.60种 C.90种 D.120种 解析　可先排C、D、E三人，共A种排法，剩余A、B两人只有一种排法，由分步计数原理满足条件的排法共A＝60(种)．‎ 答案　B ‎3．如果n是正偶数，则C＋C＋…＋C＋C＝ (　　)．‎ A．2n B．2n－1 ‎ C．2n－2 D．(n－1)2n－1‎ 解析　(特例法)当n＝2时，代入得C＋C＝2，排除答案A、C；‎ 当n＝4时，代入得C＋C＋C＝8，排除答案D.故选B.‎ 答案　B ‎4．某班新年联欢会原定的5‎ 个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目．如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为 (　　)．‎ A.42 B‎.30 ‎ C.20 D.12‎ 解析　可分为两类：两个节目相邻或两个节目不相邻，若两个节目相邻，则有AA＝12种排法；若两个节目不相邻，则有A＝30种排法．由分类计数原理共有12＋30＝42种排法(或A＝42)．‎ 答案　A ‎5．某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有(　　)．‎ A．30种 B．35种 C．42种 D．48种 解析　法一　可分两种互斥情况：A类选1门，B类选2门或A类选2门，B类选1门，共有CC＋CC＝18＋12＝30(种)选法．‎ 法二　总共有C＝35(种)选法，减去只选A类的C＝1(种)，再减去只选B类的C＝4(种)，共有30种选法．‎ 答案　A ‎6．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为 (　　)．‎ A．232 B．‎252 ‎ C．472 D．484‎ 解析　若没有红色卡片，则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张，若都不同色则有C×C×C＝64种，若2张同色，则有C×C×C×C＝144种；若红色卡片有1张，剩余2张不同色，则有C×C×C×C＝192种，乘余2张同色，则有C×C×C＝72种，所以共有64＋144＋192＋72＝472种不同的取法．故选C.‎ 答案　C 二、填空题 ‎7．从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求男、女医生都有，则不同的组队方案共有________种．‎ 解析 分1名男医生2名女医生、2名男医生1名女医生两种情况，或者用间接法．‎ 直接法：CC＋CC＝70.‎ 间接法：C－C－C＝70.‎ 答案 70‎ ‎8．有五名男同志去外地出差，住宿安排在三个房间内，要求甲、乙两人不住同一房间，且每个房间最多住两人，则不同的住宿安排有________种(用数字作答)．‎ 解析 甲、乙住在同一个房间，此时只能把另外三人分为两组，这时的方法总数是CA＝18，而总的分配方法数是把五人分为三组再进行分配，方法数是A＝90，故不同的住宿安排共有90－18＝72种．‎ 答案 72‎ ‎9．某人手中有5张扑克牌，其中2张为不同花色的2,3张为不同花色的A，有5次出牌机会，每次只能出一种点数的牌但张数不限，此人不同的出牌方法共有________种．‎ 解析　出牌的方法可分为以下几类：(1)5张牌全部分开出，有A种方法；(2)2张2一起出，3张A一起出，有A种方法；(3)2张2一起出，3张A分3次出，有A种方法；(4)2张2一起出，3张A分两次出，有CA种方法；(5)2张2分开出，3张A一起出，有A种方法；(6)2张2分开出，3张A分两次出，有CA种方法．因此，共有不同的出牌方法A＋A＋A＋CA＋A＋CA＝860(种)．‎ 答案　860‎ ‎10．小王在练习电脑编程，其中有一道程序题的要求如下：它由A，B，C，D，E，F六个子程序构成，且程序B必须在程序A之后，程序C必须在程序B之后，执行程序C后须立即执行程序D，按此要求，小王的编程方法有__________种．‎ 解析　对于位置有特殊要求的元素可采用插空法排列，把CD看成整体，A，B，C，D产生四个空，所以E有4种不同编程方法，然后四个程序又产生5个空，所以F有5种不同编程方法，所以小王有20种不同编程方法．‎ 答案　20‎ 三、解答题 ‎11． 7名男生5名女生中选取5人，分别求符合下列条件的选法总数有多少种．‎ ‎(1)A，B必须当选；‎ ‎(2)A，B必不当选；‎ ‎(3)A，B不全当选；‎ ‎(4)至少有2名女生当选；‎ ‎(5)选取3名男生和2名女生分别担任班长、体育委员等5种不同的工作，但体育委员必须由男生担任，班长必须由女生担任．‎ 解　(1)由于A，B必须当选，那么从剩下的10人中选取3人即可，故有C＝120种选法．‎ ‎(2)从除去的A，B两人的10人中选5人即可，故有C＝252种选法．‎ ‎(3)全部选法有C种，A，B全当选有C种，故A，B不全当选有C－C＝672种选法．‎ ‎(4)注意到“至少有2名女生”的反面是只有一名女生或没有女生，故可用间接法进行．所以有C－C·C－C＝596种选法．‎ ‎(5)分三步进行；‎ 第1步，选1男1女分别担任两个职务有C·C种选法．‎ 第2步，选2男1女补足5人有C·C种选法．‎ 第3步，为这3人安排工作有A方法．由分步乘法计数原理，共有CC·CC·A＝12 600种选法．‎ ‎12．要从5名女生，7名男生中选出5名代表，按下列要求，分别有多少种不同的选法？‎ ‎(1)至少有1名女生入选；(2)至多有2名女生入选；(3)男生甲和女生乙入选；(4)男生甲和女生乙不能同时入选；(5)男生甲、女生乙至少有一个人入选．‎ 解　(1)C－C＝771；‎ ‎(2)C＋CC＋CC＝546；‎ ‎(3)CC＝120；‎ ‎(4)C－CC＝672；‎ ‎(5)C－C＝540.‎ ‎13．某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加赈灾医疗队，其中：‎ ‎(1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？‎ ‎(2)甲、乙均不能参加，有多少种选法？‎ ‎(3)甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？‎ ‎(4)队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？‎ 解　(1)只需从其他18人中选3人即可，共有C＝816(种)；‎ ‎(2)只需从其他18人中选5人即可，共有C＝8 568(种)；‎ ‎(3)分两类：甲、乙中有一人参加，甲、乙都参加，‎ 共有CC＋C＝6 936(种)；‎ ‎(4)方法一　(直接法)：‎ 至少有一名内科医生和一名外科医生的选法可分四类：‎ 一内四外；二内三外；三内二外；四内一外，‎ 所以共有CC＋CC＋CC＋CC＝14 656(种)．‎ 方法二　(间接法)：‎ 由总数中减去五名都是内科医生和五名都是外科医生的选法种数，得C－(C＋C)＝14 656(种)．‎ ‎14．已知10件不同的产品中有4件次品，现对它们一一测试，直至找到所有4件次品为止．‎ ‎(1)若恰在第2次测试时，才测试到第一件次品，第8次才找到最后一件次品，则共有多少种不同的测试方法？‎ ‎(2)若至多测试6次就能找到所有4件次品，则共有多少种不同的测试方法？‎ 解　(1)若恰在第2次测试时，才测到第一件次品，第8次才找到最后一件次品，若是不放回的逐个抽取测试．‎ 第2次测到第一件次品有4种抽法；‎ 第8次测到最后一件次品有3种抽法；‎ 第3至第7次抽取测到最后两件次品共有A种抽法；剩余4次抽到的是正品，共有AAA＝86 400种抽法．‎ ‎(2)检测4次可测出4件次品，不同的测试方法有A种，‎ 检测5次可测出4件次品，不同的测试方法有‎4AA种；‎ 检测6次测出4件次品或6件正品，则不同的测试方法共有‎4AA＋A种．‎ 由分类计数原理，满足条件的不同的测试方法的种数为 A＋‎4AA＋‎4AA＋A＝8 520.‎