高考数学难点突破39__化归思想

高考数学难点突破39__化归思想

高中数学难点 39 化归思想 化归与转换的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、 图象、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想.等价转化总是 将抽象转化为具体，复杂转化为简单、未知转化为已知，通过变换迅速而合理的寻找和选择 问题解决的途径和方法. 1.（★★★★★）一条路上共有 9 个路灯，为了节约用电，拟关闭其中 3 个，要求两端 的路灯不能关闭，任意两个相邻的路灯不能同时关闭，那么关闭路灯的方法总数为 . 2.（★★★★★）已知平面向量 a=( 3 –1),b=( 2 3,2 1 ). （1）证明 a⊥b; （2）若存在不同时为零的实数 k 和 t，使 x=a+(t2–3)b，y=–ka+tb，且 x⊥y，试求函 数关系式 k=f(t); （3）据（2）的结论，讨论关于 t 的方程 f(t)–k=0 的解的情况. ［例 1］对任意函数 f(x), x∈D，可按图示构造一个数列发生器，其 工作原理如下： ①输入数据 x0∈D，经数列发生器输出 x1=f(x0)； ②若 x1D，则数列发生器结束工作；若 x1∈D，则将 x1 反馈回输 入端，再输出 x2=f(x1)，并依此规律继续下去. 现定义 1 24)(   x xxf （1）若输入 x0= 65 49 ，则由数列发生器产生数列{xn}，请写出{xn}的 所有项； （2）若要数列发生器产生一个无穷的常数列，试求输入的初始数据 x0 的值； （3）若输入 x0 时，产生的无穷数列{xn}，满足对任意正整数 n 均有 xn＜xn+1；求 x0 的 取值范围. 命题意图：本题主要考查学生的阅读审题，综合理解及逻辑推理的能力.属★★★★★ 级题目. 知识依托：函数求值的简单运算、方程思想的应用.解不等式及化归转化思想的应用.解 题的关键就是应用转化思想将题意条件转化为数学语言. 错解分析：考生易出现以下几种错因：（1）审题后不能理解题意.（2）题意转化不出数 学关系式，如第 2 问.（3）第 3 问不能进行从一般到特殊的转化. 技巧与方法：此题属于富有新意，综合性、抽象性较强的题目.由于陌生不易理解并将 文意转化为数学语言.这就要求我们慎读题意，把握主脉，体会数学转换. 解：（1）∵f(x)的定义域 D=（–∞,–1)∪(–1,+∞) ∴数列{xn}只有三项， 1,5 1,19 11 321  xxx （2）∵ xx xxf   1 24)( ,即 x2–3x+2=0 ∴x=1 或 x=2，即 x0=1 或 2 时 n n n n xx xx   1 24 1 故当 x0=1 时，xn=1，当 x0=2 时，xn=2（n∈N*） （3）解不等式 1 24   x xx ，得 x＜–1 或 1＜x＜2 要使 x1＜x2，则 x2＜–1 或 1＜x1＜2 对于函数 1 641 24)(   xx xxf 若 x1＜–1，则 x2=f(x1)＞4，x3=f(x2)＜x2 若 1＜x1＜2 时，x2=f(x1)＞x1 且 1＜x2＜2 依次类推可得数列{xn}的所有项均满足 xn+1＞xn（n∈N*) 综上所述，x1∈(1,2) 由 x1=f(x0),得 x0∈(1,2). ［例 2］设椭圆 C1 的方程为 12 2 2 2  b y a x (a＞b＞0)，曲线 C2 的方程为 y= x 1 ，且曲线 C1 与 C2 在第一象限内只有一个公共点 P. （1）试用 a 表示点 P 的坐标； （2）设 A、B 是椭圆 C1 的两个焦点，当 a 变化时，求△ABP 的面积函数 S(a)的值域； （3）记 min{y1,y2,……,yn}为 y1,y2,……,yn 中最小的一个.设 g(a)是以椭圆 C1 的半焦距为 边长的正方形的面积，试求函数 f(a)=min{g(a), S(a)}的表达式. 命题意图：本题考查曲线的位置关系，函数的最值等基础知识，考查推理运算能力及综 合运用知识解题的能力.属★★★★★级题目. 知识依托：两曲线交点个数的转化及充要条件，求函数值域、解不等式. 错解分析：第（1）问中将交点个数转化为方程组解的个数，考查易出现计算错误，不 能借助Δ 找到 a、b 的关系.第（2）问中考生易忽略 a＞b＞0 这一隐性条件.第（3）问中考生 往往想不起将 min{g(a),S(a)}转化为解不等式 g(a)≥S(a). 技巧与方法：将难以下手的题目转化为自己熟练掌握的基本问题，是应用化归思想的灵 魂.要求必须将各知识的内涵及关联做到转化有目标、转化有桥梁、转化有效果. 解：（1）将 y= 代入椭圆方程，得 11 222 2  xba x 化简，得 b2x4–a2b2x2+a2=0 由条件，有Δ =a4b4–4a2b2=0，得 ab=2 解得 x= 2 a 或 x=– 2 a （舍去） 故 P 的坐标为( a a 2, 2 ). (2)∵在△ABP 中，｜AB｜=2 22 ba  ，高为 a 2 , ∴ )41(2222 1)( 4 22 aabaaS  ∵a＞b＞0,b= a 2 ∴a＞ ,即 a＞ 2 ,得 0＜ 4 4 a ＜1 于是 0＜S（a）＜ 2 ，故△ABP 的面积函数 S(a)的值域为(0, 2 ) (3)g(a)=c2=a2–b2=a2– 2 4 a 解不等式 g(a)≥S(a)，即 a2– ≥ )41(2 4a 整理，得 a8–10a4+24≥0，即(a4–4)(a4–6)≥0 解得 a≤ 2 （舍去）或 a≥ 4 6 . 故 f(a)=min{g(a), S(a)}          )6()41(2 62(4 4 4 4 2 2 aa aaa 转化有等价转化与不等价转化.等价转化后的新问题与原问题实质是一样的.不等价转化 则部分地改变了原对象的实质，需对所得结论进行必要的修正. 应用转化化归思想解题的原则应是化难为易、化生为熟、化繁为简，尽量是等价转化. 常见的转化有：正与反的转化、数与形的转化、相等与不等的转化、整体与局部的转化、空 间与平面相互转化、复数与实数相互转化、常量与变量的转化、数学语言的转化. 一、选择题 1.（★★★★）已知两条直线 l1:y=x,l2:ax–y=0，其中 a∈R，当这两条直线的夹角在(0, 2  ) 内变动时，a 的取值范围是( ) A.（0，1） B.（ 3 3 ， 3 ） C.（ ，1）∪（1， ） D.（1， ） 2.（★★★★）等差数列{an}和{bn}的前 n 项和分别用 Sn 和 Tn 表示，若 53 4  n n T S n n ， 则 n n n b a  lim 的值为( ) A. 3 4 B.1 C. 3 6 D. 9 4 二、填空题 3.（★★★★）某房间有 4 个人，那么至少有 2 人生日是同一个月的概率是 . （列式表示即可） 4.（★★★★★）函数 f(x)=x3–3bx+3b 在（ 0，1）内有极小值，则 b 的取值范围是 . 三、解答题 5.（★★★★）已知 f(x)=lg(x+1),g(x)=2lg(2x+t),(t∈R 是参数）. (1)当 t=–1 时，解不等式 f(x)≤g(x); (2)如果 x∈［0,1］时，f(x)≤g(x)恒成立，求参数 t 的取值范围. 6.（★★★★★）已知函数 f(x)=a1x+a2x2+a3x3+…+anxn，n∈N*且 a1、a2、a3、……、an 构成一个数列{an}，满足 f(1)=n2. （1）求数列{an}的通项公式，并求 1 lim  n n n a a ； （2）证明 0＜f( 3 1 )＜1. 7.（★★★★★）设 A、B 是双曲线 x2– 2 2y =1 上的两点，点 N（1，2）是线段 AB 的 中点. （1）求直线 AB 的方程； （2）如果线段 AB 的垂直平分线与双曲线相交于 C、D 两点，那么 A、B、C、D 四点 是否共圆？为什么？ 8.（★★★★★）直线 y=a 与函数 y=x3–3x 的图象有相异三个交点，求 a 的取值范围. 参 考 答 案 ●难点磁场 1.解析：9 个灯中关闭 3 个等价于在 6 个开启的路灯中，选 3 个间隔（不包括两端外边 C 3 5 =10 答案：10 2.(1)证明：∵a·b= 2 3)1(2 13  =0，∴a⊥b (2)解：∵x⊥y,∴x·y=0 即［a+（t2–3)b］· (–ka+tb)=0，整理后得 –ka2+［t–k(t2–3)］a·b+t(t2–3)·b2=0 ∵a·b=0,a2=4,b2=1 ∴上式化为–4k+t(t2–3)=0，∴k= 4 1 t(t2–3). (3)解：讨论方程 t(t2–3)–k=0 的解的情况，可以看作曲线 f(t)= t(t2–3)与直线 y=k 的交点 于是 f′(t)= 4 3 (t2–1)= (t+1)(t–1). 令 f′(t)=0,解得 t1=–1,t2=1.当 t 变化时，f′(t),f(t)的变化情况如下表： t (–∞,–1) –1 (–1,1) 1 (1,+∞) f′(t) + 0 – 0 + f(t) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 当 t=–1 时，f(t)有极大值，f(t)极大值= 2 1 ； 当 t=1 时，f(t)有极小值，f(t)极小值=– . 而 f(t)= (t2–3)t=0 时，得 t=– 3 ,0, . 所以 f(t)的图象大致如右： 于是当 k> 或 k<– 时，直线 y=k 与曲线 y=f(t)仅有 一个交点，则方程有一解； 当 k= 或 k=– 时，直线与曲线有两个交点，则方程 有两解；当 k=0，直线与曲线有三个交点，但 k、t 不同时为零，故此时也有两解；当– 0. 答案：0

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