浙江省2021届高考数学一轮复习第三章函数概念及基本初等函数Ⅰ第8节函数与方程含解析
第8节 函数与方程
考试要求 1.了解函数零点的概念，了解函数零点与方程根的联系；2.掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法.
知 识 梳 理
1.函数的零点
(1)函数零点的概念
对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.
(2)函数零点与方程根的关系
方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点.
(3)零点存在性定理
如果函数y＝f(x)满足：①在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)<0；则函数y＝f(x)在
(a，b)上存在零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根.
2.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数
y＝ax2＋bx＋c
(a>0)的图象
与x轴的交点
(x1，0)，(x2，0)
(x1，0)
无交点
零点个数
2
1
0
[常用结论与易错提醒]
1.不满足零点存在性定理也可能有零点(如不变号零点).
2.由函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)＜0，如图所示.所以f(a)·f(b)＜0是图象连续的函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件.
3.若函数f(x)在[a，b]上单调，且f(x)的图象是连续不断的一条曲线，则f(a)·f(b)＜0⇒函数f(x)在[a，b]上只有一个零点.
诊 断 自 测
1.判断下列说法的正误.
(1)函数f(x)＝lg x的零点是(1，0).( )
(2)图象连续的函数y＝f(x)(x∈D)在区间(a，b)⊆D内有零点，则f(a)·f(b)<0.( )
(3)若连续函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点.( )
(4)f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，恒有h(x)
0，因此函数f(x)有且只有一个零点.
答案 B
4.(2019·北京东城区期末)下列函数中是奇函数且存在零点的是( )
A.y＝x3＋x B.y＝log2x
C.y＝2x2－3 D.y＝
解析 对于A：y＝x3＋x为奇函数，且存在零点为x＝0，与题意相符；
对于B：y＝log2x为非奇非偶函数，与题意不符；
对于C：y＝2x2－3为偶函数，与题意不符；
对于D：y＝不存在零点，与题意不符，故选A.
答案 A
5.函数f(x)＝ax＋1－2a在区间(－1，1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是________.
解析 因为函数f(x)＝ax＋1－2a在区间(－1，1)上是单调函数，所以若f(x)在区间(－1，1)上存在一个零点，则满足f(－1)·f(1)＜0，即(－3a＋1)·(1－a)<0，解得0，
f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0，
由函数零点存在性定理可知：在区间(a，b)，(b，c)内分别存在零点，又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点；因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内，故选A.
(2)法一 函数f(x)的零点所在的区间可转化为函数g(x)＝ln x，h(x)＝－x＋2图象交点的横坐标所在的取值范围.作图如下：
可知f(x)的零点所在的区间为(1，2).
法二 易知f(x)＝ln x＋x－2在(0，＋∞)上为增函数，
且f(1)＝1－2＝－1<0，f(2)＝ln 2>0.
所以根据函数零点存在性定理可知在区间(1，2)内函数存在零点.
答案 (1)A (2)B
规律方法 确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法
(1)利用函数零点存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点.
(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
【训练1】 (1)函数f(x)＝－2x的零点所在区间是( )
A. B.
C. D.
(2)已知函数f(x)＝ln x－的零点为x0，则x0所在的区间是( )
A.(0，1) B.(1，2)
C.(2，3) D.(3，4)
解析 (1)f(x)的图象在(0，＋∞)上连续，又f(x)在(0，＋∞)上递减，且f(1)＝2＞0，f＝－2＝＜0.∴选C.
(2)∵f(x)＝ln x－在(0，＋∞)上是增函数，
又f(1)＝ln 1－＝ln 1－2<0，
f(2)＝ln 2－＝ln 2－1<0，f(3)＝ln 3－>0.
故f(x)的零点x0∈(2，3).
答案 (1)C (2)C
考点二 函数零点(或方程根)个数的判断
【例2】 (1)已知函数f(x)＝则方程f(f(x))－2＝0的实根个数为( )
A.3 B.4
C.5 D.6
(2)函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为________.
解析 (1)令t＝f(x)，则方程f(f(x))－2＝0等价于f(t)－2t－＝0.在同一平面直角坐标系中作出函数y＝f(x)与直线y＝2x＋的图象，由图象可得有两个交点，且f(t)－2t－＝0的两根分别为t1＝0和10.若在区间(0，9]上，关于x的方程f(x)＝g(x)有8个不同的实数根，则k的取值范围是________.
解析 (1)由f(x－4)＝f(x)知，函数的周期T＝4.
又f(x)为偶函数，∴f(x)＝f(－x)＝f(4－x)，
因此函数y＝f(x)的图象关于x＝2对称.
又f(2)＝f(6)＝f(10)＝2，
要使方程f(x)＝logax有三个不同的实根.
由函数的图象(如图)，
必须有即解得0)恒过定点A(－2，0)，由图可知，当x∈(2，3]∪(6，7]时，f(x)与g(x)的图象无交点，
∴当x∈(0，1]∪(4，5]∪(8，9]时，f(x)与g(x)的图象有6个交点.
由f(x)与g(x)的周期性可知，当x∈(0，1]时，f(x)与g(x)的图象有2个交点.
当y＝k(x＋2)与圆弧(x－1)2＋y2＝1(00)⇒k＝.
当y＝k(x＋2)过点A(－2，0)与B(1，1)时，k＝.
∴≤k<.
答案 (1)(，) (2)
规律方法 已知函数有零点(方根有根)求参数值常用的方法：
(1)直接法，直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后观察求解.
【训练3】 (1)(2019·浙江名师预测卷三)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间[－1，1]上存在两个不同的零点，且0≤b－2a≤1，则a＋b的取值范围是( )
A.[－1，0) B.(－1，1)
C.[－1，3] D.(－1，0]
(2)已知函数f(x)＝其中m>0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________.
解析 (1)由题意可知，此问题等价于函数g(x)＝ax＋b与函数h(x)＝－x2的图象在[－1，1]上有两个不同的交点，且b－2a＝g(－2)∈[0，1]，求g(1)＝a＋b的取值范围.
画出临界位置的图象如图所示，当x＝1时，要使满足题意，直线l1，l2须经过线段AB，而当l1过点B时，直线与曲线没有交点，当l2过点B时，直线与曲线只有1个交点，均不合题意，故舍去y＝0的情况，所以g(1)＝a＋b∈[－1，0)，故选A.
(2)在同一坐标系中，作出y＝f(x)与y＝b的图象.当x>m时，x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2，
∴要使方程f(x)＝b有三个不同的根，则有4m－m20.又m>0，解得m>3.
答案 (1)A (2)(3，＋∞)
基础巩固题组
一、选择题
1.函数f(x)＝3x－x2的零点所在区间是( )
A.(0，1) B.(1，2)
C.(－2，－1) D.(－1，0)
解析 由于f(－1)＝－<0，f(0)＝30－0＝1>0，
∴f(－1)·f(0)<0.则f(x)在(－1，0)内有零点.
答案 D
2.已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为( )
A.，0 B.－2，0
C. D.0
解析 当x≤1时，由f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；当x>1时，由f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝，又因为x>1，所以此时方程无解.综上函数f(x)的零点只有0.
答案 D
3.函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是( )
A.(1，3) B.(1，2)
C.(0，3) D.(0，2)
解析 因为函数f(x)＝2x－－a在区间(1，2)上单调递增，又函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则有f(1)·f(2)<0，所以(－a)·(4－1－a)<0，即a(a－3)<0，所以00
C.a>－1，b<0 D.a>－1，b>0
解析 由题意，b＝f(x)－ax＝
设y＝b，g(x)＝
即以上两个函数的图象恰有3个交点，根据选项进行讨论.
①当a<－1时，1－a>0，可得g(x)在(－∞，0)上递增；
由g′(x)＝x2－(a＋1)x＝x[x－(a＋1)](x≥0)，a＋1<0，
可得g(x)在(0，＋∞)上递增.
此时直线y＝b与g(x)的图象只有1个交点，不符合题意，故A，B排除.
②当a>－1，即a＋1>0时，
因为g′(x)＝x[x－(a＋1)](x≥0)，
所以当x≥0时，
由g′(x)<0可得00，即－11时，y＝g(x)与y＝b的图象可以有1个或2个交点，但不存在有3个交点的情况，不合题意，舍去.
综上，－10且2a≤a2.在同一坐标系下作出函数y＝2x与y＝x2的图象，由图可知，实数a的取值范围为[2，4].函数g(x)＝f(x)－b有三个零点等价于函数y＝f(x)与y＝b的图象有三个交点，在同一坐标系下作出函数y＝f(x)与y＝b的图象，由图可知，当a在y轴的左方时，存在实数b，使得两函数图象有三个交点，所以要使函数g(x)有三个零点，实数a的取值范围为(－∞，0).
答案 [2，4] (－∞，0)
12.已知f(x)＝－m|x|，若f(x)有两个零点，则实数m的值为________；若f(x
)有三个零点，则实数m的取值范围是________.
解析 函数f(x)的零点，即为方程－m|x|＝0即＝|x|(x＋2)(x≠－2)的实数根，令g(x)＝|x|(x＋2)＝其图象如图所示，当m＝1时，g(x)图象与y＝有2个交点；当0<<1，即m>1时，有3个交点.
答案 1 (1，＋∞)
13.(2019·北京大兴区期末)设函数f(x)＝
(1)若a＝0，则f(x)的最大值为________；
(2)若函数y＝f(x)－b有两个零点，则b的取值范围是________.
解析 (1)当a＝0时，f(x)＝
当x≤0时，f(x)＝2x，f(x)在(－∞，0]上为增函数，
当x＞0时，－x＜0，则f(x)＝f(－x)＝2－x＝，
则f(x)在(0，＋∞)上为减函数，
则f(x)max＝f(0)＝20＝1.
(2)根据题意，当x≤a时，f(x)＝2x－a，
当x＞a时，则有2a－x＜a，
此时f(x)＝f(2a－x)＝2a－x，
f(x)＝，其图象关于直线x＝a对称，
若函数y＝f(x)－b有两个零点，即函数y＝f(x)与y＝b有2个交点，其图象如图所示：
必有0＜b＜1，即b的取值范围为(0，1).
答案 (1)1 (2)(0，1)
14.(2020·杭州高级中学测试)已知函数f(x)满足：f(1－x)＝f(1＋x)，且当x≤1时，f(x)＝x2＋a(a∈R)，若存在实数t∈[0，1]，使得关于x的方程|f(x)|＝t有且仅有四个不等实根，则实数a的取值范围是________.
解析 由f(1－x)＝f(1＋x)知函数f(x)关于直线x＝1对称.当a>1时，|f(x)|＝f(x)≥f(0)＝a>1，函数y＝|f(x)|的图象与直线y＝t无公共点，不满足条件；当a＝1时，函数y＝|f(x)|的图象与直线y＝t最多只有两个公共点，不满足条件；当0≤a<1时，如图1所示，函数y＝|f(x)|的图象与直线y＝t可能有四个公共点，满足条件；当－1g(3)，∴两函数的图象在(2，4)内有两个交点；∵f(5)＝f(3)＝，g(5)＝，满足f(5)>g(5)，∴两函数的图象在(4，6)内有两个交点；∵f(7)＝f(5)＝，
g(7)＝，满足f(7)7时，恒有f(x)0时，由对勾函数的性质易得y＝≥2，当且仅当x＝±时等号成立，要使f(x)＝－4有4个零点，则有2<4，解得0
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