2021届北师大版高考理科数一轮复习高效演练分层突破：第十章　第8讲　离散型随机变量的均值与方差、正态分布

2021届北师大版高考理科数一轮复习高效演练分层突破：第十章　第8讲　离散型随机变量的均值与方差、正态分布

‎[基础题组练]‎ ‎1．已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ＜4)＝0.8，则P(0＜ξ＜4)＝(　　)‎ A．0.6　　　　　　　　 B．0.4‎ C．0.3 D．0.2‎ 解析：选A.由P(ξ＜4)＝0.8，得P(ξ≥4)＝0.2.‎ 又正态曲线关于x＝2对称，则P(ξ≤0)＝P(ξ≥4)＝0.2，所以P(0＜ξ＜4)＝1－P(ξ≤0)－P(ξ≥4)＝0.6.‎ ‎2．口袋中有编号分别为1，2，3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X的期望为(　　)‎ A. B． C．2 D． 解析：选D.因为口袋中有编号分别为1，2，3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，所以取出的球的最大编号X的可能取值为2，3，所以P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，所以EX＝2×＋3×＝.‎ ‎3．(2020·河南焦作一模)设X～N(1，1)，其正态分布密度曲线如图所示，那么从正方形ABCD中随机取10 000个点，则取自阴影部分的点的个数的估计值是(　　)‎ ‎(注：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ1，则k<7.35，P(X＝k－1)7.35，P(X＝k－1)>P(X＝k)．‎ 所以当k＝7时，P(X＝k)最大，即当P(X＝k)最大时，k＝7.‎ ‎2．(2020·云南昆明检测)某地区为贯彻“绿水青山就是金山银山”的精神，鼓励农户利用荒坡种植果树．某农户考察三种不同的果树苗A，B，C，经引种试验后发现，引种树苗A的自然成活率为0.8，引种树苗B，C的自然成活率均为p(0.7≤p≤0.9)．‎ ‎(1)任取树苗A，B，C各一棵，估计自然成活的棵数为X，求X的分布列及EX；‎ ‎(2)将(1)中的EX取得最大值时p的值作为B种树苗自然成活的概率．该农户决定引种n棵B种树苗，引种后没有自然成活的树苗中有75%的树苗可经过人工栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活．‎ ‎①求一棵B种树苗最终成活的概率；‎ ‎②若每棵树苗引种最终成活后可获利300元，不成活的每棵亏损50元，该农户为了获利不低于20万元，问至少引种B种树苗多少棵？‎ 解：(1)由题意知，X的所有可能值为0，1，2，3，‎ 则P(X＝0)＝0.2(1－p)2，‎ P(X＝1)＝0.8×(1－p)2＋0.2×C×p×(1－p)＝0.8(1－p)2＋0.4p(1－p)＝0.4p2－1.2p＋0.8，‎ P(X＝2)＝0.2p2＋0.8×C×p×(1－p)＝0.2p2＋1.6p(1－p)＝－1.4p2＋1.6p，‎ P(X＝3)＝0.8p2.‎ X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎0.2p2－0.4p＋0.2‎ ‎0.4p2－1.2p＋0.8‎ ‎－1.4p2＋1.6p ‎0.8p2‎ 所以E X＝1×(0.4p2－1.2p＋0.8)＋2×(－1.4p2＋1.6p)＋3×0.8p2＝2p＋0.8.‎ ‎(2)当p＝0.9时，E X取得最大值．‎ ‎①一棵B树苗最终成活的概率为0.9＋0.1×0.75×0.8＝0.96.‎ ‎②记Y为n棵B种树苗的成活棵数，M(n)为n棵B种树苗的利润，则Y～B(n，0.96)，E Y＝0.96n，M(n)＝300Y－50(n－Y)＝350Y－50n，E(M(n))＝350E Y－50n＝286n，要使E(M(n))≥200 000，则有n≥699.3.‎ 所以该农户至少种植700棵B种树苗，就可获利不低于20万元．‎ ‎3．(2019·高考全国卷Ⅰ)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得－1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得－1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．‎ 甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X.‎ ‎(1)求X的分布列；‎ ‎(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i＝0，1，…，8)表示“甲药的累计得分为i时 ，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0＝0，p8＝1，pi＝api－1＋bpi＋cpi＋1(i＝1，2，…，7)，其中a＝P(X＝－1)，b＝P(X＝0)，c＝P(X＝1)．假设α＝0.5，β＝0.8.‎ ‎(ⅰ)证明：{pi＋1－pi}(i＝0，1，2，…，7)为等比数列；‎ ‎(ⅱ)求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．‎ 解：(1)X的所有可能取值为－1，0，1.‎ P(X＝－1)＝(1－α)β，‎ P(X＝0)＝αβ＋(1－α)(1－β)，‎ P(X＝1)＝α(1－β)．‎ 所以X的分布列为 ‎(2)(ⅰ)证明：由(1)得a＝0.4，b＝0.5，c＝0.1.‎ 因此pi＝0.4pi－1＋0.5pi＋0.1pi＋1，故0.1(pi＋1－pi)＝0.4(pi－pi－1)，即pi＋1－pi＝4(pi－pi－1)．‎ 又因为p1－p0＝p1≠0，所以{pi＋1－pi}(i＝0，1，2，…，7)为公比为4，首项为p1的等比数列．‎ ‎(ⅱ)由(ⅰ)可得 p8＝p8－p7＋p7－p6＋…＋p1－p0＋p0‎ ‎＝(p8－p7)＋(p7－p6)＋…＋(p1－p0)‎ ‎＝p1.‎ 由于p8＝1，故p1＝，所以 p4＝(p4－p3)＋(p3－p2)＋(p2－p1)＋(p1－p0)‎ ‎＝p1＝.‎ p4表示最终认为甲药更有效的概率．由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为p4＝≈0.003 9，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理．‎