2021届北师大版高考理科数一轮复习高效演练分层突破：第三章　第3讲　定积分与微积分基本定理

2021届北师大版高考理科数一轮复习高效演练分层突破：第三章　第3讲　定积分与微积分基本定理

‎[基础题组练]‎ ‎1．定积分(3x＋ex)dx的值为(　　)‎ A．e＋1　　　　　　　 B．e C．e－ D．e＋ 解析：选D.(3x＋ex)dx＝＝＋e－1＝＋e.‎ ‎2．若f(x)＝f(f(1))＝1，则a的值为(　　)‎ A．1 B．2‎ C．－1 D．－2‎ 解析：选A.因为f(1)＝lg 1＝0，f(0)＝3t2dt＝t3＝a3，所以由f(f(1))＝1得a3＝1，所以a＝1.‎ ‎3．若f(x)＝x2＋2f(x)dx，则f(x)dx＝(　　)‎ A．－1 B．－ C. D．1‎ 解析：选B.因为f(x)＝x2＋2f(x)dx，‎ 所以f(x)dx＝ ‎＝＋2f(x)dx，所以f(x)dx＝－.‎ ‎4．设f(x)＝则f(x)dx的值为(　　)‎ A.＋ B．＋3‎ C.＋ D．＋3‎ 解析：选A.f(x)dx＝dx＋(x2－1)dx＝π×12＋＝＋，故选A.‎ ‎5.由曲线y＝x2和曲线y＝围成的一个叶形图如图所示，则图中阴影部分的面积为(　　)‎ A. B． C. D． 解析：选A.由解得或所以阴影部分的面积为(－x2)dx＝.故选A.‎ ‎6．定积分(x2＋sin x)dx＝________．‎ 解析：(x2＋sin x)dx ‎＝x2dx＋sin xdx ‎＝2x2dx＝2·＝.‎ 答案： ‎7.(x2tan x＋x3＋1)dx＝________．‎ 解析：因为x2tan x＋x3是奇函数．‎ 所以(x2tan x＋x3＋1)dx＝1dx＝x|＝2.‎ 答案：2‎ ‎8．一物体受到与它运动方向相反的力：F(x)＝ex＋x的作用，则它从x＝0运动到x＝1时F(x)所做的功等于________．‎ 解析：由题意知W＝－dx ‎＝－＝－－.‎ 答案：－－ ‎9．求下列定积分：‎ ‎(1)dx；‎ ‎(2)(cos x＋ex)dx.‎ 解：(1)dx＝xdx－x2dx＋dx ‎＝－＋ln x＝－＋ln 2＝ln 2－.‎ ‎(2)(cos x＋ex)dx＝cos xdx＋exdx ‎＝sin x＋ex＝1－.‎ ‎10．已知函数f(x)＝x3－x2＋x＋1，求其在点(1，2)处的切线与函数g(x)＝x2围成的图形的面积．‎ 解：因为(1，2)为曲线f(x)＝x3－x2＋x＋1上的点，‎ 设过点(1，2)处的切线的斜率为k，‎ 则k＝f′(1)‎ ‎＝(3x2－2x＋1)|x＝1＝2，‎ 所以过点(1，2)处的切线方程为y－2＝2(x－1)，即y＝2x.‎ y＝2x与函数g(x)＝x2围成的图形如图中阴影部分所示，由可得交点A(2，4)，O(0，0)，故y＝2x与函数g(x)＝x2围成的图形的面积 S＝(2x－x2)dx＝＝4－＝.‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1．由曲线xy＝1，直线y＝x，x＝3所围成的封闭平面图形的面积为(　　)‎ A. B．4－ln 3‎ C．4＋ln 3 D．2－ln 3‎ 解析：选B.画出平面图形，根据图形确定积分的上、下限及被积函数．由曲线xy＝1，直线y＝x，x＝3所围成的封闭的平面图形如图所示：‎ 由得 或 由得 故阴影部分的面积为dx＝‎ ＝4－ln 3.‎ ‎2．设函数f(x)＝ax2＋c(a≠0)，若f(x)dx＝f(x0)，0≤x0≤1，则x0的值为________．‎ 解析：f(x)dx＝(ax2＋c)dx＝＝a＋c＝f(x0)＝ax＋c，‎ 所以x＝，x0＝±.‎ 又因为0≤x0≤1，所以x0＝.‎ 答案： ‎3.(＋ex－1)dx＝________．‎ 解析：(＋ex－1)dx ‎＝dx＋(ex－1)dx.‎ 因为dx表示单位圆的上半部分的面积，‎ 所以dx＝.‎ 而(ex－1)dx＝(ex－x) ‎＝(e1－1)－(e－1＋1)＝e－－2，‎ 所以(＋ex－1)dx＝＋e－－2.‎ 答案：＋e－－2‎ ‎4．若函数f(x)在R上可导，f(x)＝x3＋x2f′(1)，则f(x)dx＝________．‎ 解析：因为f(x)＝x3＋x2f′(1)，‎ 所以f′(x)＝3x2＋2xf′(1)．‎ 所以f′(1)＝3＋2f′(1)，解得f′(1)＝－3.‎ 所以f(x)＝x3－3x2.‎ 故f(x)dx＝(x3－3x2)dx＝＝－4.‎ 答案：－4‎ ‎5．如图，在曲线C：y＝x2，x∈[0，1]上取点P(t，t2)，过点P作x轴的平行线l.曲线C与直线x＝0，x＝1及直线l围成的图形包括两部分，面积分别记为S1，S2.当S1＝S2时，求t的值．‎ 解：根据题意，直线l的方程是y＝t2，且0＜t＜1.‎ 结合题图，得交点坐标分别是 A(0，0)，P(t，t2)，B(1，1)．‎ 所以S1＝(t2－x2)dx＝ ‎＝t3－t3＝t3，0＜t＜1.‎ S2＝(x2－t2)dx＝ ‎＝－ ‎＝t3－t2＋，0＜t＜1.‎ 由S1＝S2，‎ 得t3＝t3－t2＋，‎ 所以t2＝.又0＜t＜1，所以t＝.‎ 所以当S1＝S2时，t＝.‎