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文档介绍
2008年广东省高考数学试卷(理科)【附答案、word版本,可再编辑;B4纸型两栏】
1 / 7 2008 年广东省高考数学试卷(理科) 一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分) 1. 已知0 < 푎 < 2,复数푧的实部为푎,虚部为1,则|푧|的取值范围是( ) A.(1, 5) B.(1, 3) C.(1, 5) D.(1, 3) 2. 等差数列{푎푛}的前푛项和为푆푛,若푎1 = 1 2,푆4 = 20,则푆6 = ( ) A.16 B.24 C.36 D.48 3. 某校共有学生2000名,各年级男、女生人数如下表.已知在全校学生 中随机抽取1名,抽到二年级女生的概率是0.19.现用分层抽样的方法在全 校抽取64名学生,则应在三年级抽取的学生人数为( ) 一年级 二年级 三年级 女生 373 푥 푦 男生 377 370 푧 A.24 B.18 C.16 D.12 4. 若变量푥,푦满足{2푥 + 푦 ≤ 40 푥 + 2푦 ≤ 50 푥 ≥ 0 푦 ≥ 0 则푧=3푥 +2푦的最大值是( ) A.90 B.80 C.70 D.40 5. 将正三棱柱截去三个角(如图1所示퐴,퐵,퐶分别是 △ 퐺퐻퐼三边的中点) 得到几何体如图2,则该几何体按图2所示方向的侧视图(或称左视图)为 ( ) A. B. C. D. 6. 已知命题푝:所有有理数都是实数,命题푞:正数的对数都是负数,则 下列命题中为真命题的是( ) A.(¬푝) ∨ 푞 B.푝 ∧ 푞 C.(¬푝) ∧ (¬푞) D.(¬푝) ∨ (¬푞) 7. 设푎 ∈ R,若函数푦 = 푒푎푥 +3푥,푥 ∈ R有大于零的极值点,则( ) A.푎 > ―3 B.푎 < ―3 C.푎 > ― 1 3 D.푎 < ― 1 3 8. 在平行四边形퐴퐵퐶퐷中,퐴퐶与퐵퐷相交于点푂,퐸是线段푂퐷的中点,퐴퐸 的延长线与퐶퐷交于点퐹.若 → 퐴퐶 = → 푎, → 퐵퐷 = → 푏,则 → 퐴퐹等于( ) A.1 4 → 푎 + 1 2 → 푏 B.2 3 → 푎 + 1 3 → 푏 C.1 2 → 푎 + 1 4 → 푏 D.1 3 → 푎 + 2 3 → 푏 二、填空题(共 7 小题,9--12 为必做题。13--15 题选其中两道题,每小 题 5 分,满分 30 分) 9. 阅读程序框图,若输入푚 = 4,푛 = 3,则输出푎 = ________,푖 = ________. (注:框图中的赋值符号“ = ”,也可以写成“←”或“: = ”) 2 / 7 10. 已知(1 + 푘푥2)6(푘是正整数)的展开式中,푥8的系数小于120,则푘 = ________. 11. 经过圆푥2 +2푥 + 푦2 = 0的圆心퐶,且与直线푥 + 푦 = 0垂直的直线方程 是________. 12. 已知函数푓(푥) = (sin푥 ― cos푥)sin푥,푥 ∈ R,则푓(푥)的最小正周期是 ________. 13. 已知曲线퐶1,퐶2的极坐标方程分别为휌cos휃 = 3,휌 = 4cos휃(휌 ≥ 0 ,0 ≤ 휃 < 휋 2),则曲线퐶1与퐶2交点的极坐标为________. 14. 已知푎 ∈ 푅,若关于푥的方程푥2 + 푥 +|푎 ― 1 4| + |푎| = 0有实根,则푎的取 值范围是________. 15. 已知푃퐴是圆푂的切线,切点为퐴,푃퐴 = 2.퐴퐶是圆푂的直径,푃퐶与圆 푂交于点퐵,푃퐵 = 1,则圆푂的半径푅 = ________. 三、解答题(共 6 小题,满分 80 分) 16. 已知函数푓(푥)=퐴sin(푥 + 휑)(퐴 > 0, 0 < 휑 < 휋),푥 ∈ 푅的最大值是1, 其图象经过点푀(휋 3,1 2). (1)求푓(푥)的解析式; (2)已知훼,훽 ∈ (0,휋 2),且푓(훼) = 3 5,푓(훽) = 12 13,求푓(훼 ― 훽)的值. 17. 随机抽取某厂的某种产品200件,经质检,其中有一等品126件、二等 品50件、三等品20件、次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润 分别为6万元、2万元、1万元,而1件次品亏损2万元.设1件产品的利润 (单位:万元)为휉. (1)求휉的分布列; (2)求1件产品的平均利润(即휉的数学期望); (3)经技术革新后,仍有四个等级的产品,但次品率降为1%,一等品率 3 / 7 提高为70%.如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元,则三等品 率最多是多少? 18. 设푏 > 0,椭圆方程为 푥2 2푏2 + 푦2 푏2 = 1,抛物线方程为푥2 = 8(푦 ― 푏).如图 所示,过点퐹(0, 푏 +2)作푥轴的平行线,与抛物线在第一象限的交点为퐺,已 知抛物线在点퐺的切线经过椭圆的右焦点퐹1. (1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程; (2)设퐴,퐵分别是椭圆长轴的左、右端点,试探究在抛物线上是否存在 点푃,使得 △ 퐴퐵푃为直角三角形?若存在,请指出共有几个这样的点?并 说明理由(不必具体求出这些点的坐标). 19. 设푘 ∈ 푅,函数푓(푥) = { 1 1 ― 푥 푥 < 1 ― 푥 ― 1 푥 ≥ 1 ,퐹(푥) = 푓(푥) ― 푘푥,푥 ∈ 푅, 试讨论函数퐹(푥)的单调性. 20. 如图所示,四棱锥푃 ― 퐴퐵퐶퐷的底面퐴퐵퐶퐷是半径为푅的圆的内接四边形, 其中퐵퐷是圆的直径,∠퐴퐵퐷 = 60∘,∠퐵퐷퐶 = 45∘,푃퐷垂直底面퐴퐵퐶퐷,푃퐷 4 / 7 = 2 2푅,퐸,퐹分别是푃퐵,퐶퐷上的点,且푃퐸 퐸퐵 = 퐷퐹 퐹퐶,过点퐸作퐵퐶的平行线交 푃퐶于퐺. (1)求퐵퐷与平面퐴퐵푃所成角휃的正弦值; (2)证明: △ 퐸퐹퐺是直角三角形; (3)当푃퐸 퐸퐵 = 1 2时,求 △ 퐸퐹퐺的面积. 21. 设푝,푞为实数,훼,훽是方程푥2 ― 푝푥 + 푞 = 0的两个实根,数列{푥푛}满 足푥1 = 푝,푥2 = 푝2 ― 푞,푥푛 = 푝푥푛―1 ― 푞푥푛―2(푛 = 3, 4,…). (1)证明:훼 + 훽 = 푝,훼훽 = 푞; (2)求数列{푥푛}的通项公式; (3)若푝 = 1,푞 = 1 4,求{푥푛}的前푛项和푆푛. 5 / 7 参考答案与试题解析 2008 年广东省高考数学试卷(理科) 一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分) 1.C 2.D 3.C 4.C 5.A 6.D 7.B 8.B 二、填空题(共 7 小题,9--12 为必做题。13--15 题选其中两道题,每小 题 5 分,满分 30 分) 9.12,3 10.1 11.푥 ― 푦 +1 = 0 12.휋 13.(2 3,휋 6) 14.[0,1 4] 15. 3 三、解答题(共 6 小题,满分 80 分) 16.依题意有퐴=1,则푓(푥)=sin(푥 + 휑),将点푀(휋 3,1 2)代入得sin(휋 3 + 휑) = 1 2, 而0 < 휑 < 휋,∴ 휋 3 + 휑 = 5 6휋,∴ 휑 = 휋 2,故푓(푥) = sin(푥 + 휋 2) = cos푥. 依题意有cos훼 = 3 5,cos훽 = 12 13,而훼,훽 ∈ (0,휋 2),∴ sin훼 = 1 ― (3 5) 2 = 4 5,sin 훽 = 1 ― (12 13) 2 = 5 13,푓(훼 ― 훽) = cos(훼 ― 훽) = cos훼cos훽 + sin훼sin훽 = 3 5 × 12 13 + 4 5 × 5 13 = 56 65. 17.解:휉的所有可能取值有6,2,1, ― 2;푃(휉 = 6) = 126 200 = 0.63,푃(휉 = 2) = 50 200 = 0.25푃(휉 = 1) = 20 200 = 0.1,푃(휉 = ―2) = 4 200 = 0.02 故휉的分布列为: 휉 6 2 1 ―2 푃 0.63 0.25 0.1 0.02 (2)퐸휉 = 6 × 0.63 + 2 × 0.25 + 1 × 0.1 + ( ― 2) × 0.02 = 4.34 (3)设技术革新后的三等品率为푥,则此时1件产品的平均利润为퐸(푥 ) = 6 × 0.7 + 2 × (1 ― 0.7 ― 0.01 ― 푥) + 1 × 푥 +( ― 2) × 0.01 = 4.76 ― 푥 (0 ≤ 푥 ≤ 0.29) 依题意,퐸(푥) ≥ 4.73,即4.76 ― 푥 ≥ 4.73,解得푥 ≤ 0.03所以三等品率最多 为3% 18.解:(1)由푥2 = 8(푦 ― 푏)得푦 = 1 8푥2 + 푏, 当푦 = 푏 +2得푥 =± 4,∴ 퐺点的坐标为(4, 푏 +2),푦′ = 1 4푥,푦′|푥=4 = 1, 过点퐺的切线方程为푦 ― (푏 +2) = 푥 ― 4即푦 = 푥 + 푏 ― 2, 令푦 = 0得푥 = 2 ― 푏,∴ 퐹1点的坐标为(2 ― 푏, 0),由椭圆方程得퐹1点的 坐标为(푏, 0), ∴ 2 ― 푏 = 푏即푏 = 1,即椭圆和抛物线的方程分别为푥2 2 + 푦2 = 1和푥2 = 8( 푦 ― 1); (2)∵ 过퐴作푥轴的垂线与抛物线只有一个交点푃,∴ 以∠푃퐴퐵为直 角的푅푡 △ 퐴퐵푃只有一个, 同理∴ 以∠푃퐵퐴为直角的푅푡 △ 퐴퐵푃只有一个; 若以∠퐴푃퐵为直角,则点푃在以퐴퐵为直径的圆上,而以퐴퐵为直径的圆与抛 物线有两个交点. 所以,以∠퐴푃퐵为直角的푅푡 △ 퐴퐵푃有两个; 因此抛物线上存在四个点使得 △ 퐴퐵푃为直角三角形. 6 / 7 19.解: 퐹(푥) = 푓(푥) ― 푘푥 = { 1 1 ― 푥 ― 푘푥 푥 < 1 ― 푥 ― 1 ― 푘푥 푥 ≥ 1 퐹′(푥) = { 1 (1 ― 푥)2 ― 푘 푥 < 1 ― 1 2 푥 ― 1 ― 푘 푥 ≥ 1 对于퐹(푥) = 1 1 ― 푥 ― 푘푥(푥 < 1), 当푘 ≤ 0时,函数퐹(푥)在( ― ∞, 1)上是增函数; 当푘 > 0时,函数퐹(푥)在( ― ∞,1 ― 1 푘)上是减函数,在(1 ― 1 푘,1)上是增函 数; 对于퐹(푥) = ― 1 2 푥 ― 1 ― 푘(푥 ≥ 1), 当푘 ≥ 0时,函数퐹(푥)在[1, + ∞)上是减函数; 当푘 < 0时,函数퐹(푥)在[1,1 + 1 4푘2)上是减函数,在[1 + 1 4푘2, +∞)上是增函 数. 20.解:(1)在푅푡 △ 퐵퐴퐷中,∵ ∠퐴퐵퐷 = 60∘,∴ 퐴퐵 = 푅,퐴퐷 = 3푅 而푃퐷垂直底面퐴퐵퐶퐷, 푃퐴 = 푃퐷2 + 퐴퐷2 = (2 2푅)2 + ( 3푅)2 = 11푅, 푃퐵 = 푃퐷2 + 퐵퐷2 = (2 2푅)2 + (2푅)2 = 2 3푅, 在 △ 푃퐴퐵中,푃퐴2 + 퐴퐵2 = 푃퐵2,即 △ 푃퐴퐵为以∠푃퐴퐵为直角的直角三角形. 设点퐷到面푃퐴퐵的距离为퐻,由푉푃―퐴퐵퐷 = 푉퐷―푃퐴퐵,有푃퐴 ⋅ 퐴퐵 ⋅ 퐻 = 퐴퐵 ⋅ 퐴퐷 ⋅ 푃퐷, 即퐻 = 퐴퐷 ⋅ 푃퐷 푃퐴 = 3푅 ⋅ 2 2푅 11푅 = 2 66 11 푅,sin휃 = 퐻 퐵퐷 = 66 11 . (2)퐸퐺 // 퐵퐶,∴ 푃퐸 퐸퐵 = 푃퐺 퐺퐶,而푃퐸 퐸퐵 = 퐷퐹 퐹퐶,即푃퐺 퐺퐶 = 퐷퐹 퐹퐶, ∴ 퐺퐹 // 푃퐷,∴ 퐺퐹 ⊥ 퐵퐶,∴ 퐺퐹 ⊥ 퐸퐺,∴ △ 퐸퐹퐺是直角三角 形. (3)푃퐸 퐸퐵 = 1 2时퐸퐺 퐵퐶 = 푃퐸 푃퐵 = 1 3,퐺퐹 푃퐷 = 퐶퐹 퐶퐷 = 2 3, 即퐸퐺 = 1 3퐵퐶 = 1 3 × 2푅 × cos45∘ = 2 3 푅,퐺퐹 = 2 3푃퐷 = 2 3 × 2 2푅 = 4 2 3 푅, ∴ △ 퐸퐹퐺的面积푆△퐸퐹퐺 = 1 2퐸퐺 ⋅ 퐺퐹 = 1 2 × 2 3 푅 × 4 2 3 푅 = 4 9푅2. 21.解:(1)由求根公式,不妨设훼 < 훽,得훼 = 푝 ― 푝2 ― 4푞 2 ,훽 = 푝 + 푝2 ― 4푞 2 ∴ 훼 + 훽 = 푝 ― 푝2 ― 4푞 2 + 푝 + 푝2 ― 4푞 2 = 푝, 훼훽 = 푝 ― 푝2 ― 4푞 2 × 푝 + 푝2 ― 4푞 2 = 푞. (2)设푥푛 ― 푠푥푛―1 = 푡(푥푛―1 ― 푠푥푛―2),则푥푛 = (푠 + 푡)푥푛―1 ― 푠푡푥푛―2,由푥푛 = 푝푥푛―1 ― 푞푥푛―2 得{푠 + 푡 = 푝 푠푡 = 푞 , 消去푡,得푠2 ― 푝푠 + 푞 = 0, ∴ 푠是方程푥2 ― 푝푥 + 푞 = 0的根,由题意可知,푠1 = 훼,푠2 = 훽 ①当훼 ≠ 훽时,此时方程组{푠 + 푡 = 푝 푠푡 = 푞 的解为{푠1 = 훼 푡1 = 훽或{푠2 = 훽 푡2 = 훼 ∴ 푥푛 ― 훼푥푛―1 = 훽(푥푛―1 ― 훼푥푛―2),푥푛 ― 훽푥푛―1 = 훼(푥푛―1 ― 훽푥푛―2), 即{푥푛 ― 푡1푥푛―1}、{푥푛 ― 푡2푥푛―1}分别是公比为푠1 = 훼、푠2 = 훽的等比数列, 由等比数列性质可得푥푛 ― 훼푥푛―1 = (푥2 ― 훼푥1)훽푛―2,푥푛 ― 훽푥푛―1 = (푥2 ― 훽푥1) 훼푛―2, 两式相减,得(훽 ― 훼)푥푛―1 = (푥2 ― 훼푥1)훽푛―2 ― (푥2 ― 훽푥1)훼푛―2 ∵ 푥2 = 푝2 ― 푞,푥1 = 푝, ∴ 푥2 = 훼2 + 훽2 + 훼훽,푥1 = 훼 + 훽 ∴ (푥2 ― 훼푥1)훽푛―2 = 훽2 ⋅ 훽푛―2 = 훽푛,(푥2 ― 훽푥1)훼푛―2 = 훼2 ⋅ 훼푛―2 = 훼푛 ∴ (훽 ― 훼)푥푛―1 = 훽푛 ― 훼푛, 即∴ 푥푛―1 = 훽푛 ― 훼푛 훽 ― 훼 ,∴ 푥푛 = 훽푛+1 ― 훼푛+1 훽 ― 훼 7 / 7 ②当훼 = 훽时,即方程푥2 ― 푝푥 + 푞 = 0有重根,∴ 푝2 ― 4푞 = 0, 即(푠 + 푡)2 ― 4푠푡 = 0,得(푠 ― 푡)2 = 0, ∴ 푠 = 푡,不妨设푠 = 푡 = 훼,由①可知푥푛 ― 훼푥푛―1 = (푥2 ― 훼푥1)훽푛―2, ∵ 훼 = 훽,∴ 푥푛 ― 훼푥푛―1 = (푥2 ― 훼푥1)훼푛―2 = 훼푛 即∴ 푥푛 = 훼푥푛―1 + 훼푛,等式两边同时除以훼푛, 得푥푛 훼푛 = 푥푛―1 훼푛―1 +1, 即푥푛 훼푛 ― 푥푛―1 훼푛―1 = 1 ∴ 数列{ 푥푛 훼푛}是以1为公差的等差数列, ∴ 푥푛 훼푛 = 푥1 훼 +(푛 ― 1) × 1 = 2훼 훼 + 푛 ― 1 = 푛 +1, ∴ 푥푛 = 푛훼푛 + 훼푛 综上所述,푥푛 = {훽푛+1 ― 훼푛+1 훽 ― 훼 ,(훼 ≠ 훽) 푛훼푛 + 훼푛,(훼 = 훽) . (3)把푝 = 1,푞 = 1 4代入푥2 ― 푝푥 + 푞 = 0,得푥2 ― 푥 + 1 4 = 0,解得훼 = 훽 = 1 2, ∴ 푥푛 = 푛 ⋅ (1 2)푛 +(1 2)푛. 푆푛 = ((1 2) + (1 2)2 +(1 2)3 +… + (1 2)푛) + ((1 2) + 2 ⋅ (1 2)2 +3 ⋅ (1 2)3 +… + 푛 ⋅ (1 2)푛), = 1 ― (1 2)푛 +((1 2) + 2 ⋅ (1 2)2 +3 ⋅ (1 2)3 +… + 푛 ⋅ (1 2)푛) = 1 ― (1 2)푛 +2 ― (1 2)푛―1 ― 푛(1 2)푛 = 3 ― (푛 +3)(1 2)푛.查看更多