2021届浙江新高考数学一轮复习高效演练分层突破：第十章　1 第1讲　分类加法计数原理与分步乘法计数原理

2021届浙江新高考数学一轮复习高效演练分层突破：第十章　1 第1讲　分类加法计数原理与分步乘法计数原理

‎[基础题组练]‎ ‎1．从集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋bi，其中虚数的个数是(　　)‎ A．30　　　　　　　　　　 B．42‎ C．36 D．35‎ 解析：选C.因为a＋bi为虚数，所以b≠0，即b有6种取法，a有6种取法，由分步乘法计数原理知可以组成6×6＝36个虚数．‎ ‎2．用10元、5元和1元来支付20元钱的书款，不同的支付方法有(　　)‎ A．3种 B．5种 C．9种 D．12种 解析：选C.只用一种币值有2张10元，4张5元，20张1元，共3种；‎ 用两种币值的有1张10元，2张5元；1张10元，10张1元；3张5元，5张1元；2张5元，10张1元；1张5元，15张1元，共5种；‎ 用三种币值的有1张10元，1张5元，5张1元，共1种．‎ 由分类加法计数原理得，共有3＋5＋1＝9(种)．‎ ‎3．某电话局的电话号码为139××××××××，若前六位固定，最后五位数字是由6或8组成的，则这样的电话号码的个数为(　　)‎ A．20 B．25‎ C．32 D．60‎ 解析：选C.依据题意知，最后五位数字由6或8组成，可分5步完成，每一步有2种方法，根据分步乘法计数原理，符合题意的电话号码的个数为25＝32.‎ ‎4．用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中偶数的个数为(　　)‎ A．24 B．48‎ C．60 D．72‎ 解析：选B.先排个位，再排十位，百位，千位，万位，依次有2，4，3，2，1种排法，由分步乘法计数原理知偶数的个数为2×4×3×2×1＝48.‎ ‎5．已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为(　　)‎ A．40 B．16‎ C．13 D．10‎ 解析：选C.分两类情况讨论：第1类，直线a分别与直线b上的8个点可以确定8个不同的平面；第2类，直线b分别与直线a上的5个点可以确定5个不同的平面．根据分类加法计数原理知，共可以确定8＋5＝13个不同的平面．‎ ‎6.如图所示，小圆圈表示网络的结点，结点之间的线段表示它们有网线相连，连线标注的数字，表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点A向结点B传递信息，信息可以从分开不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为(　　)‎ A．26 B．20‎ C．24 D．19‎ 解析：选D.因为信息可以从分开不同的路线同时传递，由分类加法计数原理，完成从A向B传递有四种办法：12→5→3；12→6→4；12→6→7；12→8→6.故单位时间内传递的最大信息量为四条不同网线上信息量的和：3＋4＋6＋6＝19.‎ ‎7．如图所示，使电路接通，开关不同的开闭方式有(　　)‎ A．11种 B．20种 C．21种 D．12种 解析：选C.电路接通，则每一个并联电路中至少有一个开关闭合，再利用乘法原理求解．两个开关并联的电路接通方式有3种，即每个开关单独接通共2种．两个开关都接通有一种，所以共有3种，同理三个开关并联的电路接通方式有7种，由乘法原理可知不同的闭合方式有3×7＝21(种)．‎ ‎8．某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B，C，D中选择，其他四个号码可以从0～9这十个数字中选择(数字可以重复)，有车主第一个号码(从左到右)只想在数字3，5，6，8，9中选择，其他号码只想在1，3，6，9中选择，则他的车牌号码可选的所有可能情况有(　　)‎ A．180种 B．360种 C．720种 D．960种 解析：选D.按照车主的要求，从左到右第一个号码有5种选法，第二个号码有3种选法，其余三个号码各有4种选法．因此车牌号码可选的所有可能情况有5×3×4×4×4＝960(种)．‎ ‎9．直线l：＋＝1中，a∈{1，3，5，7}，b∈{2，4，6，8}．若l与坐标轴围成的三角形的面积不小于10，则这样的直线的条数为(　　)‎ A．6 B．7‎ C．8 D．16‎ 解析：选B.l与坐标轴围成的三角形的面积为 S＝ab≥10，即ab≥20.‎ 当a＝1时，不满足；当a＝3时，b＝8，即1条．‎ 当a∈{5，7}时，b∈{4，6，8}，此时a的取法有2种，b的取法有3种，则直线l的条数为2×3＝6.故满足条件的直线的条数为1＋6＝7.故选B.‎ ‎10．在如图所示的五个区域中，现有四种颜色可供选择，要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为(　　)‎ A．24种 B．48种 C．72种 D．96种 解析：选C.分两种情况：‎ ‎(1)A，C不同色，先涂A有4种，C有3种，E有2种，B，D有1种，有4×3×2＝24(种)．‎ ‎(2)A，C同色，先涂A有4种，E有3种，C有1种，B，D各有2种，有4×3×2×2＝48(种)．‎ 综上两种情况，不同的涂色方法共有48＋24＝72(种)．‎ ‎11．从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有________种(用数字作答)．‎ 解析：第一步，先选出文娱委员，因为甲、乙不能担任，所以从剩下的3人中选1人当文娱委员，有3种选法．‎ 第二步，从剩下的4人中选学习委员和体育委员，又可分两步进行：先选学习委员有4种选法，再选体育委员有3种选法．由分步乘法计数原理可得，不同的选法共有3×4×3＝36(种)．‎ 答案：36‎ ‎12．乘积(a＋b＋c)(d＋e＋f＋h)(i＋j＋k＋l＋m)展开后共有________项．‎ 解析：由(a＋b＋c)(d＋e＋f＋h)(i＋j＋k＋l＋m)展开式各项都是从每个因式中选一个字母的乘积，由分步乘法计数原理可得其展开式共有3×4×5＝60(项)．‎ 答案：60‎ ‎13．在平面直角坐标系内，点P(a，b)的坐标满足a≠b，且a，b都是集合{1，2，3，4，5，6}中的元素．又点P到原点的距离|OP|≥5，则这样的点P的个数为________．‎ 解析：依题意可知：‎ 当a＝1时，b＝5，6，两种情况；‎ 当a＝2时，b＝5，6，两种情况；‎ 当a＝3时，b＝4，5，6，三种情况；‎ 当a＝4时，b＝3，5，6，三种情况；‎ 当a＝5或6时，b各有五种情况．‎ 所以共有2＋2＋3＋3＋5＋5＝20种情况．‎ 答案：20‎ ‎14．如图所示，在A，B间有四个焊接点，若焊接点脱落，则可能导致电路不通．今发现A，B之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有________种．‎ 解析：采用排除法．各个焊点有2种情况，所以四个焊点共有24种可能，其中能使线路通的情况有：1，4同时通，且2和3至少有一个通时线路才能通，共有3种可能，故不通的情况共有24－3＝13种情况．‎ 答案：13‎ ‎15．将4个不同小球放入3个不同的盒子，其中每个盒子都不空的放法共有________种．‎ 解析：必有一个盒子放2个小球，将4个小球分3组，其中有2个小球为一组，另外2个小球为两组，共有6种分组方法．然后，每一种分组的小球放入3个不同盒子，按分步乘法计数原理，有3×2×1种放法，共有6×(3×2×1)＝36(种)放法．‎ 答案：36‎ ‎16．如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是________．‎ 解析：分类讨论：第1类，对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有2×12＝24个；第2类，对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个．所以正方体中“正交线面对”共有24＋12＝36(个)．‎ 答案：36‎ ‎17．已知集合A＝{最大边长为7，且三边长均为正整数的三角形}，则集合A的真子集共有________个．‎ 解析：另外两个边长用x，y(x，y∈N*)表示，且不妨设1≤x≤y≤7，要构成三角形，必须x＋y≥8.‎ 当y取7时，x可取1，2，3，…，7，有7个三角形；‎ 当y取6时，x可取2，3，…，6，有5个三角形；‎ 当y取5时，x可取3，4，5，有3个三角形．‎ 当y取4时，x只能取4，只有1个三角形．‎ 所以所求三角形的个数为7＋5＋3＋1＝16.其真子集共有(216－1)个．‎ 答案：216－1‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1．有一项活动需在3名老师，6名男同学和8名女同学中选人参加，‎ ‎(1)若只需一人参加，有多少种不同选法？‎ ‎(2)若需一名老师，一名学生参加，有多少种不同选法？‎ ‎(3)若需老师、男同学、女同学各一人参加，有多少种不同选法？‎ 解：(1)只需一人参加，可按老师、男同学、女同学分三类各自有3，6，8种方法，总方法数为3＋6＋8＝17(种)．‎ ‎(2)分两步，先选老师共3种选法，再选学生共6＋8＝14种选法，由分步乘法计数原理知，总方法数为3×14＝42(种)．‎ ‎(3)老师、男、女同学各一人可分三步，每步方法依次为3，6，8种，由分步乘法计数原理知，总方法数为3×6×8＝144(种)．‎ ‎2．同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中各拿1张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式有几种？‎ 解：设四个人为甲、乙、丙、丁，依次写的贺年卡为A，B，C，D.‎ 第一步：甲有3种拿法，即拿了B，C或D.‎ 第二步：对甲的每一种拿法，不妨设拿了乙的B卡，则乙也有3种拿法，即拿A，C或D，有3种拿法．‎ 若乙拿了甲的A卡，则丙、丁只能是丙拿D，丁拿C.‎ 若乙拿了丙的C卡，则丙只能拿D卡，丁拿A卡．‎ 若乙拿了丁的D卡，则丁只能拿C卡，丙拿A卡．‎ 所以分配方式共有3×3＝9(种)．‎ ‎3．由数字1，2，3，4，‎ ‎(1)可组成多少个三位数？‎ ‎(2)可组成多少个没有重复数字的三位数？‎ ‎(3)可组成多少个没有重复数字，且百位数字大于十位数字，十位数字大于个位数字的三位数？‎ 解：(1)百位数共有4种排法；十位数共有4种排法；个位数共有4种排法，根据分步乘法计数原理知共可组成43＝64个三位数．‎ ‎(2)百位上共有4种排法；十位上共有3种排法；个位上共有2种排法，由分步乘法计数原理知共可排成没有重复数字的三位数4×3×2＝24(个)．‎ ‎(3)排出的三位数分别是432、431、421、321，共4个．‎ ‎4．已知集合M＝{－3，－2，－1，0，1，2}，若a，b，c∈M，则：‎ ‎(1)y＝ax2＋bx＋c可以表示多少个不同的二次函数？‎ ‎(2)y＝ax2＋bx＋c可以表示多少个图象开口向上的二次函数？‎ 解：(1)y＝ax2＋bx＋c表示二次函数时，a的取值有5种情况，b的取值有6种情况，c的取值有6种情况，因此y＝ax2＋bx＋c可以表示5×6×6＝180个不同的二次函数．‎ ‎(2)当y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上时，a的取值有2种情况，b，c的取值均有6种情况，因此y＝ax2＋bx＋c可以表示2×6×6＝72个图象开口向上的二次函数．‎