2021届北师大版高考理科数一轮复习高效演练分层突破：第四章　第1讲　任意角和弧度制及任意角的三角函数

2021届北师大版高考理科数一轮复习高效演练分层突破：第四章　第1讲　任意角和弧度制及任意角的三角函数

‎ [基础题组练]‎ ‎1．若角α的终边经过点P(1，)，则cos α＋tan α的值为(　　)‎ A.　　　　　　 B． C. D． 解析：选A.因为角α的终边经过点P(1，)，则x＝1，y＝，r＝|OP|＝2，所以cos α＝＝，tan α＝＝，那么cos α＋tan α＝，故选A.‎ ‎2．若角α与β的终边关于x轴对称，则有(　　)‎ A．α＋β＝90°‎ B．α＋β＝90°＋k·360°，k∈Z C．α＋β＝2k·180°，k∈Z D．α＋β＝180°＋k·360°，k∈Z 解析：选C.因为α与β的终边关于x轴对称，所以β＝2k·180°－α，k∈Z，所以α＋β＝2k·180°，k∈Z.‎ ‎3．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选B.由题意知tan α<0，cos α<0，故sin α>0，根据三角函数值的符号规律可知，角α的终边在第二象限．故选B.‎ ‎4．已知点P(sin x－cos x，－3)在第三象限，则x的可能区间是(　　)‎ A. B． C. D． 解析：选D.由点P(sin x－cos x，－3)在第三象限，可得sin x－cos x<0，即sin x0，tan θ<0.‎ 所以y＝－1＋1－1＝－1.‎ ‎6．已知α是第二象限角，P(x，)为其终边上一点，且cos α＝x，则x＝________．‎ 解析：因为cos α＝＝x，所以x＝0或x＝或x＝－，又α是第二象限角，所以x＝－.‎ 答案：－ ‎7．若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是________．‎ 解析：设圆半径为r，则圆内接正方形的对角线长为2r，所以正方形边长为r，所以圆心角的弧度数是＝.‎ 答案： ‎8．已知点P(sin θ，cos θ)是角α终边上的一点，其中θ＝，则与角α终边相同的最小正角为________．‎ 解析：因为θ＝，故P，故α为第四象限角且cos α＝，所以α＝2kπ＋，k∈Z，所以与角α终边相同的最小正角为.‎ 答案： ‎9．已知＝－，且lg(cos α)有意义．‎ ‎(1)试判断角α所在的象限；‎ ‎(2)若角α的终边上一点M，且|OM|＝1(O为坐标原点)，求m的值及sin α的值．‎ 解：(1)由＝－，得sin α<0，‎ 由lg(cos α)有意义，可知cos α>0，‎ 所以α是第四象限角．‎ ‎(2)因为|OM|＝1，所以＋m2＝1，解得m＝±.‎ 又α为第四象限角，故m<0，从而m＝－，‎ sin α＝＝＝＝－.‎ ‎10．若角θ的终边过点P(－4a，3a)(a≠0)．‎ ‎(1)求sin θ＋cos θ的值；‎ ‎(2)试判断cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号．‎ 解：(1)因为角θ的终边过点P(－4a，3a)(a≠0)，‎ 所以x＝－4a，y＝3a，r＝5|a|，‎ 当a＞0时，r＝5a，sin θ＋cos θ＝－.‎ 当a＜0时，r＝－5a，sin θ＋cos θ＝.‎ ‎(2)当a＞0时，sin θ＝∈，‎ cos θ＝－∈，‎ 则cos(sin θ)·sin(cos θ)‎ ‎＝cos ·sin＜0；‎ 当a＜0时，sin θ＝－∈，‎ cos θ＝∈，‎ 则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos·sin ＞0.‎ 综上，当a＞0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为负；‎ 当a＜0时，cos(sin θ)·sin (cos θ)的符号为正．‎ ‎ [综合题组练]‎ ‎1．(2020·河北唐山第二次模拟)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点A(2sin α，3)(sin α≠0)，则cos α＝(　　)‎ A.　　 B．－　　　‎ C.　　 D．－ 解析：选A.由三角函数定义得tan α＝，即＝，得3cos α＝2sin2α＝2(1－cos2α)，解得cos α＝或cos α＝－2(舍去)．故选A.‎ ‎2．已知sin α>sin β，那么下列命题成立的是(　　)‎ A．若α，β是第一象限的角，则cos α>cos β B．若α，β是第二象限的角，则tan α>tan β C．若α，β是第三象限的角，则cos α>cos β D．若α，β是第四象限的角，则tan α>tan β 解析：选D.由三角函数线可知选D.‎ ‎3．如图，在Rt△PBO中，∠PBO＝90°，以O为圆心、OB为半径作圆弧交OP于A点．若圆弧AB等分△POB的面积，且∠AOB＝α弧度，则＝________．‎ 解析：设扇形的半径为r，则扇形的面积为αr2，在Rt△POB中，PB＝rtan α，则△POB的面积为r·rtan α，由题意得r·rtan α＝2×αr2，所以tan α＝2α，所以＝.‎ 答案： ‎4．已知圆O与直线l相切于点A，点P，Q同时从A点出发，P沿着直线l向右运动，Q沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当Q运动到点A时，点P也停止运动，连接OQ，OP(如图)，则阴影部分面积S1，S2的大小关系是________．‎ 解析：设运动速度为m，运动时间为t，圆O的半径为r，‎ 则＝AP＝tm，根据切线的性质知OA⊥AP，‎ 所以S1＝tm·r－S扇形AOB，S2＝tm·r－S扇形AOB，‎ 所以S1＝S2恒成立．‎ 答案：S1＝S2‎ ‎5．如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x 轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A点，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动．‎ ‎(1)若点B的横坐标为－，求tan α的值；‎ ‎(2)若△AOB为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合；‎ ‎(3)若α∈，请写出弓形AB的面积S与α的函数关系式．‎ 解：(1)由题意可得B，‎ 根据三角函数的定义得tan α＝＝－.‎ ‎(2)若△AOB为等边三角形，则∠AOB＝，故与角α终边相同的角β的集合为.‎ ‎(3)若α∈，则S扇形＝αr2＝α，‎ 而S△AOB＝×1×1×sin α＝sin α，故弓形的面积S＝S扇形－S△AOB＝α－sin α，α∈.‎ ‎6．已知sin α<0，tan α>0.‎ ‎(1)求角α的集合；‎ ‎(2)求终边所在的象限；‎ ‎(3)试判断tan sin cos 的符号．‎ 解：(1)因为sin α<0且tan α>0，‎ 所以α是第三象限角，故角α的集合为 .‎ ‎(2)由(1)知2kπ＋π<α<2kπ＋，k∈Z，‎ 故kπ＋<0，cos <0，‎ 故tan sin cos >0，‎ 当是第四象限角时，‎ tan <0，sin <0，cos >0，‎ 故tan sin cos >0.‎ 法二：tan sin cos ＝·sin cos ＝sin2 .‎ 由于是第二象限角或第四象限角，‎ 所以sin2 ＞0，‎ 综上，tan sin cos 取正号．‎