2020年中考数学试题分项版解析汇编(第01期)专题4

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2020年中考数学试题分项版解析汇编(第01期)专题4

专题4.3 四边形 一、单选题 ‎1.用尺规在一个平行四边形内作菱形,下列作法中错误的是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【来源】2018年浙江省舟山市中考数学试题 ‎【答案】C ‎【点评】考查菱形的判定,掌握菱形的判定方法是解题的关键.‎ ‎2.如图,菱形的对角线,相交于点,,,则菱形的周长为( )‎ A. 52 B. 48 C. 40 D. 20‎ ‎【来源】湖北省孝感市2018年中考数学试题 ‎【答案】A ‎【解析】分析:由勾股定理即可求得AB的长,继而求得菱形ABCD的周长.‎ 详解:∵菱形ABCD中,BD=24,AC=10,‎ ‎∴OB=12,OA=5,‎ 在Rt△ABO中,AB==13,‎ 51‎ ‎∴菱形ABCD的周长=4AB=52,‎ 故选:A.‎ 点睛:此题考查了菱形的性质、勾股定理等知识,解题的关键是熟练掌握菱形的性质 ‎3.如图,将矩形沿对角线折叠,使落在处,交于,则下列结论不一定成立的是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【来源】四川省凉山州2018年中考数学试题 ‎【答案】C ‎【解析】分析:主要根据折叠前后角和边相等找到相等的边之间的关系,即可选出正确答案.‎ 详解:A、BC=BC′,AD=BC,∴AD=BC′,所以正确.‎ B、∠CBD=∠EDB,∠CBD=∠EBD,∴∠EBD=∠EDB正确.‎ D、∵sin∠ABE=,‎ ‎∴∠EBD=∠EDB ‎∴BE=DE ‎∴sin∠ABE=.‎ 故选:C.‎ 点睛:本题主要用排除法,证明A,B,D都正确,所以不正确的就是C,排除法也是数学中一种常用的解题方法.‎ ‎4.如图,在正方形中,,分别为,的中点,为对角线上的一个动点,则下列线段的长等于最小值的是( )‎ A. B. C. D. ‎ 51‎ ‎【来源】天津市2018年中考数学试题 ‎【答案】D ‎【解析】分析:点E关于BD的对称点E′在线段CD上,得E′为CD中点,连接AE′,它与BD的交点即为点P,PA+PE的最小值就是线段AE′的长度;通过证明直角三角形ADE′≌直角三角形ABF即可得解.‎ 详解:过点E作关于BD的对称点E′,连接AE′,交BD于点P.‎ ‎∴PA+PE的最小值AE′;‎ ‎∵E为AD的中点,‎ ‎∴E′为CD的中点,‎ ‎∵四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴AB=BC=CD=DA,∠ABF=∠AD E′=90°,‎ ‎∴DE′=BF,‎ ‎∴ΔABF≌ΔAD E′,‎ ‎∴AE′=AF.‎ 故选D.‎ 点睛:本题考查了轴对称--最短路线问题、正方形的性质.此题主要是利用“两点之间线段最短”和“任意两边之和大于第三边”.因此只要作出点A(或点E)关于直线BD的对称点A′(或E′),再连接EA′(或AE′)即可. ‎ ‎5.在▱ABCD中,若∠BAD与∠CDA的角平分线交于点E,则△AED的形状是(  )‎ A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定 ‎【来源】四川省宜宾市2018年中考数学试题 ‎【答案】B ‎【解析】分析:充分利用角平分线的性质证明∠E=90°即可判断.‎ 详解:如图,‎ 51‎ 点睛:本题考查的是直角三角形的判定,熟记有一个角是90°的三角形是直角三角形是解题的关键.‎ ‎6.如图,点是正方形的边上一点,把绕点顺时针旋转到的位置,若四边形的面积为25,,则的长为( )‎ A. 5 B. C. 7 D. ‎ ‎【来源】2018年甘肃省武威市(凉州区)中考数学试题 ‎【答案】D ‎【解析】【分析】利用旋转的性质得出正方形边长,再利用勾股定理得出答案.‎ ‎【解答】∵把△ADE顺时针旋转△ABF的位置,‎ ‎∴四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积等于25,‎ ‎∴AD=DC=5,‎ ‎∵DE=2,‎ ‎∴Rt△ADE中, ‎ 故选D.‎ 51‎ ‎【点评】考查旋转的性质,正方形的性质,勾股定理等,熟练掌握旋转的性质是解题的关键.‎ ‎7.用尺规在一个平行四边形内作菱形,下列作法中错误的是( )‎ A. (A) B. (B) C. (C) D. (D)‎ ‎【来源】浙江省嘉兴市2018年中考数学试题 ‎【答案】C ‎【解析】分析:由作图,可以证明A、B、D中四边形ABCD是菱形,C中ABCD是平行四边形,即可得到结论.‎ 详解:A.∵AC是线段BD的垂直平分线,∴BO=OD,∴∠AOD=∠COB=90°.‎ ‎∵AD∥BC,∴∠ADB=∠DBC,∴△AOD≌△COB,∴AO=OC,∴四边形ABCD是菱形.故A正确;‎ B.由作图可知:AD=AB=BC.‎ ‎∵AD∥BC,∴四边形ABCD是平行四边形.‎ ‎∵AD=AB,∴四边形ABCD是菱形.故B正确;‎ C.由作图可知AB、CD是角平分线,可以得到ABCD是平行四边形,不能得到ABCD是菱形.故C错误;‎ D.如图,∵AE=AF,AG=AG,EG=FG,∴△AEG≌△AFG,∴∠EAG=∠FAG.‎ ‎∵AD∥BC,∴∠DAC=∠ACB,∴∠FAG=∠ACB,∴AB=BC,同理∠DCA=∠BCA,∴∠BAC=∠DCA,∴AB∥DC.‎ ‎∵AD∥BC,∴四边形ABCD是平行四边形.‎ ‎∵AB=BC,∴四边形ABCD是菱形.故D正确.‎ 故选C.‎ 点睛:本题考查了菱形的判定与平行四边形的性质.解题的关键是弄懂每个图形是如何作图的.‎ ‎8.□ABCD中,E、F是对角线BD上不同的两点,下列条件中,不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是( )‎ 51‎ A. BE=DF B. AE=CF C. AF//CE D. ∠BAE=∠DCF ‎【来源】安徽省2018年中考数学试题 ‎【答案】B ‎【解析】【分析】根据平行线的判定方法结合已知条件逐项进行分析即可得.‎ ‎【详解】A、如图,∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD,‎ ‎∵BE=DF,∴OE=OF,∴四边形AECF是平行四边形,故不符合题意; ‎ B、如图所示,AE=CF,不能得到四边形AECF是平行四边形,故符合题意;‎ C、如图,∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,‎ ‎∵AF//CE,∴∠FAO=∠ECO,‎ 又∵∠AOF=∠COE,∴△AOF≌△COE,∴AF=CE,‎ ‎∴AF CE,∴四边形AECF是平行四边形,故不符合题意; ‎ D、如图,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AB//CD,‎ ‎∴∠ABE=∠CDF,‎ 又∵∠BAE=∠DCF,∴△ABE≌△CDF,∴AE=CF,∠AEB=∠CFD,∴∠AEO=∠CFO,‎ ‎∴AE//CF,‎ ‎∴AE CF,∴四边形AECF是平行四边形,故不符合题意,‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定,熟练掌握平行四边形的判定定理与性质定理是解题的关键.‎ 51‎ ‎9.下列命题正确的是 A. 平行四边形的对角线互相垂直平分 B. 矩形的对角线互相垂直平分 C. 菱形的对角线互相平分且相等 D. 正方形的对角线互相垂直平分 ‎【来源】【全国省级联考】2018年重庆市中考数学试卷(A卷)‎ ‎【答案】D ‎【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关对角线的性质,熟练掌握是解题的关键.‎ ‎10.如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,点E为边CD的中点,若菱形ABCD的周长为16,∠BAD=60°,则△OCE的面积是(   )‎ A. B. 2 C. D. 4‎ ‎【来源】江苏省宿迁市2018年中考数学试卷 ‎【答案】A ‎【解析】【分析】根据菱形的性质得菱形边长为4,AC⊥BD,由一个角是60度的等腰三角形是等边三角形得△ABD是等边三角形;在Rt△AOD中,根据勾股定理得AO=2,AC=2AO=4,根据三角形面积公式得S△ACD=OD·AC=4,根据中位线定理得OE∥AD,根据相似三角形的面积比等于相似比继而可求出△OCE的面积.‎ ‎【详解】∵菱形ABCD的周长为16,∴菱形ABCD的边长为4,‎ ‎∵∠BAD=60°,‎ ‎∴△ABD是等边三角形,‎ 又∵O是菱形对角线AC、BD的交点,‎ ‎∴AC⊥BD,‎ 51‎ 在Rt△AOD中,‎ ‎∴AO=,‎ ‎∴AC=2AO=4,‎ ‎∴S△ACD=OD·AC= ×2×4=4,‎ 又∵O、E分别是中点,‎ ‎∴OE∥AD,‎ ‎∴△COE∽△CAD,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴S△COE=S△CAD=×4=,‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质,勾股定理,菱形的性质,结合图形熟练应用相关性质是解题的关键. ‎ 二、填空题 ‎11.若正多边形的内角和是,则该正多边形的边数是__________.‎ ‎【来源】2018年甘肃省武威市(凉州区)中考数学试题 ‎【答案】8‎ ‎【解析】【分析】根据多边形内角和公式进行计算即可.‎ ‎【解答】设正多边形的边数是 ‎ 根据题意得: ‎ 解得: ‎ 故答案为:8.‎ ‎【点评】考查多边形的内角和公式,熟练掌握多边形的内角和公式是解题的关键.‎ ‎12.一个多边形的内角和是其外角和的3倍,则这个多边形的边数是________.‎ ‎【来源】江苏省宿迁市2018年中考数学试卷 ‎【答案】8‎ ‎【解析】【分析】根据多边形的内角和公式,多边形外角和为360°,根据题意列出方程,解之即可.‎ 51‎ ‎【详解】设这个多边形边数为n,‎ ‎∴(n-2)×180°=360°×3,‎ ‎∴n=8,‎ 故答案为:8.‎ ‎【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和,熟练掌握多边形的内角和公式、外角和为360度是解题的关键.‎ ‎13.在如图所示的平行四边形ABCD中,AB=2,AD=3,将△ACD沿对角线AC折叠,点D落在△ABC所在平面内的点E处,且AE过BC的中点O,则△ADE的周长等于__________.‎ ‎【来源】山东省淄博市2018年中考数学试题 ‎【答案】10‎ ‎【解析】分析:要计算周长首先需要证明E、C、D共线,DE可求,问题得解.‎ 详解:∵四边形ABCD是平行四边形 ‎∴AD∥BC,CD=AB=2‎ 由折叠,∠DAC=∠EAC ‎∵∠DAC=∠ACB ‎∴∠ACB=∠EAC ‎∴OA=OC ‎∵AE过BC的中点O ‎∴AO=BC ‎∴∠BAC=90°‎ ‎∴∠ACE=90°‎ 由折叠,∠ACD=90°‎ ‎∴E、C、D共线,则DE=4‎ ‎∴△ADE的周长为:3+3+2+2=10‎ 故答案为:10‎ 51‎ 点睛:本题考查了平行四边形的性质、轴对称图形性质和三点共线的证明.解题时注意不能忽略E、C、D三点共线.‎ ‎14.如图,在菱形中,,分别在边上,将四边形沿翻折,使的对应线段经过顶点,当时,的值为__________.‎ ‎【来源】四川省成都市2018年中考数学试题 ‎【答案】‎ 详解:延长NF与DC交于点H,‎ ‎∵∠ADF=90°,‎ ‎∴∠A+∠FDH=90°,‎ ‎∵∠DFN+∠DFH=180°,∠A+∠B=180°,∠B=∠DFN,‎ ‎∴∠A=∠DFH,‎ ‎∴∠FDH+∠DFH=90°,‎ ‎∴NH⊥DC,‎ 设DM=4k,DE=3k,EM=5k,‎ ‎∴AD=9k=DC,DF=6k,‎ ‎∵tanA=tan∠DFH=,‎ 51‎ 则sin∠DFH=,‎ ‎∴DH=DF=k,‎ ‎∴CH=9k-k=k,‎ ‎∵cosC=cosA=,‎ ‎∴CN=CH=7k,‎ ‎∴BN=2k,‎ ‎∴.‎ 故答案为:.‎ 点睛:此题主要考查了翻折变换的性质以及解直角三角形,正确表示出CN的长是解题关键.‎ ‎15.如图2,小靓用七巧板拼成一幅装饰图,放入长方形ABCD内,装饰图中的三角形顶点E,F分别在边AB,BC上,三角形①的边GD在边AD上,则的值是_____.‎ ‎【来源】浙江省金华市2018年中考数学试题 ‎【答案】.‎ ‎【解析】分析:设七巧板的边长为x,根据正方形的性质、矩形的性质分别表示出AB,BC,进一步求出的值.‎ 详解:设七巧板的边长为x,则 AB=x+x,‎ BC=x+x+x=2x,‎ ‎=.‎ 51‎ 故答案为:.‎ 点睛:考查了矩形的性质,七巧板,关键是熟悉七巧板的特征,表示出AB,BC的长.‎ ‎16.如图,四边形是矩形,点的坐标为,点的坐标为,把矩形沿折叠,点落在点处,则点的坐标为__________.‎ ‎【来源】江苏省扬州市2018年中考数学试题 ‎【答案】‎ ‎【解析】分析:由折叠的性质得到一对角相等,再由矩形对边平行得到一对内错角相等,等量代换及等角对等边得到BE=OE,利用AAS得到三角形OED与三角形BEA全等,由全等三角形对应边相等得到DE=AE,过D作DF垂直于OE,利用勾股定理及面积法求出DF与OF的长,即可确定出D坐标.‎ 详解:由折叠得:∠CBO=∠DBO,‎ ‎∵矩形ABCO,‎ ‎∴BC∥OA,‎ ‎∴∠CBO=∠BOA,‎ ‎∴∠DBO=∠BOA,‎ ‎∴BE=OE,‎ 在△ODE和△BAE中,‎ ‎,‎ ‎∴△ODE≌△BAE(AAS),‎ ‎∴AE=DE,‎ 设DE=AE=x,则有OE=BE=8-x,‎ 在Rt△ODE中,根据勾股定理得:42+(8-x)2=x2,‎ 解得:x=5,即OE=5,DE=3,‎ 过D作DF⊥OA,‎ 51‎ 点睛:此题考查了翻折变化(折叠问题),坐标与图形变换,以及矩形的性质,熟练掌握折叠的性质是解本题的关键.‎ ‎17.如图,在矩形中,,,以为直径作.将矩形绕点旋转,使所得矩形的边与相切,切点为,边与相交于点,则的长为__________.‎ ‎【来源】江苏省南京市2018年中考数学试卷 ‎【答案】4‎ ‎【解析】分析:连结EO并延长交CF于点H,由旋转和相切知四边形EB′CH是矩形,再根据勾股定理即可求出CH的长,从而求出CF的值.‎ 详解:连结EO并延长交CF于点H.‎ 51‎ ‎∵矩形绕点旋转得到矩形,‎ ‎∴∠B′=∠B′CD′=90°,A′B′∥CD′,BC=B′C=4,‎ ‎∵A′B′切⊙O与点E,‎ ‎∴OE⊥A′B′,‎ ‎∴四边形EB′CH是矩形,‎ ‎∴EH=B′C=4,OH⊥CF,‎ ‎∵AB=5,‎ ‎∴OE=OC=AB=,‎ ‎∴OH=,‎ 在Rt△OCH中,根据勾股定理得CH===2,‎ ‎∴CF=2CH=4.‎ 故答案为:4.‎ 点睛:此题主要考查切线的性质,垂径定理及矩形的性质等知识点的综合运用.‎ ‎18.如图,在矩形ABCD中,AB=3,CB=2,点E为线段AB上的动点,将△CBE沿CE折叠,使点B落在矩形内点F处,下列结论正确的是_____(写出所有正确结论的序号)‎ ‎①当E为线段AB中点时,AF∥CE;‎ ‎②当E为线段AB中点时,AF=;‎ ‎③当A、F、C三点共线时,AE=;‎ ‎④当A、F、C三点共线时,△CEF≌△AEF.‎ 51‎ ‎【来源】四川省宜宾市2018年中考数学试题 ‎【答案】①②③‎ ‎【解析】分析:分两种情形分别求解即可解决问题;‎ 详解:如图1中,当AE=EB时,‎ ‎∵AE=EB=EF,‎ ‎∴∠EAF=∠EFA,‎ ‎∵∠CEF=∠CEB,∠BEF=∠EAF+∠EFA,‎ ‎∴∠BEC=∠EAF,‎ ‎∴AF∥EC,故①正确,‎ 作EM⊥AF,则AM=FM,‎ 在Rt△ECB中,EC=,‎ ‎∵∠AME=∠B=90°,∠EAM=∠CEB,‎ ‎∴△CEB∽△EAM,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴AM=,‎ 51‎ ‎∴AF=2AM=,故②正确,‎ 如图2中,当A、F、C共线时,设AE=x.‎ 点睛:本题考查翻折变换、全等三角形的性质、勾股定理、矩形的性质、相似三角形的判定和性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考填空题中的压轴题. ‎ ‎19.如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,点E、F分别在BC、CD上,若AE=,∠EAF=45°,则AF的长为_____.‎ ‎【来源】山东省滨州市2018年中考数学试题 ‎【答案】 ‎ ‎【解析】分析:取AB的中点M,连接ME,在AD上截取ND=DF,设DF=DN=x,则NF=x,再利用矩形的性质和已知条件证明△AME∽△FNA,利用相似三角形的性质:对应边的比值相等可求出x的值,在直角三角形ADF中利用勾股定理即可求出AF的长.‎ 详解:取AB的中点M,连接ME,在AD上截取ND=DF,设DF=DN=x,‎ 51‎ ‎∵四边形ABCD是矩形,‎ ‎∴∠D=∠BAD=∠B=90°,AD=BC=4,‎ ‎∴NF=x,AN=4﹣x,‎ ‎∵AB=2,‎ ‎∴AM=BM=1,‎ ‎∵AE=,AB=2,‎ ‎∴BE=1,‎ ‎∴ME=,‎ ‎∵∠EAF=45°,‎ ‎∴∠MAE+∠NAF=45°,‎ ‎∵∠MAE+∠AEM=45°,‎ ‎∴∠MEA=∠NAF,‎ ‎∴△AME∽△FNA,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ 解得:x=‎ ‎∴AF=‎ 故答案为:.‎ 点睛:本题考查了矩形的性质、相似三角形的判断和性质以及勾股定理的运用,正确添加辅助线构造相似三角形是解题的关键,‎ ‎20.如图,在矩形中,,,将矩形沿折叠,点落在处,若的延长线恰好过点,则的值为__________.‎ 51‎ ‎【来源】山东省泰安市2018年中考数学试题 ‎【答案】‎ ‎【解析】分析:先利用勾股定理求出A'C,进而利用勾股定理建立方程求出AE,即可求出BE,最后用三角函数即可得出结论.‎ 详解:由折叠知,A'E=AE,A'B=AB=6,∠BA'E=90°,∴∠BA'C=90°.在Rt△A'CB中,A'C==8,设AE=x,则A'E=x,∴DE=10﹣x,CE=A'C+A'E=8+x.在Rt△CDE中,根据勾股定理得:(10﹣x)2+36=(8+x)2,∴x=2,∴AE=2.在Rt△ABE中,根据勾股定理得:BE==2,∴sin∠ABE==.‎ ‎ 故答案为:.‎ 点睛:本题主要考查了折叠的性质,勾股定理,锐角三角函数,充分利用勾股定理求出线段AE是解答本题的关键.‎ 三、解答题 ‎21.如图,,,,在一条直线上,已知,,,连接.求证:四边形是平行四边形.‎ ‎【来源】湖北省孝感市2018年中考数学试题 ‎【答案】证明见解析.‎ ‎【解析】分析:由AB∥DE、AC∥DF利用平行线的性质可得出∠B=∠DEF、∠ACB=∠F,由BE=CF可得出BC=EF,进而可证出△ABC≌△DEF(ASA),根据全等三角形的性质可得出AB=DE,再结合AB∥DE,即可证出四边形ABED是平行四边形.‎ 详证明:∵AB∥DE,AC∥DF,‎ ‎∴∠B=∠DEF,∠ACB=∠F.‎ ‎∵BE=CF,‎ 51‎ 点睛:本题考查了平行线的性质、平行四边形的判定以及全等三角形的判定与性质,利用全等三角形的性质找出AB=DE是解题的关键.‎ ‎22.小敏思考解决如下问题:‎ 原题:如图1,点,分别在菱形的边,上,,求证:.‎ ‎(1)小敏进行探索,若将点,的位置特殊化:把绕点旋转得到,使,点,分别在边,上,如图2,此时她证明了.请你证明.‎ ‎(2)受以上(1)的启发,在原题中,添加辅助线:如图3,作,,垂足分别为,.请你继续完成原题的证明.‎ ‎(3)如果在原题中添加条件:,,如图1.请你编制一个计算题(不标注新的字母),并直接给出答案(根据编出的问题层次,给不同的得分).‎ ‎【来源】2018年浙江省绍兴市中考数学试卷解析 ‎【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)见解析 ‎【解析】【分析】(1)证明,即可求证.‎ ‎(2)如图2,,即可求证.‎ 51‎ ‎(3)不唯一.‎ ‎【解答】(1)如图1,‎ 在菱形中,‎ ‎,,,‎ ‎∵,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∵,‎ ‎∴,‎ ‎∴,,‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎ ‎(2)如图2,由(1),∵,‎ ‎∴ ,‎ ‎∵,,‎ ‎∴,‎ ‎∵,‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎ 51‎ ‎(3)不唯一,举例如下:‎ 层次1:①求的度数.答案:.‎ ‎②分别求,的度数.答案:.‎ ‎③求菱形的周长.答案:16.‎ ‎④分别求,,的长.答案:4,4,4.‎ 层次2:①求的值.答案:4.‎ ‎②求的值.答案:4.‎ ‎③求的值.答案:.‎ 层次3:①求四边形的面积.答案:.‎ ‎②求与的面积和.答案:.‎ ‎③求四边形周长的最小值.答案:.‎ ‎④求中点运动的路径长.答案:.‎ ‎【点评】考查菱形的性质,三角形全等的判定与性质等,熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.‎ ‎23.如图,在▱ABCD中,AC是对角线,BE⊥AC,DF⊥AC,垂足分别为点E,F,求证:AE=CF.‎ ‎【来源】浙江省衢州市2018年中考数学试卷 ‎【答案】证明见解析.‎ ‎【解析】分析:由全等三角形的判定定理AAS证得△ABE≌△CDF,则对应边相等:AE=CF.‎ 详证明:如图,‎ 51‎ 点睛:本题考查了全等三角形的判定与性质,熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键.‎ ‎24.如图,以AB为直径的⊙O外接于△ABC,过A点的切线AP与BC的延长线交于点P,∠APB的平分线分别交AB,AC于点D,E,其中AE,BD(AE<BD)的长是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个实数根.‎ ‎(1)求证:PA•BD=PB•AE;‎ ‎(2)在线段BC上是否存在一点M,使得四边形ADME是菱形?若存在,请给予证明,并求其面积;若不存在,说明理由.‎ ‎【来源】山东省淄博市2018年中考数学试题 ‎【答案】(1)证明见解析;(2)存在,‎ ‎【解析】分析:(1)易证∠APE=∠BPD,∠EAP=∠B,从而可知△PAE∽△PBD,利用相似三角形的性质即可求出答案.‎ 51‎ ‎(2)过点D作DF⊥PB于点F,作DG⊥AC于点G,易求得AE=2,BD=3,由(1)可知:,从而可知cos∠BDF=cos∠BAC=cos∠APC=,从而可求出AD和DG的长度,进而证明四边形ADFE是菱形,此时F点即为M点,利用平行四边形的面积即可求出菱形ADFE的面积.‎ 详解:(1)∵DP平分∠APB,‎ ‎∴∠APE=∠BPD,‎ ‎∵AP与⊙O相切,‎ ‎∴∠BAP=∠BAC+∠EAP=90°,‎ ‎∵AB是⊙O的直径,‎ ‎∴∠ACB=∠BAC+∠B=90°,‎ ‎∴∠EAP=∠B,‎ ‎∴△PAE∽△PBD,‎ ‎∴,‎ ‎∴PA•BD=PB•AE;‎ ‎(2)过点D作DF⊥PB于点F,作DG⊥AC于点G,‎ ‎∵DP平分∠APB,AD⊥AP,DF⊥PB,‎ ‎∴AD=DF,‎ ‎∵∠EAP=∠B,‎ ‎∴∠APC=∠BAC,‎ 易证:DF∥AC,‎ ‎∴∠BDF=∠BAC,‎ 由于AE,BD(AE<BD)的长是x2﹣5x+6=0,‎ 解得:AE=2,BD=3,‎ ‎∴由(1)可知:,‎ 51‎ ‎∴cos∠APC=,‎ ‎∴cos∠BDF=cos∠APC=,‎ ‎∴,‎ ‎∴DF=2,‎ ‎∴DF=AE,‎ ‎∴四边形ADFE是平行四边形,‎ ‎∵AD=AE,‎ ‎∴四边形ADFE是菱形,此时点F即为M点,‎ ‎∵cos∠BAC=cos∠APC=,‎ ‎∴sin∠BAC=,‎ ‎∴,‎ ‎∴DG=,‎ ‎∴菱形ADME的面积为:DG•AE=2×=.‎ 点睛:本题考查圆的综合问题,涉及圆周角定理,锐角三角函数的定义,平行四边形的判定及其面积公式,相似三角形的判定与性质,综合程度较高,考查学生的灵活运用知识的能力. ‎ ‎25.如图,点是正方形边上一点,连接,作于点,手点,连接.‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2已知,四边形的面积为24,求的正弦值.‎ ‎【来源】山东省潍坊市2018年中考数学试题 ‎【答案】(1)证明见解析;(2) .‎ ‎【解析】分析:(1)通过证明△ABF≌△DEA得到BF=AE;‎ ‎(2)设AE=x,则BF=x,DE=AF=2,利用四边形ABED的面积等于△ABE的面积与△ADE的面积之和得到•x•x+‎ 51‎ ‎•x•2=24,解方程求出x得到AE=BF=6,则EF=x-2=4,然后利用勾股定理计算出BE,最后利用正弦的定义求解.‎ ‎(2)解:设AE=x,则BF=x,DE=AF=2,‎ ‎∵四边形ABED的面积为24,‎ ‎∴•x•x+•x•2=24,解得x1=6,x2=-8(舍去),‎ ‎∴EF=x-2=4,‎ 在Rt△BEF中,BE=,‎ ‎∴sin∠EBF=.‎ 点睛:本题考查了正方形的性质:正方形的四条边都相等,四个角都是直角;正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.会运用全等三角形的知识解决线段相等的问题.也考查了解直角三角形.‎ ‎26.在正方形ABCD中,对角线BD所在的直线上有两点E、F满足BE=DF,连接AE、AF、CE、CF,如图所示.‎ 51‎ ‎(1)求证:△ABE≌△ADF;‎ ‎(2)试判断四边形AECF的形状,并说明理由.‎ ‎【来源】江苏省盐城市2018年中考数学试题 ‎【答案】(1)证明见解析;(2)四边形AECF是菱形,理由见解析.‎ ‎【解析】分析:(1)根据正方形的性质和全等三角形的判定证明即可; (2)四边形AECF是菱形,根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可判断;‎ 详证明:(1)∵正方形ABCD, ∴AB=AD, ∴∠ABD=∠ADB, ∴∠ABE=∠ADF, 在△ABE与△ADF中 , ∴△ABE≌△ADF. (2)连接AC,‎ ‎ 四边形AECF是菱形. 理由:∵正方形ABCD, ∴OA=OC,OB=OD,AC⊥EF, ∴OB+BE=OD+DF, 即OE=OF, ‎ 51‎ ‎∵OA=OC,OE=OF, ∴四边形AECF是平行四边形, ∵AC⊥EF, ∴四边形AECF是菱形.‎ 点睛:本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识.‎ ‎27.已知矩形中,是边上的一个动点,点,,分别是,,的中点.‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2)设,当四边形是正方形时,求矩形的面积.‎ ‎【来源】2018年甘肃省武威市(凉州区)中考数学试题 ‎【答案】(1)证明见解析;(2).‎ ‎【解析】【分析】(1)根据点F,H分别是BC,CE的中点,根据中位线的性质有、FH∥BE,..点G是BE的中点,.即可证明△BGF ≌ △FHC.‎ ‎(2)当四边形EGFH是正方形时,可知EF⊥GH且证明,即可求出矩形的面积.‎ ‎【解答】(1)∵点F,H分别是BC,CE的中点,‎ ‎∴FH∥BE,.‎ ‎∴.‎ 又∵点G是BE的中点,‎ ‎∴.‎ 又∵,‎ ‎∴△BGF ≌ △FHC.‎ 51‎ ‎【点评】考查中位线的性质,正方形的性质,全等三角形的判定,熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.‎ ‎28.如图,在□ABCD中,点E、F分别在边CB、AD的延长线上,且BE=DF,EF分别与AB、CD交于点G、H,求证:AG=CH.‎ ‎【来源】江苏省宿迁市2018年中考数学试卷 ‎【答案】证明见解析.‎ ‎【解析】【分析】根据平行四边形的性质得AD∥BC,AD=BC,∠A=∠C,根据平行线的性质得∠E=∠F,再结合已知条件可得AF=CE,根据ASA得△CEH≌△AFG,根据全等三角形对应边相等得证.‎ ‎【详解】∵在四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC,∠A=∠C,‎ ‎∴∠E=∠F,‎ 又∵BE=DF,‎ ‎∴AD+DF=CB+BE,‎ 51‎ 即AF=CE,‎ 在△CEH和△AFG中,‎ ‎,‎ ‎∴△CEH≌△AFG,‎ ‎∴CH=AG.‎ ‎【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等,熟练掌握相关知识是解题的关键.‎ ‎29.如图,在平行四边形中,,点是的中点,连接并延长,交的延长线于点,连接.‎ ‎(1)求证:四边形是菱形;‎ ‎(2)若,,求菱形的面积.‎ ‎【来源】江苏省扬州市2018年中考数学试题 ‎【答案】(1)证明见解析;(2).‎ ‎【解析】分析:(1)由△AFD≌△BFE,推出AD=BE,可知四边形AEBD是平行四边形,再根据BD=AD可得结论;‎ ‎(2)解直角三角形求出EF的长即可解决问题;‎ 详解:(1)∵四边形是平行四边形 ‎∴,∴‎ ‎∵是的中点,∴‎ ‎∴在与中,‎ ‎∵,∴四边形是平行四边形 ‎∵,∴四边形是菱形 ‎(2)∵四边形是菱形,‎ ‎∴,‎ ‎∴‎ ‎∵‎ 51‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵,‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎ 点睛:本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题,属于中考常考题型. ‎ ‎30.如图,在正方形中,是上一点,连接.过点作,垂足为.经过点、、,与相交于点.‎ ‎(1)求证;‎ ‎(2)若正方形的边长为,,求的半径.‎ ‎【来源】江苏省南京市2018年中考数学试卷 ‎【答案】(1)证明见解析;(2) ‎ ‎【解析】分析:(1)先,证出,再根据四边形是的内接四边形,得到,从而证出结论;‎ ‎(2) 连接根据得到,根据得到,从而 ‎,得,DG=3,利用勾股定理得CG=5,即可求出的半径.‎ 详解:‎ ‎(1)证明:在正方形中,.‎ 51‎ ‎(2)解:如图,连接.‎ ‎∵,,‎ ‎∴.‎ ‎∴,即.‎ ‎∵,‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ 在正方形中,,‎ ‎∴,.‎ ‎∴.‎ ‎∵,‎ ‎∴是的直径.‎ 51‎ ‎∴的半径为.‎ 点睛:本题考查了相似三角形的判定与性质,圆周角定理的推论,正方形的性质.关键是利用正方形的性质证明相似三角形,利用线段,角的关系解题.‎ ‎31.如图,在四边形中,,.是四边形内一点,且.求证:(1);(2)四边形是菱形.‎ ‎【来源】江苏省南京市2018年中考数学试卷 ‎【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.‎ ‎【解析】分析:(1)先证点、、共圆,从而得到,又,即可得出结论;‎ ‎(2) 连接,证得到又由于,,结合可得BO=BC, 从而四边形是菱形.‎ 详解:‎ ‎(1)∵.‎ ‎∴点、、在以点为圆心,为半径的圆上.‎ ‎∴.‎ 又,‎ ‎∴.‎ ‎(2)证明:如图②,连接.‎ ‎∵,,,‎ 51‎ ‎∴.‎ ‎∴,.‎ ‎∵,,‎ ‎∴,.‎ 又.‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎ 又,,‎ ‎∴,‎ ‎∴四边形是菱形.‎ 点睛:本题考查圆周角定理、全等三角形的判定和性质、菱形的判定等知识,解题的关键是灵活应用圆周角定理,学会添加常用辅助线,属于中考常考题型 ‎32.如图,矩形ABCD中,E是AD的中点,延长CE,BA交于点F,连接AC,DF.‎ ‎(1)求证:四边形ACDF是平行四边形;‎ ‎(2)当CF平分∠BCD时,写出BC与CD的数量关系,并说明理由.‎ ‎【来源】江苏省连云港市2018年中考数学试题 ‎【答案】(1)证明见解析;(2)BC=2CD,理由见解析.‎ ‎【解析】分析:(1)利用矩形的性质,即可判定△FAE≌△CDE,即可得到CD=FA,再根据CD∥AF,即可得出四边形ACDF是平行四边形;‎ ‎(2)先判定△CDE是等腰直角三角形,可得CD=DE,再根据E是AD的中点,可得AD=2CD,依据AD=BC,即可得到BC=2CD.‎ 详解:(1)∵四边形ABCD是矩形,‎ ‎∴AB∥CD,‎ ‎∴∠FAE=∠CDE,‎ ‎∵E是AD的中点,‎ 51‎ ‎∴AE=DE,‎ 又∵∠FEA=∠CED,‎ ‎∴△FAE≌△CDE,‎ ‎∴CD=FA,‎ 又∵CD∥AF,‎ ‎∴四边形ACDF是平行四边形;‎ 点睛:本题主要考查了矩形的性质以及平行四边形的判定与性质,要证明两直线平行和两线段相等、两角相等,可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上,通过证明四边形是平行四边形达到上述目的.‎ ‎33.如图,已知四边形中,对角线相交于点,且,,过点作,分别交于点.‎ ‎(1)求证: ;‎ ‎(2)判断四边形的形状,并说明理由.‎ ‎【来源】湖南省娄底市2018年中考数学试题 51‎ ‎【答案】(1)证明见解析;(2)四边形BED是菱形,理由见解析.‎ ‎【解析】【分析】(1)根据对角线互相平分的四边形是平行四边形,由已知可得四边形ABCD是平行四边形,继而可根据ASA证明ΔAOE≌ΔCOF;‎ ‎(2)由ΔAOE≌ΔCOF可得OE=OF,再根据OB=OD可得四边形BEDF是平行四边形,再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可证得四边形BEDF是菱形.‎ ‎【详解】(1)∵OA=OC,OB=OD,‎ ‎∴四边形ABCD是平行四边形,‎ ‎∴AD∥BC,‎ ‎∴∠DAC=∠BCA,‎ 又∵∠AOE=∠COF,OA=OC,‎ ‎∴△AOE≌△COF(ASA);‎ ‎(2)四边形BEDF是菱形,理由如下:‎ ‎∵△AOE≌△COF,‎ ‎∴OE=OF,‎ 又∵OB=OD,‎ ‎∴四边形DEBF是平行四边形,‎ 又∵EF⊥BD,‎ ‎∴平行四边形DEBF是菱形.‎ ‎【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定,熟记平行四边形的判定与性质定理、菱形的判定定理是解本题的关键.‎ ‎34.如图,等边的顶点,在矩形的边,上,且.‎ 求证:矩形是正方形.‎ ‎【来源】2018年浙江省舟山市中考数学试题 ‎【答案】证明见解析.‎ ‎【解析】【分析】证明≌ ,得到,即可证明矩形是正方形.‎ 51‎ ‎【解答】∵四边形是矩形,‎ ‎∴,‎ ‎∵是等边三角形,‎ ‎∴,,‎ 又,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴≌ ,‎ ‎∴,‎ ‎∴矩形是正方形.‎ ‎【点评】考查正方形的判定,熟练掌握判定方法是解题的关键. ‎ ‎35.如图,在6×6的网格中,每个小正方形的边长为1,点A在格点(小正方形的顶点)上.试在各网格中画出顶点在格点上,面积为6,且符合相应条件的图形.‎ ‎【来源】浙江省金华市2018年中考数学试题 ‎【答案】见解析.‎ ‎【解析】分析:利用数形结合的思想解决问题即可.‎ 详解:符合条件的图形如图所示;‎ 51‎ 点睛:本题考查作图-应用与设计,三角形的面积,平行四边形的性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.‎ ‎36.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=12.点D在直线CB上,以CA,CD为边作矩形ACDE,直线AB与直线CE,DE的交点分别为F,G.‎ ‎(1)如图,点D在线段CB上,四边形ACDE是正方形.‎ ‎①若点G为DE中点,求FG的长.‎ ‎②若DG=GF,求BC的长.‎ ‎(2)已知BC=9,是否存在点D,使得△DFG是等腰三角形?若存在,求该三角形的腰长;若不存在,试说明理由.‎ ‎【来源】浙江省金华市2018年中考数学试题 ‎【答案】(1)①FG =2;②BC=12;(2)等腰三角形△DFG的腰长为4或20或或.‎ 详解:(1)①在正方形ACDE中,DG=GE=6,‎ 中Rt△AEG中,AG=,‎ ‎∵EG∥AC,‎ ‎∴△ACF∽△GEF,‎ ‎∴,‎ 51‎ ‎∴,‎ ‎∴FG=AG=2.‎ ‎②如图1中,正方形ACDE中,AE=ED,∠AEF=∠DEF=45°,‎ ‎∵EF=EF,‎ ‎∴△AEF≌△DEF,‎ ‎∴∠1=∠2,设∠1=∠2=x,‎ ‎∵AE∥BC,‎ ‎∴∠B=∠1=x,‎ ‎∵GF=GD,‎ ‎∴∠3=∠2=x,‎ 在△DBF中,∠3+∠FDB+∠B=180°,‎ ‎∴x+(x+90°)+x=180°,‎ 解得x=30°,‎ ‎∴∠B=30°,‎ ‎∴在Rt△ABC中,BC=.‎ ‎(2)在Rt△ABC中,AB==15,‎ 如图2中,当点D中线段BC上时,此时只有GF=GD,‎ ‎∵DG∥AC,‎ 51‎ ‎∴△BDG∽△BCA,‎ 设BD=3x,则DG=4x,BG=5x,‎ ‎∴GF=GD=4x,则AF=15-9x,‎ ‎∵AE∥CB,‎ ‎∴△AEF∽△BCF,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ 整理得:x2-6x+5=0,‎ 解得x=1或5(舍弃)‎ ‎∴腰长GD为=4x=4.‎ 如图3中,当点D中线段BC的延长线上,且直线AB,CE的交点中AE上方时,此时只有GF=DG,‎ 设AE=3x,则EG=4x,AG=5x,‎ ‎∴FG=DG=12+4x,‎ ‎∵AE∥BC,‎ ‎∴△AEF∽△BCF,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ 解得x=2或-2(舍弃),‎ ‎∴腰长DG=4x+12=20.‎ 如图4中,当点D在线段BC的延长线上,且直线AB,EC的交点中BD下方时,此时只有DF=DG,过点D作DH⊥FG.‎ 51‎ 如图5中,当点D中线段CB的延长线上时,此时只有DF=DG,作DH⊥AG于H.‎ 设AE=3x,则EG=4x,AG=5x,DG=4x-12,‎ 51‎ ‎∴FH=GH=DG•cos∠DGB=,‎ ‎∴FG=2FH=,‎ ‎∴AF=AG-FG=,‎ ‎∵AC∥EG,‎ ‎∴△ACF∽△GEF,‎ ‎∴,‎ ‎∴,解得x=或-(舍弃),‎ ‎∴腰长DG=4x-12=,‎ 综上所述,等腰三角形△DFG的腰长为4或20或或.‎ 点睛:本题考查四边形综合题、正方形的性质、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、平行线的性质、勾股定理等知识,解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考压轴题.‎ ‎37.在平面直角坐标系中,四边形是矩形,点,点,点.以点为中心,顺时针旋转矩形,得到矩形,点,,的对应点分别为,,.‎ ‎(Ⅰ)如图①,当点落在边上时,求点的坐标;‎ ‎(Ⅱ)如图②,当点落在线段上时,与交于点.‎ ‎①求证;‎ ‎②求点的坐标.‎ ‎(Ⅲ)记为矩形对角线的交点,为的面积,求的取值范围(直接写出结果即可).‎ ‎【来源】天津市2018年中考数学试题 51‎ ‎【答案】(Ⅰ)点的坐标为.(Ⅱ)①证明见解析;②点的坐标为.(Ⅲ).‎ ‎【解析】分析:(Ⅰ)根据旋转的性质得AD=AO=5,设CD=x,在直角三角形ACD中运用勾股定理可CD的值,从而可确定D点坐标;‎ ‎(Ⅱ)①根据直角三角形全等的判定方法进行判定即可;‎ ‎②由①知,再根据矩形的性质得.从而,故BH=AH,在Rt△ACH中,运用勾股定理可求得AH的值,进而求得答案;‎ ‎(Ⅲ).‎ 详解:(Ⅰ)∵点,点,‎ ‎∴,.‎ ‎∵四边形是矩形,‎ ‎∴,,.‎ ‎∵矩形是由矩形旋转得到的,‎ ‎∴.‎ 在中,有,‎ ‎∴ .‎ ‎∴.‎ ‎∴点的坐标为.‎ 51‎ ‎(Ⅲ).‎ 点睛:本大题主要考查了等腰三角形的判定和性质,勾股定理以及旋转变换的性质等知识,灵活运用勾股定理求解是解决本题的关键. ‎ ‎38.如图,在平行四边形中,点是对角线的中点,点是上一点,且,连接并延长交于点,过点作的垂线,垂足为,交于点.‎ ‎(1)若,,求的面积;‎ ‎(2)若,求证:.‎ 51‎ ‎【来源】【全国省级联考】2018年重庆市中考数学试卷(A卷)‎ ‎【答案】(1);(2)证明见解析 ‎【解析】【分析】(1)由AH=3,HE=1可求得AB的长,根据勾股定理可求得BH的长,然后根据三角形的面积公式进行求解即可;‎ ‎(2)过点A作AM⊥BC于点M,交BG于点K,过点G作GN⊥BC于点N,结合图形根据已知条件可以得到,继而可得到,通过证明,可得,根据等腰三角形的性质可求得,再根据平行四边形的性质可以证明,从而得,继而可得 ‎.‎ ‎【详解】(1) ,‎ ‎ ,‎ 又在中,,‎ ‎;‎ ‎(2)过点A作AM⊥BC于点M,交BG于点K,过点G作GN⊥BC于点N,‎ ‎ =90°,‎ ‎=45°,‎ ‎ =45°‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎=90°,‎ ‎,‎ ‎=180°,‎ ‎=180°,‎ ‎,‎ 51‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查了勾股定理、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等,综合性较强,正确添加辅助线、应用数形结合思想进行解题是关键.‎ ‎39.如图,中,是上一点,于点,是的中点,于点,与交于点,若,平分,连接,.‎ 51‎ ‎ ‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2)小亮同学经过探究发现:.请你帮助小亮同学证明这一结论.‎ ‎(3)若,判定四边形是否为菱形,并说明理由.‎ ‎【来源】山东省泰安市2018年中考数学试题 ‎【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)四边形是菱形,理由见解析.‎ 详解:(1)∵AF=FG,∴∠FAG=∠FGA.‎ ‎ ∵AG平分∠CAB,∴∠CAG=∠FGA,∴∠CAG=∠FGA,∴AC∥FG.‎ ‎ ∵DE⊥AC,∴FG⊥DE.‎ ‎ ∵FG⊥BC,∴DE∥BC,∴AC⊥BC,∴∠C=∠DHG=90°,∠CGE=∠GED.‎ ‎ ∵F是AD的中点,FG∥AE,∴H是ED的中点,∴FG是线段ED的垂直平分线,∴GE=GD,∠GDE=∠GED,∴∠CGE=∠GDE,∴△ECG≌△GHD;‎ ‎ (2)过点G作GP⊥AB于P,∴GC=GP,而AG=AG,∴△CAG≌△PAG,∴AC=AP,由(1)可得EG=DG,∴Rt△ECG≌Rt△GPD,∴EC=PD,∴AD=AP+PD=AC+EC;‎ ‎ (3)四边形AEGF是菱形.证明如下:‎ ‎∵∠B=30°,∴∠ADE=30°,∴AE=AD,∴AE=AF=FG,由(1)得AE∥FG,∴四边形AECF是平行四边形,∴四边形AEGF是菱形.‎ 51‎ ‎ ‎ 点睛:本题属于四边形综合题,主要考查了菱形的判定、全等三角形的判定和性质,线段垂直平分线的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质的综合运用,利用全等三角形的对应边相等,对应角相等是解决问题的关键. ‎ ‎40.阅读短文,解决问题 如果一个三角形和一个菱形满足条件:三角形的一个角与菱形的一个角重合,且菱形的这个角的对角顶点在三角形的这个角的对边上,则称这个菱形为该三角形的“亲密菱形”.如图1,菱形AEFD为△ABC的“亲密菱形”.‎ 如图2,在△ABC中,以点A为圆心,以任意长为半径作弧,交AB、AC于点M、N,再分别以M、N为圆心,以大于MN的长为半径作弧,两弧交于点P,作射线AP,交BC于点F,过点F作FD//AC,FE//AB.‎ ‎(1)求证:四边形AEFD是△ABC的“亲密菱形”;‎ ‎(2)当AB=6,AC=12,∠BAC=45°时,求菱形AEFD的面积.‎ ‎【来源】广东省深圳市2018年中考数学试题 ‎【答案】(1)证明见解析;(2) 四边形的面积为.‎ ‎【解析】【分析】(1)根据尺规作图可知AF平分∠BAC,再根据DF//AC,可得AD=DF,再由两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形AEFD是平行四边形,继而可得平行四边形AEFD是菱形,根据“亲密菱形”的定义即可得证;‎ ‎(2)设菱形的边长为a,即DF=AD=a,则BD=6-a,可证得△BDF∽△BAC,根据相似三角形的性质可求得a=4,过D作DG⊥AC,垂足为G,在Rt△ADG中, DG=2,继而可求得面积.‎ ‎【详解】(1)由尺规作图可知AF平分∠BAC,‎ 51‎ ‎∴∠DAF=∠EAF,‎ ‎∵DF//AC,∴∠DFA=∠EAF,∴∠DAF=∠DFA,∴AD=DF,‎ ‎∵FD//AC,FE//AB,∴四边形AEFD是平行四边形,‎ ‎∴平行四边形AEFD是菱形,‎ ‎∵∠BAC与∠DAE重合,点F点BC上,‎ ‎∴菱形AEFD为△ABC的“亲密菱形”;‎ ‎(2)设菱形的边长为a,即DF=AD=a,则BD=6-a,‎ ‎∵DF//AC,∴△BDF∽△BAC,‎ ‎∴BD:BA=BF:AC,‎ 即(6-a):6=a:12,‎ ‎∴a=4,‎ 过D作DG⊥AC,垂足为G,‎ 在Rt△ADG中,∠DAG=45°,∴DG=AD=2,‎ ‎∴S菱形AEFD=AE•DG=8,‎ 即四边形AEFD的面积为8.‎ ‎【点睛】本题考查了尺规作图,新概念题,菱形的判定与性质等,正确理解新概念是解题的关键.‎ ‎41.在数学兴趣小组活动中,小亮进行数学探究活动.△ABC是边长为2的等边形,E是AC上一点,小亮以BE为边向BE的右侧作等边三角形BEF,连接CF.‎ ‎(1)如图1,当点E在线段AC上时,EF、BC相交于点D,小亮发现有两个三角形全等,请你找出来,并证明.‎ 51‎ ‎(2)当点E在线段上运动时,点F也随着运动,若四边形ABFC的面积为,求AE的长.‎ ‎(3)如图2,当点E在AC的延长线上运动时,CF、BE相交于点D,请你探求△ECD的面积S1与△DBF的面积S2之间的数量关系.并说明理由.‎ ‎(4)如图2,当△ECD的面积S1= 时,求AE的长.‎ ‎【来源】江苏省连云港市2018年中考数学试题 ‎【答案】(1)△ABE≌△CBF,证明见解析;(2);(3)S2﹣S1=,证明见解析;(4)3‎ 详解:(1)结论:△ABE≌△CBF.‎ 理由:如图1中,‎ ‎∵△ABC,△BEF都是等边三角形,‎ ‎∴BA=BC,BE=BF,∠ABC=∠EBF,‎ ‎∴∠ABE=∠CBF,‎ ‎∴△ABE≌△CBF.‎ ‎(2)如图1中,∵△ABE≌△CBF,‎ ‎∴S△ABE=S△BCF,‎ ‎∴S四边形BECF=S△BEC+s△BCF=S△BCE+S△ABE=S△ABC=,‎ ‎∵S四边形ABCF=,‎ 51‎ ‎∴S△ABE=,‎ ‎∴•AE•AB•siin60°=,‎ ‎∴AE=.‎ ‎(3)结论:S2-S1=.‎ 理由:如图2中,‎ ‎∵△ABC,△BEF都是等边三角形,‎ ‎∴BA=BC,BE=BF,∠ABC=∠EBF,‎ ‎∴∠ABE=∠CBF,‎ ‎∴△ABE≌△CBF,‎ ‎∴S△ABE=S△BCF,‎ ‎∵S△BCF-S△BCE=S2-S1,‎ ‎∴S2-S1=S△ABE-S△BCE=S△ABC=.‎ ‎(4)由(3)可知:S△BDF-S△ECD=,‎ ‎∵S△ECD=,‎ ‎∴S△BDF=,‎ ‎∵△ABE≌△CBF,‎ ‎∴AE=CF,∠BAE=∠BCF=60°,‎ ‎∴∠ABC=∠DCB,‎ ‎∴CF∥AB,则△BDF的BF边上的高为,可得DF=,‎ 51‎ 点睛:本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、平行线等分线段定理、解直角三角形等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题,学会理由参数构建方程解决问题,属于中考压轴题.‎ 51‎
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