人教新课标A版高考数学黄金题系列第15题指数函数理

人教新课标A版高考数学黄金题系列第15题指数函数理

第 15 题指数函数 I．题源探究·黄金母题 【例 1】对于函数 2( ) ( )2 1xf x a a   R ： （1）探索函数 ( )f x 的单调性； （2）是否存在实数 a 使函数 ( )f x 为奇函数？ 【解析】（1） 2 2 1( ) xf x a   在 ( , )x   上是增函数． 证明：任取 1 2, ( , )x x    ，且 1 2x x ， 1 2( ) ( )f x f x－ ＝ 1 2 2 2 2 1 2 1x xa a    ＝ 12 2 2 x － 12 2 1 x ＝ )12)(12( )22(2 12 21   xx xx ． 因为 1 2, ( , )x x    ，所以 2 12 1 0,2 1 0x x    ． 又因为 1 2x x ，所以 21 22 xx  ，即 1 22 2 0x x  ，所以 1 2( ) ( ) 0f x f x － ，即 1 2( ) ( )f x f x ， 所以函数 2 2 1( ) xf x a   在 ( , )  上是增函数． （2）假设存在实数 a 使 ( )f x 为奇函数，则 ( )f x ＋ ( )f x ＝0， 即 2 2 02 1 2 1x xa a     ，所以 1 1 2 1 2 1x xa    ＝ 2 1 12 1 2 1 x x x   ， 即存在实数 1a  使 1( 1) 2 xf x   为奇函数． 精彩解读 【试题来源】人教版 A 版必修一 83 页 B 组第 34 题 【母题评析】本题以指数型函数为载 体，考查函数的奇偶性与单调性问 题．此类考查方式是近几年高考试题 常常采用的命题形式之一，达到考查 运算能力、分析与探究问题的能力、 逆向思维能力的目的． 【思路方法】考察指数型函数与对数 型函数的奇 偶性单调性通常有两种 常规方法解决：一是利用定义来解 决；二是利用函数单调性与奇偶性间 的运算性质解决．已知性质求相关的 参数问题通常要建立方程来解决． II．考场精彩·真题回放 【例 1】【2017 高考北京卷文理】已知函数 1( ) 3 ( )3 x xf x   ，则 ( )f x （） A．是偶函数，且在 R 上是增函数 B．是奇函数，且在 R 上是增函 数 C．是偶函数，且在 R 上是减函数 D．是奇函数，且在 R 上是增函 数 【命题意图】本类题考查指数函数的 奇偶性与单调性的应用． 【考试方向】这类试题在考查题型 上，通常基本以选择题或填空题的形 式出现，难度中等，往往以考查指数 运算构成的指数型函数奇偶性、指数 函数单调性的应用、指数函数的图 【答案】B 【解析】    1 13 33 3 x x x xf x f x                   ，所以函数 是奇函数，并且3x 是增函数， 1 3 x     是减函数，根据增函数-减函 数=增函数，所以函数是增函数，故选 B． 【例 2】【2017 高考山东卷】若函数  ex f x (e=2．71828，是 自然对数的底数)在  f x 的定义域上单调递增，则称函数  f x 具有 M 性质，下列函数中具有 M 性质的是 A．   2 xf x  B．   2f x x C．   3 xf x  D．   cosf x x 【答案】A 【解析】由 A，令 ( ) e 2x xg x   ， 1 1'( ) e (2 2 ln ) e 2 (1 ln ) 02 2 x x x x xg x        ，则 ( )g x 在 R 上 单调递增， ( )f x 具有 M 性质，故选 A． 【例 3】【2017 高考新课标 III】设函数 1 0( ) 2 0x x xf x x     ， ， ， ， 则满足 1( ) ( ) 12f x f x   的 x 的取值范围是__________． 【答案】 1( , )4   【解析】由题意得：当 1 2x  时 1 22 2 1xx    恒成立，即 1 2x  ； 当 10 2x  时 12 1 12 x x    恒成立，即 10 2x  ；当 0x  时 1 11 1 12 4x x x        ，即 1 04 x   ；综上 x 的取值范 围是 1( , )4   ． 象、在实际生活中的应用． 【难点中心】（1）处理含有参数的指 数型 函数的单调性与奇偶性时，常常 要运用逆向思维的方法，体现待定系 数法的应用；（2）应用指数函数的图 象时，常常涉及不太规范的指数型函 数的图象，其作法可能较难；（3）解 决指数不等式问题的方法就是化为 同底的指数或对数的形式，再利用函 数的单调性转化为熟悉的代数不等 式求解；（4）在实际生活中的应用时 如何建 立与指数相关的函数模型，也 是相对较难． III．理论基础·解题原理 考点一 指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果 ax n  ，那么 x 叫做 a 的 n 次方根，其中 1n  ，且 n ∈ N *．负数没有偶 次方根；0 的任何次方根都是 0，记作 00 n ． 当 n 是奇数时， aan n  ，当 n 是偶数时，       )0( )0(|| a a a aaan n 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： （1） )1,,,0( *  nNnmaaa n mn m ； （2） )1,,,0(11 *   nNnma aa a n m n m n m 0 的正分数指数幂等于 0，0 的负分数指数幂没有意义． 3．实数指数幂的运算性质 ① r s r sa a a   ( 0, , )a r s  R ； ② ( )r s rsa a ( 0, , )a r s  R ； ③ ( )r r rab a b ( 0, , )a r s  R ． 考点二 指数函数的定义 一般地，函数 xy a （ 0a  ，且 1a  ）叫做指数函数，其中 x 是自变量，函数定义域为 R ． 考点三 指数函数图象与性质 图象特征 函数性质 1a  0 1a  1a  0 1a  向 x 、 y 轴正负方向无限延伸 函数的定义域为 R 图象关于原点和 y 轴不对称 非奇非偶函数 函数图象都在 x 轴上方 函数的值域为 R 函数图象都过定点（0，1） 1a 0  自左向右看， 图象逐渐上升 自左向右看， 图象逐渐下降 增函数 减函数 在 第 一 象 限 内 的 图 象 纵 坐 标 都 大 于 1 在第一象限内的图 象纵坐标都小于 1 0, 1xx a  0, 1xx a  在 第 二 象 限 内 的 图 象 纵 坐 标 都 小 于 1 在第二象限内的图 象纵坐标都大于 1 0, 1xx a  0, 1xx a  图 象 上 升 趋 势 是 图象上升趋势是越 函数值开始增长较慢，到了某 函数值开始减小极快，到了某 越来越陡 来越缓 一值后增长速度极快； 一值后减小速度较慢； 考点四 指数函数的实际应用 主要以指数型函数 ( 0, 0 1)xy ca c a a   且 的应用，因此建立此模型时注意确定参数 c 及底数 a 是解 题的关键． IV．题型攻略·深度挖掘 【考试方向】 1．通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中等或中等偏下，往往与函数的定义域、值域、奇偶性、 单调性、图象，以及不等式、方程有联系； 2．在解答题中常常与导数相结合，考查函数的单调性、极值、最值等． 【技能方法】 1．分数指数幂与根式的关系 根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以相互转化，通常利用分数指数幂进行根式的 化简运算． 2．利用函数的单调性，结合图象还可以看出： （1）在[ ]a b， 上， ( ) ( 0 1)xf x a a a  且 值域是[ ( ), ( )]f a f b 或[ ( ), ( )]f b f a ； （2）若 0x  ，则 ( ) 1f x  ； ( )f x 取遍所有正数当且仅当 x  R ； （3）对于指数函数 ( ) ( 0 1)xf x a a a  且 ，总有 (1)f a ； （4）当 1a  时，若 1 2x x ，则 1 2( ) ( )f x f x ；当 0 1a  时，若 1 2x x ，则 1 2( ) ( )f x f x ． 【易错指导】 1．忽视隐含条件，如化简 1 1 2 2 2(1 )[( 1) ( ) ]a a a    ； 2．平方开方转换时不等价，如化简： 23 2 3 5 2 6 (1 3)    ； 3．混用运算性质 ?n m mna a ，如化简： 3 66 39 4 9 4( ) ( )a a ； 4．对指数函数的定义理解不透彻，如已知函数 2( 5 5) xy a a a    为指数函数，则是多少？ 5．忽视对底数的讨论而致错，如求函数 1xy a  的定义域； 6．忽视换元后新元的取值范围，如求函数 1 1( ) ( ) 14 2 x xy    的值域； 7．忽视复合指数型函数的单调性的复合性，如求 2 21( )3 x xy  的单调区间． V．举一反三·触类旁通 考向 1 指数型函数的定义域 【例 1】【2018 北京海淀模拟】函数 ( ) 2 2xf x   的定义域为_________． 【答案】[1, ) 【解析】要使原式有意义需满足 2 2 0x   ，即 2 2 1x x   ，故函数 ( )f x 的定义域为[1, ) ． 【方法点拨】通常根据表达式中含有的分式、对数式、根式建立不等式组后，再利用指数函数的单调性 解不等式即可． 【跟踪练习】 1．【2018 浙江宁波模 拟】若指数函数 ( )f x 的图象过点 ( 2,4) ，则 (3)f  _________；不等式 5( ) ( ) 2f x f x   的解集为___________． 【答案】 1 8 ， ( 1,1) 【名师点睛】因为指数函数的解析式 ( 0, 1)xy a a a   中只含有一个参数 a ，因此只须一个条件发即可 求解，如知指数函数的图象经过一个点． 2．【2017 吉林 实验中学 二模】若函 数 ( 0, 1)xy a a a a    的定 义域和值 域都是  0,1 ，则 3 112log log7 3a a  （） A．1 B． 2 C．3 D． 4 【答案】D 【 解 析 】 若 1a  ， 则 xy a a  在  0,1 单 调 递 减 ， 则 0{ 1 1 a a a     ， 解 得 2a  ， 此 时 ， 2 3 112log log log 16 47 3a a   ；若 0 1a  ，则 xy a a  在 0,1 单调递增，则 1{ 1 0 a a a     （无解）； 故选 D． 考向 2 指数的运算法则的应用 【例 2】（1）计算  21 3 013 410.027 256 3 2 17           （2）已知   1 1 2 2 3a a a R     ，求值： 2 2 1 1 1 a a a a       ． 【答案】（1） 479 30 ；（2）6 【解析】（1）  21 3 013 41 1 4790.027 256 3 2 1 0.3 49 64 17 3 30                 ． （2） 1 1 1 2 22 2 3, 7, 47,a a a a a a           2 2 1 1 47 1 61 7 1 a a a a          ． 【技巧点拨】应用指数的运算法则进行计算注意两点：（1）如果题目中的式子既有根式又有分数指数幂， 则先化为分类指数幂以便用法则运算；（2）如果题目中给出的是分数指数幂，先看是否符合运算法则的 条件，如符合用法则直接运算，如不符合应创设条件去求． 【 例 3 】 已 知 函 数   4 4 1 x xf x   ， 则        2016 2015 1 0f f f f              1 2 2015 2016f f f f      （ ） A． 2016 B． 2017 C． 4033 2 D． 4033 【答案】C 【技巧点拨】含有省略号“…”的代数式的求值问题，通常要根据条件寻求规律：（1）看前后两项相加 是否为同一常数；（2）分析相邻几项之和是否为同一常数，或为规律变化的数． 【跟踪练习】 1．【2017 江西临川实验学校一模】已知实数 ,a b 满足 4a ba ， 2 2log aa b  ，则 ab 等于（） A．8 B．4 C．2 D． 1 2 【答案】A 【 解 析 】 本 题 考 査 指 数 函 数 和 对 数 函 数 ． 2 2 2 2 2 2log log 2 log 2 log 2 2b aaa b a a a a ab           ， 所 以 2 2a a  ， 得 2, 4a b  ，则 8ab  ．故选 A． 2．【2017 河北曲周县第一中学一模】已知 0a b  ， b aa b ，有如下四个结论： ①b e ，②b e ，③ ,a b 满足 2a b e  ，④ 2a b e  则正确结论的序号是（） A．②③ B．①④ C．②④ D．①③ 【答案】B 【解析】 0a b  ， b aa b ，不妨令 4a  ， 2b  ，满足条件；则 4a e  ， 2b e  ，①正确，② 错误；又 22 4ab e   ，④正确，③错误；综上，正确的命题是①④，故选 B． 点睛：本题考查了用特殊值判断数值大小的应用问题，是基础题根据题意，用特殊值代入计算，即可判 断命题是否正确；高考数学选择题中常用的方法有 1、特例法，其包括特殊数值、特殊数列、特殊函数、 特殊图形、特殊角、特殊位置等；2、筛选排除法；3、代入验算法；4、图解法；5、极限法等． 考向 3 指数型函数的奇偶性 【 例 4 】【 2017 江 西 百 校 联 盟 2 月 联 考 】 已 知 是 定 义 在 上 的 偶 函 数 ， 当 时 ， ，若 ，则 的取值范围为（） A． B． C． D． 【答案】B 【例5】【2017 宁夏银川二模】已知  f x 是定义在 R 上的偶函数，且    +2f x f x 对 x R 恒成立， 当  0,1x 时，   2xf x  ，则 9 2f      A． 1 2 B． 2 C． 2 2 D．1 【答案】B 【解析】因为    +2f x f x 对 x R 恒成立，所以函数  f x 是周期为 2 的周期函数．因为 是定 义在 R 上的偶函数，所以 1 29 9 1 2 22 2 2f f f                    ，故选 B． 点睛：如果定义域在 R 上函数  f x 满足    f x a f x  ，那么 a 是函数  f x 的一个周期，可推广为： 如果义域在 R 上函数  f x 满足    f x a f x b   或    f x a f x b   ，那么 a b 是函数  f x 的一个周期． 【跟踪练习】 1．【208 山东滨州模拟】若函数 xx eaexf  )( 为奇函数，则 eexf 1)1(  的解集为（ ） A． )0,( B． )2,( C． ),2(  D． ),0(  【答案】D 【解析】由于函数  f x 为 R 上奇函数，所以  0 0 1f a   ，所以   1 x xf x ee   ．由于 xe 为增函 数，而 1 xe 为减函数，所以   1 x xf x ee   是减函数，又因为   11f e e    ，由 eexf 1)1(  可得    1 1f x f   ，从而 1 1 0x x     ，故选 D． 【思路点晴】解决本题的基本思路及切入点是：首先根据函数  f x 是 R 上的奇函数求出 a 的值，进而 确定  f x 的表达式，其次再确定函数 f  x 的单调性，进而将不等式进行等价转化，并从中求得不等式 eexf 1)1(  的解集，最终使问题得到解决． 2．【2015 高考山东卷】若函数 2 1( ) 2 x xf x a   是奇函数，则使 ( ) 3f x  成立的 x 的取值范围为 （ ） A． ( , 1)  B． ( 1,0) C． (0,1) D． (1, ) 【答案】C 3．【2015 高考天津卷】已知定义在 R 上的函数 | |( ) 2 1x mf x   （ m 为实数）为偶函数，记 0.5(log 3),a f= 2b (log 5),c (2 )f f m= = ，则 , ,a b c ，的大小关系为 （ ） A． b ca < < B． bc a< < C． ba c< < D． bc a< < 【答案】B 【解析】因为 | |( ) 2 x mf x  为偶函数，所以由 ( ) ( )f x f x  ，得 | | | |2 2x m x m   ，所以| | | |x m x m   ， 解得 0m  ，所以 0.5|log 3|2 1 2a    ， 2|log 5|2 1 4b    ， 02 1 0c    ．又 | |( ) 2 xf x  在[0, ) 为增 函数，所以 c a b  ，故选 B． 考向 4 指数函数的图象过定点 【例 6】【2018 吉林松原模拟】函数    1 2 0, 1xf x a a a    的图象恒过定点 A ，若点 A 在直线 1 0mx ny   上，其中 0m  ， 0n  ，则 1 2 m n  的最小值为( ) A．4 B．5 C．7 D．3 2 2 【答案】D 【解析】由题可知  1, 1A  ，代入直线得： 1m n  ，所以  1 2 1 2 23 n mm nm n m n m n           ， 因为 0, 0m n  ，所以 2 22 2 2n m n m m n m n     ，当且仅当 2 { 1 n m m n m n    ，即 1 2 2{ 2 2 2 m n     时，等 号成立，所以 1 2 m n  的最小值为3 2 2 ，故选择 D． 【例 7】【2018 江西新余一中二模】函数 1 ( 0, 1)xy a a a   的图像恒过定点 A ，若点 A 在直线 1 0mx ny   上，且 ,m n 为正数，则 1 1 m n  的最小值为__________． 【答案】4 【易错点晴】本题主要考查指数函数的性质以及利用基本不等式求最值，属于难题．利用基本不等式求 最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正； 二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否 成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用 或 时等号能否同时成立）． 【跟踪练习】 1．【2017 吉林实验中学二模】当 0a  ，且 1a  时，函数   3 2xf x a   必过定点____________． 【答案】 3, 1 【解析】令 3 0x   ，得 3, 1x y   ，即函数   3 2xf x a   必过定点 3, 1 ． 2．【2017 河北保定一模】函数 1( 0, 1)xy a a a   的图象恒过定点 A，若点在直线 1mx ny  上，则 mn 的最大值为__________ 【答案】 1 4 【解析】函数 1( 0, 1)xy a a a   ， 1x  时 1y  恒过定点  1,1A ，点在直线 1mx ny  上，即 1m n  ，根据基本不等式: 2 1 2 4 m nmn      ，当且仅当 1 2m n  取等号，故填 1 4 ． 考向 5 求指数复合型函数的单调性（单调区间） 【例 8】函数 2 21( )3 x xy    的增区间为___________．减区间为___________． 【答案】 1[ , )2    ； 1( , ]2   ． 【规律总结】本题指数复合型函数的单调性问题，因此解答遵循单调性的复合规律，即复合函数 ( ( ))y f g x 的单调性就根据外层函数 ( )y f t 和内层函数 ( )t g x 的单调性判断，遵循“同增异减”的 原则． 【跟踪练习】 1．函数    1 3 2 1 x x y     的单调递增区间是． 【答案】 1  , 【解析】       21 3 2 3 2 1 2 1 x x x x y          ．令 2 2 3xu x   ，则  2 1 u y   是关于u R 上 的 减 函 数 ， 而 2 2 3xu x   在  1  , 上 是 减 函 数 ， 在  ,1 上 是 增 函 数 ， ∴ 函 数   2 2 3 2 1 x x y      的递增区间是 1  , ，递减区间是 ,1 ． 2．求函数   1 1 1 3, 24 2 x x y x              的值域为；其在上单调递增，在上单调递减． 【答案】 3 , 574      ； 1, 2 ； 3 ,1 【 解 析 】    2 1 1 1 1 31 3, 24 2 2 2 4 x x x y x                             ． 令 1 1 82 4 x u u            ， 则 21 3 ,2 4 1 84u uy               当 1 2u  ，即 1x  时 y 取最小值 3 4 ；当 8u  ，即 3x   时 y 取最大 值57 ，故函数   1 1 1 3, 24 2 x x y x              的值域为 3 ,574      ． 21 3 2 1 84 4y u u              在 1 1,4 2u      上单调递减，在 1 , 82u      上单调递增，而 1 2 x y      在  3 , 2x  上单调递减， 1 1 14 2 x x y              在 1, 2 上单调递增，在 3 ,1 上单调递减． 考向 6 指数函数单调性的应用 【例 9】【2017 天津河西区二模】已知   2 1xf x   ，当 a b c  时，有      f a f c f b  ，则必 有（） A． 0a  ， 0b  ， 0c  B． 0a  ， 0b  ， 0c  C． 2 2a c  D．1 2 2 2a c   【答案】D 点睛：求解本题的思路是运用推理的思维模式先确定 , ,a b c 必有一个是负数和一个正数，否则都与题设      f a f b f c  是矛盾的，进而借助绝对值的定义，先将绝对值符号脱去，进而将不等式进行化简， 从而使得问题获解． 【例 10】【2016 全国Ⅲ理】已知 4 32a  ， 2 54b  ， 1 325c  ，则（ ） A．b a c  B a b c  C．b c a  D． c a b  【答案】A 【解析】 4 2 3 32 4a   ， 2 54b  ， 1 2 3 325 5c   ．因为函数 4xy  在 R 上为增函数，所以b a ．又函数 2 3y x 在 (0, ) 上为增函数，所以 a c ，则 b a c  ，故选 A． 【技巧点拨】本题实质上是联用指数函数与幂函数的单调性比较数的大小，一般利用指数函数的单调性 时注意统一底数，而利用幂函数的单调性时注意统一指数． 【例 11】【2016 高考天津卷】已知 )(xf 是定义在 R 上的偶函数，且在区间 )0,( 上单调递增，若实数 a 满足 )2()2( |1|  ff a ，则 a 的取值范围是（ ） A． )2 1,( B． ),2 3()2 1,(   C． )2 3,2 1( D． ),2 3(  【答案】C 【 解 析 】 因 为 ( )f x 为 偶 函 数 ， 所 以 | 1| | 1|(2 ) ( 2 )a af f   ， 则 由 )2()2( |1|  ff a ， 知 | 1|( 2 ) ( 2)af f   ．又 )(xf 在区间 )0,( 上单调递增，所以 | 1|2 2a   ，即 1 | 1| 22 2a  ，所以 1| 1| 2a   ， 解得 1 3 2 2a  ，故选 C． 【名师点睛】指数函数单调性的应用主要体现在两个方面：（1）根据指数函数的性质由自变量大小导出 函数值的大小，如本题；（2）根据指数函数的性质由函数值的大小导出自变量的大小． 【跟踪练习】 1．【2015 高考江苏】不等式 2 2 4x x  的解集为________． 【答案】 ( 1,2) 【解析】因为函数 2xy  在 ( , )  上为增函数，则由 2 2 4x x  ，得 2 2x x  ，解得 1 2x   ，所以 不等式的解集为 ( 1,2) ． 【技巧点拨】利用指数函数的单调性解不等式关键是统一底数，因此须注意到常见的“3 与 3 ，9、27、…”， “2 与 2 ，4，8，…”等的关系． 2．已知 )(xf 是定义域为 R 的偶函数，且 0x  时， xxf )2 1()(  ，则不等式 2 1)( xf 的解集为（） A． )4 1,4 1( B． )2 1,2 1( C． )2,2( D． )1,1( 【答案】D 考向 7 指数函数的最值（值域） 【例 12】【2018 山东寿光现代中学开学考试】已知函数   xf x a b   0, 1a a  的定义域和值域都是  1,0 ，则 ba  __________． 【答案】4 【解析】当 1a  时，函数  f x 单调递增，所以函数  f x 过点(-1，-1)和点(0，0)，所以 1 0 1{ 0 a b a b       无解；当 0 1a  时，函数  f x 单调递减，所以函数  f x 过点(-1，0)和点(0，-1)，所以 1 0 0{ 1 a b a b       ， 解得 1 { 2 2 a b    ．所以 4ba  【例 13】【2018 辽宁抚顺模拟】当 ( ,1]x  ，不等式 2 1 2 4 01 x x a a a      恒成立，则实数 a 的取值范围为 ________． 【答案】 3 4a   【名师点睛】不等式恒成立求参数取值范围，经常采用分离参数法，象本题一样化不等式为 ( ) ( )h a f x ， 只要求出 ( )f x 的最大值，只要解不等式 ( ) ( )最大值h a f x 即得结论，其中 ( )f x 的最值一般利用函数的单 调性求得． 【跟踪练习】 1．【2015 高考山东理 14】已知函数 ( ) ( 0, 1)xf x a b a a    的定义域和值域都是  1,0 ，则 a b  ___________． 【答案】 3 2  【解析】若 1a  ，则  f x 在 1,0 上为增函数，所以 1 1 1 0 a b b        ，此方程组无解；若 0 1a  ，则  f x 在 1,0 上为减函数，所以 1 0 1 1 a b b        ，解得 1 2 2 a b      ，所以 3 2a b   ． 【易错警示】由于底数 a 的范围不确定，因此解答时注意分 1a  与 0 1a  两种情况进行讨论． 2．已知函数 2 2x xy b a   （ ,a b 是常数， 0a  且 1a  ）在区间 3 ,02     上有最大值3，最小值为 5 2 ．试 求 ,a b 的值． 【答案】 2, 2a b  或 2 3,3 2a b  ． 【解析】令  2 2 2t x x x x    ．∵ 3 ,02x      ，∴  1,0t   ． 当 0 1a  时， 0 1ta a a  ，∴ 11 b y b a     ．依题意得 5 21 2 3 1 33 2 b a b ba              ； 当 1a  时， 1 0ta a a   ，∴ 1 1b y ba     依题意得 1 5 2 2 21 3 ab a bb          ． 综上知， 2, 2a b  或 2 3,3 2a b  【方法点晴】本题是含有参数且与指数有关的复合函数问题，欲求其在某区间上的最值，需先确定它在 该区间上的单调性，从而求出最值，步骤：（1）求复合函数的定义域，（2）弄清函数是由哪些基本函数 复合而成，（3）分层逐一求解函数的单调性，（4）求出复合函数的单调区间（注意同增异减），（5）根据 复合函数的单调性列出方程（组）求其最值． 考向 8 指数函数的图象的识别 【例 14】【2018 山西 45 校第一次联考】函数 （ 且 ）与函数 在同一个 坐标系内的图象可能是（） A． B． C． D． 【答案】C 【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的指数函数、二次函数的图象与性质，属于中档题．这 类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是 无路可循．解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及 0 , 0 , ,x x x x       时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意选项一一排除． 【例 15】【2017 广东揭阳 4 月模考】函数   2 1 2 x f x x      的大致图象是 ABCD 【答案】B 【解析】由  0 1f   可排除 D，由  2 4 4 0f     ，  4 16 16 0f     ，可排 A，C，故选 B． 【例 16】【2017 江西鹰潭二模】定义运算： ,{ , a a ba b b a b    ，则函数   1 2xf x   的图象大致为（） A B CD 【答案】A 【跟踪练习】 1．【2018 浙江嘉兴模拟】若函数 ( ) xf x a b  的图象如图所示，则（ ） A． 1a  ， 1b  B． 1a  ， 0 1b  C． 0 1a  ， 1b  D． 0 1a  ， 0 1b  【答案】D 【解析】由图易知 0 1a  ，而函数 xy a b  的图象是由函数 xy a 的图象向下平移b 个单位得到的， 而函数 xy a 恒过点 (0,1) ，所以由图可知 0 1b  ，故选 D． 【技巧点拨】识别指数型函数的图象主要考虑三点：（1）图象的走向，即判断其单调性确定图象与底数 的关系；（2）由指数函数 ( 0, 1)xy a a a   所过定点确定指数型函数所过的定点位置；（3）由指数函数 ( 0, 1)xy a a a   的渐近线线 x 轴确定指数型函数的渐近线位置． 2．【2017 河南天一大联考】已知 a 是大于 0 的常数，把函数 xy a 和 1y xax   的图象画在同一坐标系 中，选项中不可能出现的是（） A． B． C． D． 【答案】D 考向 9 指数函数的图象的应用 【例 17】【2018 安徽阜阳临泉一中二模】若点 分别是函数 与 的图像上的点，且线段 的中点恰好为原点 ，则称 为两函数的一对“孪生点”，若 ， ，则这两个函数的 “孪生点”共有（） A． 对 B． 对 C． 对 D． 对 【答案】B 【解析】根据题意：由“孪生点”，可知，欲求 的“孪生点”，只须作出函数 的图象关于原 点对称的图象，看它与函数 的交点个数即可．如图，观察图象可得：它们的交点对数是：2．即 两函数的“孪生点”有：2 对．故答案选 B． 点睛：本题涉及新概念的题型，属于创新题，有一定的难度．解决此类问题时，要紧扣给出的定义、法 则以及运算，然后结合数形结合的思想即可得到答案． 【例 18】【2017 江西南昌一模】已知  f x 是定义在 R 上的奇函数，且 0x  时，   ln 1f x x x   ，则 函数     xg x f x e  （ e 为自然对数的底数）的零点个数是（） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 点睛:本题主要考查函数的奇偶性，单调性，指数函数的图像与性质，及数形结合的数学思想方法．函数 的零点问题，方程解的个数问题一般转化为两个常见的函数图像的交点个数问题来解决．要能熟练掌握 几种基本函数图像，如二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，幂函数等．掌握平 移变换，伸缩 变换，对称变换，翻折变换，周期变换等常用的方法技巧来快速处理图像．能利用函数的相关性质作出 函数的草图． 【例 19】函数 2( ) 3 2xf x x   的零点个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】函数 2( ) 3 2xf x x   的零点个数即为方程 23 2x x   的根，也是函数 3xy  与函数 2 2y x   的图象的交点个数，由图象易知交点个数为 2，即函数 2( ) 3 2xf x x   的零点为 2，故选 C． 【思维点拨】图象法是解决函数零点问题常用方法，通常情况是将函数的零点转化为方程的根，再转化 为两个新函数的交点个数问题 【例 20】【2017 安徽合肥一模】已知函数 ， ．方程 有 六个不同的实数解，则 的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】D 【例 21】【2018 高考全真模拟卷】已知函数     lg 0 3 6 3 6 x xf x f x x      ， ， ≤ ≤ ，设方程    2 x bx bf R   的四 个实根从小到大依次为 1 2 3 4x x x x， ， ， ，对于满足条件的任意一组实根，下列判断中一定正确的为（） A． 1 2 2x x  B． 1 21 9x x  C．   3 40 6 6 1x x    D． 3 49 25x x  【答案】D 【解析】不妨令 0b  ，函数 f（x）图象与函数 2 xy  的图象如图， 则 方 程    2 x bx Rf   的 根 即 为 两 个 函 数 图 象 交 点 的 横 坐 标 ， 由 图 象 可 知 1 2 3 40 1,1 2,3 5,5 6x x x x        ， 2x 可 能 大 于 2 ， 所 以 A 错 误 ， 又  1 2 2 1 1 2 1 22 lg ,2 lg ,2 2 lg 0x x x xx x x x         ， 所 以 1 20 1x x  ， 所 以 B 错 误 ；       3 34 4 3 4 3 42 lg 6 ,2 lg 6 ,2 2 lg 6 6 0x xx xx x x x              ，所以  3 46 6 1x x   ， 则 C 错误，综上可知选 D． 【跟踪练习】 1．【2018 广东茂名五大联盟学校 9 月份联考】若关于 的不等式 在 上恒成立，则实 数 的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】D 2．【2017 黑龙江哈尔滨三中二模】已知函数  f x kx 21 x ee      ，与函数   21 x g x e      ，若  f x 与  g x 的图象上分别存在点 ,M N ，使得 MN 关于直线 y x 对称，则实数 k 的取值范围是（）． A． 1 ,ee     B． 2 ,2ee     C． 2 ,2ee     D． 3,3ee     【答案】B 【解析】由题设问题可化为函数  y g x 的反函数 1log e y x 的图像与  f x kx 在区间 21 ,ee      上有 解的问题．即方程 1log e kx x 在区间 21 ,ee      上有解，由此可得 4 2kx   ，即 4 2kx x    ，所以 2 2k ee    ，应填答案 2 ,2ee     ． 3．【2017 河南息县一中第七次适应性考试】已知函数   2xf x m  的图象与函数  y g x 的图象关于 y 轴对称，若函数  y f x 与函数  y g x 在区间 1,2 上同时单调递增或同时单调递减，则实数 m 的 取值范围是（） A． 1 ,22      B． 2,4 C．  1, 4,2       D． 4, 【答案】A 【思路点睛】本题主要考查数学解题过程中的数形结合思想和化归思想，以及函数的单调性，属于难题．数 形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形相互转化来解决数学问题，这种思想方法在解题 中运用的目的是化抽象为直观，通过直观的图像解决抽象问题，尤其在解决选择题、填空题时发挥着奇 特的功效，大大提高了解题能力与速度． 4 ．【 2017 吉 林 实 验 中 学 二 模 】 已 知 1x 是 方 程 log 2018( 0, 1)a x x a a    的 根 ， 2x 是 方 程 2018( 0, 1)xa x a a    的根，则 1 2x x 的值为 A．2016 B．2017 C．2018 D．1009 【答案】C 点睛：在处理函数问题时，往往要注意其图象的对称性，如本题中的指数函数 xy a 和对数函数 logay x 互为反函数，其图象关于直线 y x 对称，也是解决本题的关键． 考向 10 指数函数的实际应用 【例 22】有一个湖泊受污染，其湖水的容量为 V 立方米，每天流入湖的水量等于流出湖的水量．现假设 下雨和蒸发平衡，且污染物和湖水均匀混合．用 ( ) [ (0) ] ( 0) r tvp pg t g e pr r      ，表示某一时刻一立 方米湖水中所含污染物的克数（我们称其湖水污染质量分数）， (0)g 表示湖水污染初始质量分数． （1）当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染初始质量分数； （2）分析 (0) pg r  时，湖水的污染程度如何． 【答案】（1） p r ；（2）湖水污染越来越严重． 【解析】（1）设 1 20 t t  ，因为 ( )g t 为常数， 1 2( ) ( )g t g t ， 即 1 2[ (0) ][ ] 0 r rt tv vpg e er      ，则 (0)g ＝ p r ． （2）设 1 20 t t  ，则 1 2( ) ( )g t g t ＝ 1 2[ (0) ][ ] r rt tv vpg e er     ＝ 2 1 1 2( ) [ (0) ] r rt tv v r t tv p e eg r e    因为 (0) pg r  ，即 (0) 0pg r   ，所以 1 20 t t  ， 1 2( ) ( )g t g t ， 所以函数 ( )g t 在 (0, ) 上为增函数，易知湖水污染越来越严重． 【名师点睛】此类题型一般表现为题目条件给出了与需要解决问题相关的函数表达式．对于已经给出的 函数模型问题，只需通过题目给出的数据信息，套用现成的公式进行推理与代入相关数据计算，因此必 须准确理解题意，联系函数相关知识和数学方法解决问题． 【跟踪练习】 【2016 高考四川卷】某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司 2015 年全年投入研发资 金 130 万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 12%，则该公司全年投入的研发资金开始超 过 200 万元的年份是（ ） （参考数据：lg 1．12≈0．05，lg 1．3≈0．11，lg2≈0．30） A．2018 年 B．2019 年 C．2020 年 D．2021 年 【答案】B