高考数学复习练习试题4_7正弦定理、余弦定理应用举例

高考数学复习练习试题4_7正弦定理、余弦定理应用举例

‎§4.7　正弦定理、余弦定理应用举例 一、填空题(本大题共9小题，每小题6分，共54分)‎ ‎1．(2011届常州一模)如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A、B两点的距离为________m.‎ ‎2．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是________海里/小时．‎ ‎3．有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为________．‎ ‎4．(2010·天津改编)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a2－b2＝bc，sin C＝2·sin B，则A＝______.‎ ‎5．某人在C点测得某塔在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10米到D，测得塔顶A的仰角为30°，则塔高为________米．‎ ‎6．一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4 h后，船到B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为______ km.‎ ‎7．(2010·全国)在△ABC中，D为BC边上一点，BC＝3BD，AD＝，∠ADB＝135°，若AC＝AB，则BD＝________.‎ ‎8．(2010·无锡质检)在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若角A、B、C依次成等差数列，且a＝1，b＝，则S△ABC＝______.‎ ‎9．(2010·盐城一模)在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且a＝2csin A，则角C＝________.‎ 二、解答题(本大题共3小题，共46分)‎ ‎10．(14分)在△ABC中，已知cos A＝.‎ ‎(1)求sin2－cos(B＋C)的值；‎ ‎(2)若△ABC的面积为4，AB＝2，求BC的长．‎ ‎11.(16分)如图所示，海中小岛A周围38海里内有暗礁，船向正南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30°方向，航行30海里后，在C处测得小岛A在船的南偏东45°方向，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？‎ ‎12．(16分)(2010·陕西)如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D点需要多长时间？‎ 答案 ‎1．50 2．10 3．2cos 10° 4．30°‎ ‎5．10 6．30 7．2＋ 8. 9. ‎10．解　(1)sin2－cos(B＋C)＝＋cos A＝＋＝.‎ ‎(2)在△ABC中，∵cos A＝，∴sin A＝.‎ 由S△ABC＝4，得bcsin A＝4，得bc＝10.∵c＝AB＝2，∴b＝5.‎ ‎∴BC2＝a2＝b2＋c2－2bccos A＝52＋22－2×5×2×＝17.‎ ‎∴BC＝.‎ ‎11．解　在△ABC中，BC＝30，∠B＝30°，‎ ‎∠ACB＝180°－45°＝135°，所以∠A＝15°.‎ 由正弦定理，得＝，即＝，‎ 所以AC＝＝15(＋)．‎ 所以A到BC的距离为AC·sin 45°＝15(＋)× ‎＝15(＋1)≈15×(1.732＋1)＝40.98(海里)．‎ 这个距离大于38海里，所以继续向南航行无触礁的危险．‎ ‎12．解　由题意知AB＝5(3＋)海里，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，‎ ‎∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.‎ 在△DAB中，由正弦定理，‎ 得＝，∴DB＝＝ ‎＝＝＝10(海里)．‎ 又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，‎ BC＝20(海里)，‎ 在△DBC中，由余弦定理，‎ 得CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos ∠DBC＝300＋1 200－2×10×20×＝900，‎ ‎∴CD＝30(海里)，∴需要的时间t＝＝1(小时)．故救援船到达D点需要1小时．‎