高考数学第二轮复习专题极坐标与参数方程含答案

高考数学第二轮复习专题极坐标与参数方程含答案

高考数学第二轮复习专题：极坐标与参数方程 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________‎ 一、选择题（题型注释）‎ 二、填空题（题型注释）‎ 三、解答题（题型注释）‎ ‎1．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，圆的方程为.‎ ‎（1）求圆的直角坐标方程；‎ ‎（2）设圆与直线交于点，若点的坐标为，求 ‎2．（本小题满分10分）‎ 在极坐标系中，点坐标是，曲线的方程为；以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是的直线经过点．‎ ‎（1）写出直线的参数方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）求证直线和曲线相交于两点、，并求的值．‎ ‎3．（本题满分10分）曲线的参数方程为（其中为参数），M是曲线上的动点，且M是线段OP的中点，P点的轨迹为曲线，直线l的方程为，直线l与曲线交于A，B两点。‎ ‎（1）求曲线的普通方程；‎ ‎（2）求线段AB的长。‎ ‎4．选修4-4：坐标系与参数方程 ‎（Ⅰ）求直线（为参数）的倾斜角的大小. ‎ ‎（Ⅱ）在极坐标系中，已知点，是曲线上任意一点，求的面积的最小值．‎ ‎5．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标为，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）把曲线的参数方程化为极坐标方程；‎ ‎（2）曲线与曲线交于点，曲线与曲线交于点，求.‎ ‎6．（本小题满分10分）选修4－4：极坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设为曲线上的动点，求点到上点的距离的最小值．‎ ‎7．．已知直线的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程是以极点为原点，极轴为x轴正方向建立直角坐标系，点，直线与曲 线C交于A，B两点．‎ ‎（1）写出直线的普通方程与曲线C的直角坐标方程；‎ ‎（2）线段MA，MB长度分别记|MA|，|MB|，求|MA|·|MB|的值．‎ ‎8．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线 的极坐标方程为 ，曲线C的参数方程是 （ 是参数）．‎ ‎（1）求直线 的直角坐标方程及曲线C的普通方程；‎ ‎（2）求曲线C上的点到直线的最大距离．‎ ‎9．（选修4-4：坐标系与参数方程） 平面直角坐标系中, 已知曲线,将曲线上所有点横坐标, 纵坐标分别伸长为原来的倍和倍后, 得到曲线.‎ ‎（1）试写出曲线参数方程； ‎ ‎（2）在曲线上求点,使得点到直线的距离最大, 并求距离最大值.‎ ‎10．已知直线l经过点，倾斜角α＝，圆C的极坐标方程为.‎ ‎(1)写出直线l的参数方程，并把圆C的方程化为直角坐标方程；‎ ‎(2)设l与圆C相交于两点A、B，求点P到A、B两点的距离之积．‎ ‎11．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，直线:=2，圆：,以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（Ⅰ）求，的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线的极坐标方程为，设与的交点为, ,求的面积. ‎ ‎12．已知圆的极坐标方程为，直线的参数方程为 ‎（为参数），点的极坐标为，设直线与圆交于点、.‎ ‎（1）写出圆的直角坐标方程；‎ ‎（2）求的值. ‎ ‎13．选修4—4：极坐标与参数方程 已知曲线的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是．‎ ‎（1）写出的极坐标方程和的直角坐标方程；‎ ‎（2）已知点、的极坐标分别为和，直线与曲线相交于两点，射线与曲线相交于点，射线与曲线相交于点，求的值．‎ ‎14．在极坐标系中，点坐标是，曲线的方程为；以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是的直线经过点．‎ ‎（1）写出直线的参数方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）求证直线和曲线相交于两点、，并求的值．‎ ‎15．已知曲线的极坐标方程是，直线的参数方程是（为参数）.‎ ‎（I）将曲线的极坐标方程转化为直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线与轴的交点是为曲线上一动点，求的最大值.‎ 参考答案 ‎1．（1） （2） ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由得即 (4分)‎ ‎（2）将的参数方程代入圆的直角坐标方程，得，即(7分)‎ 由于，故可设是上述方程的两实根，所以 ‎，故由上式及的几何意义得： (10分)‎ 考点：本题主要考查参数方程，简单曲线的极坐标方程，直线与圆的位置关系。‎ 点评：容易题，涉及参数方程、极坐标的题目，往往难度不太大，在直线与圆锥曲线位置关系问题中，考查韦达定理应用的题目居多。‎ ‎2．解：（1）直线参数方程， 曲线的直角坐标方程为；（2）代入，得 ‎∵，∴直线的和曲线相交于两点、，设的两个根是，，∴． ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：解：（1）∵点的直角坐标是，直线倾斜角是， …………（1分）‎ ‎∴直线参数方程是，即， ………（3分）‎ 即，‎ 两边同乘以得，曲线的直角坐标方程 曲线的直角坐标方程为；………………（5分）‎ ‎（2）代入，得 ‎∵，∴直线的和曲线相交于两点、，………（7分）‎ 设的两个根是，，‎ ‎∴． ………………（10分）‎ 考点：本题考查了极坐标与参数方程的运用 点评：近几年的高考试题对选修4-4的考查都是以极坐标方程与参数方程混合命题，我们在复习的过程中要注意训练化极坐标方程和参数方程为普通方程 ‎3．（1）； （2）‎ ‎【解析】略 ‎4．（Ⅰ）倾斜角的大小为. （Ⅱ）的面积的最小值为. ‎ ‎【解析】本试题主要是考查了参数方程和极坐标方程的综合运用。‎ ‎（1）利用参数方程，消去参数t的值的，得到直线的普通方程为，从而得到倾斜角的大小。‎ ‎（2）将极坐标A，B,化为直角坐标，依题意得点的直角坐标分别为，那么直线方程为，曲线的直角坐标方程为，‎ ‎，利用直线与圆的位置关系来判定三角形面积的最小值即由点到圆的最短距离得到。‎ 解：（Ⅰ）因为直线的普通方程为，所以倾斜角的大小为.……3分 ‎（Ⅱ）依题意得点的直角坐标分别为，直线方程为，曲线的直角坐标方程为，‎ 点到圆的最短距离为，‎ 所以的面积的最小值为.………………7分 ‎5．（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）先将曲线化为普通方程，再利用将其化为极坐标方程；（2）求出的极坐标，在利用极坐标的意义得可得结果.‎ 试题解析：（1）曲线的普通方程为，即，‎ 由，得，所以曲线的极坐标方程为.‎ ‎（2）设点的极坐标为，点的极坐标为，‎ 则，‎ 所以.‎ 考点：（1）参数方程与普通方程；（2）极坐标方程与普通方程；（3）两点间的距离.‎ ‎6．（1），；（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）将参数方程转化为直角坐标系下的普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取恰当的消参方法，常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法；（2）将参数方程转化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解、漏解，若有范围限制，要标出的取值范围；（3）直角坐标方程化为极坐标方程，只需把公式及直接代入并化简即可；而极坐标方程化为极坐标方程要通过变形，构造形如，，的形式，进行整体代换，其中方程的两边同乘以（或同除以）及方程的两边平方是常用的变形方法.‎ 试题解析：（1）由曲线： 得 ‎ 即：曲线的普通方程为： ‎ 由曲线：得：‎ 即：曲线的直角坐标方程为: 5分 ‎（2）由（1）知椭圆与直线无公共点，‎ 椭圆上的点到直线的距离为 所以当时，的最小值为 10分 考点：1、参数方程与普通方程的互化；2、点到直线的距离公式.‎ ‎7．解：（1）直线的普通方程为：， ‎ ‎，，‎ 曲线直角坐标方程 （6分）（2）将代入得，‎ ‎． （12分）‎ ‎【解析】略 ‎8．（1），；（2）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）先利用两角和的正弦公式展开，再利用进行化简，即得直线的普通方程，借助同角三角函数基本关系式的平方关系消去参数，即得到曲线的普通方程；（2）利用曲线上的点的参数坐标，利用点到直线的距离公式和配角公式以及三角函数的图象与性质进行求解．‎ 试题解析：（1）由 得：‎ ‎ ，‎ 由 得平方相加得： ．‎ ‎（2）∵ ，‎ ‎∴ ．‎ 考点：1.曲线的参数方程、极坐标方程与普通方程的互化；2.点到直线的距离公式．‎ ‎9．（1）为参数）.（2）,点的坐标为.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）写出的参数方程为为参数）, 根据进一步确定的参数方程.‎ ‎（2）由（1） 得点,利用点到直线的距离公式，写出的表达式，根据三角函数的图象和性质，确定其最大值及点的坐标.‎ 试题解析：（1）曲线的参数方程为为参数）, 由得,‎ 的参数方程为为参数）.‎ ‎（2）由（1） 得点,点到直线的距离 ‎,‎ 此时点的坐标为.‎ 考点：1.曲线的参数方程；2.点到直线的距离公式；3.三角函数的性质.‎ ‎【名师点睛】作为选考内容，题目的难度一般不大，掌握基础知识、基本方法即可.‎ 本题与平面解析几何、三角函数相结合，综合考查考生的学习理解能力、基本运算能力.‎ ‎10．（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由参数方程的概念可以写成l的参数方程为，化简为 (t为参数) ；在两边同时乘以，且ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，∴.（2）在l取一点，用参数形式表示，再代入，得到t2＋t－＝0，|PA|·|PB|＝|t1t2|＝.故点P到点A、B两点的距离之积为.‎ 试题解析：(1)直线l的参数方程为,即 (t为参数) ‎ 由,得ρ＝cosθ＋sinθ，所以ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ，‎ ‎∵ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，∴.‎ ‎(2)把代入.‎ 得t2＋t－＝0，|PA|·|PB|＝|t1t2|＝.故点P到点A、B两点的距离之积为.‎ 考点：1.参数方程的应用；2.极坐标方程与直角坐标方程的转化. ‎ ‎11．（Ⅰ）,（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）用直角坐标方程与极坐标互化公式即可求得，‎ 的极坐标方程；（Ⅱ）将将代入即可求出|MN|，利用三角形面积公式即可求出的面积.‎ 试题解析：（Ⅰ）因为，‎ ‎∴的极坐标方程为，的极坐标方程为.……5分 ‎ （Ⅱ）将代入，得，解得=，=，|MN|=－=，‎ 因为的半径为1，则的面积=.‎ 考点：直角坐标方程与极坐标互化；直线与圆的位置关系 ‎12．（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）在极坐标方程的两边同时乘以，然后由，即可得到圆的直角坐标方程；（2）将直线的标准参数方程代入圆的直角坐标方程，消去、得到有关的参数方程，然后利用韦达定理求出的值.‎ ‎（1）由，得 ‎ ‎，，‎ 即，‎ 即圆的直角坐标方程为；‎ ‎（2）由点的极坐标得点直角坐标为，‎ 将代入消去、，整理得， ‎ 设、为方程的两个根，则，‎ 所以.‎ 考点：1.圆的极坐标方程与直角坐标方程之间的转化；2.韦达定理 ‎13．（1）的极坐标方程为；的直角坐标方程为；‎ ‎（2）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）利用进行消参得到的直角坐标方程，再利用，得到的极坐标方程，同时得到的直角坐标方程；（2）首先确定的直角坐标，进而确定与曲线的关系，进而判断出，设点的参数方程分别为，代入中化简整理得到：．‎ 试题解析：（1）曲线的普通方程为，‎ 化成极坐标方程为 3分 曲线的直角坐标方程为 5分 ‎（2）在直角坐标系下， ，，‎ 线段是圆的一条直径 ‎ 由 得 是椭圆上的两点，‎ 在极坐标下，设 分别代入中，‎ 有和 ‎ ‎ 则 即． 10分 考点：1．参数方程化为直角坐标；2．极坐标化为直角坐标方程．‎ ‎14．解：（1）∵点的直角坐标是，直线倾斜角是， …………（1分）‎ ‎∴直线参数方程是，即， ………（3分）‎ 即，‎ 两边同乘以得，曲线的直角坐标方程 曲线的直角坐标方程为；………………（5分）‎ ‎（2）代入，得 ‎∵，∴直线的和曲线相交于两点、，………（7分）‎ 设的两个根是，，‎ ‎∴． ………………（10分）‎ ‎【解析】略 ‎ 15．（1）；（2）.‎ ‎ 【解析】‎ 试题分析：（1）根据 可以将极坐标方程转化为坐标方程，（2）将直线的参数方程转化成直角坐标方程，再根据平时熟悉的几何知识去做题.‎ 试题解析：（1）两边同时乘以得，则 曲线的极坐标方程转化为直角坐标方程为：‎ ‎（2）直线的参数方程化为直角坐标方程得：‎ 令得，即，又曲线为圆，圆的圆心坐标为，‎ 半径，则.‎ ‎.‎ 考点：1.极坐标与直角坐标的转化，2.参数方程与直角坐标方程的转化.‎