2016届高考数学（理）大一轮复习达标训练试题：课时跟踪检测(二十四)　正弦定理和余弦定理

2016届高考数学（理）大一轮复习达标训练试题：课时跟踪检测(二十四)　正弦定理和余弦定理

课时跟踪检测(二十四)　正弦定理和余弦定理 ‎(分A、B卷，共2页)‎ A卷：夯基保分 一、选择题 ‎1．(2015·昆明调研)已知△ABC中，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若A＝，b＝2acos B，c＝1，则△ABC的面积等于(　　)‎ A.　　　 　B.　　　　 C.　　　　 D. ‎2．(2015·贵州安顺二模)若△ABC的三个内角满足sin A∶sin B∶sin C＝5∶11∶13，则△ABC(　　)‎ A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 ‎3．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是(　　)‎ A．有一解 B．有两解 C．无解 D．有解但解的个数不确定 ‎4．(2014·江西高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是(　　)‎ A．3 B. C. D．3 ‎5．(2015·辽宁五校联考)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b＋c＝‎2a，3sin A＝5sin B，则角C＝(　　)‎ A. B. C. D. ‎6．(2015·东北三校联考)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝，则B＝(　　)‎ A. B. C. D. 二、填空题 ‎7．(2014·湖北高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知A＝，a＝1，b＝，则B ＝ ________.‎ ‎8．(2015·苏北四市联考)在△ABC中，已知AB＝3，A＝120°，且△ABC的面积为，则BC边的长为________．‎ ‎9．(2015·云南第一次检测)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，若cos B＝，a＝10，△ABC的面积为42，则b＋的值等于________．‎ ‎10．(2015·广东重点中学联考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝，则的值为________．‎ 三、解答题 ‎11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知(b－‎2a)cos C＋ccos B＝0.‎ ‎(1)求C；‎ ‎(2)若c＝，b＝‎3a，求△ABC的面积．‎ ‎12．(2015·江西七校联考)已知在△ABC中，C＝‎2A，cos A＝，且2·＝－27.‎ ‎(1)求cos B的值；‎ ‎(2)求AC的长度．‎ B卷：增分提能 ‎1．(2014·陕西高考)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.‎ ‎(1)若a，b，c成等差数列，证明：sin A＋sin C＝2sin(A＋C)；‎ ‎(2)若a，b，c成等比数列，求cos B的最小值．‎ ‎2．(2015·洛阳统考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos ‎2C＋2cos C＋2＝0.‎ ‎(1)求角C的大小；‎ ‎(2)若b＝a，△ABC的面积为sin Asin B，求sin A及c的值．‎ ‎3．(2015·湖北部分重点中学联考)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对边的边长，且C＝，a＋b＝λc(其中λ>1)．‎ ‎(1)若λ＝时，证明：△ABC为直角三角形；‎ ‎(2)若·＝λ2，且c＝3，求λ的值．‎ 答案 A卷：夯基保分 ‎1．选B　由正弦定理得sin B＝2sin Acos B，故tan B＝2sin A＝2sin＝，又B∈(0，π)，所以B＝，又A＝B＝，则△ABC是正三角形，所以S△ABC＝bcsin A＝×1×1×＝.‎ ‎2．选C　由正弦定理＝＝＝2R(R为△ABC外接圆半径)及已知条件sin A∶sin B∶sin C＝5∶11∶13，‎ 可设a＝5x，b＝11x，c＝13x(x>0)．‎ 则cos C＝＝<0，‎ ‎∴C为钝角．∴△ABC为钝角三角形．‎ ‎3．选C　由正弦定理得＝，‎ ‎∴sin B＝＝＝>1.‎ ‎∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在．‎ ‎4．选C　由c2＝(a－b)2＋6可得a2＋b2－c2＝2ab－6.①‎ 由余弦定理及C＝可得a2＋b2－c2＝ab.②‎ 所以由①②得2ab－6＝ab，即ab＝6.‎ 所以S△ABC＝absin＝×6×＝.‎ ‎5．选A　因为3sin A＝5sin B，所以由正弦定理可得‎3a＝5b.因为b＋c＝‎2a，所以c＝‎2a－a＝a.令a＝5，b＝3，c＝7，则由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C，得49＝25＋9－2×3×5cos C，解得cos C＝－，所以C＝.‎ ‎6．选C　根据正弦定理：＝＝＝2R，得＝＝，即a2＋c2－b2＝ac，得cos B＝＝，故B＝，故选C.‎ ‎7．解析：由正弦定理＝，得sin B＝＝，又B∈，且b>a，所以B＝或.‎ 答案：或 ‎8．解析：由S△ABC＝得×3×ACsin 120°＝，所以AC＝5，因此BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝9＋25＋2×3×5×＝49，解得BC＝7.‎ 答案：7‎ ‎9．解析：依题可得sin B＝，又S△ABC＝acsin B＝42，则c＝14.故b＝＝6，所以b＋＝b＋＝16.‎ 答案：16 ‎10．解析：由正弦定理＝＝ 得＝ ‎＝，‎ 即(cos A－3cos C)sin B＝(3sin C－sin A)·cos B，‎ 化简可得，sin(A＋B)＝3sin(B＋C)，‎ 又知A＋B＋C＝π，所以sin C＝3sin A，‎ 因此＝3.‎ 答案：3‎ ‎11．解：(1)由已知及正弦定理得：(sin B－2sin A)cos C＋sin Ccos B＝0，sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Acos C，‎ sin(B＋C)＝2sin Acos C，∴sin A＝2sin Acos C.‎ 又sin A≠0，得cos C＝.‎ 又C∈(0，π)，∴C＝.‎ ‎(2)由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2abcos C，‎ ‎∴ 解得a＝1，b＝3.‎ 故△ABC的面积S＝absin C＝×1×3×＝.‎ ‎12．解：(1)∵C＝‎2A，∴cos C＝cos ‎2A＝2cos‎2A－1＝，‎ ‎∴sin C＝，sin A＝.‎ ‎∴cos B＝－cos(A＋C)＝sin A·sin C－cos A·cos C＝.‎ ‎(2)∵＝，∴AB＝BC.‎ ‎∵2·＝－27，cos B＝，‎ ‎∴||||＝24，‎ ‎∴BC＝4，AB＝6，‎ ‎∴AC＝ ‎＝ ＝5.‎ B卷：增分提能 ‎1．解：(1)证明：∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b.‎ 由正弦定理得sin A＋sin C＝2sin B.‎ ‎∵sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)，‎ ‎∴sin A＋sin C＝2sin(A＋C)．‎ ‎(2)∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac.‎ 由余弦定理得 cos B＝＝≥＝，‎ 当且仅当a＝c时等号成立．‎ ‎∴cos B的最小值为.‎ ‎2．解：(1)∵cos ‎2C＋2cos C＋2＝0，‎ ‎∴2cos‎2C＋2cos C＋1＝0，‎ 即(cos C＋1)2＝0，∴cos C＝－.‎ 又C∈(0，π)，∴C＝.‎ ‎(2)∵c2＝a2＋b2－2abcos C＝‎3a2＋‎2a2＝‎5a2，‎ ‎∴c＝a，即sin C＝sin A，∴sin A＝sin C＝.‎ ‎∵S△ABC＝absin C，且S△ABC＝sin Asin B，‎ ‎∴absin C＝sin Asin B，‎ ‎∴sin C＝，由正弦定理得：2sin C＝，‎ 解得c＝1.‎ ‎3．解：(1)证明：∵λ＝，∴a＋b＝c，‎ 由正弦定理得sin A＋sin B＝sin C，‎ ‎∵C＝，∴sin B＋sin＝，‎ sin B＋cos B＋sin B＝，‎ ‎∴sin B＋cos B＝，‎ 则sin＝，‎ 从而B＋＝或B＋＝，B＝或B＝.‎ 若B＝，则A＝，△ABC为直角三角形；‎ 若B＝，△ABC亦为直角三角形．‎ ‎(2)若·＝λ2，则a·b＝λ2，∴ab＝λ2.‎ 又a＋b＝3λ，由余弦定理知a2＋b2－c2＝2abcos C，‎ 即a2＋b2－ab＝c2＝9，即(a＋b)2－3ab＝9，‎ 故9λ2－λ2＝9，λ2＝9，λ2＝4，即λ＝2.‎