2014年江西省高考数学试卷(文科)

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文档介绍

2014年江西省高考数学试卷(文科)

‎2014年江西省高考数学试卷(文科)‎ ‎ ‎ 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在没小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 ‎1.(5分)若复数z满足z(1+i)=2i(i为虚数单位),则|z|=(  )‎ A.1 B.2 C. D.‎ ‎2.(5分)设全集为R,集合A={x|x2﹣9<0},B={x|﹣1<x≤5},则A∩(∁RB)=(  )‎ A.(﹣3,0) B.(﹣3,﹣1) C.(﹣3,﹣1] D.(﹣3,3)‎ ‎3.(5分)掷两颗均匀的骰子,则点数之和为5的概率等于(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎4.(5分)已知函数f(x)=(a∈R),若f[f(﹣1)]=1,则a=(  )‎ A. B. C.1 D.2‎ ‎5.(5分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若3a=2b,则的值为(  )‎ A.﹣ B. C.1 D.‎ ‎6.(5分)下列叙述中正确的是(  )‎ A.若a,b,c∈R,则“ax2+bx+c≥0”的充分条件是“b2﹣4ac≤0”‎ B.若a,b,c∈R,则“ab2>cb2”的充要条件是“a>c”‎ C.命题“对任意x∈R,有x2≥0”的否定是“存在x∈R,有x2≥0”‎ D.l是一条直线,α,β是两个不同的平面,若l⊥α,l⊥β,则α∥β ‎7.(5分)某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系,随机抽查了52名中学生,得到统计数据如表1至表4,则与性别有关联的可能性最大的变量是(  )‎ 表1‎ ‎ 成绩 性别 不及格 及格 总计 男 ‎6‎ ‎14‎ ‎20‎ 女 ‎10‎ ‎22‎ ‎32‎ 总计 ‎16‎ ‎36‎ ‎52‎ 表2‎ ‎ 视力 性别 好 差 总计 男 ‎4‎ ‎16‎ ‎20‎ 女 ‎12‎ ‎20‎ ‎32‎ 总计 ‎16‎ ‎36‎ ‎52‎ 表3‎ ‎ 智商 性别 偏高 正常 总计 男 ‎8‎ ‎12‎ ‎20‎ 女 ‎8‎ ‎24‎ ‎32‎ 总计 ‎16‎ ‎36‎ ‎52‎ 表4‎ ‎ 阅读量 性别 丰富 不丰富 总计 男 ‎14‎ ‎6‎ ‎20‎ 女 ‎2‎ ‎30‎ ‎32‎ 总计 ‎16‎ ‎36‎ ‎52‎ A.成绩 B.视力 C.智商 D.阅读量 ‎8.(5分)阅读如图程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出的结果为(  )‎ A.7 B.9 C.10 D.11‎ ‎9.(5分)过双曲线C:﹣=1的右顶点做x轴的垂线,与C的一条渐近线相交于点A,若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A,O两点(O为坐标原点),则双曲线C的方程为(  )‎ A.﹣=1 B.﹣=1 C.﹣=1 D.﹣=1‎ ‎10.(5分)在同一直角坐标系中,函数y=ax2﹣x+与y=a2x3﹣2ax2+x+a(a∈R)的图象不可能的是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎ ‎ 二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分 ‎11.(5分)若曲线y=xlnx上点P处的切线平行与直线2x﹣y+1=0,则点P的坐标是   .‎ ‎12.(5分)已知单位向量与的夹角为α,且cosα=,若向量=3﹣2,则||=   .‎ ‎13.(5分)在等差数列{an}中,a1=7,公差为d,前n项和为Sn,当且仅当n=8时Sn取得最大值,则d的取值范围为   .‎ ‎14.(5分)设椭圆C:+=1(a>b>0)的左右焦点为F1,F2,过F2作x轴的垂线与C相交于A,B两点,F1B与y轴相交于点D,若AD⊥F1B,则椭圆C的离心率等于   .‎ ‎15.(5分)x,y∈R,若|x|+|y|+|x﹣1|+|y﹣1|≤2,则x+y的取值范围为   .‎ ‎ ‎ 三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎16.(12分)已知函数f(x)=(a+2cos2x)cos(2x+θ)为奇函数,且f()=0,其中a∈R,θ∈(0,π).‎ ‎(1)求a,θ的值;‎ ‎(2)若f()=﹣,α∈(,π),求sin(α+)的值.‎ ‎17.(12分)已知数列{an}的前n项和Sn=,n∈N*.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)证明:对任意的n>1,都存在m∈N*,使得a1,an,am成等比数列.‎ ‎18.(12分)已知函数f(x)=(4x2+4ax+a2),其中a<0.‎ ‎(1)当a=﹣4时,求f(x)的单调递增区间;‎ ‎(2)若f(x)在区间[1,4]上的最小值为8,求a的值.‎ ‎19.(12分)如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1⊥BC,A1B⊥BB1,‎ ‎(1)求证:A1C⊥CC1;‎ ‎(2)若AB=2,AC=,BC=,问AA1为何值时,三棱柱ABC﹣A1B1C1体积最大,并求此最大值.‎ ‎20.(13分)如图,已知抛物线C:x2=4y,过点M(0,2)任作一直线与C相交于A,B两点,过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D(O为坐标原点).‎ ‎(1)证明:动点D在定直线上;‎ ‎(2)作C的任意一条切线l(不含x轴),与直线y=2相交于点N1,与(1)中的定直线相交于点N2,证明:|MN2|2﹣|MN1|2为定值,并求此定值.‎ ‎21.(14分)将连续正整数1,2,…,n(n∈N*)从小到大排列构成一个数,F(n)为这个数的位数(如n=12时,此数为123456789101112,共15个数字,F(12)=15),现从这个数中随机取一个数字,p(n)为恰好取到0的概率.‎ ‎(1)求p(100);‎ ‎(2)当n≤2014时,求F(n)的表达式;‎ ‎(3)令g(n)为这个数中数字0的个数,f(n)为这个数中数字9的个数,h(n)=f(n)﹣g(n),S={n|h(n)=1,n≤100,n∈N*},求当n∈S时p(n)的最大值.‎ ‎ ‎ ‎2014年江西省高考数学试卷(文科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在没小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 ‎1.(5分)若复数z满足z(1+i)=2i(i为虚数单位),则|z|=(  )‎ A.1 B.2 C. D.‎ ‎【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则、虚数单位i的幂运算性质,求出z,可得|z|.‎ ‎【解答】解:∵复数z满足z(1+i)=2i(i为虚数单位),∴z===1+i,‎ ‎∴|z|==,‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法,虚数单位i的幂运算性质,求复数的模,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎2.(5分)设全集为R,集合A={x|x2﹣9<0},B={x|﹣1<x≤5},则A∩(∁RB)=(  )‎ A.(﹣3,0) B.(﹣3,﹣1) C.(﹣3,﹣1] D.(﹣3,3)‎ ‎【分析】根据补集的定义求得∁RB,再根据两个集合的交集的定义,求得A∩(∁RB).‎ ‎【解答】解:∵集合A={x|x2﹣9<0}={x|﹣3<x<3},B={x|﹣1<x≤5},∴∁RB={x|x≤﹣1,或 x>5},‎ 则A∩(∁RB)={x|﹣3<x≤﹣1},‎ 故选:C.‎ ‎【点评】‎ 本题主要考查集合的表示方法、集合的补集,两个集合的交集的定义和求法,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎3.(5分)掷两颗均匀的骰子,则点数之和为5的概率等于(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】本题是一个求概率的问题,考查事件“抛掷两颗骰子,所得两颗骰子的点数之和为5”这是一个古典概率模型,求出所有的基本事件数N与事件“抛掷两颗骰子,所得两颗骰子的点数之和为5”包含的基本事件数n,再由公式求出概率得到答案 ‎【解答】解:抛掷两颗骰子所出现的不同结果数是6×6=36‎ 事件“抛掷两颗骰子,所得两颗骰子的点数之和为5”所包含的基本事件有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)共四种 故事件“抛掷两颗骰子,所得两颗骰子的点数之和为5”的概率是=,‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题是一个古典概率模型问题,解题的关键是理解事件“抛掷两颗骰子,所得两颗骰子的点数之和为5”,由列举法计算出事件所包含的基本事件数,判断出概率模型,理解求解公式是本题的重点,正确求出事件“抛掷两颗骰子,所得两颗骰子的点数之和为5”所包含的基本事件数是本题的难点.‎ ‎ ‎ ‎4.(5分)已知函数f(x)=(a∈R),若f[f(﹣1)]=1,则a=(  )‎ A. B. C.1 D.2‎ ‎【分析】根据条件代入计算即可.‎ ‎【解答】解:∵f[f(﹣1)]=1,‎ ‎∴f[f(﹣1)]=f(2﹣(﹣1))=f(2)=a•22=4a=1‎ ‎∴.‎ 故选:A.‎ ‎【点评】本题主要考查了求函数值的问题,关键是分清需要代入到那一个解析式中,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎5.(5分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若3a=2b,则的值为(  )‎ A.﹣ B. C.1 D.‎ ‎【分析】根据正弦定理,将条件进行化简即可得到结论.‎ ‎【解答】解:∵3a=2b,∴b=,‎ 根据正弦定理可得===,‎ 故选:D.‎ ‎【点评】本题主要考查正弦定理的应用,比较基础.‎ ‎ ‎ ‎6.(5分)下列叙述中正确的是(  )‎ A.若a,b,c∈R,则“ax2+bx+c≥0”的充分条件是“b2﹣4ac≤0”‎ B.若a,b,c∈R,则“ab2>cb2”的充要条件是“a>c”‎ C.命题“对任意x∈R,有x2≥0”的否定是“存在x∈R,有x2≥0”‎ D.l是一条直线,α,β是两个不同的平面,若l⊥α,l⊥β,则α∥β ‎【分析】本题先用不等式的知识对选项A、B中命题的条件进行等价分析,得出它们的充要条件,再判断相应命题的真假;对选项以中的命题否定加以研究,判断其真假,在考虑全称量词的同时,要否定命题的结论;对选项D利用立体几何的位置关系,得出命题的真假,可知本题的正确答案.‎ ‎【解答】解:A、若a,b,c∈R,当“ax2+bx+c≥0”对于任意的x恒成立时,则有:‎ ‎①当a=0时,要使ax2+bx+c≥0恒成立,需要b=0,c≥0,此时b2﹣4ac=0,符合b2﹣4ac≤0;‎ ‎②当a≠0时,要使ax2+bx+c≥0恒成立,必须a>0且b2﹣4ac≤0.‎ ‎∴若a,b,c∈R,“ax2+bx+c≥0”是“b2﹣4ac≤0”充分不必要条件,“b2﹣4ac≤0”是“ax2+bx+c≥0”的必要条件,但不是充分条件,即必要不充分条件.故A错误;‎ B、当ab2>cb2时,b2≠0,且a>c,‎ ‎∴“ab2>cb2”是“a>c”的充分条件.‎ 反之,当a>c时,若b=0,则ab2=cb2,不等式ab2>cb2不成立.‎ ‎∴“a>c”是“ab2>cb2”的必要不充分条件.故B错误;‎ C、结论要否定,注意考虑到全称量词“任意”,‎ 命题“对任意x∈R,有x2≥0”的否定应该是“存在x∈R,有x2<0”.故C错误;‎ D、命题“l是一条直线,α,β是两个不同的平面,若l⊥α,l⊥β,则α∥β.”是两个平面平行的一个判定定理.故D正确.‎ 故选:D.‎ ‎【点评】本题考查了命题、充要条件的知识,考查到了不等式、立体几何知识,有一定容量,总体难度不大,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎7.(5分)某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系,随机抽查了52名中学生,得到统计数据如表1至表4,则与性别有关联的可能性最大的变量是(  )‎ 表1‎ ‎ 成绩 性别 不及格 及格 总计 男 ‎6‎ ‎14‎ ‎20‎ 女 ‎10‎ ‎22‎ ‎32‎ 总计 ‎16‎ ‎36‎ ‎52‎ 表2‎ ‎ 视力 性别 好 差 总计 男 ‎4‎ ‎16‎ ‎20‎ 女 ‎12‎ ‎20‎ ‎32‎ 总计 ‎16‎ ‎36‎ ‎52‎ 表3‎ ‎ 智商 性别 偏高 正常 总计 男 ‎8‎ ‎12‎ ‎20‎ 女 ‎8‎ ‎24‎ ‎32‎ 总计 ‎16‎ ‎36‎ ‎52‎ 表4‎ ‎ 阅读量 性别 丰富 不丰富 总计 男 ‎14‎ ‎6‎ ‎20‎ 女 ‎2‎ ‎30‎ ‎32‎ 总计 ‎16‎ ‎36‎ ‎52‎ A.成绩 B.视力 C.智商 D.阅读量 ‎【分析】根据表中数据,利用公式,求出X2,即可得出结论.‎ ‎【解答】解:表1:X2=≈0.009;‎ 表2:X2=≈1.769;‎ 表3:X2=≈1.3;‎ 表4:X2=≈23.48,‎ ‎∴阅读量与性别有关联的可能性最大,‎ 故选:D.‎ ‎【点评】本题考查独立性检验的应用,考查学生的计算能力,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎8.(5分)阅读如图程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出的结果为(  )‎ A.7 B.9 C.10 D.11‎ ‎【分析】模拟程序的运行,由程序框图得出该算法的功能以及S>1时,终止循环;再根据S的值求出终止循环时的i值即可.‎ ‎【解答】解:模拟执行程序,可得 i=1,S=0‎ S=lg3,‎ 不满足条件1<S,执行循环体,i=3,S=lg3+lg=lg5,‎ 不满足条件1<S,执行循环体,i=5,S=lg5+lg=lg7,‎ 不满足条件1<S,执行循环体,i=7,S=lg5+lg=lg9,‎ 不满足条件1<S,执行循环体,i=9,S=lg9+lg=lg11,‎ 满足条件1<S,跳出循环,输出i的值为9.‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查了循环结构的程序框图,根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎9.(5分)过双曲线C:﹣=1的右顶点做x轴的垂线,与C的一条渐近线相交于点A,若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A,O两点(O为坐标原点),则双曲线C的方程为(  )‎ A.﹣=1 B.﹣=1 C.﹣=1 D.﹣=1‎ ‎【分析】由题意,c=4,双曲线的一条渐近线方程为y=,求出A的坐标,利用右焦点F(4,0),|FA|=4,可求a,b,即可得出双曲线的方程.‎ ‎【解答】解:由题意,c=4,双曲线的一条渐近线方程为y=,‎ 令x=a,则y=b,即A(a,b),‎ ‎∵右焦点F(4,0),|FA|=4,‎ ‎∴(a﹣4)2+b2=16,‎ ‎∵a2+b2=16,‎ ‎∴a=2,b=2,‎ ‎∴双曲线C的方程为﹣=1.‎ 故选:A.‎ ‎【点评】本题考查双曲线的方程与性质,考查学生的计算能力,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎10.(5分)在同一直角坐标系中,函数y=ax2﹣x+与y=a2x3﹣2ax2+x+a(a∈R)的图象不可能的是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】讨论a的值,当a=0时,知D可能,当a≠0时,求出函数ax2﹣x+的对称轴x=,利用求导函数求出函数y=a2x3﹣2ax2+x+a的极值点为x=与x=,比较对称轴与两极值点之间的关系,知对称轴介于两极值点之间,从而得到不符合题意的选项.‎ ‎【解答】解:当a=0时,函数y=ax2﹣x+的图象是第二,四象限的角平分线,‎ 而函数y=a2x3﹣2ax2+x+a的图象是第一,三象限的角平分线,故D符合要求;‎ 当a≠0时,函数y=ax2﹣x+图象的对称轴方程为直线x=,‎ 由y=a2x3﹣2ax2+x+a可得:y′=3a2x2﹣4ax+1,‎ 令y′=0,则x1=,x2=,‎ 即x1=和x2=为函数y=a2x3﹣2ax2+x+a的两个极值点,‎ 对称轴x=介于x1=和x2=两个极值点之间,‎ 故A、C符合要求,B不符合,‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查的知识点是函数的图象,其中熟练掌握二次函数的图象和性质,三次函数的极值点等知识点是解答的关键.‎ ‎ ‎ 二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分 ‎11.(5分)若曲线y=xlnx上点P处的切线平行与直线2x﹣y+1=0,则点P的坐标是 (e,e) .‎ ‎【分析】求出函数的导数,根据导数的几何意义,结合直线平行的性质即可得到结论.‎ ‎【解答】解:函数的定义域为(0,+∞),‎ 函数的导数为f′(x)=lnx+x=1+lnx,‎ 直线2x﹣y+1=0的斜率k=2,‎ ‎∵曲线y=xlnx上点P处的切线平行与直线2x﹣y+1=0,‎ ‎∴f′(x)=1+lnx=2,‎ 即lnx=1,解得x=e,此时y=elne=e,‎ 故点P的坐标是(e,e),‎ 故答案为:(e,e).‎ ‎【点评】本题主要考查导数的几何意义,以及直线平行的性质,要求熟练掌握导数的几何意义.‎ ‎ ‎ ‎12.(5分)已知单位向量与的夹角为α,且cosα=,若向量=3﹣2,则||= 3 .‎ ‎【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义求出的值,从而得到||的值.‎ ‎【解答】解:=9=9,‎ ‎∴||=3,‎ 故答案为:3.‎ ‎【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义,求向量的模的方法,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎13.(5分)在等差数列{an}中,a1=7,公差为d,前n项和为Sn,当且仅当n=8时Sn取得最大值,则d的取值范围为 (﹣1,﹣) .‎ ‎【分析】根据题意当且仅当n=8时Sn取得最大值,得到S7<S8,S9<S8,联立得不等式方程组,求解得d的取值范围.‎ ‎【解答】解:∵Sn =7n+,当且仅当n=8时Sn取得最大值,‎ ‎∴,即,解得:,‎ 综上:d的取值范围为(﹣1,﹣).‎ ‎【点评】本题主要考查等差数列的前n项和公式,解不等式方程组,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎14.(5分)设椭圆C:+=1(a>b>0)的左右焦点为F1,F2,过F2作x轴的垂线与C相交于A,B两点,F1B与y轴相交于点D,若AD⊥F1B,则椭圆C的离心率等于  .‎ ‎【分析】根据条件分别求出A,B,D的坐标,利用AD⊥F1B,建立方程关系即可得到结论.‎ ‎【解答】解:连接AF1,∵OD∥AB,O为F1F2的中点,‎ ‎∴D为BF1的中点,‎ 又AD⊥BF1,∴|AF1|=|AB|.‎ ‎∴|AF1|=2|AF2|.‎ 设|AF2|=n,则|AF1|=2n,|F1F2|=n,‎ ‎∴e=====.‎ ‎【点评】本题主要考查椭圆离心率的求解,根据条件求出对应点的坐标,利用直线垂直与斜率之间的关系是解决本题的关键,运算量较大.为了方便,可以先确定一个参数的值.‎ ‎ ‎ ‎15.(5分)x,y∈R,若|x|+|y|+|x﹣1|+|y﹣1|≤2,则x+y的取值范围为 [0,2] .‎ ‎【分析】根据绝对值的意义,|x|+|y|+|x﹣1|+|y﹣1|的最小值为2,再根据条件可得只有|x|+|y|+|x﹣1|+|y﹣1|=2,此时,0≤x≤1,0≤y≤1,从而求得x+y的范围.‎ ‎【解答】解:根据绝对值的意义可得|x|+|x﹣1|表示数轴上的x对应点到0、1对应点的距离之和,其最小值为1;‎ ‎|y|+|y﹣1|表示数轴上的y对应点到0、1对应点的距离之和,其最小值为1;‎ 故|x|+|y|+|x﹣1|+|y﹣1|的最小值为2.‎ 再根据|x|+|y|+|x﹣1|+|y﹣1|≤2,可得 只有|x|+|y|+|x﹣1|+|y﹣1|=2,‎ 此时,0≤x≤1,0≤y≤1,∴0≤x+y≤2,‎ 故答案为:[0,2].‎ ‎【点评】本题主要考查绝对值的意义,绝对值不等式的解法,属于中档题.‎ ‎ ‎ 三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎16.(12分)已知函数f(x)=(a+2cos2x)cos(2x+θ)为奇函数,且f()=0,其中a∈R,θ∈(0,π).‎ ‎(1)求a,θ的值;‎ ‎(2)若f()=﹣,α∈(,π),求sin(α+)的值.‎ ‎【分析】(1)把x=代入函数解析式可求得a的值,进而根据函数为奇函数推断出f(0)=0,进而求得cosθ,则θ的值可得.‎ ‎(2)利用f()=﹣和函数的解析式可求得sin,进而求得cos,进而利用二倍角公式分别求得sinα,cosα,最后利用两角和与差的正弦公式求得答案.‎ ‎【解答】解:(1)f()=﹣(a+1)sinθ=0,‎ ‎∵θ∈(0,π).‎ ‎∴sinθ≠0,‎ ‎∴a+1=0,即a=﹣1‎ ‎∵f(x)为奇函数,‎ ‎∴f(0)=(a+2)cosθ=0,‎ ‎∴cosθ=0,θ=.‎ ‎(2)由(1)知f(x)=(﹣1+2cos2x)cos(2x+)=cos2x•(﹣sin2x)=﹣,‎ ‎∴f()=﹣sinα=﹣,‎ ‎∴sinα=,‎ ‎∵α∈(,π),‎ ‎∴cosα==﹣,‎ ‎∴sin(α+)=sinαcos+cosαsin=.‎ ‎【点评】本题主要考查了同角三角函数关系,三角函数恒等变换的应用,函数奇偶性问题.综合运用了所学知识解决问题的能力.‎ ‎ ‎ ‎17.(12分)已知数列{an}的前n项和Sn=,n∈N*.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)证明:对任意的n>1,都存在m∈N*,使得a1,an,am成等比数列.‎ ‎【分析】(1)利用“当n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1;当n=1时,a1=S1”即可得出;‎ ‎(2)对任意的n>1,假设都存在m∈N*,使得a1,an,am成等比数列.利用等比数列的定义可得,即(3n﹣2)2=1×(3m﹣2),解出m为正整数即可.‎ ‎【解答】(1)解:∵Sn=,n∈N*.‎ ‎∴当n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1=﹣=3n﹣2,(*)‎ 当n=1时,a1=S1==1.‎ 因此当n=1时,(*)也成立.‎ ‎∴数列{an}的通项公式an=3n﹣2.‎ ‎(2)证明:对任意的n>1,假设都存在m∈N*,使得a1,an,am成等比数列.‎ 则,‎ ‎∴(3n﹣2)2=1×(3m﹣2),‎ 化为m=3n2﹣4n+2,‎ ‎∵n>1,‎ ‎∴m=3n2﹣4n+2=>1,‎ 因此对任意的n>1,都存在m=3n2﹣4n+2∈N*,使得a1,an,am成等比数列.‎ ‎【点评】本题考查了递推式的意义、等差数列与等比数列的通项公式、二次函数的单调性等基础知识与基本技能方法,考查了恒成立问题的等价转化方法,考查了反证法,考查了推理能力和计算能力,属于难题.‎ ‎ ‎ ‎18.(12分)已知函数f(x)=(4x2+4ax+a2),其中a<0.‎ ‎(1)当a=﹣4时,求f(x)的单调递增区间;‎ ‎(2)若f(x)在区间[1,4]上的最小值为8,求a的值.‎ ‎【分析】(1)当a=﹣4时,先求导,在根据导数求出f(x)的单调递增区间;‎ ‎(2)利用导数判断函数的单调性,从而得出函数在闭区间上的最小值,即得到参数的一个方程,从而求出参数的值.‎ ‎【解答】解;(1)当a=﹣4时,f(x)=(4x2+4ax+a2),‎ ‎∴f(x)=(4x2﹣16x+16),‎ ‎∴f′(x)=(8x﹣16)+(4x2﹣16x+16)=2()=,‎ ‎∵f′(x)>0,x≥0,‎ ‎∴5x2﹣12x+4>0,‎ 解得,0≤x<,或x>2,‎ ‎∴当a=﹣4时,f(x)的单调递增区间为[0,)和(2,+∞);‎ ‎(2)∵f(x)=(4x2+4ax+a2),‎ ‎∴;‎ 令f′(x)=0.解得,‎ 当f′(x)>0时,x∈(0,)或,此时f(x)单调递增,‎ 当f′(x)<0时,x∈(),此时f(x)单调递减,‎ ‎①当≥4,即a≤﹣40,f(x)在区间[1,4]为增函数,由f(1)=8,解得a=﹣2,不符合舍去 ‎②当﹣≤1,即﹣2≤a<0时,f(x)在区间[1,4]为增函数,由f(1)=8,解得a=﹣2,不符合舍去 ‎③当﹣≤1,≥4即﹣10≤a≤﹣8时,f(x)在区间[1,4]为减函数,由f(4)=8,解得a=﹣10,‎ ‎④当,即﹣40<a<﹣10时,由f(1)=8或f(4)=8,解得,a=﹣2,或a=﹣6,a=﹣10,不符合舍去,‎ ‎⑤当,即﹣8<a<﹣2时,由f()=8,无解.‎ 综上所述,a=﹣10.‎ ‎【点评】本题考查的是导数知识,重点是利用导数判断函数的单调性,难点是分类讨论.对学生的能力要求较高,属于难题 ‎ ‎ ‎19.(12分)如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1⊥BC,A1B⊥BB1,‎ ‎(1)求证:A1C⊥CC1;‎ ‎(2)若AB=2,AC=,BC=,问AA1为何值时,三棱柱ABC﹣A1B1C1体积最大,并求此最大值.‎ ‎【分析】(1)通过证明直线CC1与平面BA1C垂直,即可证明A1C⊥CC1;‎ ‎(2)作AO⊥BC 于O,连结A1O,说明∠AA1O=90°,设A1A=h,求出A1O的表达式,以及三棱柱ABC﹣A1B1C1体积V的表达式,利用二次函数的最值,求最大值.‎ ‎【解答】解:(1)∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中,‎ ‎∴A1A∥CC1∥BB1,‎ ‎∵AA1⊥BC,∴CC1⊥BC,‎ ‎∵A1B⊥BB1,∴A1B⊥CC1,‎ ‎∵BC∩BA1=B,‎ ‎∴CC1⊥平面BA1C,A1C⊂平面BA1C ‎∴A1C⊥CC1;‎ ‎(2)作AO⊥BC于O,连结A1O,由(1)可知∠AA1O=90°,∵AB=2,AC=,BC=‎ ‎,∴AB⊥AC,‎ ‎∴AO=,‎ 设A1A=h,A1O==,‎ ‎∴三棱柱ABC﹣A1B1C1体积V===,‎ 当h2=,即h=时,即AA1=时棱柱的体积最大,‎ 最大值为:.‎ ‎【点评】本题考查空间直线与平面垂直的判定与应用,几何体的体积的最值的求法,考查转化思想以及空间想象能力.‎ ‎ ‎ ‎20.(13分)如图,已知抛物线C:x2=4y,过点M(0,2)任作一直线与C相交于A,B两点,过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D(O为坐标原点).‎ ‎(1)证明:动点D在定直线上;‎ ‎(2)作C的任意一条切线l(不含x轴),与直线y=2相交于点N1,与(1)中的定直线相交于点N2,证明:|MN2|2﹣|MN1|2为定值,并求此定值.‎ ‎【分析】(1)设AB的方程为y=kx+2,代入x2=4y,整理得x2‎ ‎﹣4kx﹣8=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则有:x1x2=﹣8,由直线AO的方程y=x与BD的方程x=x2联立即可求得交点D的坐标为,利用x1x2=﹣8,即可求得D点在定直线y=﹣2(x≠0)上;‎ ‎(2)依题设,切线l的斜率存在且不等于0,设切线l的方程为y=ax+b(a≠0),代入x2=4y,由△=0化简整理得b=﹣a2,故切线l的方程可写成y=ax﹣a2.分别令y=2、y=﹣2得N1、N2的坐标为N1(+a,2)、N2(﹣+a,﹣2),从而可证|MN2|2﹣|MN1|2为定值8.‎ ‎【解答】(1)证明:依题意,可设AB的方程为y=kx+2,代入x2=4y,得x2=4(kx+2),即x2﹣4kx﹣8=0,‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),则有:x1x2=﹣8,‎ 直线AO的方程为y=x;BD的方程为x=x2.‎ 解得交点D的坐标为.‎ 注意到x1x2=﹣8及=4y1,则有y===﹣2,‎ 因此D点在定直线y=﹣2(x≠0)上.‎ ‎(2)证明:依题设,切线l的斜率存在且不等于0,设切线l的方程为y=ax+b(a≠0),代入x2=4y得x2=4(ax+b),即x2﹣4ax﹣4b=0,‎ 由△=0得(4a)2+16b=0,化简整理得b=﹣a2.‎ 故切线l的方程可写成y=ax﹣a2.‎ 分别令y=2、y=﹣2得N1、N2的坐标为N1(+a,2)、N2(﹣+a,﹣2),‎ 则|MN2|2﹣|MN1|2=+42﹣=8,‎ 即|MN2|2﹣|MN1|2为定值8.‎ ‎【点评】本题考查抛物线的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识,考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力,考查特殊与一般思想、数形结合思想、函数与方程思想,属于难题.‎ ‎ ‎ ‎21.(14分)将连续正整数1,2,…,n(n∈N*)从小到大排列构成一个数,F(n)为这个数的位数(如n=12时,此数为123456789101112,共15个数字,F(12)=15),现从这个数中随机取一个数字,p(n)为恰好取到0的概率.‎ ‎(1)求p(100);‎ ‎(2)当n≤2014时,求F(n)的表达式;‎ ‎(3)令g(n)为这个数中数字0的个数,f(n)为这个数中数字9的个数,h(n)=f(n)﹣g(n),S={n|h(n)=1,n≤100,n∈N*},求当n∈S时p(n)的最大值.‎ ‎【分析】(1)根据题意,首先分析n=100时,这个数的位数,进而可得其中0的个数,有等可能事件的概率公式,计算可得答案;‎ ‎(2)分1≤n≤9,10≤n≤99,100≤n≤999,1000≤n≤2014,四种情况讨论这个数的组成情况,综合即可得F(n);‎ ‎(3)根据题意,分情况求出当n∈S时p(n)的表达式,比较其最大值的大小,即可得答案.‎ ‎【解答】解:(1)当n=100时,F(100)=9+90×2+‎ ‎3=192,即这个数中共有192个数字,‎ 其中数字0的个数为11,‎ 则恰好取到0的概率为P(100)=;‎ ‎(2)当1≤n≤9时,这个数有1位数组成,F(n)=n,‎ 当10≤n≤99时,这个数有9个1位数组成,n﹣9个两位数组成,则F(n)=2n﹣9,‎ 当100≤n≤999时,这个数有9个1位数组成,90个两位数组成,n﹣99个三位数组成,F(n)=3n﹣108,‎ 当1000≤n≤2014时,这个数有9个1位数组成,90个两位数组成,900个三位数组成,n﹣999个四位数组成,F(n)=4n﹣1107,‎ F(n)=;‎ ‎(3)当n=b(1≤b≤9,b∈N*)时,g(n)=0,‎ 当n=10k+b(1≤k≤9,0≤b≤9,k∈N*,b∈N*)时,g(n)=k:‎ 当n=100时,g(n)=11,‎ 即g(n)=,同理有f(n)=,‎ 由h(n)=f(n)﹣g(n)=1,可知n=9、19、29、39、49、59、69、79、89、90,‎ 所以当n≤100时,S={9,19、29,39,49,59,69,79,89,90};‎ 当n=9时,P(9)=0,‎ 当n=90时,P(90)==,‎ 当n=10k+9(1≤k≤8,k∈N*)时,p(n)===,‎ 由y=关于k单调递增,故当n=10k+9(1≤k≤8,k∈N*‎ ‎)时,P(n)的最大值为P(89)=,‎ 又<,所以当n∈S时,P(n)的最大值为.‎ ‎【点评】本题考查合情推理的应用,关键在于正确理解题意,进而分析推理.‎ ‎ ‎
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