2006年四川省高考数学试卷(理科)【附答案、word版本,可再编辑;B4纸型两栏】

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2006年四川省高考数学试卷(理科)【附答案、word版本,可再编辑;B4纸型两栏】

‎2006年四川省高考数学试卷(理科)‎ 一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)‎ ‎1. 已知集合A={x|x‎2‎-5x+6≤0}‎,B={x||2x-1|>3}‎,则集合A∩B=(‎ ‎‎)‎ A.‎{x|2≤x≤3}‎ B.‎{x|2≤x<3}‎ C.‎{x|20)‎,f(x)‎的导函数是f'(x)‎.对任意两个不相等的正数x‎1‎、x‎2‎,证明:‎ ‎(1)当a≤0‎时,f(x‎1‎)+f(x‎2‎)‎‎2‎‎>f(x‎1‎‎+‎x‎2‎‎2‎)‎;‎ ‎(2)当a≤4‎时,‎|f'(x‎1‎)-f'(x‎2‎)|>|x‎1‎-x‎2‎|‎.‎ ‎ 9 / 9‎ 参考答案与试题解析 ‎2006年四川省高考数学试卷(理科)‎ 一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)‎ ‎1.C ‎2.D ‎3.D ‎4.B ‎5.D ‎6.B ‎7.A ‎8.C ‎9.A ‎10.C ‎11.A ‎12.B 二、填空题(共4小题,每小题4分,满分16分)‎ ‎13.‎arctan‎2‎ ‎14.‎‎1‎‎10‎ ‎15.‎‎35‎ ‎16.①③‎ 三、解答题(共6小题,满分74分)‎ ‎17.(1)∵ ‎m‎→‎‎⋅n‎→‎=1‎ ‎∴ ‎‎(-1,‎3‎)⋅(cosA,sinA)=1‎ 即‎3‎sinA-cosA=2(sinA⋅‎3‎‎2‎-cosA⋅‎1‎‎2‎)=1‎,‎sin(A-π‎6‎)=‎‎1‎‎2‎ ‎∵ ‎‎0=‎|HP‎→‎|⋅|HF‎→‎|‎‎˙‎=‎‎2‎‎21‎ 故:二面角P-AE-D的大小为arccos‎2‎‎21‎‎21‎ ‎(3)设n‎1‎‎→‎‎=(x‎1‎,y‎1‎,z‎1‎)‎为平面DEN的法向量,‎ 则n‎1‎‎→‎‎⊥DE‎→‎,n‎1‎‎→‎⊥‎DN‎→‎ 又DE‎→‎‎=(a‎2‎,2a,0),DN‎→‎=(0,a,a‎2‎),DP‎→‎=(a‎2‎,0,a)‎ ‎∴ a‎2‎x‎1‎‎+2ay‎1‎=0‎‎2y‎1‎+a‎2‎z‎1‎=0‎即x‎1‎‎=-4‎y‎1‎z‎1‎‎=-2‎y‎1‎∴ 可取n‎1‎‎→‎‎=(4,-1,2)‎ ‎∴ P点到平面DEN的距离为d=‎|n‎1‎‎→‎|‎‎˙‎=‎|2a+2a|‎‎16+1+4‎=‎‎4a‎21‎ ‎∵ cos⟨DE‎→‎,DN‎→‎>=‎|DE‎→‎|⋅|DN‎→‎|‎‎˙‎=‎‎8‎‎85‎,‎sin⟨DE‎→‎,DN‎→‎>=‎‎21‎‎85‎ ‎∴ ‎S‎△DEN‎=‎1‎‎2‎|DE‎→‎|⋅|DN‎→‎|⋅sin⟨DE‎→‎,DN‎→‎>=‎‎21‎‎8‎a‎2‎ ‎∴ ‎VP-DEN‎=‎1‎‎3‎S‎△DEN⋅d=‎1‎‎3‎×‎21‎‎8‎a‎2‎×‎4a‎21‎=‎a‎3‎‎6‎ ‎20.解:(1)由题意,‎{an}‎是首项为‎1‎,公差为‎2‎的等差数列 前n项和Sn‎=‎1+1+2(n-1)‎‎2‎⋅n=‎n‎2‎,‎ lnSn=lnn‎2‎=2lnnUn=2(ln1+ln2+...+lnn)=2ln(n‎!‎‎)‎ ‎(2)‎Fn‎(x)=eUn‎2n(n!‎‎)‎‎2‎⋅x‎2n=‎(n!‎‎)‎‎2‎‎2n(n!‎‎)‎‎2‎⋅x‎2n=x‎2n‎2nFn'(x)=x‎2n-1‎Tn(x)=k=1‎nFk‎'‎(x)=k=1‎nx‎2k-1‎=‎x(1-x‎2n)‎‎1-‎x‎2‎‎(01)‎ limn→∞‎Tn‎(x)‎Tn+1‎‎(x)‎‎=‎limn→∞‎‎1-‎x‎2n‎1-‎x‎2n+2‎‎=1‎‎(01)‎ ‎21.解:由双曲线的定义可知,‎ 曲线E是以F‎1‎‎(-‎2‎,0),F‎2‎(‎2‎,0)‎为焦点的双曲线的左支,‎ 且c=‎2‎,a=1‎,易知b=1‎ 故曲线E的方程为x‎2‎‎-y‎2‎=1(x<0)‎ 设A(x‎1‎, y‎1‎)‎,B(x‎2‎, y‎2‎)‎,由题意建立方程组y=kx-1‎x‎2‎‎-y‎2‎=1‎ 消去y,得‎(1-k‎2‎)x‎2‎+2kx-2=0‎ 又已知直线与双曲线左支交于两点A,B,‎ 有‎1-k‎2‎≠0‎‎△=(2k‎)‎‎2‎+8(1-k‎2‎)>0‎x‎1‎‎+x‎2‎=‎-2k‎1-‎k‎2‎<0‎x‎1‎x‎2‎‎=‎-2‎‎1-‎k‎2‎>0‎ ‎ 9 / 9‎ 解得‎-‎2‎‎1‎‎4‎[(x‎1‎‎2‎+x‎2‎‎2‎)+2x‎1‎x‎2‎‎]‎‎2‎=(‎x‎1‎‎+‎x‎2‎‎2‎‎)‎‎2‎①‎ 又‎(x‎1‎+x‎2‎‎)‎‎2‎=(x‎1‎‎2‎+x‎2‎‎2‎)+2x‎1‎x‎2‎>4‎x‎1‎x‎2‎ ‎∴ x‎1‎‎+‎x‎2‎x‎1‎x‎2‎‎>‎‎4‎x‎1‎‎+‎x‎2‎②‎ ‎∵ ‎x‎1‎x‎2‎‎<‎x‎1‎‎+‎x‎2‎‎2‎ ‎∴ ‎lnx‎1‎x‎2‎(x‎1‎‎+‎x‎2‎‎2‎‎)‎‎2‎+‎4‎x‎1‎‎+‎x‎2‎+alnx‎1‎x‎2‎,‎ 即f(x‎1‎)+f(x‎2‎)‎‎2‎‎>f(x‎1‎‎+‎x‎2‎‎2‎)‎.‎ ‎(2)证法一:由f(x)=x‎2‎+‎2‎x+alnx,得f‎'‎‎(x)=2x-‎2‎x‎2‎+‎ax ‎∴ ‎‎|f‎'‎(x‎1‎)-f‎'‎(x‎2‎)|=|(2x‎1‎-‎2‎x‎1‎‎2‎+ax‎1‎)-(2x‎2‎-‎2‎x‎2‎‎2‎+ax‎2‎)|=|x‎1‎-x‎2‎|⋅|2+‎2(x‎1‎+x‎2‎)‎x‎1‎‎2‎x‎2‎‎2‎-ax‎1‎x‎2‎||f‎'‎(x‎1‎)-f‎'‎(x‎2‎)|>|x‎1‎-x‎2‎|⇔|2+‎2(x‎1‎+x‎2‎)‎x‎1‎‎2‎x‎2‎‎2‎-ax‎1‎x‎2‎|>1‎ 下面证明对任意两个不相等的正数x‎1‎,x‎2‎,有‎2+‎2(x‎1‎+x‎2‎)‎x‎1‎‎2‎x‎2‎‎2‎-ax‎1‎x‎2‎>1‎恒成立 ‎ 9 / 9‎ 即证ax‎1‎x‎2‎+‎‎4‎x‎1‎x‎2‎ 设t=x‎1‎x‎2‎,u(x)=t‎2‎+‎4‎t(t>0)‎,‎ 则u‎'‎‎(x)=2t-‎‎4‎t‎2‎,‎ 令u'(x)=0‎得t=‎‎3‎‎2‎,列表如下:‎ t ‎ ‎‎(0,‎3‎‎2‎)‎ ‎ ‎‎3‎‎2‎ ‎ ‎‎(‎3‎‎2‎,+∞)‎ u'(t)‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ u(t)‎ ‎□‎ ‎ 极小值‎3‎‎3‎‎4‎ ‎□‎ u(t)≥3‎3‎‎4‎=‎3‎‎108‎>4≥a ‎∴ ‎x‎1‎x‎2‎‎+‎2(x‎1‎+x‎2‎)‎x‎1‎x‎2‎>a ‎∴ 对任意两个不相等的正数x‎1‎,x‎2‎,恒有‎|f‎'‎(x‎1‎)-f‎'‎(x‎2‎)|>|x‎1‎-x‎2‎|‎ 证法二:由f(x)=x‎2‎+‎2‎x+alnx,‎ 得f‎'‎‎(x)=2x-‎2‎x‎2‎+‎ax ‎∴ ‎‎|f‎'‎(x‎1‎)-f‎'‎(x‎2‎)|=|(2x‎1‎-‎2‎x‎1‎‎2‎+ax‎1‎)-(2x‎2‎-‎2‎x‎2‎‎2‎+ax‎2‎)|=|x‎1‎-x‎2‎|⋅|2+‎2(x‎1‎+x‎2‎)‎x‎1‎‎2‎x‎2‎‎2‎-ax‎1‎x‎2‎|‎ ‎∵ x‎1‎,x‎2‎是两个不相等的正数 ‎∴ ‎‎2+‎2(x‎1‎+x‎2‎)‎x‎1‎‎2‎x‎2‎‎2‎-ax‎1‎x‎2‎>2+‎4‎‎(‎x‎1‎x‎2‎‎)‎‎3‎-ax‎1‎x‎2‎≥2+‎4‎‎(‎x‎1‎x‎2‎‎)‎‎3‎-‎‎4‎x‎1‎x‎2‎ 设t=‎‎1‎x‎1‎x‎2‎,‎u(t)=2+4t‎3‎-4t‎2‎(t>0)‎ 则u'(t)=4t(3t-2)‎,列表:‎ t ‎ ‎‎(0,‎2‎‎3‎)‎ ‎ ‎‎2‎‎3‎ ‎ ‎‎(‎2‎‎3‎,+∞)‎ u'(t)‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ u(t)‎ ‎□‎ ‎ 极小值‎38‎‎27‎ ‎□‎ ‎∴ u=‎38‎‎27‎>1‎即‎2+‎2(x‎1‎+x‎2‎)‎x‎1‎‎2‎x‎2‎‎2‎-ax‎1‎x‎2‎>1‎ ‎∴ ‎‎|f‎'‎(x‎1‎)-f‎'‎(x‎2‎)|=|x‎1‎-x‎2‎|⋅|2+‎2(x‎1‎+x‎2‎)‎x‎1‎‎2‎x‎2‎‎2‎-ax‎1‎x‎2‎|>|x‎1‎-x‎2‎|‎ 即对任意两个不相等的正数x‎1‎,x‎2‎,恒有‎|f'(x‎1‎)-f'(x‎2‎)|>|x‎1‎-x‎2‎|‎ ‎ 9 / 9‎
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