高考数学复习练习试题8_5立体几何的综合应用

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高考数学复习练习试题8_5立体几何的综合应用

‎§8.5 立体几何的综合应用 一、填空题(本大题共9小题,每小题6分,共54分)‎ ‎1.已知m,n表示两条直线,α,β,γ表示三个平面,下列命题中正确的是__________.‎ ‎①若α∩γ=m,β∩γ=n,且m∥n,则α∥β;‎ ‎②若m,n相交且都在α,β外,m∥α,m∥β,n∥α,n∥β,则α∥β;‎ ‎③若α∩β=l,m∥α,m∥β,n∥α,n∥β,则m∥n;‎ ‎④若m∥α,n∥α,则m∥n.‎ ‎2.如图,在正方体ABCD—A1B‎1C1D1中,P是侧面BB‎1C1C内一动点,若P 到 直线BC与直线C1D1的距离相等,则动点P的轨迹所在的曲线是__________.‎ ‎3.若m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,则命题:‎ ‎①若m⊂β,α⊥β则m⊥α;‎ ‎②若α∩γ=m,β∩γ=n,m∥n,则α∥β;‎ ‎③若m⊥β,m∥α,则α⊥β;‎ ‎④若α⊥γ,α⊥β,则β⊥γ.‎ 其中正确命题的序号是________.‎ ‎4.已知直线a,b,c和平面α,β,给出下列命题:‎ ‎①若a,b与α成等角,则a∥b;‎ ‎②若α∥β,c⊥α,则c⊥β;‎ ‎③若a⊥b,a⊥α,则b∥α;‎ ‎④α⊥β,a∥α,则a⊥β.‎ 其中错误命题的序号是________.‎ ‎5.给定空间中的直线l及平面α,条件“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的________________条件.‎ ‎6.已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切,若这个球的体积是,则这个三棱柱的体积是________.‎ ‎7.如图, ABCD—A1B‎1C1D1为正方体,有下面结论:‎ ‎①BD∥平面CB1D1;‎ ‎②AC1⊥BD;③AC1⊥平面CB1D1;④异面直线AD与CB1所成的角为60°.其中正确命题的序号是________.‎ ‎8.已知a,b,c是直线,β是平面,给出下列命题:①若a⊥b,b⊥c,则a∥c;②若a∥b,b⊥c,则a⊥c;③若a∥β,b⊂β,则a∥b;④若a与b异面,且a∥β,则b与β相交;⑤若a与b异面,则至多有一条直线与a,b都垂直.其中真命题的序号是________.‎ ‎9.(2010·南京模拟)一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上,其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上,则该正三棱锥的体积是______________.‎ 二、解答题(本大题共3小题,共46分)‎ ‎10.(14分)已知四棱锥P—ABCD的底面ABCD是菱形,PA⊥平面ABCD,点F为PC的点.‎ 求证:(1)PA∥平面BDF;‎ ‎(2)平面PAC⊥平面BDF.‎ ‎11.(16分)如图,四边形ABCD是正方形,PB⊥平面ABCD,MA⊥ 平面ABCD,PB=AB=2MA.‎ 求证:(1)平面AMD∥平面BPC;‎ ‎ (2)平面PMD⊥平面PBD ‎12.(16分)如图,正方形ABCD所在平面与四边形ABEF所在平面互相垂直,△ABE是等腰直角三角形,AB=AE,FA=FE,∠AEF=45°.‎ ‎(1)求证:EF⊥平面BCE;‎ ‎(2)设线段CD、AE的中点分别为P、M,求证:PM∥平面BCE.‎ 答案 ‎1.②③ 2.抛物线 3.③ 4.①③④ 5.必要不充分 ‎6.48 7.①②③ 8.② 9. ‎10.证明 (1)连结AC,交BD于点O,连结OF.‎ ‎ 因为ABCD是菱形,‎ ‎ 所以O是AC的中点.‎ ‎ 因为点F为PC的中点,‎ ‎ 所以OF∥PA.‎ ‎ 因为OF⊂平面BDF,‎ ‎ PA⊄平面BDF,所以PA∥平面BDF.‎ ‎ (2)因为PA⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,‎ ‎ 所以PA⊥AC.因为OF∥PA,所以OF⊥AC.‎ ‎ 因为ABCD是菱形,所以AC⊥BD.‎ ‎ 因为OF∩BD=O,且OF,BD⊂平面BDF,‎ ‎ 所以AC⊥平面BDF.‎ ‎ 因为AC⊂平面PAC,所以平面PAC⊥平面BDF.‎ ‎11.证明 (1)∵PB⊥平面ABCD,MA⊥平面ABCD,‎ ‎ ∴PB∥MA.‎ ‎ ∵PB⊂平面BPC,MA⊄平面BPC,∴MA∥平面BPC.‎ ‎ 同理可证DA∥平面BPC.‎ ‎ ∵MA⊂平面AMD,AD⊂平面AMD,MA∩AD=A,‎ ‎ ∴平面AMD∥平面BPC. ‎ ‎(2)连结AC,设AC∩BD=E,取PD中点F,‎ ‎ 连结EF,MF.‎ ‎ ∵ABCD为正方形,‎ ‎ ∴E为BD中点.‎ ‎ ∵F为PD中点,∴EF PB.‎ ‎ ∵AM PB,∴AMEF,‎ ‎ 即AEFM为平行四边形.‎ ‎ ∴MF∥AE.‎ ‎ ∵PB⊥平面ABCD,AE⊂平面ABCD,‎ ‎ ∴PB⊥AE.∴MF⊥PB.‎ ‎ ∵ABCD为正方形,∴AC⊥BD.‎ ‎ ∴MF⊥BD.‎ ‎ 又∵PB∩BD=B且PB,BD⊂平面PBD ‎ ∴MF⊥平面PBD.‎ ‎ 又MF⊂平面PMD,‎ ‎ ∴平面PMD⊥平面PBD.‎ ‎12.证明 (1)∵平面ABEF⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,BC⊥AB,平面ABEF∩平 面ABCD=AB,‎ ‎∴BC⊥平面ABEF.∴BC⊥EF.‎ ‎∵△ABE为等腰直角三角形,AB=AE,‎ ‎∴∠AEB=45°.‎ 又∵∠AEF=45°,‎ ‎∴∠FEB=90°,即EF⊥BE.‎ ‎∵BC⊂平面BCE,‎ BE⊂平面BCE,‎ BC∩BE=B,‎ ‎∴EF⊥平面BCE.‎ ‎(2)取BE的中点N,连结CN、MN,‎ 则MNABPC.‎ ‎∴PMNC为平行四边形,所以PM∥CN.‎ ‎∵CN⊂平面BCE,PM⊄平面BCE,‎ ‎∴PM∥平面BCE.‎
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