高考数学曲线方程讲义

高考数学曲线方程讲义

高三第一轮复习数学---曲线方程 一、教学目标：了解解析几何的基本思想，了解坐标法研究几何问题的方法；掌握用定 义法和直接法求曲线的方程的方法和步骤。‎ 二、教学重点：注意动点应满足的某些隐含条件；2、注意方程化简时的等价性，主要是在去分母和两边平方时的变形。3、注意图形可能的不同位置或字母系数取不同值的讨论。‎ 三、教学过程：‎ ‎（一）主要知识：‎ 1、 曲线方程的意义：正如一个关于的一元二次方程一定表示一条直线，一条直线必定可以用个关于的一元二次方程表示一样，直角坐标系内的曲线可以用一个关于的二元方程来表示，一个关于的二元方程表示着坐标平面内的一条曲线。而函数亦为方程是的特殊形式。‎ 2、 方程恰为曲线C的方程即曲线C恰为方程的曲线的充要条件为：‎ （1） 曲线C上的点的坐标都是方程的解；否则曲线C比比方程所表示的曲线多点（纯粹性）‎ 且（2）以方程的解为坐标的点都在曲线C上；否则曲线C比方程所表示的曲线少点（完备性）‎ 即曲线C=‎ 3、 已知曲线求方程：求动点的轨迹方程，　文字语言的几何条件 数学符号语言的等式 数学符号语言中含动点坐标 ， 的代数方程 简化了的 ， 的代数方程 最后除掉多余的点（加上遗漏的点）。‎ 4、 已知曲线方程求曲线：要做到不多不少刚刚好。‎ 5、 曲线与曲线的交点坐标为：方程组的解（特别注意大括号的意义为交点坐标）‎ ‎（二）例题分析：‎ ‎（一）曲线方程的意义：‎ 例1：（1）如果命题“坐标满足方程 的点都在曲线 上”不正确，那么以下正确的命题是 ‎　　（A）曲线 上的点的坐标都满足方程 ．‎ ‎　　（B）坐标满足方程 的点有些在 上，有些不在 上．‎ ‎　　（C）坐标满足方程 的点都不在曲线 上．‎ ‎　　（D）一定有不在曲线 上的点，其坐标满足方程 ．‎ ‎　　分析：举例，若方程为 ，曲线为第一、三象限角平分线，易知答案为D．‎ ‎（2）求曲线 分别关于①直线②③点④直线对称的曲线方程．‎ 解：①；②；③；④‎ ‎（二）已知曲线方程求曲线：‎ 例2 （1）表示什么曲线？‎ ‎ （2）方程表示什么曲线？ ‎ 解：（1）原方程等价于：当时为x；当时为；当时为（画图）‎ ‎（2）原方程等价于：或即：或 所以表示直线和射线（画图0‎ 点评：这多条图形为曲线C；‎ 思考：表示什么曲线？（曲线C为圆：和直线在此圆外面部份）‎ ‎（三）已知曲线求方程：求动点的轨迹方程：‎ 例3 过定点任作互相垂直的两直线与，且与轴交于点M，与轴交于点N，求线段MN的中点P的轨迹方程。 ‎ 解：法一（直译法）由，‎ 化简得：‎ 法二（代入法）设，，则 ①‎ 因为，所以 ②‎ 由①代入②可得：‎ X X A N M O 例4 ‎（2000年春季高考）已知抛物线O为顶点，A，B为抛物线上的两动点，且满足，如果于点M，求点M的轨迹方程。‎ 解：（参数法）设的方程为，点M的坐标为，则OB的方程为 由得由得则 所以，，消去参数得轨迹方程为 即所求轨迹是以点为圆心，长为半径的圆除去原点。‎ 点评：直译法、代入法和参数法是求轨迹方程的三大基本方法。‎ ‎（四）曲线的交点：‎ 例5、已知曲线，点，曲线，求的交点个数。‎ 解：0个。设点是上的点，则，而若这与矛盾。‎ 例6、求过点的直线与曲线有两个不同的交点，且这两个交点的纵坐标之和为，求的取值范围。‎ 解：设直线方程为，由方程组消去得，设其两个根为 ‎ 则，‎ 得 的取值范围是 ‎（三）巩固练习：‎ ‎1．和y轴相切并且和曲线x2+y2=4 (0≤x≤2)相内切的动圆圆心的轨迹方程为（ ）。‎ ‎　　A、y2=-4(x-1) (x>0)　　　 B、y2=2(x+1) (00，设其半径为r，则由相切条件 ‎　　，∴ |MO|=2-|x|，即， ‎ ‎， ，又-4(x-1)=y2≥0,‎ ‎　　∴ 所求方程为y2=-4(x-1) (00)，求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线。 ‎ 解：设MN切圆C于N，则|MN|2=|MO|2-|ON|2，‎ ‎　　设点M(x,y)，则，化简，得 ‎ ‎　　(λ2-1)(x2+y2)-4λ2x+(1+4λ2)=0 ‎ ‎　　1）当λ=1时，方程为，表示一条直线。 ‎ ‎　　2）当λ≠1时，方程化为表示一个圆。 ‎ ‎　　小结：本题是典型的直接（列方程化简）法。‎ 四、小结：‎ 曲线方程的意义；方程恰为曲线C的方程即曲线C恰为方程的曲线的充要条件；已知曲线求方程：求动点的轨迹方程；已知曲线方程求曲线：要做到不多不少刚刚好；曲线与曲线的交点坐标 五、作业：‎